专题03 正余弦定理解三角形（7大考点）（期末真题汇编，湖北专用）高一数学下学期

**基本信息** 湖北多地高一下期末正余弦定理解三角形专题汇编，覆盖7大高频考点，精选选择、填空、解答及多选题，融合实际应用与数学文化，适配期末复习巩固。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择|约15题|考点01正弦定理边角互化（题1-5）、考点05实际应用（题25-27）|结合海上灯塔、塔高测量等真实情境| |填空|4题|考点03周长范围（题17）、考点07取值范围（题35）|设置动态几何问题（如旋转图形）| |解答|约15题|考点04面积范围（题21-24）、考点06向量应用（题31）|综合中线、奔驰定理等，融入秦九韶三斜求积公式| |多选|4题|考点02定理解三角形（题11-14）|多结论判断，考查逻辑推理能力|

专题03 正余弦定理解三角形 7大高频考点概览 考点01正弦定理及其边角互化 考点02正余弦定理解三角形 考点03周长及其范围 考点04面积及其范围 考点05实际应用 考点06平面向量及其应用 考点07取值范围 ( 考点 01 正弦定理及其边角互化 ) 1．(24-25高一下·湖北襄阳·期末)在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高一下·湖北荆州·期末)设的内角所对应的边分别为，，，其面积，若的周长为1，则（    ） A．1 B． C．2 D． 3．(24-25高一下·湖北孝感部分高中·期末)的内角的对边分别为，设. (1)求C (2)若，求A 4．(24-25高一下·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期末)已知分别为三个内角的对边，． (1)求角； (2)已知，延长到点，求． 5．(24-25高一下·湖北武汉·期末)在中，角，，的对边分别为，，.已知. (1)求角的大小； (2)，延长CA至，使点是线段CD的中点，，求边的长度. ( 考点 02 正余弦定理解三角形 ) 6．(24-25高一下·湖北黄石·期末)某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，，，则此人（   ） A．不能作出这样的三角形 B．能作出一个锐角三角形 C．能作出一个直角三角形 D．能作出一个钝角三角形 7．(24-25高一下·湖北黄冈·期末)在中，角的对边分别为，已知，的周长为7，则边长为______. 8．(24-25高一下·湖北武汉部分重点中学·期末)在中，A，B，C所对的边分别为，已知且，若面积为4，则（ ） A．2 B． C． D． 9．(24-25高一下·湖北黄冈·期末)在中，角对应的边分别为，已知，. (1)求角和边； (2)若，求. 10．(24-25高一下·湖北襄阳·期末)在中，角，，所对的边分别为，，，． (1)求的值； (2)为边上一点，满足且， （i）求证：； （ii）若，，设，求的值． 多选题 11．(24-25高一下·湖北荆门·期末)已知，，分别为三个内角，，的对边，且，，则（    ） A． B． C． D． 12．(24-25高一下·】湖北武汉新洲区第一中学阳逻校区·期末)已知锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的可能取值为（   ） A． B． C． D．2 13．(24-25高一下·湖北武汉青山区·期末)已知a、b、c分别为内角A、B、C的对边，下面四个结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，且有两解，则b的取值范围是 C．若，则为等腰三角形 D．若，则为钝角三角形 14．(24-25高一下·湖北黄石·期末)已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则（   ） A．若，则为锐角三角形 B．若，则为等腰三角形 C．若，则 D．若为锐角三角形，且，则的最小值为8 ( 考点 0 3 周长及其范围 ) 15．(24-25高一下·湖北武汉部分重点中学·期末)在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求角B的大小； (2)若的面积为且，求的周长． 16．(24-25高一下·湖北武汉五校联合体·期末)在 中，内角A，B，C对应的边分别是a，b，c，且． (1)求角； (2)若AB的长为3，AC边上的中线BD长为，求的周长． 17．(24-25高一下·湖北襄阳·期末)如图，的内角，，的对边分别为，，，直线与的边，分别相交于点，，其中为锐角三角形，，设，满足．则的周长的取值范围为_____． ( 考点 0 4 面积及其范围 ) 18．(24-25高一下·湖北黄石·期末)在中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，且. (1)求B的大小； (2)设，且，求的面积. 19．(24-25高一下·湖北宜昌长阳土家族自治县第二高级中学·期末)在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，. (1)求A及的周长； (2)求的面积． 20．(24-25高一下·湖北武汉·期末)中，点在边BC上，，，，则面积的最小值是__________. 21．(24-25高一下·湖北荆州·期末)已知分别为三个内角的对边，且. (1)求； (2)在中，若边的中线，求面积的最大值. 22．(24-25高一下·湖北荆门·期末)在中，内角的对边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若的面积，求面积的最小值. 23．(24-25高一下·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期末)如图，点是边长为2的等边内部（不包括边）任意一点，绕点逆时针旋转得到．    (1)若，求； (2)若，求的周长； (3)求面积最大值． 24．(24-25高一下·湖北襄阳·期末)我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”有一个题目：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步．欲知为田几何?”其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”这就是秦九韶推出的“三斜求积”公式．若的内角，，的对应边分别为，，，面积为，则“三斜求积”公式为． (1)用公式证明“三斜求积”公式； (2)若等腰三角形中，，边上的中线，求面积的最大值； (3)在三棱锥中，，，，其外接球的表面积为，的外接圆面积为．试用，，表示，并求的最大值． 参考公式： ( 考点 0 5 实际应用 ) 25．(24-25高一下·湖北武汉·期末)海上某货轮在处看灯塔，在货轮的南偏东，距离为海里处；在处看灯塔，在货轮的南偏西，距离为海里处，货轮由处向正南航行到处时看灯塔在北偏东，则灯塔与处之间的距离为（   ） A．海里 B．40海里 C．海里 D．海里 26．(24-25高一下·湖北武汉部分重点中学·期末)如图，某同学为了测量长江对岸的武汉龟山电视塔塔高时，选取与龟山电视塔塔底B在同一水平面内蛇山上两个测量基点C与D．现测得，，，在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高（   ） A． B． C． D． 27．(24-25高一下·湖北黄石·期末)如图，河流的一侧是以O为圆心的扇形区域OCD，河的另一侧有一建筑物AB垂直于水平面，假设扇形OCD与B处于同一水平面上，记OB交于E.若在C，O，E处看A的仰角分别为，和，则的余弦值为______. ( 考点 0 6 平面向量及其应用 ) 28．(24-25高一下·湖北部分重点高中·期末)已知向量，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 29．(24-25高一下·湖北部分重点高中·期末)在中，为的外心，则的值为（   ） A． B． C． D． 30．(24-25高一下·湖北武汉常青联合体·期末)奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则（   ）    A． B． C． D． 31．(24-25高一下·湖北部分重点高中·期末)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若的面积，且有． (1)求角A和角C； (2)若，求． ( 考点 0 7 取值范围 ) 32．(24-25高一下·湖北武汉五校联合体·期末)已知锐角三角形边长分别为2，3，x，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．不确定 33．(24-25高一下·湖北武汉新洲区问津联盟·期末)已知中，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 34．(24-25高一下·湖北黄石·期末)记的内角的对边分别为，已知，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 35．(24-25高一下·】湖北武汉新洲区第一中学阳逻校区·期末)在中，，，的外接圆为圆O，P为圆O上的点，则的最大值为__________. 36．(24-25高一下·湖北宜昌葛洲坝中学·期末)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，. (1)求角C的值； (2)若边的中线长为，求的面积； (3)求的最大值； 37．(24-25高一下·湖北恩施州·期末)已知的内角． (1)求的值； (2)求的取值范围； (3)若是边上的一点，当最大时，，求的长． 38．(24-25高一下·】湖北武汉新洲区第一中学阳逻校区·期末)在中，内角，，的对边分别为，，. (1)若， （ⅰ）求证：是等腰三角形； （ⅱ）已知的面积为18，点满足，求线段的最小值； (2)对于，若存在，使得，，，则称为的伴随三角形，若存在伴随三角形，求出三个内角中的最小值. 39．(24-25高一下·湖北武汉新洲区问津联盟·期末)如图，若内一点满足，则称为的布洛卡点，为布洛卡角．某同学对布洛卡点产生兴趣，对其进行探索并得到许多正确的结论，比如，若下列问题中的点为的布洛卡点，请你和他一起解决如下问题： (1)若，求； (2)已知角所对的边分别为，且，求证：； (3)在（2）的条件下，若的周长为6，试把表示为的函数，并求的值域． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 正余弦定理解三角形 7大高频考点概览 考点01正弦定理及其边角互化 考点02正余弦定理解三角形 考点03周长及其范围 考点04面积及其范围 考点05实际应用 考点06平面向量及其应用 考点07取值范围 ( 考点 01 正弦定理及其边角互化 ) 1．(24-25高一下·湖北襄阳·期末)在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于A,B利用正弦定理即可求得结果，对角B分情况讨论，即可判断选项C,D. 【详解】对于选项A,B：由正弦定理可得， 由于，故或，故AB错误， 对于选项C,D:若时，则，此时 ， 若时，则， 此时为三角形中最小的内角，故，故C正确，D错误， 故选：C 2．(24-25高一下·湖北荆州·期末)设的内角所对应的边分别为，，，其面积，若的周长为1，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理得，代入即可求得，再利用正弦定理将边转化为角即可求解. 【详解】由正弦定理有，为的外接圆半径， 所以， 所以， 所以，即，又的周长为1，所以， 所以， 故选：C. 3．(24-25高一下·湖北孝感部分高中·期末)的内角的对边分别为，设. (1)求C (2)若，求A 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由已知及正弦边角关系整理得，再由余弦定理求角的大小； （2）由正弦边角关系、三角形内角性质、和差角正弦公式得，结合三角形内角范围求角的大小. 【详解】（1）因为，由正弦定理得，化简得， 所以. 因为，所以. （2）因为，由正弦定理得，又， 由，所以，即. 因为，所以， 所以，即. 4．(24-25高一下·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期末)已知分别为三个内角的对边，． (1)求角； (2)已知，延长到点，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理，结合三角形内角和公式和三角变换公式，可求角. （2）在中，利用余弦定理先求，再求，可得，再在中，利用余弦定理求. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得：， 又， 所以. 因为，所以，所以. 又，所以. （2）如图： 在中，. 所以. 所以. 因为，所以. 在中，由余弦定理得： ， 所以 5．(24-25高一下·湖北武汉·期末)在中，角，，的对边分别为，，.已知. (1)求角的大小； (2)，延长CA至，使点是线段CD的中点，，求边的长度. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正余弦定理边角互化，可得，利用余弦定理的推论可求角的余弦值，继而可得角. （2）在中，分别表示出，，再利用的关系可得，结合（1）中建立方程组即可求，得到边的长度. 【详解】（1）由正弦定理得 ， 即 即，则， 又，所以. （2）由题知，，， 在中， ，， 又， 所以， 即 由（1）知，即， 所以，解得或（舍去）， 即. ( 考点 02 正余弦定理解三角形 ) 6．(24-25高一下·湖北黄石·期末)某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，，，则此人（   ） A．不能作出这样的三角形 B．能作出一个锐角三角形 C．能作出一个直角三角形 D．能作出一个钝角三角形 【答案】D 【分析】根据三角形的面积公式，得到，不妨设，验证能构成三角形，然后结合余弦定理，求得，即可求解. 【详解】设三条高的长度分别为，，所对的的三边分别为， 由三角形的面积公式，可得， 不妨设，其中，则的最大角为角， 由余弦定理，可得， 又因为， 所以能构成三角形， 因为为三角形的内角，所以，所以为钝角三角形. 故选：D. 7．(24-25高一下·湖北黄冈·期末)在中，角的对边分别为，已知，的周长为7，则边长为______. 【答案】3 【分析】根据正弦定理得，由周长得，最后利用余弦定理列方程求得，即可得解. 【详解】由及正弦定理得，由的周长为7得， 故由及余弦定理得， 所以， 化简得，解得或（舍去），所以. 故答案为：3 8．(24-25高一下·湖北武汉部分重点中学·期末)在中，A，B，C所对的边分别为，已知且，若面积为4，则（ ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】由，结合三角变换和正弦定理，可求边，再结合三角形的面积公式和余弦定理，可求，再利用二倍角公式，可求. 【详解】因为. 所以 所以 所以. 由正弦定理可得：，又，所以. 因为面积为4，所以① 由余弦定理可得：, 所以：② ①②可得：，即. 所以. 故选：C 9．(24-25高一下·湖北黄冈·期末)在中，角对应的边分别为，已知，. (1)求角和边； (2)若，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别表示出，然后代入计算即可； （2）依据题意得到，，然后得到，计算即可. 【详解】（1）依题意，由知：，从而 ，代入化简得： ，由余弦定理可知： 从而. （2），则有，由知，为锐角，则， 由，，知， 从而有. 10．(24-25高一下·湖北襄阳·期末)在中，角，，所对的边分别为，，，． (1)求的值； (2)为边上一点，满足且， （i）求证：； （ii）若，，设，求的值． 【答案】(1)3或． (2)． 【分析】（1）利用正弦定理与余弦定理即可得到结果. （2）（i）利用正弦定理以及互补角的余弦值互为相反列出等式，即可证明结论. （ii）利用第（i）的结论以及两角差的正弦公式即可求得结果. 【详解】（1）因为，结合正弦定理和余弦定理可得 ，    ，或． 所以或． （2）（i）因为，所以． 又，，，． 又，则， ，     ， ， ， ，    又，，， 又，, 所以     （ii），，， ，，解得， ∴，∴， ∴， ， ∴，， 多选题 11．(24-25高一下·湖北荆门·期末)已知，，分别为三个内角，，的对边，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由求得，再根据求得判断A；由结合正弦定理求得，再利用余弦定理求解、判断B；根据，结合正弦定理判断C；利用面积公式求解判断D. 【详解】因为，所以，， 又因为，所以，所以，所以A正确； 因为，由正弦定理有：， 由余弦定理有：， 整理得：，解得或（舍），， 所以，所以B错误； ，由正弦定理有：，所以C正确； 因为，所以D错误. 故选：AC. 12．(24-25高一下·】湖北武汉新洲区第一中学阳逻校区·期末)已知锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的可能取值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】BC 【分析】利用余弦定理得出，再结合正弦定理以及两角和差的正弦公式得出，结合角的范围求出的范围即可. 【详解】因，则， 利用正弦定理得，，即， 则， 则， 因，则，则，即， 因，，，则，则， 则，故BC正确；AD错误. 故选：BC 13．(24-25高一下·湖北武汉青山区·期末)已知a、b、c分别为内角A、B、C的对边，下面四个结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，且有两解，则b的取值范围是 C．若，则为等腰三角形 D．若，则为钝角三角形 【答案】ABD 【分析】利用大角对大边及正弦定理可判断；根据三角形有两解时的条件可判断；利用正弦定理及倍角公式可得或，继而可判断；根据同角关系式及正弦定理、余弦定理可判断. 【详解】对于：因为，所以， 所以（为外接圆的半径），所以，故正确； 对于：当时，有两解需满足， 即，故正确； 对于：， 所以（为外接圆的半径）， 即，即， 所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形，故错误； 对于：， 所以，即， 所以，所以， 所以为钝角三角形，故正确. 故选：ABD. 14．(24-25高一下·湖北黄石·期末)已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则（   ） A．若，则为锐角三角形 B．若，则为等腰三角形 C．若，则 D．若为锐角三角形，且，则的最小值为8 【答案】BCD 【分析】A选项，C为锐角，但不确定A，B是否是锐角；B选项，由正弦定理和同角三角函数关系得到，所以，B正确；C选项，由正弦定理和大角对大边得到C正确；D选项，变形得到，令，得到，由基本不等式求出最小值. 【详解】A选项，，故C为锐角，但不确定A，B是否是锐角，A错误； B选项，，由正弦定理得， 因为，所以，故， 所以，B正确； C选项，，由大角对大边得，由正弦定理得， 故，C正确； D选项，， ， 故， 故， 为锐角三角形，故，所以， 令， 则， 当且仅当，即时，等号成立，D正确. 故选：BCD ( 考点 0 3 周长及其范围 ) 15．(24-25高一下·湖北武汉部分重点中学·期末)在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求角B的大小； (2)若的面积为且，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理及和角的正弦公式，诱导公式将变形化简，再结合角的范围即可求出角B； （2）由三角形的面积公式求出，再由余弦定理求出，即可求出的周长. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得． 即， 因为，所以． 所以． 因为，，所以， 因为，所以． （2）因为，所以， 由余弦定理得， 由，可得， 所以，所以的周长为． 16．(24-25高一下·湖北武汉五校联合体·期末)在 中，内角A，B，C对应的边分别是a，b，c，且． (1)求角； (2)若AB的长为3，AC边上的中线BD长为，求的周长． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意，由正弦定理和三角恒等变换的公式，可得，求得，即可求解； （2）在中，由余弦定理，求得或，分类讨论，分别求得的长，进而求得三角形的周长. 【详解】（1）因为 由正弦定理得，即， 因为，可得，则，所以. （2）在中，因为， 由余弦定理得， 即，解得或，   当时，， 则，即，此时周长； 当时， 则，即，此时周长为， 综上所述，的周长为或. 17．(24-25高一下·湖北襄阳·期末)如图，的内角，，的对边分别为，，，直线与的边，分别相交于点，，其中为锐角三角形，，设，满足．则的周长的取值范围为_____． 【答案】 【分析】先由和差角的正余弦公式结合正弦定理求出，再由时，的周长有最小值，当时，的周长有最大值. 【详解】因为， 可得， 可得， 所以，可得， 又因为，可得，所以， 因为，所以． 画图可知，当时，的周长有最小值， 当时，的周长有最大值， 由为锐角三角形，所以周长的取值范围是. 故答案为： ( 考点 0 4 面积及其范围 ) 18．(24-25高一下·湖北黄石·期末)在中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，且. (1)求B的大小； (2)设，且，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，化简得到，求得，得到，即可求解； （2）根据题意，得到，分和，两种情况讨论，分别求得的值，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】（1）解：因为，可得 由正弦定理，可得， 则， 整理得， 因为，可得，所以，可得， 又因为，可得，所以，可得. （2）解：由题意，可得，即. （i）当时，，，可得，， 所以的面积. （ii）当时，可得，由正弦定理得， 联立方程组，解得，且. 所以的面积. 综上可得，的面积为. 19．(24-25高一下·湖北宜昌长阳土家族自治县第二高级中学·期末)在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，. (1)求A及的周长； (2)求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由余弦定理得，再根据正弦定理求得的值即可； （2）根据余弦定理求得，再根据三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）因，则，      由余弦定理得，，         因，则. 又因为，由正弦定理 得，又 ，∴.           所以的周长为. （2）由得，， 由（1），所以，得， 故. 20．(24-25高一下·湖北武汉·期末)中，点在边BC上，，，，则面积的最小值是__________. 【答案】 【分析】根据题意可求出，进而可求，利用面积相等可得，利用基本不等式结合三角形面积公式即可求解. 【详解】，， ， ， ， 整理得， 所以，解得，当且仅当时等号成立， 所以 ． 故面积的最小值为， 故答案为： 21．(24-25高一下·湖北荆州·期末)已知分别为三个内角的对边，且. (1)求； (2)在中，若边的中线，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理即可求解； （2）法一：由是中点，得，利用向量的数量积运算得，最后利用均值不等式和三角形面积公式即可求解；法二：由是中点，得，在和中利用余弦定理得，最后利用均值不等式和三角形面积公式即可求解；法三：由是中点，得，，上面两式平方做差得，进而得，最后利用均值不等式和三角形面积公式即可求解；法四：在中，，，即，最后利用均值不等式和三角形面积公式即可求解；法五：延长至，使，因为是的中点，即证，进而得，又，即，即，最后利用均值不等式和三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）由正弦定理，得，即， 由余弦定理，得，又，所以； （2）法一：因为是中点，所以，即 即，， ， 因为，所以，即， ，即（当且仅当） 所以 所以当时，最大值为. 法二： 因为是中点，所以， 因为，所以，所以① 由，且，得，即② 把①代入②上式得： 下同方法1. 法三：因为是中点，所以，， 上面两式平方作差得：，所以， 因为，所以，即① 由，且，得，即② 把①代入②上式得： 下同方法1. 法四：在中，；在中，， 所以，即 下同方法2. 法五：如上图，延长至，使，因为是的中点， 所以，又，所以，则，且， 所以，，因为，所以，又， 所以，即， 下同方法1 22．(24-25高一下·湖北荆门·期末)在中，内角的对边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若的面积，求面积的最小值. 【答案】(1). (2). 【分析】（1）由正弦定理和正弦和角公式得到，求出； （2）由三角形面积公式得到，再由余弦定理和基本不等式得到，求出三角形面积的最小值. 【详解】（1）中，，由正弦定理得 ， 即， 故，又，则， 即， 又，可得； （2），则， 由余弦定理得， 即，即当且仅当时，等号成立， 故面积的最小值为. 23．(24-25高一下·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期末)如图，点是边长为2的等边内部（不包括边）任意一点，绕点逆时针旋转得到．    (1)若，求； (2)若，求的周长； (3)求面积最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用余弦定理直接计算,即为； （2）根据已知可以判定点轨迹为一段圆弧，然后建立合适的坐标系，利用坐标方法求得点的坐标，进而求得,然后利用几何分析得到所求； （3）先设定,由于为等边三角形，可得与以为圆心，以为半径的圆的部分弧相切，然后进行几何分析，再结合基本不等式求得. 【详解】（1）∵绕点逆时针旋转得到，∴绕点逆时针旋转得到，∴为等边三角形． . （2）∵ ，∴的外接圆半径, 设外接圆心,以为原点，射线为轴,建立直角坐标系，如图所示:    设与轴正方向所成的角为,点轨迹为圆弧（不含端点）. ， , 解得,∴, ∴点坐标为,由于,所以点在圆弧（不含端点）上，符合题意. 由于∴为等边三角形，∴, ∵绕点逆时针旋转得到，∴, ∴求的周长即为求. 当点坐标为时, ， 所求的周长. 当点坐标为时,同理可得所求的周长. ∴所求的周长. （3）设,由于为等边三角形， 设，垂足为,则, ∴与以为圆心，以为半径的圆的部分弧相切，切点为. 如图所示：    设弧与交点为,,垂足为 则,当且仅当重合时，重合，此时, ∴ ． 当且,即恰好为中心时取到“等号”， ∴面积最大值为． 24．(24-25高一下·湖北襄阳·期末)我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”有一个题目：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步．欲知为田几何?”其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”这就是秦九韶推出的“三斜求积”公式．若的内角，，的对应边分别为，，，面积为，则“三斜求积”公式为． (1)用公式证明“三斜求积”公式； (2)若等腰三角形中，，边上的中线，求面积的最大值； (3)在三棱锥中，，，，其外接球的表面积为，的外接圆面积为．试用，，表示，并求的最大值． 参考公式： 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)，． 【分析】（1）由三角形的面积公式结合余弦定理以及同角的三角函数关系可得； （2）由面积新定义结合二次函数的性质可得； （3）将三棱锥补形成与其共外接球的长方体，方法一：结合余弦定理，正弦定理，基本不等式运算可得；方法二：由面积新定义结合正弦定理，三角形的面积公式计算出，然后化简，基本不等式运算可得. 【详解】（1）    因为，由余弦定理得， 所以 所以 所以得证． （2）的面积是的面积的2倍，     设，，所以      所以当时，面积的最大值为． （3）由题意，将三棱锥补形成与其共外接球的长方体， 设其三条边长为，，，则，    设等腰四面体的外接球半径为， 所以，所以，     在中，由余弦定理得， 所以 设的外接圆半径为， 由正弦定理得， 所以     所以 因为 所以      因为          所以 当且仅当时，等号成立，所以的最大值为．     法二： 设的外接圆半径为，由正弦定理得， 因为，所以， 代入上式得，， 所以， 所以 因为 所以      因为          所以 当且仅当时，等号成立，所以的最大值为． ( 考点 0 5 实际应用 ) 25．(24-25高一下·湖北武汉·期末)海上某货轮在处看灯塔，在货轮的南偏东，距离为海里处；在处看灯塔，在货轮的南偏西，距离为海里处，货轮由处向正南航行到处时看灯塔在北偏东，则灯塔与处之间的距离为（   ） A．海里 B．40海里 C．海里 D．海里 【答案】C 【分析】依题意可求出，再由正弦定理可得，再利用余弦定理可求解. 【详解】如图所示，依题意． 在中，， 由正弦定理得，． 在中，由余弦定理可得 ， 所以， 故选：C 26．(24-25高一下·湖北武汉部分重点中学·期末)如图，某同学为了测量长江对岸的武汉龟山电视塔塔高时，选取与龟山电视塔塔底B在同一水平面内蛇山上两个测量基点C与D．现测得，，，在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在中，利用正弦定理求，再在直角中，求即可. 【详解】如图： 在中，因为，，所以， 又，由正弦定理可得：（）. 因为平面，平面，所以， 又，所以为等腰直角三角形，且. 所以. 故选：C 27．(24-25高一下·湖北黄石·期末)如图，河流的一侧是以O为圆心的扇形区域OCD，河的另一侧有一建筑物AB垂直于水平面，假设扇形OCD与B处于同一水平面上，记OB交于E.若在C，O，E处看A的仰角分别为，和，则的余弦值为______. 【答案】 【分析】根据题意，设扇形所在圆的半径为，可得，求得，且，在中，利用余弦定理，即可求解. 【详解】由题意，可得，和，所以， 设扇形所在圆的半径为，可得，且垂直于水平面， 在直角中，可得， 所以，且， 在中，可得. 故答案为：. ( 考点 0 6 平面向量及其应用 ) 28．(24-25高一下·湖北部分重点高中·期末)已知向量，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面向量数量积的坐标运算可求得的值，结合同角三角函数的基本关系以及三角形的面积公式可求得结果. 【详解】因为向量，，所以， 故为锐角，则， 故. 故选：B. 29．(24-25高一下·湖北部分重点高中·期末)在中，为的外心，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由余弦定理求得内角的值，根据圆的性质，可得向量夹角，由正弦定理求得外接圆的半径，利用向量数量积的定义式，可得答案. 【详解】由题意作图： 由余弦定理可得，解得， 由图可知， 由正弦定理可得，为外接圆的半径， 则，即， 所以. 故选：A. 30．(24-25高一下·湖北武汉常青联合体·期末)奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长交与点，结合三角形面积公式得，再由已知有，最后由三角形内角性质及和角正切公式列方程求值. 【详解】∵是的垂心，延长交与点，   ，同理， ∴，又， ∴，又， ∴， 不妨设，，，其中， ， ∴，化简整理得，解得（负值舍）， 所以. 故选：B 31．(24-25高一下·湖北部分重点高中·期末)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若的面积，且有． (1)求角A和角C； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由题设列式求出角A，法一：由余弦定理角化边结合题设求得，再由正弦定理即可求出角C；法二：先由正弦定理边化角结合内角和关系和两角和与差的正切公式求出的关系即可求解； （2）由（1）可得角，进而由面积公式和正弦定理可求出，再由结合和即向量运算性质即可求解. 【详解】（1）由已知得，两式相除得， 又； 又已知， 解法一：根据余弦定理有 ，化简得 由正弦定理得，， 又． 解法二：由正弦定理得， ，代入 得，化简得． 又． （2），； 又由（1）得， ，化简得，即； ， 两边同时平方有 ， 化简得. ( 考点 0 7 取值范围 ) 32．(24-25高一下·湖北武汉五校联合体·期末)已知锐角三角形边长分别为2，3，x，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】C 【分析】根据三角形的性质，求得，再由为锐角，结合余弦定理，求得的范围，即可求解. 【详解】设三角形为，且， 由三角形的几何性质，可得， 由三角形是锐角三角形，，所以只需要为锐角， 则，即，解得 ；，即，解得， 综上可得，，即的取值范围为. 故选：C. 33．(24-25高一下·湖北武汉新洲区问津联盟·期末)已知中，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简得到，从而得到，得到，，利用正弦定理得到，从而得到的取值范围. 【详解】在中，由，得， 由，得，则，，， 由正弦定理，得 ，由，得，则， 所以的取值范围是. 故选：A 34．(24-25高一下·湖北黄石·期末)记的内角的对边分别为，已知，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，化简得到，得到，求得且，由正弦定理得，结合，得到，进而求得的取值范围. 【详解】由，可得，所以， 即， 因为，可得，所以或， 当时，即，此时，可得，不符合题意，舍去； 当时，可得且， 由正弦定理得， 则 ， 又由，可得，所以， 即的取值范围. 故选：B. 35．(24-25高一下·】湖北武汉新洲区第一中学阳逻校区·期末)在中，，，的外接圆为圆O，P为圆O上的点，则的最大值为__________. 【答案】8 【分析】根据面积公式、正弦定理、余弦定理得出是边长为的等边三角形，再结合极化恒等式可求出. 【详解】设， 则，， 则，，得， 因，则，， 利用正弦定理、余弦定理可得，，即， 则是边长为的等边三角形， 取中点， 则 因的最大值为，故的最大值为. 故答案为： 36．(24-25高一下·湖北宜昌葛洲坝中学·期末)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，. (1)求角C的值； (2)若边的中线长为，求的面积； (3)求的最大值； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由正弦定理及余弦定理可化简得，从而可求解； （2）由题意可得，化简可得到，再结合即，从而可求解； （3）由正弦定理可得，，再结合正弦型函数求其最值，即可求解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理，可得，即， 所以， 又因为，所以. （2）因为为上的中线，且，可得， 可得， 即，又由余弦定理，可得， 联立方程组，可得， 所以的面积为：. （3）由（1）知且，设的外接圆的半径为，可得， 又由正弦定理，可得，，且， 则， ， 其中，且为锐角， 因为，所以时，取得最大值，最大值为. 37．(24-25高一下·湖北恩施州·期末)已知的内角． (1)求的值； (2)求的取值范围； (3)若是边上的一点，当最大时，，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由，坐标代入，利用半角公式化简可得，利用两角和差余弦公式展开可得，即可求解； （2）根据，结合（1），再利用基本不等式即可得到的范围，从而得到的取值范围； （3）当最大时，，然后利用正弦定理结合正弦函数的值域求解即可. 【详解】（1），， 即，， 则，即． 化简得：． （2）在中，． 由（1）知，且是的内角， ． 当且仅当时等号成立． ． ，当且仅当时等号成立．． （3）当最大时，， 由，可得， ，当与和点重合时，， 当与和点不重合时，． 在中，由正弦定理，， 即， 又，． 综上，的长的取值范围是． 38．(24-25高一下·】湖北武汉新洲区第一中学阳逻校区·期末)在中，内角，，的对边分别为，，. (1)若， （ⅰ）求证：是等腰三角形； （ⅱ）已知的面积为18，点满足，求线段的最小值； (2)对于，若存在，使得，，，则称为的伴随三角形，若存在伴随三角形，求出三个内角中的最小值. 【答案】(1)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） (2) 【分析】（1）（ⅰ）借助两角差的正弦公式结合正弦定理计算即可得；（ⅱ）借助向量运算可得，再借助向量平方与结合余弦定理计算可得，最后利用面积公式及基本不等式计算即可得； （2）先假设，，，由题意可得，，，则，不符；则可设，可得，则三个内角中的最小值为. 【详解】（1）（ⅰ）证明：因为， 所以， 由正弦定理得， 所以， 所以，所以是等腰三角形； （ⅱ）因为点D满足， 所以， 所以， 在中，由余弦定理可得，又， 所以，整理得，， 因为，所以，所以， ， 所以 ， 当且仅当，时取等号，所以线段的最小值为； （2）若，则或， 若，，，由， 所以，此时， 与矛盾，不符合题意； 不防设，由，所以， 所以，又，， 所以，解得，即三个内角中的最大值为， 余弦函数在上是单调递减函数，所以三个内角中的最小值为. 39．(24-25高一下·湖北武汉新洲区问津联盟·期末)如图，若内一点满足，则称为的布洛卡点，为布洛卡角．某同学对布洛卡点产生兴趣，对其进行探索并得到许多正确的结论，比如，若下列问题中的点为的布洛卡点，请你和他一起解决如下问题： (1)若，求； (2)已知角所对的边分别为，且，求证：； (3)在（2）的条件下，若的周长为6，试把表示为的函数，并求的值域． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)， 【分析】（1）设，由余弦定理得，表达出其他各角，在两个三角形中分别由正弦定理得，，得到方程，解得； （2）在和中，分别使用正弦定理得到方程组，两边相乘得； （3）由题意有，利用向量数量积公式和余弦定理得到，结合基本不等式和三角形边的关系，求出，单调递减，从而求出的值域. 【详解】（1）设，由时，得， 由余弦定理得， 所以， 又，所以， 在中，由正弦定理得， 解得， 又由题干知，在中，由正弦定理得， 解得， 所以，即， 即，解得． （2）由，则，， 在中，由正弦定理得，解得①， 在中，， ， 由正弦定理得，，得②， 联立①②得，即． 在中，由正弦定理有， 与两边相乘得； （3）由题意有， 则 ， 所以， 又因为，（当且仅当时，等号成立），解得， 又由三角形边的关系知，则，即， ，整理得，解得，即， 而时，单调递减， ， 所以的值域为． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $