微专题02 概率的实际应用（专项训练）数学新教材鲁教版五四制七年级下册

**基本信息** 以“概念-方法-应用”为主线，系统整合古典概型、几何概型、游戏公平性、频率估计概率四大模块，通过三步解题法与分级例题构建概率应用能力体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |古典概型|6题|等可能结果枚举法，P(A)=m/n三步法|从有限等可能事件切入，建立概率计算基本模型| |几何概型|6题|面积/角度度量比法|拓展至无限等可能场景，强化几何直观应用| |游戏公平性|6题|双方概率比较准则|结合实际情境深化概率意义理解，培养推理意识| |频率估计概率|6题|频率稳定性定理应用|从试验数据到概率估计，发展数据意识与模型观念|

微专题02 概率的实际应用 题型1 古典概型（等可能事件）概率计算 古典概型是概率实际应用的基础题型，通常涉及有限个等可能结果的场景，如摸球（颜色、标号）、掷骰子（点数）、抽卡片（数字、图案）等。题目要求计算某一事件发生的概率。 古典概型的概率公式为： 其中，n是所有可能的结果数（有限且等可能），m是事件A包含的结果数。 解题步骤： 1. 确定所有可能的结果：列举或计算所有等可能的结果； 2. 确定事件A包含的结果：找出符合事件A的结果； 3. 计算概率：代入公式计算P(A)。 1．（2026·广东深圳·二模）福田红树林生态公园为推进“每周半天计划”，提供“潮汐湿地红树林探秘”“鸟儿调查员”“公园设计师”“水侦探”四项课程供班级随机选报，每个班级可以从中选择一项课程参加．某班级选中“水侦探”的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】总共有种等可能的选报结果，选中目标课程的结果只有种，代入概率公式计算即可． 【详解】解：四项课程随机选一项，所有等可能的结果共种， 其中选中“水侦探”的结果只有种， 选中“水侦探”的概率. 2．（25-26七年级下·广东深圳·期中）深圳街超“超鹏友”第二届女子足球公开赛首轮小组赛中，各女足队伍将随机抽签分为、四组．其中一支队伍甲抽中组的概率是（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】解：其中一支队伍甲抽中组的概率是． 3．（2026·广东深圳·二模）为落实深圳市体育中考政策，学校设置了四类选考项目：耐力跑、投掷实心球、跳绳、篮球．小明同学从这四类项目中随机选一项备考（每项被选的可能性相同），则他恰好选中跳绳项目的概率是______． 【答案】 【分析】确定所有等可能的结果总数，再确定选中跳绳项目的结果数，根据概率公式计算即可． 【详解】解：根据题意，四类选考项目中每项被选中的可能性相同，因此所有等可能的结果总数为，其中恰好选中跳绳项目的结果数为， 则选中跳绳项目的概率． 4．（25-26七年级下·重庆·期中）南朝梁元帝在《春日》中写到：“春意春已繁，春人春不见”．现从诗句中随机抽取一个汉字，则抽到的汉字是“春”的概率是_________． 【答案】 【分析】确定所有汉字的总个数，数出“春”字的个数，再根据概率公式计算即可得到结果． 【详解】解：诗句“春意春已繁，春人春不见”中，共有汉字个，其中汉字“春”的个数为个， 抽到的汉字是“春”的概率是． 5．（2026·贵州遵义·一模）2026年是丙午马年，“马到功成”将马年与祝福相结合，表达对新一年事事如意、顺遂美好的期盼．将分别印有“马”、“到”、“功”、“成”的四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张，则抽取到的卡片上印有汉字“功”的概率为__________． 【答案】 【详解】解：盒中共有张质地均匀大小相同的卡片，从中随机抽取一张，所有等可能的结果共种， 其中抽取到印有汉字“功”的结果共种， 因此抽取到的卡片上印有汉字“功”的概率为. 6．（2026年安徽省“c20”联盟合肥市第三十八中学等校中考考前模拟数学试题）考拉兹猜想(又称冰雹猜想、猜想)是全球知名的数学难题，至今未获得证明．其规则为：对任意正整数，重复以下变换：若它是奇数，则对它乘3加1；若它是偶数，则对它除以2．猜想断言：无论从哪个正整数开始，最终都会落入“”的循环，也就是一定会走到1．数学家已验证极大范围内的数均符合该猜想的规律．在正整数1，2，3，4中，随机选取两个不同的数，分别按上述规则进行一次操作后，两个结果均为偶数的概率是________． 【答案】 【分析】先按照变换规则计算每个数操作一次后的结果，得到操作后为偶数的原数个数，再计算所有等可能的选取情况数，以及两个结果均为偶数的情况数，最后根据概率公式计算概率． 【详解】解：对每个正整数进行一次变换： 是奇数，变换结果为，是偶数； 是偶数，变换结果为，是奇数； 是奇数，变换结果为，是偶数； 是偶数，变换结果为，是偶数； 因此变换后结果为偶数的原数为1，3，4，共3个，变换后结果为奇数的原数为2， 从4个数中随机选取2个不同的数，所有等可能的结果为：，共6种， 其中两个结果均为偶数的结果有，共3种， 根据概率公式可得． 题型2 几何概型概率计算 几何概型涉及无限个等可能结果，通常与几何图形（如转盘、方格、不规则图形）相关。题目要求计算某一事件（如“指针指向阴影区域”“飞镖落在黑色方格”“石子落在圆内”）的概率，核心是面积比或角度比。 几何概型的概率公式为： 其中，几何度量可以是面积（如转盘的阴影面积与总面积的比）、角度（如转盘指针指向的角度与360°的比）。 解题步骤： 1. 确定总几何度量：计算所有可能结果的几何度量； 2. 确定事件A的几何度量：计算符合事件A的几何度量； 3. 计算概率：代入公式计算P(A)。 1．（25-26七年级下·福建宁德·期中）一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上，每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是_______． 【答案】 【分析】本题考查了几何概率，弄清黑色区域的面积与图形总面积间的关系是解题的关键．根据题意可得：图中共有3块大小相同的方格地砖，其中黑色区域的面积恰好等于1块方格地砖的面积，根据几何概率的求解方法解答即可． 【详解】解：根据题意可得：图中共有3块大小相同的方格地砖，其中黑色区域的面积恰好等于1块方格地砖的面积， 所以该小球停留在黑色区域的概率； 2．（2026·四川成都·二模）如图，以正方形边长为直径在正方形内画半圆，形成阴影部分．现随机向正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为_____． 【答案】 【分析】用阴影部分的面积除以正方形的面积即可求得答案． 【详解】解：设正方形的边长为2，则阴影部分可看作是以正方形边长为直径的两个圆的面积减去正方形的面积， ∴阴影部分的面积，正方形的面积为4， ∴随机向该正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为． 3．（25-26七年级下·河北张家口·期中）如图所示是一个可以自由转动的转盘．转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率是________． 【答案】 【分析】指针落在红色区域的概率等于红色区域圆心角的度数除以周角的度数，从图中读取红色区域的圆心角度数，代入计算即可； 【详解】解：由图可知，红色区域所对的圆心角为， 整个圆周角为, 指针落在红色区域的概率是． 4．（2026·江苏盐城·一模）一个小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机地停留在某块方砖上，则小球停留在阴影区域的概率是______． 【答案】 【分析】先确定一共有16块方砖，阴影部分有8块，再根据概率公式解答． 【详解】解：一共有16块方砖，阴影部分有8块，所以小球停留在阴影区域的概率是． 5．（25-26七年级下·福建宁德·期中）如图，由四个长为，宽为的长方形和一块小正方形构成一块大正方形的飞镖游戏板．向游戏板随机投掷一枚飞镖（每次飞镖均落在纸板上）．若，则飞镖击中小正方形空白区域的概率是_____． 【答案】 【分析】利用面积计算概率． 【详解】解：大正方形的面积为， 小正方形的面积为， ∴飞镖击中小正方形空白区域的概率是． 6．（2026·湖南长沙·一模）如图，为估计椭圆的面积，小明在面积为的矩形纸片上进行随机投点实验，经过大量实验，发现点落在椭圆内部的频率稳定在0.6左右，据此估计图中椭圆的面积约为__________． 【答案】120 【分析】大量反复见详解下，频率的稳定值即为概率值，则点落在椭圆内部的概率为，再根据点落在椭圆内部的概率等于椭圆的面积与矩形纸片的面积的比值列式求解即可． 【详解】解：经过大量实验，发现点落在椭圆内部的频率稳定在左右， 点落在椭圆内部的概率为， 椭圆的面积与矩形纸片的面积的比值为， 椭圆的面积为． 题型3 游戏公平性判断与设计 游戏公平性是概率实际应用的重要场景，通常涉及双方获胜概率的比较。题目要求判断游戏规则是否公平（如“摸球游戏”“转盘游戏”），若不公平则需修改规则使其公平；或设计公平的游戏规则（如“抽奖游戏”“猜数游戏”）。 游戏公平的本质是双方获胜的概率相等。判断游戏是否公平的方法是： 1. 计算双方获胜的概率； 2. 比较概率：若相等，则公平；若不等，则不公平。 解题步骤： 1. 明确游戏规则：确定双方的获胜条件； 2. 计算双方获胜的概率：用古典概型或几何概型公式计算； 3. 判断公平性：比较概率，若概率相等，则公平；否则不公平； 4. 修改规则：若不公平，调整获胜条件使双方概率相等。 1．（2026·贵州铜仁·模拟预测）甲和乙按如下规则玩游戏：掷一枚均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1，2，3，4，5，6的点数，若朝上的点数是奇数，则甲获胜；若朝上的点数是偶数，则乙获胜．则这个游戏规则（    ） A．对甲乙公平 B．对甲有利 C．对乙有利 D．无法确定 【答案】A 【分析】判断游戏规则是否公平，只需计算甲乙两人获胜的概率，比较概率是否相等即可，概率相等则规则公平，否则不公平． 【详解】解：∵掷一枚均匀骰子，朝上的点数共有6种等可能的结果，其中点数为奇数的结果有1，3，5，共3种，点数为偶数的结果有2，4，6，共3种， ∴甲获胜的概率，乙获胜的概率， ∵， ∴这个游戏规则对甲乙公平． 2．（25-26七年级下·广东深圳·期中）现有一个不透明的盒子里放置6张材质完全相同的卡片，卡片上分别标有数字1 、2、3、4、5、6． (1)小深设计了一款游戏，规则如下：，从盒中随机抽取1张卡片，卡片上的数字即为．计算，若结果大于2，则甲获胜；若结果小于或等于2，则乙获胜．求甲获胜的概率． (2)你认为小深设计的这个游戏是否公平？请阐述理由． (3)目前该游戏仅支持两人同时玩，请帮小深将其改成可供三个人同时玩的公平游戏． 【答案】(1) (2)不公平，理由见解析； (3)见解析 【分析】（1）根据求出的6个取值对应的值，再根据甲获胜的情况求出概率即可； （2）由甲获胜的概率小于乙获胜的概率分析即可； （3）三个人同时玩的公平游戏，即三个人获胜的概率相等，据此设计游戏即可． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，， 当时，， 其中，即6种结果中，只有1种结果甲获胜， 甲获胜的概率为． （2）解：不公平， 理由：由（1）可知，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，甲获胜的概率明显小于乙获胜的概率，所以游戏不公平； （3）解：规则如下：，从盒中随机抽取1张卡片，卡片上的数字即为．若结果为1或2，则甲获胜；若结果为3或4，则乙获胜；若结果为5或6，则丙获胜． 3．（25-26七年级下·河北张家口·期中）按要求回答以下问题 (1)一个袋中装有2个红球和3个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，摸到红球的概率是多少？ 小明 摸出的球不是红球就是白球，所以摸到红球和摸到白球的可能性相同，也就是，P（摸到红球）． 小颖 红球有2个，而白球有3个，将每一个球都编上号码，1号球（红色）、2号球（红色）、3号球（白色）、4号球（白色）、5号球（白色），摸出每一个球的可能性相同，共有5种等可能的结果．摸到红球可能出现的结果为摸出1号球或2号球，共有2种等可能的结果，所以，P（摸到红球）． 你认为小明和小颖谁说的有道理，为什么？ (2)小明和小颖一起做游戏．在一个装有2个红球和3个白球（每个球除颜色外都相同）的袋中任意摸出一个球，摸到红球小明获胜，摸到白球小颖获胜，这个游戏对双方公平吗？在一个双人游戏中，你是怎样理解游戏对双方公平的？与同伴进行交流． 【答案】(1)小颖，见解析 (2)不公平，见解析 【分析】（1）根据等可能事件的概率结合题意即可求解； （2）根据题意求出摸到红球的概率为：；摸到白球的概率为：，进而即可判断游戏的公平性． 【详解】（1）解：我认为小颖的说法有道理，因为如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率； （2）解：不公平， ∵摸到红球的概率为：；摸到白球的概率为：， ∴，游戏对双方不公平． 在一个双人游戏中，判断游戏是否公平，关键要看游戏双方取胜的机会是否相等，即双方取胜的概率是否相等． 4．（25-26七年级下·陕西宝鸡·期中）某校举行数学竞赛活动，晓晨和阿进两位同学得分相同，获并列第一名，于是每人可获得准备好的2件奖品中的一件，为了决定谁先选择奖品，并同时检验学生所学的数学知识，数学小组长设计了一个趣味性游戏，游戏规则：将如图1所示的四张扑克牌（方块2，黑桃4，黑桃5，梅花5）洗匀后，背面朝上放置在桌面上，晓晨从中随机抽取一张，记下牌面数字；如图2所示的是一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有点数1，2，3，4，5，6，阿进掷一次骰子，记下骰子朝上一面的点数．若晓晨记下的牌面数字大于4，则晓晨先挑取奖品，若阿进记下的点数大于4，则阿进先挑取奖品．（结果相同则再来一次） (1)晓晨从四张扑克牌中随机抽取一张，牌面数字是5的概率是多少？ (2)请用所学知识说明这个游戏对双方是否公平． 【答案】(1) (2)不公平，见解析 【分析】（1）根据概率公式进行计算即可； （2）分别求出晓晨先挑取奖品的概率和阿进先挑取奖品的概率，即可得到结论． 【详解】（1）解：因为四张扑克牌为方块2，黑桃4，黑桃5，梅花5， 所以晓晨从四张扑克牌中随机抽取一张，牌面数字是5的概率是； （2）解：这个游戏对双方不公平．理由如下： 因为晓晨先挑取奖品的概率，阿进先挑取奖品的概率， 所以晓晨先挑取奖品的概率阿进先挑取奖品的概率，所以这个游戏对双方不公平． 5．（25-26七年级下·广东河源·期中）如图，一个转盘被平均分成8等份，分别标有“我”“是”“附”“中”“人”“我”“骄”“傲”这8个汉字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的汉字即为转出的汉字． (1)转动转盘，当转盘停止时，指针指向“我”的概率是____________，指针指向汉字的笔画数是奇数的概率是____________； (2)明明和红红利用该转盘做游戏，当转出的汉字笔画多于7画时明明获胜，否则红红获胜．请你判断这个游戏是否公平？并说明理由． 【答案】(1)， (2)不公平，胜率不等 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）分别计算出明明、红红获胜的概率，判断大小关系即可得出答案． 【详解】（1）解：∵一个转盘被平均分成8等份，分别标有“我”、“是”、“附”、“中”、“人”、“我”、“骄”、“傲”这8个汉字， ∴转动转盘，当转盘停止时，指针指向“我”的概率是； “我”的笔画数是7， “是”的笔画数是9， “附”的笔画数是7， “中”的笔画数是4， “人”的笔画数是2， “我”的笔画数是7， “骄”的笔画数是9， “傲”的笔画数是12， 8个汉字中笔画数是奇数的汉字有5个，指针指向汉字的笔画数是奇数的概率是； （2）解：游戏不公平，理由如下：笔画多于7画的汉字有3个，分别是：是，骄，傲；笔画不多于7画的汉字有5个，分别是：我，附，中，人，我． ∴明明获胜的概率是， 红红获胜的概率是， 明明获胜的概率红红获胜的概率， ∴该游戏不公平． 6．（25-26七年级下·广东梅州·期中）在某校七年级（1）班组织的“校园歌曲大赛”活动中，小丽和小芳都想当节目主持人，但现在只有一个名额，小芳想出了一个用游戏来选人的办法，她将一个转盘（均质的）平均分成6份，如图所示．游戏规定：随意转动转盘，当转盘停止后，若指针指向偶数，则小丽去；反之，则小芳去． (1)求小丽获胜的概率是多少？ (2)你认为这个游戏公平吗？请说明理由，若不公平，如何使这个游戏变得公平？ 【答案】(1)； (2)这个游戏不公平，理由见解析 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）求出小丽获胜的概率小芳获胜的概率，得出游戏不公平；要使游戏公平，转盘上的偶数和奇数的个数相等即可． 【详解】（1）解：小芳想出了一个用游戏来选人的办法，她将一个转盘（均质的）平均分成份，其中偶数有个，即、、、， 小丽获胜的概率是； （2）解：这个游戏不公平，理由如下： 由（1）可知，小丽获胜的概率是， 转盘上的奇数有个，即、， 小芳获胜的概率为， ， 小丽获胜的概率小芳获胜的概率， 这个游戏不公平； 修改方案：将转盘上的数字改为、、、、、（答案不唯一）， 此时，小丽获胜的概率，小芳获胜的概率， 小丽获胜的概率小芳获胜的概率，游戏公平． 题型4 用频率估计概率 用频率估计概率是概率实际应用的关键方法，通常涉及大量重复试验（如“掷硬币”“摸球”“发芽试验”）。题目要求通过试验数据（频率）估计某一事件的概率（如“钉面朝上的概率”“发芽率”“石子落在圆内的概率”）。 频率的稳定性定理：当试验次数足够多时，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，这个常数就是事件的概率。即： 解题步骤： 1. 进行大量重复试验：记录事件发生的次数； 2. 计算频率：用事件发生的次数除以试验总次数； 3. 估计概率：当试验次数足够多时，频率的稳定值即为概率； 4. 应用概率：用估计的概率解决问题。 1．（2026·山东德州·一模）小明想知道图钉的钉尖朝上的概率大概是多少，以下做法正确的是（   ） A．画树状图求概率 B．列表格求概率 C．抛掷次，其中有次钉尖朝上，则钉尖朝上的概率约为 D．抛掷次，钉尖朝上有次，则钉尖朝上的概率约为 【答案】D 【详解】解：∵抛掷图钉时，钉尖朝上与钉尖朝下不是等可能事件， ∴不能使用画树状图或列表法求概率， ∴选项、不正确， ∵抛掷次，试验次数过少，频率不稳定，不能用来估计概率， ∴选项不正确， ∵抛掷次，属于大量重复试验，可以用该频率估计钉尖朝上的概率，， ∴选项正确． 2．（2026·江苏泰州·一模）下列说法正确的是（   ） A．某彩票的中奖概率是，那么买100张彩票一定有5张中奖 B．掷一枚质地均匀的硬币次，正面向上的频率随着的增大，稳定在附近 C．概率很小的事件是不可能事件 D．只要试验的次数足够多，频率就等于概率 【答案】B 【分析】本题考查概率与频率的基本概念，辨析各选项是否符合概率相关定义即可得出答案． 【详解】解：A选项，∵中奖概率表示每张彩票中奖的可能性为，买张彩票是随机事件，不一定有张中奖， ∴A错误． B选项，∵根据频率的稳定性，掷质地均匀的硬币，当试验次数增大时，正面向上的频率会稳定在概率附近， ∴B正确． C选项，∵概率很小的事件仍有可能发生，不可能事件是一定不发生的事件，概率为，∴C错误． D选项，∵当试验次数足够多时，频率会稳定在概率附近，是接近概率，并非等于概率，∴D错误． 3．（25-26七年级下·河南平顶山·期中）下列说法中正确的是（   ） A．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子600次，点数为1与点数为6的频率一定相同 B．“a为有理数，则”是必然事件 C．小明在装有红绿灯的十字路口，“遇到红灯”是随机事件 D．从某校1000名男生中随机抽取2名进行引体向上测试，其中有一名成绩不及格，说明该校50%的男生引体向上成绩不及格 【答案】C 【分析】根据频率与概率的概念逐一判断各选项即可． 【详解】解：对于选项A ，∵频率是试验得到的实际结果，点数为1和点数为6的概率相同 但频率不一定相同 ∴A错误； 对于选项B，∵当时，是有理数，满足，不满足，∴该事件不是必然事件B错误； 对于选项C，∵在装有红绿灯的十字路口 “遇到红灯”可能发生，也可能不发生，∴“遇到红灯”是随机事件，C正确； 对于选项D，∵抽取的样本容量仅为2，样本容量过小，无法准确估计总体的情况，∴D错误． 4．（2026·山东德州·一模）某射击运动员在相同条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 200 400 1000 2000 4000 10000 射中9环以上次数 150 330 780 1580 3210 8010 估计这名运动员射击一次“射中9环以上”的概率是________（精确到） 【答案】0.8 【分析】本题考查用频率估计概率，解题关键是理解：当试验次数足够大时，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，这个常数就是事件发生的概率．利用频率估计概率即可． 【详解】解：计算各次试验射中9环以上的频率： ，，，，，， 观察频率变化可知，随着试验次数增大，频率逐渐稳定在附近，根据频率估计概率的原理，估计这名运动员射击一次“射中9环以上”的概率约为． 故答案为：． 5．（2026·河南南阳·一模）“良种壮苗”是造林的基本措施之一、某林业局为测试一种树苗的成活率，将这种树苗移植成活的情况绘制成如图所示的折线统计图，由该图可估计移植这种树苗1000棵，成活的大约有________棵． 【答案】800 【分析】根据折线图可以发现，频率在0.8附近波动，从而可以估计这种树苗移植成活的概率，再根据成活概率估算成活数量即可． 【详解】解：由图可得这种树苗成活的频率约为0.8， ∴这种树苗成活的概率为0.8， ∵移植这种树苗1000棵， ∴成活的大约有：（棵）． 6．（25-26七年级下·广东茂名·期中）某工厂3月份共生产了26000件工艺品，为了检测该产品的合格率，工厂质检员对产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数（件） 50 100 200 300 500 1000 合格频数 48 98 194 490 980 合格频率 0.96 0.98 0.97 0.98 0.98 (1)求表格中，的值； (2)若该工厂每生产一件不合格产品将损失20元，求3月份该工厂因不合格产品所造成的损失大约为多少元？ (3)如果重新抽取1000件产品进行质检，对比上表记录的数据，两表的结果会一样吗？为什么？ 【答案】(1) ， (2)3月份该工厂因不合格产品所造成的损失大约为10400元 (3)结果不一定一样，原因见解析 【分析】（1）根据频数除以总数等于频率，列式计算即可求解； （2）用乘以不合格品的概率再乘以20即可求解； （3）根据频率估计概率作答即可． 【详解】（1）解：由题意得，，； （2）解：（元）， 答：3月份该工厂因不合格产品所造成的损失10400元； （3）解：结果很可能会不一样，但随着抽取产品数量的增加，它们的合格率都会稳定在左右． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题02 概率的实际应用 题型1 古典概型（等可能事件）概率计算 古典概型是概率实际应用的基础题型，通常涉及有限个等可能结果的场景，如摸球（颜色、标号）、掷骰子（点数）、抽卡片（数字、图案）等。题目要求计算某一事件发生的概率。 古典概型的概率公式为： 其中，n是所有可能的结果数（有限且等可能），m是事件A包含的结果数。 解题步骤： 1. 确定所有可能的结果：列举或计算所有等可能的结果； 2. 确定事件A包含的结果：找出符合事件A的结果； 3. 计算概率：代入公式计算P(A)。 1．（2026·广东深圳·二模）福田红树林生态公园为推进“每周半天计划”，提供“潮汐湿地红树林探秘”“鸟儿调查员”“公园设计师”“水侦探”四项课程供班级随机选报，每个班级可以从中选择一项课程参加．某班级选中“水侦探”的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·广东深圳·期中）深圳街超“超鹏友”第二届女子足球公开赛首轮小组赛中，各女足队伍将随机抽签分为、四组．其中一支队伍甲抽中组的概率是（    ） A． B． C． D．1 3．（2026·广东深圳·二模）为落实深圳市体育中考政策，学校设置了四类选考项目：耐力跑、投掷实心球、跳绳、篮球．小明同学从这四类项目中随机选一项备考（每项被选的可能性相同），则他恰好选中跳绳项目的概率是______． 4．（25-26七年级下·重庆·期中）南朝梁元帝在《春日》中写到：“春意春已繁，春人春不见”．现从诗句中随机抽取一个汉字，则抽到的汉字是“春”的概率是_________． 5．（2026·贵州遵义·一模）2026年是丙午马年，“马到功成”将马年与祝福相结合，表达对新一年事事如意、顺遂美好的期盼．将分别印有“马”、“到”、“功”、“成”的四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张，则抽取到的卡片上印有汉字“功”的概率为__________． 6．（2026年安徽省“c20”联盟合肥市第三十八中学等校中考考前模拟数学试题）考拉兹猜想(又称冰雹猜想、猜想)是全球知名的数学难题，至今未获得证明．其规则为：对任意正整数，重复以下变换：若它是奇数，则对它乘3加1；若它是偶数，则对它除以2．猜想断言：无论从哪个正整数开始，最终都会落入“”的循环，也就是一定会走到1．数学家已验证极大范围内的数均符合该猜想的规律．在正整数1，2，3，4中，随机选取两个不同的数，分别按上述规则进行一次操作后，两个结果均为偶数的概率是________． 题型2 几何概型概率计算 几何概型涉及无限个等可能结果，通常与几何图形（如转盘、方格、不规则图形）相关。题目要求计算某一事件（如“指针指向阴影区域”“飞镖落在黑色方格”“石子落在圆内”）的概率，核心是面积比或角度比。 几何概型的概率公式为： 其中，几何度量可以是面积（如转盘的阴影面积与总面积的比）、角度（如转盘指针指向的角度与360°的比）。 解题步骤： 1. 确定总几何度量：计算所有可能结果的几何度量； 2. 确定事件A的几何度量：计算符合事件A的几何度量； 3. 计算概率：代入公式计算P(A)。 1．（25-26七年级下·福建宁德·期中）一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上，每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是_______． 2．（2026·四川成都·二模）如图，以正方形边长为直径在正方形内画半圆，形成阴影部分．现随机向正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为_____． 3．（25-26七年级下·河北张家口·期中）如图所示是一个可以自由转动的转盘．转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率是________． 4．（2026·江苏盐城·一模）一个小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机地停留在某块方砖上，则小球停留在阴影区域的概率是______． 5．（25-26七年级下·福建宁德·期中）如图，由四个长为，宽为的长方形和一块小正方形构成一块大正方形的飞镖游戏板．向游戏板随机投掷一枚飞镖（每次飞镖均落在纸板上）．若，则飞镖击中小正方形空白区域的概率是_____． 6．（2026·湖南长沙·一模）如图，为估计椭圆的面积，小明在面积为的矩形纸片上进行随机投点实验，经过大量实验，发现点落在椭圆内部的频率稳定在0.6左右，据此估计图中椭圆的面积约为__________． 题型3 游戏公平性判断与设计 游戏公平性是概率实际应用的重要场景，通常涉及双方获胜概率的比较。题目要求判断游戏规则是否公平（如“摸球游戏”“转盘游戏”），若不公平则需修改规则使其公平；或设计公平的游戏规则（如“抽奖游戏”“猜数游戏”）。 游戏公平的本质是双方获胜的概率相等。判断游戏是否公平的方法是： 1. 计算双方获胜的概率； 2. 比较概率：若相等，则公平；若不等，则不公平。 解题步骤： 1. 明确游戏规则：确定双方的获胜条件； 2. 计算双方获胜的概率：用古典概型或几何概型公式计算； 3. 判断公平性：比较概率，若概率相等，则公平；否则不公平； 4. 修改规则：若不公平，调整获胜条件使双方概率相等。 1．（2026·贵州铜仁·模拟预测）甲和乙按如下规则玩游戏：掷一枚均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1，2，3，4，5，6的点数，若朝上的点数是奇数，则甲获胜；若朝上的点数是偶数，则乙获胜．则这个游戏规则（    ） A．对甲乙公平 B．对甲有利 C．对乙有利 D．无法确定 2．（25-26七年级下·广东深圳·期中）现有一个不透明的盒子里放置6张材质完全相同的卡片，卡片上分别标有数字1 、2、3、4、5、6． (1)小深设计了一款游戏，规则如下：，从盒中随机抽取1张卡片，卡片上的数字即为．计算，若结果大于2，则甲获胜；若结果小于或等于2，则乙获胜．求甲获胜的概率． (2)你认为小深设计的这个游戏是否公平？请阐述理由． (3)目前该游戏仅支持两人同时玩，请帮小深将其改成可供三个人同时玩的公平游戏． 3．（25-26七年级下·河北张家口·期中）按要求回答以下问题 (1)一个袋中装有2个红球和3个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，摸到红球的概率是多少？ 小明 摸出的球不是红球就是白球，所以摸到红球和摸到白球的可能性相同，也就是，P（摸到红球）． 小颖 红球有2个，而白球有3个，将每一个球都编上号码，1号球（红色）、2号球（红色）、3号球（白色）、4号球（白色）、5号球（白色），摸出每一个球的可能性相同，共有5种等可能的结果．摸到红球可能出现的结果为摸出1号球或2号球，共有2种等可能的结果，所以，P（摸到红球）． 你认为小明和小颖谁说的有道理，为什么？ (2)小明和小颖一起做游戏．在一个装有2个红球和3个白球（每个球除颜色外都相同）的袋中任意摸出一个球，摸到红球小明获胜，摸到白球小颖获胜，这个游戏对双方公平吗？在一个双人游戏中，你是怎样理解游戏对双方公平的？与同伴进行交流． 4．（25-26七年级下·陕西宝鸡·期中）某校举行数学竞赛活动，晓晨和阿进两位同学得分相同，获并列第一名，于是每人可获得准备好的2件奖品中的一件，为了决定谁先选择奖品，并同时检验学生所学的数学知识，数学小组长设计了一个趣味性游戏，游戏规则：将如图1所示的四张扑克牌（方块2，黑桃4，黑桃5，梅花5）洗匀后，背面朝上放置在桌面上，晓晨从中随机抽取一张，记下牌面数字；如图2所示的是一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有点数1，2，3，4，5，6，阿进掷一次骰子，记下骰子朝上一面的点数．若晓晨记下的牌面数字大于4，则晓晨先挑取奖品，若阿进记下的点数大于4，则阿进先挑取奖品．（结果相同则再来一次） (1)晓晨从四张扑克牌中随机抽取一张，牌面数字是5的概率是多少？ (2)请用所学知识说明这个游戏对双方是否公平． 5．（25-26七年级下·广东河源·期中）如图，一个转盘被平均分成8等份，分别标有“我”“是”“附”“中”“人”“我”“骄”“傲”这8个汉字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的汉字即为转出的汉字． (1)转动转盘，当转盘停止时，指针指向“我”的概率是____________，指针指向汉字的笔画数是奇数的概率是____________； (2)明明和红红利用该转盘做游戏，当转出的汉字笔画多于7画时明明获胜，否则红红获胜．请你判断这个游戏是否公平？并说明理由． 6．（25-26七年级下·广东梅州·期中）在某校七年级（1）班组织的“校园歌曲大赛”活动中，小丽和小芳都想当节目主持人，但现在只有一个名额，小芳想出了一个用游戏来选人的办法，她将一个转盘（均质的）平均分成6份，如图所示．游戏规定：随意转动转盘，当转盘停止后，若指针指向偶数，则小丽去；反之，则小芳去． (1)求小丽获胜的概率是多少？ (2)你认为这个游戏公平吗？请说明理由，若不公平，如何使这个游戏变得公平？ 题型4 用频率估计概率 用频率估计概率是概率实际应用的关键方法，通常涉及大量重复试验（如“掷硬币”“摸球”“发芽试验”）。题目要求通过试验数据（频率）估计某一事件的概率（如“钉面朝上的概率”“发芽率”“石子落在圆内的概率”）。 频率的稳定性定理：当试验次数足够多时，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，这个常数就是事件的概率。即： 解题步骤： 1. 进行大量重复试验：记录事件发生的次数； 2. 计算频率：用事件发生的次数除以试验总次数； 3. 估计概率：当试验次数足够多时，频率的稳定值即为概率； 4. 应用概率：用估计的概率解决问题。 1．（2026·山东德州·一模）小明想知道图钉的钉尖朝上的概率大概是多少，以下做法正确的是（   ） A．画树状图求概率 B．列表格求概率 C．抛掷次，其中有次钉尖朝上，则钉尖朝上的概率约为 D．抛掷次，钉尖朝上有次，则钉尖朝上的概率约为 2．（2026·江苏泰州·一模）下列说法正确的是（   ） A．某彩票的中奖概率是，那么买100张彩票一定有5张中奖 B．掷一枚质地均匀的硬币次，正面向上的频率随着的增大，稳定在附近 C．概率很小的事件是不可能事件 D．只要试验的次数足够多，频率就等于概率 3．（25-26七年级下·河南平顶山·期中）下列说法中正确的是（   ） A．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子600次，点数为1与点数为6的频率一定相同 B．“a为有理数，则”是必然事件 C．小明在装有红绿灯的十字路口，“遇到红灯”是随机事件 D．从某校1000名男生中随机抽取2名进行引体向上测试，其中有一名成绩不及格，说明该校50%的男生引体向上成绩不及格 4．（2026·山东德州·一模）某射击运动员在相同条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 200 400 1000 2000 4000 10000 射中9环以上次数 150 330 780 1580 3210 8010 估计这名运动员射击一次“射中9环以上”的概率是________（精确到） 5．（2026·河南南阳·一模）“良种壮苗”是造林的基本措施之一、某林业局为测试一种树苗的成活率，将这种树苗移植成活的情况绘制成如图所示的折线统计图，由该图可估计移植这种树苗1000棵，成活的大约有________棵． 6．（25-26七年级下·广东茂名·期中）某工厂3月份共生产了26000件工艺品，为了检测该产品的合格率，工厂质检员对产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数（件） 50 100 200 300 500 1000 合格频数 48 98 194 490 980 合格频率 0.96 0.98 0.97 0.98 0.98 (1)求表格中，的值； (2)若该工厂每生产一件不合格产品将损失20元，求3月份该工厂因不合格产品所造成的损失大约为多少元？ (3)如果重新抽取1000件产品进行质检，对比上表记录的数据，两表的结果会一样吗？为什么？ / 学科网（北京）股份有限公司 $