精品解析：湖南邵阳市邵东市振华中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

邵东市振华中学2026年上学期高一数学期中考试试卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答卡上.写在本试卷上无效. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则z在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法法则进行运算，再利用复数的几何意义进行判断即可. 【详解】， 则z在复平面内所对应的点为，位于第三象限. 故选：C. 2. 已知分别为三个内角所对的边，若，则（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理求得，结合三角形边角关系即可求出角. 【详解】由正弦定理，，可得， 因，则，故. 故选：A. 3. 已知向量，，，则m的值为（ ） A. 0 B. -2 C. 0或-2 D. 0或2 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用向量的坐标运算和向量的模，求出结果 【详解】向量，，故， 所以，解得或2． 故选：D． 4. 圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是半圆，那么此圆锥的高是（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出圆锥母线，进而求出圆锥的高. 【详解】由圆锥的底面半径为1，得侧面展开图半圆弧长为，因此该半圆半径为2， 即圆锥的母线长为2，所以圆锥的高为. 故选：C 5. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则此三角形的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】首先边化为角，再结合三角恒等变换，求得，即可判断三角形的形状 【详解】移项得，可化为 ， 展开得， 整理得，又，所以，即，则为直角三角形. 故选：B． 6. 若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用得到，再利用投影向量的公式代入求出的等式即可求得结果. 【详解】因为，所以两边平方得到：， 在方向上的投影向量为， 故选：D 7. 已知棱长为的正方体的一个面在一半球底面上，且四个顶点都在此半球面上，则此半球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，利用勾股定理直接求出球的半径，再利用球的体积公式，即可求解. 【详解】如图，设半球的球心为，半径为，连接， 由题易知半球的球心是底面正方形的中心，且，， 在中，，得到， 故半球的体积为， 故选：A. 8. 在中，角，，的对边分别是，，，已知，，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用和角的正弦可得，再将三角形面积公式表示为的函数，并利用基本不等式求出最大值. 【详解】在中，， 整理得，即，显然为锐角，即， 由正弦定理得，又， 则面积 ， 当且仅当，所以，即时取等号， 所以面积的最大值为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若非零向量满足，则 B. C. 若为单位向量，则 D. 向量可以作为平面内的一个基底 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用平面向量共线定理判断A，D，根据平面向量线性运算法则判断B，根据数量积的运算律判断C. 【详解】对于A：由，存在实数，使得， 由，存在实数，使得，则，故，A正确； 对于B：由，故B正确； 对于C：由， ，则，故C正确； 对于D：由，所以，即， 故向量不可以作为平面内的一个基底，D错误. 故选：ABC. 10. 如图所示的圆台，在轴截面ABCD中，，，则（ ） A. 该圆台的高为 B. 该圆台轴截面面积为 C. 该圆台的体积为 D. 一只小虫从点C沿着该圆台的侧面爬行到AD的中点，所经过的最短路程为5 【答案】AD 【解析】 【分析】根据梯形性质利用勾股定理计算可判断A；利用梯形面积公式计算可判断B；代入圆台体积公式可判断C；利用圆台侧面展开图以及勾股定理计算可判断D. 【详解】对于A，在梯形中，即代表圆台的高， 利用勾股定理计算可得，所以A正确； 对于B，轴截面梯形的面积为，因此B错误； 对于C，易知下底面圆的面积为，上底面圆的面积为； 所以该圆台的体积为，可得C错误； 对于D，将圆台侧面沿直线处剪开，其侧面展开图如下图所示： 易知圆弧的长度分别为，设扇形圆心为，圆心角为，； 由弧长公式可知，解得； 所以可得， 设为的中点，连接，当小虫从点沿着爬行到的中点，所经过路程最短， 易知，且， 由勾股定理可知，可知D正确. 故选：AD 11. 对于有如下命题，其中正确的是（ ） A. 若，则为钝角三角形 B. 若，且有两解，则的取值范围是 C. 在锐角中，不等式恒成立 D. 在中，若，则必是等边三角形 【答案】AD 【解析】 【分析】由正弦定理将角化边，再由余弦定理可得，判断出角为钝角，判断A；由三角形有两解的充要条件列表达式，可得的范围，判断B；由锐角三角形的性质判断出与的关系，判断C；由余弦定理可得，判断出的形状，判断D． 【详解】A中，，即， 由正弦定理可得，由余弦定理可得， 因为，所以，即为钝角，所以该三角形为钝角三角形，故A正确； B中，若，且有两解，则，即， 即的范围为，所以B错误； C中，在锐角中，只有时，不等式才恒成立，所以C不正确； D中，若，由余弦定理可得， 即，即，所以，所以必是等边三角形，故D正确． 故选：AD． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，，，若，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量线性运算法则及平面向量基本定理计算可得. 【详解】因为，， 所以， 又且与不共线， 所以，则. 故答案为： 13. 已知一个圆台的上底面半径为2，下底面的半径为5，其侧面积为，则该圆台的外接球表面积为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据圆台的侧面积公式求出圆台的母线，再结合勾股定理求出圆台的高，再设外接球的半径为，外接球的球心到圆台下底的距离为，则球心到圆台上底的距离为，从而结合勾股定理列出方程组，求出，进而根据球的表面积公式即可求解． 【详解】由圆台的上底面半径为，下底面的半径为，其侧面积为， 设该圆台的母线为，高为， 则，解得， 则， 设外接球的半径为，外接球的球心到圆台下底的距离为，则球心到圆台上底的距离为，（若球心在下底的上方，则为正值，反之为负值） 所以，解得， 所以该圆台的外接球表面积为． 14. 解放碑是重庆的标志建筑物之一，存在其特别的历史意义.我校数学兴趣小组为了测量其高度，设解放碑杯杯高为AB，在地面上共线的三点C，D，E处分别测得顶点A的仰角为，且，则解放碑的高AB为______. 【答案】 【解析】 【分析】通过三角函数关系表示出不同线段的长度，再利用余弦定理分别在两个三角形中列出关于角的余弦表达式，最后联立方程组求解出线段AB的长度. 【详解】解：由题意，设中，， 同理可得， 因为，所以在中，…①， 在中，…②， 由①②组成方程组，解得，即 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，，． （1）当时，求实数的值； （2）当时，求向量与的夹角的余弦值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由垂直关系的向量坐标表示可解； （2）由向量平行的坐标表示求出，再代入向量夹角公式可得. 【小问1详解】 由题意可得， 因为，所以. 【小问2详解】 ， 因为，所以， 所以， 所以， 即向量与的夹角的余弦值为. 16. 如图所示，已知是圆的直径，为圆上一点，，，为所在平面外一点，且垂直于圆所在平面，与平面所成的角为． （1）求证：平面； （2）求点A到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）由平面，得到，再结合，即可求证； （2）过点A作于点D，通过证明平面，得到即为点A到平面的距离，进而可求解. 【小问1详解】 证明：平面，平面， ． 是圆O的直径，C为圆上一点，． 又，且平面 平面． 【小问2详解】 如图所示，过点A作于点D， 平面，平面， ， 又平面 平面． 即为点A到平面的距离． ∴依题意知为与平面所成角， 即，，， 可得． ， 即点A到平面的距离为． 17. 如图，在中，已知，是边上一点，. （1）求的值； （2）求的长； （3）求的长. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）在中，直接利用余弦定理，即可求得的值； （2）由（1）得到，求得，在中，利用正弦定理，即可求得的长； （3）在中，求得，再由正弦定理，求得，进而求得的长. 【小问1详解】 解：在中，， 由余弦定理，可得. 【小问2详解】 解：由（1）知：， 因为，所以，所以. 在中，， 由正弦定理，可得. 【小问3详解】 解：在中，， 所以， 在中，由正弦定理， 可得， 所以. 18. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F． （1）求证：PA∥平面EDB； （2）求证：PB⊥平面EFD； （3）求平面CPB与平面PBD的夹角的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）． 【解析】 【分析】（1）连接AC，交BD于O，连接EO，通过证明PA//EO 可证明结论； （2）通过证明DE平面PBC，可得，结合可得平面； （3）由题意易知是平面与平面的夹角，且，分别求出的值，利用，即可求出答案. 【小问1详解】 连接AC，交BD于O，连接EO. 因O，E分别为中点，则， 又平面EDB，平面EDB， 则面； 【小问2详解】 因四边形ABCD是正方形，则BC， 又底面平面，则BC. 因平面，，则平面. 又平面，则， 因，E是PC的中点，则. 又平面，，则平面PBC， 因平面PBC，则，又，平面，， 则平面； 【小问3详解】 由（2）及平面可知， 故是平面与平面的夹角， 不妨设，∴， 在中，，，， 又面，∵面，∴, 在中，， ∴，故平面CPB与平面PBD的夹角的大小. 19. 我们在初中学习“全等三角形”的知识时，知道了若已知三角形的三边，这个三角形就被唯一的确定了；到了高中，进一步了解了正、余弦定理后，知道了如何用已知的三边求得三角形的面积：记的面积为S，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则，这里.据说这个问题最早是由古希腊数学家阿基米德解决的，最早出现在海伦著于公元1世纪的《测地术》中.在13世纪，我国南宋的数学家秦九韶在《数学九章》中推出了等价的结论.根据以上信息，回答下列问题. （1）已知的面积为，且，求此三角形中大于60°的角所对的边长； （2）三角形的面积有多种计算方法，利用面积进行“算二次”是获得等量关系的常见手段.若记的外接圆半径为R，内切圆半径为r，证明：； （3）试将三角形的面积公式推广到四边形，如图，已知凸四边形ABCD的四边长分别a，b，c，d，记.证明：此四边形的面积，并求出何时取得最大值. 【答案】（1）. （2）证明见解析 （3）证明见解析， 【解析】 【分析】（1）按比例设边，算半周长，用海伦公式得面积含表达式，由已知面积求，进而求得大于60°的角所对的边长. （2）用面积与、关系及海伦公式得表达式，换元后用均值不等式证明. （3）在两个三角形用余弦定理得等式①，算四边形面积得等式②，①②平方相加，用三角函数性质和不等式推导，结合半周长得面积最大值及取等条件. 【小问1详解】 已知，设，，，， 半周长. 根据海伦公式，把值代入得. 又已知面积为，即，解得， 因为，所以，故， 所以所求边. 【小问2详解】 由，，结合， 可得. 设，，，则. 根据均值不等式，，， 所以， 即，当即时等号成立. 【小问3详解】 连结BD，在、中对BD算两次， 用余弦定理得， 化简得①式. 四边形面积， 化简得②式. 将①、②平方相加，利用及不等式， 得到， 故. 即 因为，所以， 当，即四边形是圆内接四边形时等号成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 邵东市振华中学2026年上学期高一数学期中考试试卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答卡上.写在本试卷上无效. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则z在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知分别为三个内角所对的边，若，则（ ） A. B. C. 或 D. 3. 已知向量，，，则m的值为（ ） A. 0 B. -2 C. 0或-2 D. 0或2 4. 圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是半圆，那么此圆锥的高是（ ） A. 1 B. C. D. 2 5. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则此三角形的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 6. 若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 已知棱长为的正方体的一个面在一半球底面上，且四个顶点都在此半球面上，则此半球的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，角，，的对边分别是，，，已知，，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若非零向量满足，则 B. C. 若为单位向量，则 D. 向量可以作为平面内的一个基底 10. 如图所示的圆台，在轴截面ABCD中，，，则（ ） A. 该圆台的高为 B. 该圆台轴截面面积为 C. 该圆台的体积为 D. 一只小虫从点C沿着该圆台的侧面爬行到AD的中点，所经过的最短路程为5 11. 对于有如下命题，其中正确的是（ ） A. 若，则为钝角三角形 B. 若，且有两解，则的取值范围是 C. 在锐角中，不等式恒成立 D. 在中，若，则必是等边三角形 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，，，若，则________. 13. 已知一个圆台的上底面半径为2，下底面的半径为5，其侧面积为，则该圆台的外接球表面积为__________． 14. 解放碑是重庆的标志建筑物之一，存在其特别的历史意义.我校数学兴趣小组为了测量其高度，设解放碑杯杯高为AB，在地面上共线的三点C，D，E处分别测得顶点A的仰角为，且，则解放碑的高AB为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，，． （1）当时，求实数的值； （2）当时，求向量与的夹角的余弦值． 16. 如图所示，已知是圆的直径，为圆上一点，，，为所在平面外一点，且垂直于圆所在平面，与平面所成的角为． （1）求证：平面； （2）求点A到平面的距离． 17. 如图，在中，已知，是边上一点，. （1）求的值； （2）求的长； （3）求的长. 18. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F． （1）求证：PA∥平面EDB； （2）求证：PB⊥平面EFD； （3）求平面CPB与平面PBD的夹角的大小． 19. 我们在初中学习“全等三角形”的知识时，知道了若已知三角形的三边，这个三角形就被唯一的确定了；到了高中，进一步了解了正、余弦定理后，知道了如何用已知的三边求得三角形的面积：记的面积为S，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则，这里.据说这个问题最早是由古希腊数学家阿基米德解决的，最早出现在海伦著于公元1世纪的《测地术》中.在13世纪，我国南宋的数学家秦九韶在《数学九章》中推出了等价的结论.根据以上信息，回答下列问题. （1）已知的面积为，且，求此三角形中大于60°的角所对的边长； （2）三角形的面积有多种计算方法，利用面积进行“算二次”是获得等量关系的常见手段.若记的外接圆半径为R，内切圆半径为r，证明：； （3）试将三角形的面积公式推广到四边形，如图，已知凸四边形ABCD的四边长分别a，b，c，d，记.证明：此四边形的面积，并求出何时取得最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $