精品解析：吉林长春市第二实验中学2025-2026学年下学期期中考试高二数学试题

2025-2026学年度下学期期中考试 高二数学试题 本试卷分客观题和主观题两部分，共19题，共150分，共3页.考试时间为120分钟.考试结束后，只交答题卡. 第Ⅰ卷 客观题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 的二项展开式中的常数项为（ ） A. B. 20 C. D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】利用二项式展开式的通项公式可得答案. 【详解】的通项公式为，令可得， 即其常数项为. 2. 已知某校4000名学生的体能测试得分（单位：分）服从正态分布，若，，则得分在区间内的人数约为（ ） A. 1500 B. 1800 C. 2000 D. 2600 【答案】C 【解析】 【详解】由正态分布的对称性可知，， 所以， 所以， 所以得分在区间内的人数约为. 3. 如图，要让电路从处到处只有一条支路接通，则不同的路径有（ ） A. 5种 B. 6种 C. 7种 D. 9种 【答案】C 【解析】 【分析】利用分类加法计数原理以及分步乘法计数原理，可得答案. 【详解】由分类加法计数原理以及分步乘法计数原理可知， 不同的路径有种. 故选：C. 4. 随机变量X的分布列如表所示，若，则等于（ ） X 0 1 P a b A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，故，故， 故，故. 5. 长时间玩手机会影响视力．据调查，某学校学生中，大约有的学生每天玩手机超过1小时，这些人近视率约为，其余学生的近视率约为．现从该校随机调查一名学生，他近视的概率大约是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，根据全概率公式求解即得. 【详解】设事件“学生玩手机超过1小时”，事件“学生近视”，事件为的对立事件， 由题意可得，，，则， 所以. 6. 的展开式中的系数为（ ） A. 480 B. 160 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据二项式展开特点，写出项，即可得答案． 【详解】因为的展开式中，项是由5个因式中，1个因式出x，3个因式出，1个因式出3， 所以含的项为． 故选：D． 7. 若,则（ ） A. B. 2 C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的定义求解即可. 【详解】 8. 已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，则， ，即， 由，，则在上单调递增， 由，得， 根据函数单调性可得， ，，在上恒成立， 即，， 解得. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 一组样本数据通过计算得到线性回归方程为，若，则 B. 一组数据的第80百分位数是11.5 C. 已知随机变量，若，则 D. 在列联表中，若每个数据均变成原来的2倍，则不变（，其中） 【答案】AB 【解析】 【分析】将样本中心代入回归方程，求出a值，可判断A的正误，根据百分位数的求法，可判断B的正误；根据二项分布的方差公式，可得，根据变量间的关系，计算求解，可判断C的正误；根据计算公式，代入求解，可判断D的正误. 【详解】选项A：将代入回归方程，得，解得，故A正确； 选项B：，则该组数据的第80百分位数为，故B正确； 选项C：由，得， 所以，解得，故C错误； 选项D：若每个数据均变成原来的2倍， 则 ，则改变，故D错误. 10. “杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ） 第0行 1 第1行 1 1 第2行 1 2 1 第3行 1 3 3 1 第4行 1 4 6 4 1 第5行 1 5 10 10 5 1 第6行 1 6 15 20 15 6 1 第7行 1 7 21 35 35 21 7 1 第8行 1 8 28 56 70 56 28 8 1 …… A. 第10行的第7个数、第10行的第8个数之和等于第11行的第8个数 B. 第2023行中第1012个数和第1013个数相等 C. 第34行中第15个数与第16个数之比为 D. 记“杨辉三角”第n行的第i个数为，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A、B、C利用二项式定理展开项二项式系数求解，D选项利用二项式定理逆运用，合并为. 【详解】选项A：第10行的第7个数、第10行的第8个数之和为， 第11行的第8个数为，故A正确； 选项B：第2023行是二项式的展开式的系数，故第2023行中第1012个数为，第1013个数为，又，故B正确； 选项C：第34行是二项式的展开式的系数， 所以第15个数与第16个数之比为，C不正确； 选项D：“杨辉三角”第n行是二项式的展开式的系数，所以， 则，故D正确； 故选：ABD. 11. 已知定义在上的函数，函数的导函数为，且，则（ ） A. 当时，. B. 当时，. C. 当时， D. 当时，在上单调递增 【答案】ABD 【解析】 【分析】构造函数再求解导函数，进而得出函数单调性，比较函数值大小判断A，B，C选项，再化简已知得出，再结合计算导函数为正判断D. 【详解】A:令，则， 故单调递增，，故A符合题意. B:令，则， 故单调递增，，故B符合题意. C:令，则 故单调递增，，故C不符合题意. D:，，， 又因为， 当时，，故，故， 故在上单调递增，故D符合题意. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 若的方差为4，则的方差为_______． 【答案】16 【解析】 【分析】根据方差的线性变化公式，即即可求解. 【详解】由题意得，则. 13. 某实验中学第一党支部拟选5名党员到A、B、C三个社区做志愿服务，要求每个社区至少有一名党员，则不同的安排方法共有______种. 【答案】 【解析】 【详解】将5名党员按1，1，3分为三个组有种分法， 再把这三个组安排到A、B、C三个社区有， 由分步乘法计数原理有种不同的安排方法； 将5名党员按1，2，2分为三个组有种分法， 再把这三个组安排到A、B、C三个社区有， 由分步乘法计数原理有种不同的安排方法； 所以不同的安排方法共有. 14. 在某次“一带一路”知识竞赛中，主办方为所有参赛者设计了一个抽奖活动：在抽奖箱中放置3个黑球和7个黄球（除颜色外完全相同），采用不放回摸球的方式，每位参赛者摸3次球，每次摸1个球，第次摸球，若摸到黑球，则得元奖金，若摸到黄球，则没有奖金．现甲参加了这次竞赛，记他获得的奖金为X元，则___________． 【答案】90 【解析】 【分析】设随机变量表示甲第次摸球获得的奖金，求得的期望，再由期望线性运算即可求解. 【详解】设随机变量表示甲第次摸球获得的奖金（）， 则总奖金， 的取值为：若第次摸到黑球，；若摸到黄球，， 由于不放回摸球时，任意一次摸到黑球的概率都是，（黑球3个，总数10个） 因此， 由期望线性运算知：  . 第Ⅱ卷 主观题 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）若在上单调递增，求的取值范围； （2）若关于的不等式有解，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，参变分离，再求函数的最值即得； （2）参变分离，构造新函数，进而求导分析单调性求函数的极值结合条件即得. 【小问1详解】 由题可知在上恒成立，所以． 因为，所以， 则，所以的取值范围为． 【小问2详解】 由有解，可得有解． 令，则， 令，可得，令，可得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以，故的取值范围为． 16. 已知，其展开式中的第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列． （1）求展开式中奇数次项的系数的和； （2）若，求． 【答案】（1） （2）14 【解析】 【分析】（1）先应用二项式系数成等差数列得出，再应用赋值法计算求解系数和； （2）先求出导函数，再应用赋值法计算求解. 【小问1详解】 由题意可知第2，3，4项的二项式系数依次为， 所以，即， 化简得，因为，解得， 设 令，得，① 令，得，② 【小问2详解】 又因为 所以， 所以 所以 17. 甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试所有题目难度相当，每位面试者最多有两次答题机会，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，若答对第一次抽到的题目，则面试通过，结束答题；否则继续第2次答题，答对则面试通过，未答对则面试不通过，甲、乙两人对抽到的不同题目能否答对是独立的，且两人答题互不影响． （1）求甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率； （2）设面试过程中甲、乙两人答题的次数之和为，求的分布列． 【答案】（1） （2）的分布列为： 2 3 4 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件概率公式直接计算可得结果； （2）判断随机变量的可能取值为2，3，4，分别计算出对应概率可得分布列. 【小问1详解】 设事件为“甲通过面试”，事件为“乙通过面试”， ，， 所以甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率： . 【小问2详解】 随机变量的可能取值为2，3，4. ，，. 所以的分布列为： 2 3 4 18. 芯片产业对于国家的科技安全与经济发展具有不可估量的战略意义，近些年来，国家和企业纷纷加大对芯片的投入力度．国内某芯片公司为制订下一年的研发投入计划，需了解年研发资金投入量x（单位：亿元，下同）对年销售额y（单位：亿元，下同）的影响，该公司收集了最近10年的年研发资金投入量和年销售额（）的数据：已知第1年的研发资金投入量为2亿元，每年的年研发资金投入量比上一年增长4亿元，随着年研发资金投入量的增长，公司的年销售额也在增长．公司对数据进行了初步处理，得到如下数据（其中，）；，，．公司甲、乙两个研究团队用年研发资金投入量x为解释变量，年销售额y为响应变量建立经验回归方程．已知甲研究团队用函数模型①（为常数，e为随机误差）得到的经验回归方程为乙研究团队用函数模型②（为常数，为随机误差）． （1）求乙研究团队建立的一元非线性经验回归方程； （2）现已知第11年公司投入研发资金40亿元，公司的年销售收入为91亿元．根据以上信息，请你对这两个团队的模型优劣进行比较，并说明理由； （3）研究发现，这两个模型均满足：对于每一个解释变量t，得到响应变量为u，且年研发资金投入为t亿元时，年销售额y服从正态分布，公司为了保证有97.725%的把握获得年销售额100亿，请你根据你得到的较好模型，问公司预计至少需要投入研发资金约为多少亿元？（保留到0.01） 参考公式与数据： ①成对数据（）的经验回归直线方程为，其系数为，．②参考数据：假设，则，．③．④，，，． 【答案】（1）； （2）乙团队的模型更优，答案见解析 （3）（亿元）． 【解析】 【小问1详解】 已知是首项为2、公差为4的等差数列，， 则由等差数列前n项和公式得， ， 故，对于模型， 令，转化为线性回归． 根据线性回归系数公式：，， 因此，乙团队回归方程为； 【小问2详解】 甲团队（线性模型）：当时，，残差的绝对值； 乙团队（非线性模型）：当时，，残差的绝对值， 因为乙团队模型预测值与实际值的残差的绝对值更小， 所以乙团队的模型更优，能更好地拟合数据，反映年研发资金投入量与年销售额的关系； 【小问3详解】 已知，要保证97.725%把握（对应分位数）， 需．代入乙模型，， 得：，解得， 即（亿元）． 预计至少需要投入研发资金约为亿元. 19. 已知函数. （1）若函数过原点的切线为，求实数的值； （2）若函数的图象与相交于两个不同点，记直线的斜率为. （ⅰ）当时，求实数取值范围； （ⅱ）当时，证明：. （参考公式：，） 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解；（2）（ⅰ）设，分析的单调性，求出的范围；（ⅱ）将，参数化为圆上的点，代入得，利用三角恒等式得，构造分析单调性，证得，从而推出的取值范围. 【小问1详解】 设切点为，， 所以，所以， 所以函数在处的切线为， 将代入得，解得，. 【小问2详解】 （ⅰ）当时，函数的图象与相交于两个不同点， 所以有两个不等实根， 则有两个不等实根， 设， 则 ∴当时，，当时， ∴在递减，递增， ，， ∴，∴ （ⅱ）设，，不妨设， 则，即， 令， 则， 是方程的两个根. 又∵. 欲证，只需证， 即证， 即证， 即证， 设， 则， ∴当时，；当时，； ∴在递减，递增， 设， 下面证明 ， 设，，则 故.∴在递增，∴， ∴，， 又∵在递减，，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度下学期期中考试 高二数学试题 本试卷分客观题和主观题两部分，共19题，共150分，共3页.考试时间为120分钟.考试结束后，只交答题卡. 第Ⅰ卷 客观题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 的二项展开式中的常数项为（ ） A. B. 20 C. D. 15 2. 已知某校4000名学生的体能测试得分（单位：分）服从正态分布，若，，则得分在区间内的人数约为（ ） A. 1500 B. 1800 C. 2000 D. 2600 3. 如图，要让电路从处到处只有一条支路接通，则不同的路径有（ ） A. 5种 B. 6种 C. 7种 D. 9种 4. 随机变量X的分布列如表所示，若，则等于（ ） X 0 1 P a b A. 1 B. C. D. 5. 长时间玩手机会影响视力．据调查，某学校学生中，大约有的学生每天玩手机超过1小时，这些人近视率约为，其余学生的近视率约为．现从该校随机调查一名学生，他近视的概率大约是（ ） A. B. C. D. 6. 的展开式中的系数为（ ） A. 480 B. 160 C. D. 7. 若,则（ ） A. B. 2 C. D. 0 8. 已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 一组样本数据通过计算得到线性回归方程为，若，则 B. 一组数据的第80百分位数是11.5 C. 已知随机变量，若，则 D. 在列联表中，若每个数据均变成原来的2倍，则不变（，其中） 10. “杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ） 第0行 1 第1行 1 1 第2行 1 2 1 第3行 1 3 3 1 第4行 1 4 6 4 1 第5行 1 5 10 10 5 1 第6行 1 6 15 20 15 6 1 第7行 1 7 21 35 35 21 7 1 第8行 1 8 28 56 70 56 28 8 1 …… A. 第10行的第7个数、第10行的第8个数之和等于第11行的第8个数 B. 第2023行中第1012个数和第1013个数相等 C. 第34行中第15个数与第16个数之比为 D. 记“杨辉三角”第n行的第i个数为，则 11. 已知定义在上的函数，函数的导函数为，且，则（ ） A. 当时，. B. 当时，. C. 当时， D. 当时，在上单调递增 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 若的方差为4，则的方差为_______． 13. 某实验中学第一党支部拟选5名党员到A、B、C三个社区做志愿服务，要求每个社区至少有一名党员，则不同的安排方法共有______种. 14. 在某次“一带一路”知识竞赛中，主办方为所有参赛者设计了一个抽奖活动：在抽奖箱中放置3个黑球和7个黄球（除颜色外完全相同），采用不放回摸球的方式，每位参赛者摸3次球，每次摸1个球，第次摸球，若摸到黑球，则得元奖金，若摸到黄球，则没有奖金．现甲参加了这次竞赛，记他获得的奖金为X元，则___________． 第Ⅱ卷 主观题 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）若在上单调递增，求的取值范围； （2）若关于的不等式有解，求的取值范围． 16. 已知，其展开式中的第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列． （1）求展开式中奇数次项的系数的和； （2）若，求． 17. 甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试所有题目难度相当，每位面试者最多有两次答题机会，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，若答对第一次抽到的题目，则面试通过，结束答题；否则继续第2次答题，答对则面试通过，未答对则面试不通过，甲、乙两人对抽到的不同题目能否答对是独立的，且两人答题互不影响． （1）求甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率； （2）设面试过程中甲、乙两人答题的次数之和为，求的分布列． 18. 芯片产业对于国家的科技安全与经济发展具有不可估量的战略意义，近些年来，国家和企业纷纷加大对芯片的投入力度．国内某芯片公司为制订下一年的研发投入计划，需了解年研发资金投入量x（单位：亿元，下同）对年销售额y（单位：亿元，下同）的影响，该公司收集了最近10年的年研发资金投入量和年销售额（）的数据：已知第1年的研发资金投入量为2亿元，每年的年研发资金投入量比上一年增长4亿元，随着年研发资金投入量的增长，公司的年销售额也在增长．公司对数据进行了初步处理，得到如下数据（其中，）；，，．公司甲、乙两个研究团队用年研发资金投入量x为解释变量，年销售额y为响应变量建立经验回归方程．已知甲研究团队用函数模型①（为常数，e为随机误差）得到的经验回归方程为乙研究团队用函数模型②（为常数，为随机误差）． （1）求乙研究团队建立的一元非线性经验回归方程； （2）现已知第11年公司投入研发资金40亿元，公司的年销售收入为91亿元．根据以上信息，请你对这两个团队的模型优劣进行比较，并说明理由； （3）研究发现，这两个模型均满足：对于每一个解释变量t，得到响应变量为u，且年研发资金投入为t亿元时，年销售额y服从正态分布，公司为了保证有97.725%的把握获得年销售额100亿，请你根据你得到的较好模型，问公司预计至少需要投入研发资金约为多少亿元？（保留到0.01） 参考公式与数据： ①成对数据（）的经验回归直线方程为，其系数为，．②参考数据：假设，则，．③．④，，，． 19. 已知函数. （1）若函数过原点的切线为，求实数的值； （2）若函数的图象与相交于两个不同点，记直线的斜率为. （ⅰ）当时，求实数取值范围； （ⅱ）当时，证明：. （参考公式：，） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $