专题01 平面向量16大题型分类专训（期末真题汇编，四川专用）高一数学下学期人教A版

**基本信息** 平面向量专题汇编，涵盖16个高频考点，精选四川多地期末真题，注重基础巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择、填空、解答|多题量，分考点设置|基本概念、线性运算、数量积、投影向量、最值问题等|结合几何图形（如正六边形、梯形）、参数计算（如求夹角参数）、最值问题（如重心分比），适配期末复习需求|

专题01 平面向量 16大高频考点概览 考点01 平面向量的基本概念 考点09用基底表示向量（重点题型） 考点02与向量数乘有关的计算 考点10利用基底表示向量求参数（重点题型） 考点03向量线性运算的几何应用（重点题型） 考点11由向量共线求参数 考点04用定义求向量的数量积（高频题型） 考点12利用向量的垂直求参数（坐标表示） 考点05已知数量积求模 考点13向量夹角的坐标表示（常考题型） 考点06向量夹角的计算 考点14已知向量垂直求参数 考点07已知向量的夹角求参数取值范围（难点题型） 考点15投影向量的坐标表示（重点题型） 考点08投影向量的相关计算（重点题型） 考点16平面向量的运算中最值问题（难点题型） 地 城 考点01 平面向量的基本概念 1．（24-25高一下·四川乐山·期末）下列说法正确的是（   ） A．若为单位向量，则 B．若为平行向量，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】由向量相等的概念进行判断即可. 【详解】由向量相等的概念可知 且方向相同. 对A：为单位向量可得，但方向未必相同，故未必成立，故A错误； 对B：为平行向量，不能说明，也不能说明方向相同，所以不能说明，故B错误； 对C：仅，不能说明，故C错误； 对D：若，则正确，故D正确. 故选：D 2．（24-25高一上·四川泸州·期末）已知单位向量，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的有关概念及单位向量的定义依次判断即得. 【详解】对于A，向量，为单位向量，向量，的方向不一定相同，A错误； 对于B，向量，为单位向量，但向量， 不一定为相反向量，B错误； 对于C，向量，为单位向量，则，C正确； 对于D，向量，为单位向量，向量，的方向不一定相同或相反，即与不一定平行，D错误. 故选：C. 3．（24-25高一下·四川成都·期末）已知为共线向量，且，则__________. 【答案】 【分析】根据共线向量，求出 【详解】根据为共线向量，且, 则，解得. 故答案为：. 4．（24-25高一下·四川成都·期中）对于非零向量，下列选项一定能使成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先判断、的意义，依题意只需找到满足与反向即可，从而判断可得； 【详解】解：因为表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量， 要使，即与反向， 则当时与反向，满足条件； 当时与同向，不满足条件； 当时不一定满足与反向，故不满足条件； 故选：C 5．（24-25高一下·四川自贡·期末）如图所示，点是正六边形的中心，则以图中点、中的任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量共线的向量有（    ）    A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据正六边形的性质和向量共线的定义进行分析判断. 【详解】对于A，因为在正六边形中，∥，所以与共线，所以A正确， 对于B，因为在正六边形中，与不平行，所以与不共线，所以B错误， 对于C，因为在正六边形中，∥，所以与共线，所以C正确， 对于D，因为在正六边形中，与不平行，所以与不共线，所以D错误， 故选：AC 地 城 考点02 与向量数乘有关的计算 1．（24-25高一下·四川泸州·期末）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量平行的坐标表示，代入即可求解. 【详解】因为，， 所以，解得. 故选：D. 2．（24-25高一下·四川泸州·期末）在平行四边形中，对角线与交于点，若，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形法则以及平行四边形的性质即可求出． 【详解】在平行四边形中，，所以． 故选：B． 地 城 考点03 向量线性运算的几何应用 1．（24-25高一下·四川资阳·期末）如图，在中，点满足，为的中点，则（   ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算即可求解. 【详解】. 故选：. 2．（24-25高一下·四川雅安·期末）如图，在梯形ABCD中，，E在BC上，且，设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平面向量的加减、数乘运算求解即可. 【详解】， . 故选：D 3．（24-25高一下·四川攀枝花·期末）在中，为上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量的加法、减法、数乘运算及平面向量基本定理即可求解. 【详解】    由题意知，，因为，且， 所以 ，故答案为C. 故选：C 4．（24-25高一下·四川甘孜·期末）在中，若分别为的中点，则（    ） A．​ B．​ C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量的数乘，由分别为的中点，根据平面向量的加法，可得答案. 【详解】因为是的中点，所以. 因为是的中点，所以. 所以， 故选：C. 5．（24-25高一下·四川成都·期末）在矩形中，已知分别是上的点，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由为中点，为三等分点，结合向量的线性运算规则进行代换，即可判定各选项． 【详解】如图，   由，可得，， 则，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； 由题意有，，， 联立两式消去可得：，即，故D正确． 故选：ACD． 地 城 考点04 用定义求向量的数量积 1．（24-25高一下·四川自贡·期末）若，是夹角为的单位向量，则与夹角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的夹角公式可解. 【详解】， ， ， ， 所以， 因为， 则与夹角为. 故选：C. 2．（24-25高一下·四川成都·期末）在中，，则（    ） A． B．16 C．32 D． 【答案】B 【分析】根据题意，，，结合数量积的定义求解. 【详解】根据题意，， 所以，， 所以. 故选：B 3．（24-25高一下·四川成都·期末）一蜂巢的精密结构由7个边长均为2的正六边形组成，摆放位置如图所示，其中为三个固定顶点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图形特征求出的长度，然后利用向量的数量积定义求出答案即可. 【详解】因为正六边形的内角均为，由于边长为2， 结合边长、角度关系可求得，，，， 所以. 故选：B. 地 城 考点05 已知数量积求模 1．（24-25高一下·四川遂宁·期末），则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，先求，再利用向量的模长公式可得即可求解. 【详解】设，则， ， 当时取等，所以的最大值是. 故选：C. 2．（24-25高一下·四川成都·期末）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】转化为平面向量的数量积可求出结果. 【详解】 . 故选：B 3．（24-25高一下·四川绵阳·期末）若平面向量两两的夹角相等，且，则（    ） A．2 B．8 C．或 D．2或8 【答案】D 【分析】根据题意，三向量两两夹角为0或，当夹角为0时，直接求模，当夹角为时，利用向量求模公式即可求解． 【详解】若平面向量，，两两的夹角相等，则夹角为0或， 若夹角为0， 因为 则， 若夹角为，， 则． 故选：D． 4．（24-25高一下·四川攀枝花·期末）已知平面向量与的夹角为，且，，则___________. 【答案】 【分析】利用向量数量积的定义及运算律计算即得. 【详解】向量与的夹角为，且，，则， 所以. 故答案为： 5．（24-25高一下·四川成都·期末）已知向量，，的模长分别为2，1，1，记向量与的夹角为θ，，则的最大值为________． 【答案】 【分析】先根据平面向量数量积的定义及运算律求得，进而结合向量三角不等式求解即可. 【详解】由题意，， 则， 所以， 当且仅当方向相反时等号成立， 则的最大值为. 故答案为：. 6．（24-25高一下·四川泸州·期末）已知向量，，，则_____. 【答案】2 【分析】根据向量垂直、向量的数量积和向量的模进行求解即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以. 故答案为：2. 7．（24-25高一下·四川成都·期末）已知非零向量，，满足，且与的夹角为，则________． 【答案】/ 【分析】由题意得，，利用数量积的运算可得，利用向量模的计算公式可得，最后利用向量夹角公式即可求解. 【详解】因为，均为非零向量，且， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 即， 所以， 所以， 所以， 所以. 故答案为：. 8．（24-25高一下·四川泸州·期末）已知向量与向量的夹角为，，，则的值是______． 【答案】 【分析】转化为平面向量的数量积可求出结果. 【详解】 故答案为：. 地 城 考点06 向量夹角的计算 1．（24-25高一下·四川成都·期末）若单位向量满足，则的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据向量的数量积运算律公式计算，再结合夹角余弦公式结合角的范围计算求解. 【详解】因为单位向量满足， 且，所以， 所以 设的夹角为，则， 所以. 故选：D. 2．（24-25高一下·四川眉山·期末）向量，满足，，，则向量，的夹角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量数量积的定义和数量积的运算律求解即可. 【详解】由两边平方得，即， 所以，又，所以. 故选：A 3．（24-25高一下·四川成都·期末）已知，，，则与的夹角为________. 【答案】 【分析】两边平方，结合，，求出，利用向量夹角余弦公式进行求解，得到答案. 【详解】两边平方得， 又，，故，解得， 设与的夹角为，则， 所以. 故答案为： 4．（24-25高一下·四川成都·期末）已知平面向量，满足，，，则向量，夹角的余弦值为______． 【答案】 【分析】利用向量的模和向量的数量积的定义，求向量夹角的余弦值. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 则向量，夹角的余弦值为 故答案为：. 5．（24-25高一下·四川眉山·期末）已知向量，若，与的夹角为． (1)求； (2)求与夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先应用平面向量的数量积定义计算得，再结合模长及数量积公式计算求解； （2）应用夹角余弦公式结合数量积公式及模长公式计算求解. 【详解】（1）因为，与的夹角为，所以， ∴， ∴． （2）由（1）可知， ∴． ∵， 设与的夹角为， ∴． 6．（24-25高一下·四川攀枝花·期末）已知向量与的夹角为，，. (1)求及； (2)求向量与向量的夹角. 【答案】(1)3；1 (2) 【分析】（1）根据数量积的定义可计算求得的值；根据模的计算公式可求得； （2）求出的值，根据向量的夹角公式即可求得答案. 【详解】（1）由题意； ； （2）由题意得， 故，由于， 故. 地 城 考点07 已知向量的夹角求参数取值范围 1．（24-25高一下·四川成都·期中）已知向量，若与的夹角为；若与的夹角为钝角，则取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据与的数量积小于0，且不共线可得. 【详解】与的夹角为钝角， ， 又与的夹角为， 所以，即，解得， 又与不共线，所以， 所以取值范围为. 故选：D 2．（24-25高一下·四川遂宁·期末）已知两个向量、满足，，，且向量与的夹角为钝角．则实数的取值范围为___________． 【答案】 【分析】根据条件转化为数量积小于0，以及两向量不平行，列式求解. 【详解】若和的夹角为钝角，则 ，且不平行， 所以 ， 解得：， 若向量和平行，则，得， 综上可知，取值范围为. 故答案为： 3．（24-25高一下·四川雅安·期末）设两个向量，，满足，. （1）若，求，的夹角； （2）若，夹角为60°，向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由平面向量数量积的运算律计算求得，再由数量积的定义求得夹角； （2）由去除它们反向的情形即可得． 【详解】（1），， 即，，所以 （2），且与不共线， ， ，且 地 城 考点08 投影向量的相关计算 1．（24-25高一下·四川成都·期末）已知向量的夹角为，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知及投影向量的求法求向量在向量上的投影向量即可. 【详解】向量在向量上的投影向量为. 故选：B 2．（24-25高一下·四川成都·期末）已知向量与的夹角为，且，，则在方向上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求，根据投影向量的定义得，代入即可求解. 【详解】由题意有， 所以在方向上的投影向量是， 故选：C. 3．（24-25高一下·四川达州·期末）已知非零向量，的夹角为，且，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量的数量积结合投影向量的计算可得. 【详解】由可得， 所以在上的投影向量为. 故选：D. 4．（2025·四川攀枝花·三模）平面向量，满足，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用投影向量的公式即可求解. 【详解】由在上的投影向量为， 故选：B. 5．（24-25高一下·四川凉山·期末）已知为非零向量，若向量在上的投影向量为，则的最小值是__________. 【答案】/ 【分析】由投影向量定义得，即，得出向量夹角表达式，再由基本不等式得出最小值. 【详解】由已知可得，所以. 而， 易知 令，则 当且仅当， 即时，等号成立，即最小值为， 故答案为： 6．（24-25高一下·四川眉山·期末）已知，，，则向量在向量上的投影向量为______． 【答案】 【分析】根据因为，得，再利用则向量在向量上的投影向量的定义代入计算得结果； 【详解】因为，所以， 则向量在向量上的投影向量为 ， 故答案为： 7．（24-25高一下·四川成都·期末）已知是夹角为的两个单位向量，则向量在向量上的投影向量为________. 【答案】. 【分析】设，则，且，取的中点，得到且，结合向量的投影的定义，即可求解. 【详解】如图所示，设，则， 因为是夹角为60°的两个单位向量，可得， 取的中点，可得，可得， 所以向量在向量上的投影向量为. 故答案为：. 8．（24-25高一下·四川成都·期末）已知. (1)求和的夹角； (2)若向量为在上的投影向量，求. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据题意，利用向量的运算法则，求得，结合向量的夹角公式，即可求解； （2）根据题意，求得向量，结合，即可求解. 【详解】（1）解：由向量， 则，解得， 设向量和的夹角为，则，所以， 所以向量和的夹角为. （2）解：向量为在上的投影向量，可得， 则. 9．（24-25高一下·四川成都·期末）已知向量满足，，且在上的投影向量为. (1)求及的值； (2)若，求的值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由投影向量的定义可求得，再由向量的夹角公式可求得； （2）由向量垂直建立方程，求解即可． 【详解】（1）因为，，且在上的投影向量为， 所以，所以， 所以， 因为，所以； （2）因为， 所以，即， 得，解得． 地 城 考点09 用基底表示向量 1．（24-25高一下·四川攀枝花·期末）在平行四边形中，设为线段的中点，为线段上靠近的三等分点，，，则向量（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的加减法运算法则求解即可. 【详解】，，，所以．    故选：A. 2．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，在中，是的中点，为上的点，且，若，，则用表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合图形和条件，利用向量的加减数乘等运算，将所求向量用基底表示即可. 【详解】由图知， . 故选：D. 3．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，在三角形OAB中，若向量，则向量（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量减法的三角形法则化简已知条件，移项整理即得所求 【详解】 故选：D 4．（24-25高一下·四川南充·期末）如图，中，，，，，N为的中点，设，，PN与相交于点. (1)用，表示、； (2)若，求的值； (3)求. 【答案】(1)，； (2)； (3) 【分析】（1）利用向量基本定理得到，； （2）表达出，根据三点共线，得到，求出； （3）在（1）基础上，得到，，，利用夹角余弦公式进行求解. 【详解】（1）N为的中点，故， ， 故； （2）， 因为三点共线，设，即， ，故，， 所以，解得； （3）由（1）知，，， 又，，，故， ， ， ， 则. 5．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，在中，已知点，分别在边，上，且，． (1)用向量，表示； (2)设，，，求角的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合平面向量的线性运算来求得正确答案. （2）利用平方的方法来求得的大小. 【详解】（1） . （2）由两边平方得： ， ， ，， 由于，所以. 6．（24-25高一上·四川泸州·期末）如图，在△中，为中线上一点，且，过点的直线与边，分别交于点，. (1)用向量，表示； (2)设向量，，求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据，结合向量的线性运算，再用，表达即可； （2）用，表达，结合三点共线即可求得. 【详解】（1）∵为中线上一点，且， ∴ ； （2）∵，，， ∴，又，，三点共线， ∴，解得，故的值为. 7．（24-25高一下·四川成都·期末）在中，已知是的中点，若P是上的一点，且满足与交于点E，则（   ） A． B．在上的投影向量为 C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A，根据向量的线性运算可得；对于B，由，结合可直接得到投影向量；对于C，根据向量的数量积可直接计算判断；对于D，设，再结合三点共线，列出方程组可求. 【详解】    对于A，， ，故A正确； 对于B，，且， 在上的投影向量为，故B错误； 对于C，是的中点，， 则， 又，所以， 即，故C正确； 对于D，设， 三点共线，， 则，所以，故D正确. 故选：ACD. 地 城 考点10 利用基底表示向量求参数 1．（24-25高一下·四川眉山·期末）如图，在平行四边形中，是对角线的交点，，若，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算及平面向量基本定理计算求参. 【详解】在平行四边形中，是对角线的交点，， 因为， 则，. 故选：A. 2．（24-25高一下·四川成都·期末）在正六边形ABCDEF中，，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据向量的线性运算法则和运算律求解即可. 【详解】，所以， 所以，所以， 故选：C. 3．（24-25高一下·四川凉山·期末）在等腰直角三角形中，，，，为的中点，满足，则的值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用表示，再利用数量积的运算律计算作答. 【详解】依题意，在中，，，， 由，，为的中点，得， 因此，而，即， 所以. 故选：B 4．（24-25高一下·四川遂宁·期末）在对角线相等的平行四边形中，，，为上一点，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合题意，图形及向量相加的首尾相连原则，平面向量基本定理可得答案. 【详解】由题及图形可知，，又， 则 . 故选：C    5．（24-25高一下·四川成都·期末）已知点O是的内心，，，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】连接并延长交于点，连接，则由角平分线定理得到的长度关系，再由平面向量基本定理，利用三点共线，得到关系式，比较系数可得答案. 【详解】连接并延长交于点，连接， 因为O是的内心，所以为的平分线， 所以根据角平分线定理可得， 所以, 因为三点共线，所以设， 则， 因为， 所以， 故选：D 6．（24-25高一下·四川内江·期末）在平行四边形中，是对角线上靠近点的三等分点，点在上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量三点共线定理和平面向量基本定理，由对应系数相等列方程求解即可. 【详解】由题可知， 点在上， 则存在实数λ，使得 ， ， ， ， 故选：C 7．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，边长为6的正中，点D在边上，且，点M在线段上． (1)若，求的值； (2)若，求x及的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）直接分解向量即可求解； （2）由三点共线求得参数的值，然后求得各自的模、数量积，结合向量夹角公式即可求解. 【详解】（1）∵，而， ∴，则即为所求． （2）∵，得，∴， 又∵，∴， ∵M、B、D三点共线，∴，则即为所求x的值． 则，∴， ∴， ∴， 同理可求：， ∴， ∴即为所求． 地 城 考点11 由向量共线求参数 1．（24-25高一下·四川成都·期末）设向量与不共线． (1)若，，若，，，求实数k的值； (2)若，，，求证：A，B，C三点共线． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由向量的数量积坐标运算及垂直表示列方程，求解即可； （2）由共线向量的定理判断． 【详解】（1）由题设，， ∵， ∴，得， 解得． （2）∵，， ∴，且两向量有公共点A， ∴A、B、C三点共线． 2．（24-25高一下·四川攀枝花·期末）已知点，，. (1)若A，B，C三点共线，求； (2)若，求. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用向量共线的坐标表示求出，再利用坐标求出模. （2）利用垂直关系的坐标表示求出，进而求出夹角余弦. 【详解】（1）点，，，则，， 由A，B，C三点共线，得，则，解得，即， 所以. （2）由（1）知，，， 由，得，解得，， 所以. 3．（24-25高一下·四川成都·期末）若向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量平行的坐标表示求解可得. 【详解】由，得，解得. 故选：A. 4．（24-25高一下·四川遂宁·期末）已知两点，点在轴上，若三点共线，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量共线，结合向量的坐标运算，即可求解. 【详解】设，由可得， 因为，所以，解得，故点的坐标为. 故选：D 5．（24-25高一下·四川成都·期末）已知向量，，且，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面向量共线的坐标表示可得出关于实数的等式，解之即可. 【详解】因为向量，，且，则，解得. 故选：B. 6．（24-25高一下·四川成都·期末）已知点，，，O为坐标原点，若与共线，则（   ） A． B． C．1 D．0 【答案】B 【分析】利用平面向量坐标及共线定理计算即可求解. 【详解】由，， 若与共线，则，解得. 故选：B. 7．（24-25高一下·四川绵阳·期末）已知平面向量，，若，则（    ） A． B． C．4 D．9 【答案】B 【分析】根据向量平行性质即可求解. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：B. 8．（24-25高一下·四川成都·期末）已知，，且，则________． 【答案】3 【分析】根据给定条件，利用向量共线的坐标表示求解. 【详解】向量，，由，得，解得. 故答案为：3 地 城 考点12 利用向量的垂直求参数（坐标表示） 1．（24-25高一下·四川巴中·期末）已知向量，，且，则的值为（   ） A．4 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】由向量垂直列方程求解即可. 【详解】已知向量，，且，则，解得. 故选：A. 2．（24-25高一下·四川自贡·期末）已知向量，，若，则（） A．1， B．，3 C．1 D． 【答案】B 【分析】根据向量的数量积的坐标运算，即可求解． 【详解】因为，， 所以 因为， 所以， 解得：或 故选：B 3．（24-25高一下·四川绵阳·期末）已知平面向量，，若，则（    ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】由，得列方程可求得结果. 【详解】因为，，， 所以， 化简得，解得. 故选：B 4．（24-25高一下·四川成都·期末）已知向量，，若，则__________. 【答案】/ 【分析】根据垂直向量的坐标表示和数量积进行求解即可. 【详解】由题意可得， 因为， 所以，解得. 故答案为：. 5．（24-25高一上·四川南充·期末）已知向量，且，则__________． 【答案】1 【解析】因为，则，代入坐标求解即可求出答案. 【详解】因为， 所以. 故答案为：1. 地 城 考点13 向量夹角的坐标表示 1．（24-25高一下·四川达州·期末）已知向量，，则向量与的夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】由坐标计算向量夹角的余弦可得. 【详解】由已知，， 所以向量与的夹角的余弦值为. 故选：D. 2．（24-25高一下·四川攀枝花·期末）已知向量，． (1)求； (2)若，求的值； (3)求与的夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题可得，根据模长的坐标计算即可求解； （2）利用向量平行的坐标表示即可求解； （3）根据，代入坐标运算即可； 【详解】（1）由题意得． 故 （2）， ． 因为，所以． 即，解得． （3）． 又． 故． 3．（24-25高一下·四川成都·期末）已知平面向量． (1)若，求实数m的值； (2)证明：对任意的，都有； (3)若与的夹角为，求的值． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）根据向量平行坐标公式计算求解； （2）根据平面向量的数量积公式计算证明向量垂直； （3）应用平面向量夹角坐标公式及模长公式计算求解. 【详解】（1）平面向量． 因为，所以； （2）因为平面向量， 所以平面向量． 所以， 所以对任意的，都有； （3）平面向量， 因为与的夹角为， 所以， 则． 4．（24-25高一下·四川乐山·期末）已知，且． (1)求的值； (2)求向量与向量夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量线性运算的坐标表示公式，结合共线向量坐标表示公式进行求解即可； （2）根据平面向量夹角公式，结合平面向量线性运算的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】（1）因为， 所以． 因为，所以，所以． （2）由（1）知，又，所以， 设与的夹角为，则． 5．（24-25高一下·四川南充·期末）已知，． (1)若，求的值； (2)若，求与夹角的余弦值． 【答案】(1)或. (2) 【分析】（1）根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可； （2）根据向量数量积得到方程，解出，再利用向量夹角公式得到答案. 【详解】（1）因为，所以， 解得：或. （2）因为， 所以，解得：， 所以， ， 所以与夹角的余弦值为. 地 城 考点14 已知向量垂直求参数 1．（24-25高一下·四川资阳·期末）已知向量，，且，则（    ） A．-5 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】可以求出，然后根据即可得出，进行向量坐标的数量积运算即可求出的值. 【详解】解：，，且， ∴，解得. 故选：D. 【点睛】本题考查向量的坐标运算，向量垂直的坐标表示，属于基础题. 2．（24-25高一下·四川成都·期末）已知向量，． (1)求的值； (2)若向量与垂直，求的值； (3)若向量与的夹角为锐角，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量运算及模的坐标表示计算； （2）由求解； （3）由向量与的数量积大于0且两向量不共线可得． 【详解】（1）由，， 得，故； （2）与垂直， ， ， 整理得：，解得； （3）与的夹角为锐角， ，且与不共线， 即，且， 解得且， 综上：当与的夹角为锐角时，． 3．（24-25高一下·四川乐山·期末）已知平面向量. (1)若，求实数的值； (2)若与的夹角为，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的坐标运算，由数量积为0即可求解， （2）根据夹角公式即可求解. 【详解】（1）由可得， 由得，解得 （2），故， 解得 4．（24-25高一下·四川遂宁·期末）已知向量，向量与向量的夹角为. (1)求的值； (2)若，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由公式，代入数值求解； （2）由得，从而解得的值. 【详解】（1），. . （2），且 ，即， 解得. 5．（24-25高一上·四川达州·期末）已知向量， ． （1）设向量与的夹角为 ，求； （2）若向量与向量垂直，求实数 ． 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）利用平面向量夹角的坐标表示即可求，再利用同角三角函数基本关系即可求解； （2）利用向量垂直得，展开即可求解. 【详解】（1）， 所以 （2）若向量与向量垂直，则， 即， ，，， 所以，即，解得：. 地 城 考点15 投影向量的坐标表示 1．（24-25高一下·四川凉山·期末）已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的坐标运算求，再结合投影向量的定义运算求解. 【详解】因为向量，，则， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：A. 2．（24-25高一下·四川凉山·期末）已知向量，则在方向上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据投影向量的计算公式即可求解. 【详解】解：，， ， ， 向量在向量上的投影向量为：. 故选：D. 3．（24-25高一下·四川成都·期末）已知向量，． (1)若与的夹角为钝角，求实数的取值范围； (2)若，求在上的投影向量的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，列出不等式，即可得到结果； （2）根据题意，由可求得，再由投影向量的定义即可得到结果. 【详解】（1）因为与的夹角为钝角，所以，且与不反向共线， 故，解得，且，所以实数的取值范围为． （2）， 因为，所以， 解得，． 故在上的投影向量为． 4．（24-25高一下·四川成都·期末）已知平面向量 (1)求与的夹角的余弦值； (2)求向量在向量上的投影向量的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量加、减法的坐标运算求出与的坐标，代入向量夹角公式计算两向量夹角的余弦值即可. （2）设，求出的坐标，代入投影向量公式计算即可. 【详解】（1），， . （2）设，则 向量在向量上的投影向量为. 5．（24-25高一下·四川成都·期末）已知向量，的夹角为45°，且满足，. (1)求向量在向量上的投影长度； (2)若向量与向量共线，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求得的模，利用投影的意义即可求解； （2）由题意可得存在实数，使，进而根据平面向量基本定理可求解. 【详解】（1）因为，，且向量与的夹角为， 所以， 所以. 所以向量在向量上的投影长度为. （2）若向量与向量共线，则存在实数，使， 所以，解得. 1．（24-25高一下·四川德阳·期末）已知向量，满足：，． (1)若，求． (2)若，求当为何值时，． (3)若，求在方向上的投影向量的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用数量积的运算律和数量积公式计算求解即可； （2）利用垂直关系的向量表示求解作答； （3）利用投影向量的计算公式求解即可. 【详解】（1）因为，，， 所以. （2）因为，即，即，则， 由，得， 解得，所以当时，． （3）. 2．（24-25高一下·四川乐山·期末）设向量，下列说法正确的是（   ） A．若时，则 B．与垂直 C．若时，则 D．若时，在上的投影向量为 【答案】ABD 【分析】根据向量的线性关系判断A，应用数量积公式及模长公式计算判断B，应用向量夹角余弦公式计算判断C，应用投影向量公式计算判断D. 【详解】当时，，则，A选项正确； 因为， 所以与垂直，B选项正确； 因为，所以，C选项错误； 当时， 在上的投影向量为，D选项正确； 故选：ABD. 地 城 考点16 平面向量的运算中最值问题 1．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，在中，点满足，点为的中点，过点的直线分别交线段，于点，，若，，则的最小值为（    ）    A．9 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】选定为基底，根据向量的线性运算表示出，再根据题意可得到，利用三点共线，得，利用“1”的巧用，结合基本不等式即可求得答案. 【详解】由题意知，故 ， 故, 而，，则 故， 所以， 由于三点共线，故， 则 ， 当且仅当时，结合，即时，等号成立， 故选：D 2．（24-25高一下·四川攀枝花·期末）设平面向量，，， ，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】，可得．两边平方，结合，，得到，求出最小值为，因此的最小值为 【详解】因为，所以，代入可得． 因为，所以， 两边平方得 ， 又，故 当时，取得最小值，因此的最小值为 故选：C 3．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，为的重心，过点的直线分别与，交于点，，且，，其中，则的最小值为（   ）    A． B．3 C． D．9 【答案】B 【分析】连接并延长交于点，由为的重心可得，且，将条件代入整理成，利用平面向量基本定理可得，再利用基本不等式“1”的妙用即可求得答案. 【详解】    如图，连接并延长交于点，因为的重心，则， 且点为的中点，故（*）， 因，，则有，，， 代入（*）可得：，即， 因三点共线，故，因， 则， 当且仅当时，等号成立，即的最小值为3. 故选：B. 4．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，在中，，是线段上一点，若，则的最大值为_________. 【答案】 【分析】根据向量性质得出的关系，再应用基本不等式计算积的最大值即可. 【详解】因为,所以, 因为在一条直线上，所以, 所以,当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 故答案为：. 5．（24-25高一下·四川宜宾·期末）在等腰梯形ABCD中，已知，，，，点E，F分别在线段BC和CD上，则的最大值为_______． 【答案】12 【分析】先建立平面直角坐标系，写出的坐标表示，再进行数量积运算，由算式判断最大值. 【详解】过作的垂线，垂足分别为， ，则， 以为原点，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 等腰梯形ABCD中，，，，， 则有，，所以，， 设，，则， 令，得，，则， 有，当时取到等号. 所以的最大值为12. 故答案为：12. 1 / 44 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平面向量 16大高频考点概览 考点01 平面向量的基本概念 考点09用基底表示向量（重点题型） 考点02与向量数乘有关的计算 考点10利用基底表示向量求参数（重点题型） 考点03向量线性运算的几何应用（重点题型） 考点11由向量共线求参数 考点04用定义求向量的数量积（高频题型） 考点12利用向量的垂直求参数（坐标表示） 考点05已知数量积求模 考点13向量夹角的坐标表示（常考题型） 考点06向量夹角的计算 考点14已知向量垂直求参数 考点07已知向量的夹角求参数取值范围（难点题型） 考点15投影向量的坐标表示（重点题型） 考点08投影向量的相关计算（重点题型） 考点16平面向量的运算中最值问题（难点题型） 地 城 考点01 平面向量的基本概念 1．（24-25高一下·四川乐山·期末）下列说法正确的是（   ） A．若为单位向量，则 B．若为平行向量，则 C．若，则 D．若，则 2．（24-25高一上·四川泸州·期末）已知单位向量，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·四川成都·期末）已知为共线向量，且，则__________. 4．（24-25高一下·四川成都·期中）对于非零向量，下列选项一定能使成立的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·四川自贡·期末）如图所示，点是正六边形的中心，则以图中点、中的任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量共线的向量有（    ）    A． B． C． D． 地 城 考点02 与向量数乘有关的计算 1．（24-25高一下·四川泸州·期末）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·四川泸州·期末）在平行四边形中，对角线与交于点，若，则（    ） A． B．2 C． D． 地 城 考点03 向量线性运算的几何应用 1．（24-25高一下·四川资阳·期末）如图，在中，点满足，为的中点，则（   ）      A． B． C． D． 2．（24-25高一下·四川雅安·期末）如图，在梯形ABCD中，，E在BC上，且，设，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·四川攀枝花·期末）在中，为上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·四川甘孜·期末）在中，若分别为的中点，则（    ） A．​ B．​ C． D． 5．（24-25高一下·四川成都·期末）在矩形中，已知分别是上的点，且满足，则（    ） A． B． C． D．   地 城 考点04 用定义求向量的数量积 1．（24-25高一下·四川自贡·期末）若，是夹角为的单位向量，则与夹角是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·四川成都·期末）在中，，则（    ） A． B．16 C．32 D． 3．（24-25高一下·四川成都·期末）一蜂巢的精密结构由7个边长均为2的正六边形组成，摆放位置如图所示，其中为三个固定顶点，则（    ） A． B． C． D． 地 城 考点05 已知数量积求模 1．（24-25高一下·四川遂宁·期末），则的最大值是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·四川成都·期末）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C．1 D． 3．（24-25高一下·四川绵阳·期末）若平面向量两两的夹角相等，且，则（    ） A．2 B．8 C．或 D．2或8 4．（24-25高一下·四川攀枝花·期末）已知平面向量与的夹角为，且，，则___________. 5．（24-25高一下·四川成都·期末）已知向量，，的模长分别为2，1，1，记向量与的夹角为θ，，则的最大值为________． 6．（24-25高一下·四川泸州·期末）已知向量，，，则_____. 7．（24-25高一下·四川成都·期末）已知非零向量，，满足，且与的夹角为，则________． 8．（24-25高一下·四川泸州·期末）已知向量与向量的夹角为，，，则的值是______． 地 城 考点06 向量夹角的计算 1．（24-25高一下·四川成都·期末）若单位向量满足，则的夹角为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·四川眉山·期末）向量，满足，，，则向量，的夹角是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·四川成都·期末）已知，，，则与的夹角为________. 4．（24-25高一下·四川成都·期末）已知平面向量，满足，，，则向量，夹角的余弦值为______． 5．（24-25高一下·四川眉山·期末）已知向量，若，与的夹角为． (1)求； (2)求与夹角的余弦值． 6．（24-25高一下·四川攀枝花·期末）已知向量与的夹角为，，. (1)求及； (2)求向量与向量的夹角. 地 城 考点07 已知向量的夹角求参数取值范围 1．（24-25高一下·四川成都·期中）已知向量，若与的夹角为；若与的夹角为钝角，则取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·四川遂宁·期末）已知两个向量、满足，，，且向量与的夹角为钝角．则实数的取值范围为___________． 3．（24-25高一下·四川雅安·期末）设两个向量，，满足，. （1）若，求，的夹角； （2）若，夹角为60°，向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 地 城 考点08 投影向量的相关计算 1．（24-25高一下·四川成都·期末）已知向量的夹角为，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·四川成都·期末）已知向量与的夹角为，且，，则在方向上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·四川达州·期末）已知非零向量，的夹角为，且，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·四川攀枝花·三模）平面向量，满足，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·四川凉山·期末）已知为非零向量，若向量在上的投影向量为，则的最小值是__________. 6．（24-25高一下·四川眉山·期末）已知，，，则向量在向量上的投影向量为______． 7．（24-25高一下·四川成都·期末）已知是夹角为的两个单位向量，则向量在向量上的投影向量为________. 8．（24-25高一下·四川成都·期末）已知. (1)求和的夹角； (2)若向量为在上的投影向量，求. 9．（24-25高一下·四川成都·期末）已知向量满足，，且在上的投影向量为. (1)求及的值； (2)若，求的值. 地 城 考点09 用基底表示向量 1．（24-25高一下·四川攀枝花·期末）在平行四边形中，设为线段的中点，为线段上靠近的三等分点，，，则向量（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，在中，是的中点，为上的点，且，若，，则用表示为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，在三角形OAB中，若向量，则向量（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·四川南充·期末）如图，中，，，，，N为的中点，设，，PN与相交于点. (1)用，表示、； (2)若，求的值； (3)求. 5．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，在中，已知点，分别在边，上，且，． (1)用向量，表示； (2)设，，，求角的大小． 6．（24-25高一上·四川泸州·期末）如图，在△中，为中线上一点，且，过点的直线与边，分别交于点，. (1)用向量，表示； (2)设向量，，求的值. 7．（24-25高一下·四川成都·期末）在中，已知是的中点，若P是上的一点，且满足与交于点E，则（   ） A． B．在上的投影向量为 C． D． 地 城 考点10 利用基底表示向量求参数 1．（24-25高一下·四川眉山·期末）如图，在平行四边形中，是对角线的交点，，若，则（   ） A．1 B． C．2 D． 2．（24-25高一下·四川成都·期末）在正六边形ABCDEF中，，则（    ） A． B． C． D．1 3．（24-25高一下·四川凉山·期末）在等腰直角三角形中，，，，为的中点，满足，则的值为（    ） A． B．1 C． D． 4．（24-25高一下·四川遂宁·期末）在对角线相等的平行四边形中，，，为上一点，若，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·四川成都·期末）已知点O是的内心，，，则（    ） A． B． C．2 D． 6．（24-25高一下·四川内江·期末）在平行四边形中，是对角线上靠近点的三等分点，点在上，若，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，边长为6的正中，点D在边上，且，点M在线段上． (1)若，求的值； (2)若，求x及的值． 地 城 考点11 由向量共线求参数 1．（24-25高一下·四川成都·期末）设向量与不共线． (1)若，，若，，，求实数k的值； (2)若，，，求证：A，B，C三点共线． 2．（24-25高一下·四川攀枝花·期末）已知点，，. (1)若A，B，C三点共线，求； (2)若，求. 3．（24-25高一下·四川成都·期末）若向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·四川遂宁·期末）已知两点，点在轴上，若三点共线，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·四川成都·期末）已知向量，，且，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·四川成都·期末）已知点，，，O为坐标原点，若与共线，则（   ） A． B． C．1 D．0 7．（24-25高一下·四川绵阳·期末）已知平面向量，，若，则（    ） A． B． C．4 D．9 8．（24-25高一下·四川成都·期末）已知，，且，则________． 地 城 考点12 利用向量的垂直求参数（坐标表示） 1．（24-25高一下·四川巴中·期末）已知向量，，且，则的值为（   ） A．4 B． C．3 D． 2．（24-25高一下·四川自贡·期末）已知向量，，若，则（） A．1， B．，3 C．1 D． 3．（24-25高一下·四川绵阳·期末）已知平面向量，，若，则（    ） A． B． C． D．5 4．（24-25高一下·四川成都·期末）已知向量，，若，则__________. 5．（24-25高一上·四川南充·期末）已知向量，且，则__________． 地 城 考点13 向量夹角的坐标表示 1．（24-25高一下·四川达州·期末）已知向量，，则向量与的夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D．0 2．（24-25高一下·四川攀枝花·期末）已知向量，． (1)求； (2)若，求的值； (3)求与的夹角的余弦值． 3．（24-25高一下·四川成都·期末）已知平面向量． (1)若，求实数m的值； (2)证明：对任意的，都有； (3)若与的夹角为，求的值． 4．（24-25高一下·四川乐山·期末）已知，且． (1)求的值； (2)求向量与向量夹角的余弦值． 5．（24-25高一下·四川南充·期末）已知，． (1)若，求的值； (2)若，求与夹角的余弦值． 地 城 考点14 已知向量垂直求参数 1．（24-25高一下·四川资阳·期末）已知向量，，且，则（    ） A．-5 B．5 C．6 D．7 2．（24-25高一下·四川成都·期末）已知向量，． (1)求的值； (2)若向量与垂直，求的值； (3)若向量与的夹角为锐角，求的取值范围． 3．（24-25高一下·四川乐山·期末）已知平面向量. (1)若，求实数的值； (2)若与的夹角为，求实数的值. 4．（24-25高一下·四川遂宁·期末）已知向量，向量与向量的夹角为. (1)求的值； (2)若，求实数的值. 5．（24-25高一上·四川达州·期末）已知向量， ． （1）设向量与的夹角为 ，求； （2）若向量与向量垂直，求实数 ． 地 城 考点15 投影向量的坐标表示 1．（24-25高一下·四川凉山·期末）已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·四川凉山·期末）已知向量，则在方向上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·四川成都·期末）已知向量，． (1)若与的夹角为钝角，求实数的取值范围； (2)若，求在上的投影向量的坐标． 4．（24-25高一下·四川成都·期末）已知平面向量 (1)求与的夹角的余弦值； (2)求向量在向量上的投影向量的坐标． 5．（24-25高一下·四川成都·期末）已知向量，的夹角为45°，且满足，. (1)求向量在向量上的投影长度； (2)若向量与向量共线，求的值. 1．（24-25高一下·四川德阳·期末）已知向量，满足：，． (1)若，求． (2)若，求当为何值时，． (3)若，求在方向上的投影向量的坐标． 2．（24-25高一下·四川乐山·期末）设向量，下列说法正确的是（   ） A．若时，则 B．与垂直 C．若时，则 D．若时，在上的投影向量为 地 城 考点16 平面向量的运算中最值问题 1．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，在中，点满足，点为的中点，过点的直线分别交线段，于点，，若，，则的最小值为（    ）    A．9 B．4 C． D． 2．（24-25高一下·四川攀枝花·期末）设平面向量，，， ，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，为的重心，过点的直线分别与，交于点，，且，，其中，则的最小值为（   ）    A． B．3 C． D．9 4．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，在中，，是线段上一点，若，则的最大值为_________. 5．（24-25高一下·四川宜宾·期末）在等腰梯形ABCD中，已知，，，，点E，F分别在线段BC和CD上，则的最大值为_______． 1 / 44 学科网（北京）股份有限公司 $