8.3列联表与独立性检验讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版择性必修第三册

本讲义聚焦“列联表与独立性检验”核心知识点，先通过分类变量概念引入，系统梳理2×2列联表的结构与数据整理方法，再结合等高堆积条形图进行可视化分析，最终落脚于独立性检验的步骤与应用，构建从概念到工具再到实践的完整学习支架。 资料特色在于以现实情境例题驱动教学，如博鳌论坛翻译人员性别与俄语能力、地铁开通市民关注情况等案例，培养学生用数学眼光观察现实问题。通过列联表完善、卡方值计算等题型设计，提升逻辑推理与运算能力，体现数学思维。课中辅助教师授课，课后助力学生通过多样练习查漏补缺，强化数据观念与应用意识。

8.3 列联表与独立性检验 【知识点归纳】 1．分类变量 为了表述方便，我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为 分类变量.分类变量的取值可以用实数表示. 2．2×2列联表 假设两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{,}和{,}，其2×2列联表为 X Y 合计 y1 y2 x1 a b a+b x2 c d c+d 合计 a+c b+d a+b+c+d 2×2列联表给出了成对分类变量数据的交叉分类频数. 3．等高堆积条形图 常用等高堆积条形图展示列联表数据的频率特征(如图)，由此反映出两个分类变量间是否相互影响. (1)等高堆积条形图中有两个高度相同的矩形，每一个矩形中都有两种颜色， 观察下方颜色区域的高度，如果两个高度相差比较明显(即和相差很大)，就判定两个分类变量之间有关系. (2)利用等高堆积条形图虽可以比较各个部分之间的差异，明确展现两个分类变量的关系，但不能知道两个分类变量有关系的概率大小. 4．独立性检验 (1)假定通过简单随机抽样得到了X和Y的抽样数据列联表，如下表所示. X Y 合计 Y=0 Y=1 X=0 a b a+b X=1 c d c+d 合计 a+c b+d n=a+b+c+d 则. (2)利用的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简 称独立性检验. (3)独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值. 5．独立性检验的应用问题的解题策略 解决独立性检验的应用问题，一定要按照独立性检验的步骤得出结论.独立性检验的一般步骤： (1)根据样本数据制成2×2列联表； (2)根据公式计算； (3)通过比较与临界值的大小关系来作统计推断. 【典型例题】 题型1 完善列联表 例1．博鳌亚洲论坛2024年年会于3月26日至29日在海南博鳌举行．为了搞好对外宣传工作，会务组选聘了30名记者担任对外翻译工作，在下面“性别与是否会俄语”的列联表中，______． 性别 是否会俄语 合计 会 不会 男 20 女 6 合计 18 30 变式1．（25-26高二·全国·课堂例题）一个列联表如下： 合计 35 45 7 合计 73 则表中，的值分别是    （   ） A．10，38 B．17，45 C．10，45 D．17，38 题型2 分析列联表 例2．地铁的开通，在一定程度上缓解了市内交通的拥堵状况.某条地铁线路开通后，某调查机构抽取了部分乘坐该线路地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构，得到如下信息：35岁及以下的市民中，男性约占；35岁以上的市民中，男性约占；男性市民中，35岁及以下的约占；女性市民中，35岁及以下的约占.根据以上信息，下列结论不一定正确的是（    ） A．样本中男性比女性多 B．样本中多数女性是35岁以上 C．样本中35岁及以下的男性人数比35岁以上的女性人数多 D．样本中35岁以上的市民比35岁及以下的多 变式2．（2026·四川泸州·模拟预测）某市开展“安全随我行”活动，交警部门在某个交通路口增设电子抓拍眼，并记录了某月该路口连续10日骑电动摩托车未佩戴头盔的人数与天数的情况，对统计得到的样本数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值. 5.5 8.7 1.9 301 385 79.75 表中，. (1)依据散点图推断，与哪一个更适合作为未佩戴头盔人数与天数的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由），并求出所选类型的回归方程. (2)为了解佩戴头盔情况与性别的关联性，交警对该路口骑电动摩托车市民进行调查，得到如下列联表： 性别 佩戴头盔 合计 不佩戴 佩戴 女性 8 12 20 男性 14 6 20 合计 22 18 40 依据的独立性检验，能否认为市民骑电动摩托车佩戴头盔与性别有关联？ 参考公式：，，，其中. 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 题型3 等高条形图 例3．年月日太原地铁号线开通，在一定程度上缓解了市内交通的拥堵状况，为了了解市民对地铁号线开通的关注情况，某调查机构在地铁开通后两天抽取了部分乘坐地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构．并制作出如下等高堆积条形图： 根据图中信息，下列结论不一定正确的是（ ） A．样本中男性比女性更关注地铁号线开通 B．样本中多数女性是岁及以上 C．样本中岁以下的男性人数比岁及以上的女性人数多 D．样本中岁及以上的人对地铁号线的开通关注度更高 变式3．（25-26高二下·广东深圳·期中）观察下面各等高堆积条形图，其中两个分类变量、相关关系最强的是___________. 题型4 独立性检验分析 例4．有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元.某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，结果得到列联表如下：则（   ） 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 20 60 80 愿意报名参加答题活动 80 合计 100 参考公式：，其中. 附表： 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 A．当时，有的把握认为参与答题意愿与性别无关. B．当时，有的把握认为参与答题意愿与性别有关. C．当时，根据小概率值的独立性检验，认为参与答题意愿与性别有关联. D．当时，根据小概率值的独立性检验，没有充分的证据推断参与答题意愿与性别有关联. 变式4．针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”进行调查，调查样本中女生人数是男生人数的，男生追星人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的．若根据小概率值的独立性检验，可以推断追星和性别有关，则调查样本中男生人数可以是（    ） （参考公式及数据：，临界值） A．10 B．11 C．12 D．18 题型5独立性检验应用 例5．某中学为了调查研究学生参加户外运动的情况，从该校随机抽取100名学生进行问卷调查，每周户外运动时间累计5小时以上的称为“运动小达人”，未达到者称为“非运动达人”．得到数据如表所示． 运动小达人 非运动达人 合计 男生 40 女生 44 合计 100 已知从样本“运动小达人”中按性别采用分层抽样的方法抽取6人，这6人中男女比例是． (1)根据已知条件，求表中的值； (2)通过计算判断是否有的把握认为该校学生是否为“运动小达人”与性别有关． 附：． 0.050 0.010 0.005 3.841 6.635 7.879 变式5．已知某车间有甲、乙两条生产线生产相同型号的产品.质检人员分别从甲、乙两条生产线各抽取了600件产品，其中甲生产线有优质品450件，非优质品150件：乙生产线有优质品400件，非优质品200件. (1)根据小概率值的独立性检验，能否判断产品是否优质与生产线有关； (2)用频率估计概率，每次从甲生产线中有放回地抽取1件产品，共抽取4次，记抽取到优质品的次数为，求的分布列及数学期望. 附：，. 【强化练习】 一、单选题 1．下列说法正确的是（    ） A．一组样本数据通过计算得到线性回归方程为，若，则a=0.15 B．有一组数1，2，3，5，这组数的第百分位数是3 C．随机变量，若，，则 D．在的独立性检验中，若不小于对应的临界值，可以推断两变量不独立，该推断犯错误的概率不超过 2．下列结论正确的是（   ） A．两个变量的相关性越弱，相关系数越小 B．利用样本点求经验回归方程，则至少有一个样本点在回归直线上 C．对于独立性检验，的观测值越大，判断“两变量有关联”犯错误的概率越大 D．在列联表中，若每个数据都变为原来的2倍，则变为原来的2倍 3．某校团委对“学生性别和是否喜欢运动的关联性”进行了一次调查，其中被调查的男､女生人数相同，男生中喜欢运动的人数占男生人数的，女生中喜欢运动的人数占女生人数的，若有的把握，但没有的把握认为“学生性别和是否喜欢运动有关”，则被调查的男生人数可能为（    ） 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A．25 B．70 C．60 D．75 4．（24-25高二下·重庆·期末）如图是学校高二1､2班本期中考试数学成绩优秀率的等高堆积条形图，如果再从两个班中各随机抽6名学生的期中考试数学成绩统计，那么（    ） A．两个班6名学生的数学成绩优秀率可能相等 B．1班6名学生的数学成绩优秀率一定高于2班 C．2班6名学生中数学成绩不优秀的一定多于优秀的 D．“两班学生的数学成绩优秀率存在差异”判断一定正确 5.（25-26高二下·浙江温州·月考）随着人工智能技术的快速发展，AI图像识别在工业质检、安防监控等领域得到广泛应用．某科技公司为提升自主研发的AI图像识别模型的识别准确率，研发了一种基于国产算力优化的特征提取算法．为检验该算法的实际效果，研究人员随机选取了200个同批次的工业零件检测样本，随机分为两组，每组100个样本：第一组使用新优化算法进行识别，第二组使用传统算法进行识别，记录两组样本的识别成功与失败情况，得到如下列联表： 识别成功 识别失败 合计 新优化算法 85 15 100 传统算法 70 30 100 合计 155 45 200 附：统计量临界值表      0.10 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 其中，． 则下列说法正确的是（   ） A．有99%的把握认为新优化算法对提升识别成功率有效 B．有95%的把握认为新优化算法对提升识别成功率有效 C．若将列联表中每个单元格的数据都扩大为原来的2倍，统计量的值保持不变 D．新优化算法的样本识别成功率比传统算法高15个百分点，因此新算法在所有工业检测场景中都优于传统算法 6．（2026·云南红河·模拟预测改编）（多选）某实验室为了研究荧光抗体法与常规培养法在沙门氏菌检验结果中是否存在差异，用以上两种检验方法对某种食品做了沙门氏菌检验，结果得到列联表如下： 阳性 阴性 合计 荧光抗体法 常规培养法 合计 参考公式：，其中． 附：下列表述正确的是（    ） A．，，n=800 B．零假设：在沙门氏菌检验中荧光抗体法与常规培养法有差异 C．依据小概率值的独立性检验，认为荧光抗体法与常规培养法在沙门氏菌检验中有差异 D．常规培养法检测沙门氏菌阳性的频率为 二、多选题 7．设，为两个变量，每一个变量都可以取两个值，即，，且，，，且，随机调查个样本数据后，得到如下列联表，则（   ） 合计 合计 A．若，则可以认为与独立 B．若变量与独立，则 C．若很大，则变量与不独立 D．若变量与不独立，则很大 8．下列结论正确的是（    ） A．一组样本数据通过计算得到线性回归方程为，若，则 B．一组数据的第80百分位数是11.5 C．已知随机变量，若，则 D．在列联表中，若每个数据均变成原来的2倍，则不变（，其中） 9．下列选项正确的是（    ） A．若回归方程为，则当变量增加1个单位时，增加3个单位 B．设具有相关关系的两个变量x、y的相关系数为r，越接近于1，说明两个变量之间的线性相关性越强 C．利用进行独立性检验时，的值越大，说明有更大的把握认为两个分类变量相关性越弱 D．根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归方程为，若其中一个散点坐标为，则 3、 填空题 10．（2026·上海·二模）某工厂为判断两种不同的操作方法是否对生产某种零件的合格个数有影响，收集了相关数据，绘制了列联表，设原假设：两种不同的操作方法对生产该种零件的合格个数没有影响，计算出统计量，已知，则在显著性水平下，推断的结论为________．（用“拒绝”或“接受”填空） 【答案】拒绝 【详解】在独立性检验中，当计算出的统计量大于给定显著性水平对应的临界值时，样本数据出现的概率小于， 属于小概率事件，根据小概率原理，我们拒绝原假设，认为两个变量之间存在显著关联， 本题中，所以拒绝，即认为两种操作方法对合格个数有影响. 四、解答题 11．某学校开展阅读兴趣调查，随机采访男生、女生各100人，得到下面列联表： 喜欢文学类书籍 喜欢科普类书籍 男生 30 70 女生 50 50 (1)估计该校男生和女生喜欢科普类书籍的概率分别是多少； (2)能否有的把握认为学生喜欢文学类书籍还是科普类书籍与性别有关？ 附：． 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 12．长跑可提高呼吸系统和心血管系统机能，为了调查学生喜欢跑步是否与性别有关，某校从高三年级选取了200名学生进行问卷调查，得到如下的列联表．已知在这200名学生中随机抽取1人抽到喜欢跑步学生的概率为0.6． 性别 跑步 喜欢跑步 不喜欢跑步 总计 男生 80 女生 20 总计 (1)完成上面表格，判断能否有90%的把握认为喜欢跑步与性别有关并说明理由？ (2)从上述不喜欢跑步的学生中用样本量按比例分配的分层随机抽样的方法抽取8名学生，再从这8人中抽取3人调查其喜欢的运动，用X表示3人中女生的人数，求X的分布列及数学期望． 附：，其中． 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 13．2025年举办的江西省城市足球联赛（简称“赣超”）深受广大市民的喜爱，66个场次累计123万人次现场观看了比赛.为了解喜欢观看“赣超”联赛与性别是否有关系，随机抽取了部分市民，调查他们是否喜欢观看“赣超”联赛的情况，得到如下表格： 性别 不喜欢观看“赣超”联赛 喜欢观看“赣超”联赛 男性 25 150 女性 50 75 (1)是否有99%的把握认为喜欢观看“赣超”联赛与性别有关； (2)用频率估计概率，从喜欢观看“赣超”联赛的市民中随机抽取3人参加抽奖活动，记这3人中女性人数为X，求X的分布列和数学期望． 附：，（结果精确到0.001）． α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 14．深圳一高中为了解学生周末使用手机的情况，统计了全校所有学生在一年内周末使用手机的时长，现随机抽取了名同学在某个周末使用手机的时长，结果如下表： 周末使用手机时长（h） 0 1 2 3 4 5 6 合计 男生人数 1 2 4 5 6 5 4 3 30 女生人数 4 5 5 6 4 3 2 1 30 合计 5 7 9 11 10 8 6 4 60 (1)若将周末使用为小时及小时以上的，称为“经常使用”，其余的称为“不经常使用”． 请完成以下列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与使用的经常性有关系； 性别 使用手机 合计 不经常 经常 男生 女生 合计 (2)对于周末使用手机小时及以上的同学，学校想要为进一步了解他们的手机使用情况： （ⅰ）在样本的名周末使用手机小时及以上的同学中，随机抽取人进行访谈，求恰好抽中名男生的概率； （ⅱ）在和小明的访谈中得知，他有款喜爱的手机游戏，并且在周五周六周日三天中，每天随机选择一款玩一个小时，每天的选择互相独立.记至少选中过一次游戏的数目为，求的分布列和数学期望． 附：，． 15．某学习小组为了研究性别与近视之间是否有关联，在年级随机选取了30人，得到如下列联表： 性别 近视 合计 不近视 近视 男 5 17 22 女 2 6 8 合计 7 23 30 (1)在样本中的名女生中随机选取人，求这人中至少有人是近视的概率； (2)小组成员甲通过计算发现女生的近视率为小于男生的近视率，所以甲认为男生更容易近视.请根据小概率值的独立性检验，分析甲的说法是否正确？ α xα 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.3 列联表与独立性检验 【知识点归纳】 1．分类变量 为了表述方便，我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为 分类变量.分类变量的取值可以用实数表示. 2．2×2列联表 假设两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{,}和{,}，其2×2列联表为 X Y 合计 y1 y2 x1 a b a+b x2 c d c+d 合计 a+c b+d a+b+c+d 2×2列联表给出了成对分类变量数据的交叉分类频数. 3．等高堆积条形图 常用等高堆积条形图展示列联表数据的频率特征(如图)，由此反映出两个分类变量间是否相互影响. (1)等高堆积条形图中有两个高度相同的矩形，每一个矩形中都有两种颜色， 观察下方颜色区域的高度，如果两个高度相差比较明显(即和相差很大)，就判定两个分类变量之间有关系. (2)利用等高堆积条形图虽可以比较各个部分之间的差异，明确展现两个分类变量的关系，但不能知道两个分类变量有关系的概率大小. 4．独立性检验 (1)假定通过简单随机抽样得到了X和Y的抽样数据列联表，如下表所示. X Y 合计 Y=0 Y=1 X=0 a b a+b X=1 c d c+d 合计 a+c b+d n=a+b+c+d 则. (2)利用的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简 称独立性检验. (3)独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值. 5．独立性检验的应用问题的解题策略 解决独立性检验的应用问题，一定要按照独立性检验的步骤得出结论.独立性检验的一般步骤： (1)根据样本数据制成2×2列联表； (2)根据公式计算； (3)通过比较与临界值的大小关系来作统计推断. 【典型例题】 题型1 完善列联表 例1．博鳌亚洲论坛2024年年会于3月26日至29日在海南博鳌举行．为了搞好对外宣传工作，会务组选聘了30名记者担任对外翻译工作，在下面“性别与是否会俄语”的列联表中，______． 性别 是否会俄语 合计 会 不会 男 20 女 6 合计 18 30 【答案】8 【分析】根据列联表的性质，求出a，b，d的值，即可得答案. 【详解】由列联表的性质，可得：，可得， 所以． 故答案为：8 变式1．（25-26高二·全国·课堂例题）一个列联表如下： 合计 35 45 7 合计 73 则表中，的值分别是    （   ） A．10，38 B．17，45 C．10，45 D．17，38 【答案】B 【分析】由列联表数据，列出等式即可求解； 【详解】由，得． 由，得． 由，得． 由，得． 故选：B 题型2 分析列联表 例2．地铁的开通，在一定程度上缓解了市内交通的拥堵状况.某条地铁线路开通后，某调查机构抽取了部分乘坐该线路地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构，得到如下信息：35岁及以下的市民中，男性约占；35岁以上的市民中，男性约占；男性市民中，35岁及以下的约占；女性市民中，35岁及以下的约占.根据以上信息，下列结论不一定正确的是（    ） A．样本中男性比女性多 B．样本中多数女性是35岁以上 C．样本中35岁及以下的男性人数比35岁以上的女性人数多 D．样本中35岁以上的市民比35岁及以下的多 【答案】C 【分析】根据题意，得到如下两个列联表，再一一分析即可. 【详解】根据题意，得到如下两个列联表. 35岁以上 35岁及以下 总计 男性 女性 总计 35岁以上 35岁及以下 总计 男性 女性 总计 根据第1个列联表可知，样本中男性市民人数为， 女性市民人数为，又，即样本中男性比女性多，故A正确； 根据第2个列联表可知，样本中35岁以上女性市民人数为， 35岁及以下女性市民人数为，又，即样本中多数女性是35岁以上，故B正确； 由题意，，所以，故C不正确； 根据第2个列联表可知，样本中35岁以上市民人数为， 35岁及以下市民人数为，又， 即样本中35岁以上的市民比35岁及以下的多，故D正确. 故选：C. 变式2．（2026·四川泸州·模拟预测）某市开展“安全随我行”活动，交警部门在某个交通路口增设电子抓拍眼，并记录了某月该路口连续10日骑电动摩托车未佩戴头盔的人数与天数的情况，对统计得到的样本数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值. 5.5 8.7 1.9 301 385 79.75 表中，. (1)依据散点图推断，与哪一个更适合作为未佩戴头盔人数与天数的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由），并求出所选类型的回归方程. (2)为了解佩戴头盔情况与性别的关联性，交警对该路口骑电动摩托车市民进行调查，得到如下列联表： 性别 佩戴头盔 合计 不佩戴 佩戴 女性 8 12 20 男性 14 6 20 合计 22 18 40 依据的独立性检验，能否认为市民骑电动摩托车佩戴头盔与性别有关联？ 参考公式：，，，其中. 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)更适合， (2)不能 【分析】（1）根据图形，即可作出判断，再将非线性回归方程转化成线性回归方程，再结合条件，求出，即可求解； （2）根据条件，求出的值，结合条件，即可求解. 【详解】（1）由图可以判断，更适合作为未佩戴头盔人数与天数的回归方程类型， 由，得到，因为，则， 则，所以，则. （2）零假设：市民佩戴头盔与性别无关联. 根据列联表中的数据，经计算得到： ， 根据小概率值的独立性检验，我们没有理由认为不成立，即认为市民佩戴头盔与性别没有关联. 题型3 等高条形图 例3．年月日太原地铁号线开通，在一定程度上缓解了市内交通的拥堵状况，为了了解市民对地铁号线开通的关注情况，某调查机构在地铁开通后两天抽取了部分乘坐地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构．并制作出如下等高堆积条形图： 根据图中信息，下列结论不一定正确的是（ ） A．样本中男性比女性更关注地铁号线开通 B．样本中多数女性是岁及以上 C．样本中岁以下的男性人数比岁及以上的女性人数多 D．样本中岁及以上的人对地铁号线的开通关注度更高 【答案】C 【分析】通过对等高堆积条形图的分析，结合所列列联表及不等式性质，逐一对每个选项进行推理判断即可. 【详解】设等高条形图对应列联表如下： 岁及以上 岁以下 总计 男性 女性 总计 根据第个等高条形图可知，岁及以上男性比岁及以上女性多，即； 岁以下男性比岁以下女性多，即． 根据第个等高条形图可知，男性中岁及以上的比岁以下的多，即； 女性中岁及以上的比岁以下的多，即， 对于A，男性人数为，女性人数为， 因为，所以，所以A正确； 对于B，岁及以上女性人数为，岁以下女性人数为， 因为，所以B正确； 对于C，岁以下男性人数为，岁及以上女性人数为， 无法从图中直接判断与的大小关系，所以C不一定正确； 对于D，岁及以上的人数为，岁以下的人数为， 因为，所以，所以D正确． 故选：C. 变式3．（25-26高二下·广东深圳·期中）观察下面各等高堆积条形图，其中两个分类变量、相关关系最强的是___________. 【答案】乙 【分析】根据选项中的图形，即可直接求解. 【详解】等高条形图中有两个高度相同的矩形，每个矩形都有两个颜色，观察下方颜色区域的高度，如果高度差越大，则两个分类变量关系越强，观察四个选项可知，B选项中带颜色区域的高度差最大，两个分类变量、相关关系最强; 故答案为：乙 题型4 独立性检验分析 例4．有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元.某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，结果得到列联表如下：则（   ） 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 20 60 80 愿意报名参加答题活动 80 合计 100 参考公式：，其中. 附表： 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 A．当时，有的把握认为参与答题意愿与性别无关. B．当时，有的把握认为参与答题意愿与性别有关. C．当时，根据小概率值的独立性检验，认为参与答题意愿与性别有关联. D．当时，根据小概率值的独立性检验，没有充分的证据推断参与答题意愿与性别有关联. 【答案】BC 【详解】对于AB，当时，， 则， 所以有的把握认为参与答题意愿与性别有关.，故A错误，B正确； 对于CD，当时，， 零假设为：参与答题意愿与性别无关， 则， 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 所以根据小概率值的独立性检验，认为参与答题意愿与性别有关联，故C正确，D错误. 变式4．针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”进行调查，调查样本中女生人数是男生人数的，男生追星人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的．若根据小概率值的独立性检验，可以推断追星和性别有关，则调查样本中男生人数可以是（    ） （参考公式及数据：，临界值） A．10 B．11 C．12 D．18 【答案】CD 【分析】设样本中男生人数为，得列联表,计算，计算可得结论. 【详解】设样本中男生人数为，得列联表 追 不追 合计 男 女 合计 所以，即，又，故C、D正确． 题型5独立性检验应用 例5．某中学为了调查研究学生参加户外运动的情况，从该校随机抽取100名学生进行问卷调查，每周户外运动时间累计5小时以上的称为“运动小达人”，未达到者称为“非运动达人”．得到数据如表所示． 运动小达人 非运动达人 合计 男生 40 女生 44 合计 100 已知从样本“运动小达人”中按性别采用分层抽样的方法抽取6人，这6人中男女比例是． (1)根据已知条件，求表中的值； (2)通过计算判断是否有的把握认为该校学生是否为“运动小达人”与性别有关． 附：． 0.050 0.010 0.005 3.841 6.635 7.879 【答案】(1) (2)有的把握认为该校学生是否为“运动小达人”与性别有关 【分析】（1）根据题意，得到“运动小达人”中女生有20人，进而求得的值； （2）由（1）可知列联表，利用公式，求得，结合附表，即可得到答案. 【详解】（1）解：从样本“运动小达人”中按性别采用分层抽样的方法抽取的6人中男女比例是， 可得“运动小达人”中女生有20人， 所以． （2）解：由（1）可知列联表如下： 运动小达人 非运动达人 合计 男生 40 16 56 女生 20 24 44 合计 60 40 100 提出假设：该校学生是否为“运动小达人”与性别无关， 根据表中的数据，可得， 因为，所以有的把握认为该校学生是否为“运动小达人”与性别有关． 变式5．已知某车间有甲、乙两条生产线生产相同型号的产品.质检人员分别从甲、乙两条生产线各抽取了600件产品，其中甲生产线有优质品450件，非优质品150件：乙生产线有优质品400件，非优质品200件. (1)根据小概率值的独立性检验，能否判断产品是否优质与生产线有关； (2)用频率估计概率，每次从甲生产线中有放回地抽取1件产品，共抽取4次，记抽取到优质品的次数为，求的分布列及数学期望. 附：，. 【答案】(1)能 (2)分布列见解析， 【分析】（1）完成联表，计算卡方与临界值比较即可判断相关性； （2）应用二项分布列出概率及分布列，再应用公式求解数学期望即可. 【详解】（1）列联表如下： 优质品 非优质品 合计 甲生产线 450 150 600 乙生产线 400 200 600 合计 850 350 1200 零假设：产品是否优质与生产线无关， ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为产品是否优质与生产线有关. （2）由已知得，甲生产线中产品的优质品率为， 所有可能取值为0，1，2，3，4，. 所以，则，， 故的分布列为 0 1 2 3 4 . 【强化练习】 一、单选题 1．下列说法正确的是（    ） A．一组样本数据通过计算得到线性回归方程为，若，则a=0.15 B．有一组数1，2，3，5，这组数的第百分位数是3 C．随机变量，若，，则 D．在的独立性检验中，若不小于对应的临界值，可以推断两变量不独立，该推断犯错误的概率不超过 【答案】D 【详解】选项A：线性回归方程必过样本中心点， 代入，得，解得，故A错误； 选项B：计算第百分位数的位置，是整数， 故第百分位数是第3个和第4个数据的平均值，即，故B错误； 选项C：二项分布满足，， 代入得，解得，则，故C错误； 选项D：在的独立性检验中，若， 则原假设不成立，故两变量不独立，则犯错误的概率不超过，故D正确． 故选：D. 2．下列结论正确的是（   ） A．两个变量的相关性越弱，相关系数越小 B．利用样本点求经验回归方程，则至少有一个样本点在回归直线上 C．对于独立性检验，的观测值越大，判断“两变量有关联”犯错误的概率越大 D．在列联表中，若每个数据都变为原来的2倍，则变为原来的2倍 【答案】D 【分析】根据题意，利用独立性检验公式，以及回归系数的含义，结合选项，逐项判断，即可求解. 【详解】对于A，两个变量的相关性越弱，越小，所以A错误； 对于B，由经验回归方程的实际意义，样本点有可能都不在直线上，所以B错误； 对于C，若的观测值越大，判断“两变量有关联”犯错误的概率越小，所以C错误； 对于D，若，每个数据都变为原来的2倍， 则，所以D正确． 3．某校团委对“学生性别和是否喜欢运动的关联性”进行了一次调查，其中被调查的男､女生人数相同，男生中喜欢运动的人数占男生人数的，女生中喜欢运动的人数占女生人数的，若有的把握，但没有的把握认为“学生性别和是否喜欢运动有关”，则被调查的男生人数可能为（    ） 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A．25 B．70 C．60 D．75 【答案】C 【详解】设男生人数为，则女生人数也为，列出列联表如表所示： 性别 是否喜欢运动 合计 喜欢 不喜欢 男生 女生 合计 由题意得，解得， 故A，B,D错误，C正确. 4．（24-25高二下·重庆·期末）如图是学校高二1､2班本期中考试数学成绩优秀率的等高堆积条形图，如果再从两个班中各随机抽6名学生的期中考试数学成绩统计，那么（    ） A．两个班6名学生的数学成绩优秀率可能相等 B．1班6名学生的数学成绩优秀率一定高于2班 C．2班6名学生中数学成绩不优秀的一定多于优秀的 D．“两班学生的数学成绩优秀率存在差异”判断一定正确 【答案】A 【分析】分析等高堆积条形图可直接得到答案. 【详解】原图是学校高二1､2班本期中期考试数学成绩优秀率的等高堆积条形图， 从两个班随机抽取的6名学生的期中考试数学成绩优秀率无法确定哪个班的比较高，2班6名学生数学成绩不优秀的和优秀的人数也不能确定，故A正确，BC错误； 两个班期中考试数学成绩的优秀率均在0.5左右，并不能直接确定“两班学生的数学成绩优秀率存在差异”，故D错误； 故选：A. 5.（25-26高二下·浙江温州·月考）随着人工智能技术的快速发展，AI图像识别在工业质检、安防监控等领域得到广泛应用．某科技公司为提升自主研发的AI图像识别模型的识别准确率，研发了一种基于国产算力优化的特征提取算法．为检验该算法的实际效果，研究人员随机选取了200个同批次的工业零件检测样本，随机分为两组，每组100个样本：第一组使用新优化算法进行识别，第二组使用传统算法进行识别，记录两组样本的识别成功与失败情况，得到如下列联表： 识别成功 识别失败 合计 新优化算法 85 15 100 传统算法 70 30 100 合计 155 45 200 附：统计量临界值表      0.10 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 其中，． 则下列说法正确的是（   ） A．有99%的把握认为新优化算法对提升识别成功率有效 B．有95%的把握认为新优化算法对提升识别成功率有效 C．若将列联表中每个单元格的数据都扩大为原来的2倍，统计量的值保持不变 D．新优化算法的样本识别成功率比传统算法高15个百分点，因此新算法在所有工业检测场景中都优于传统算法 【答案】B 【分析】根据表中数据，求出，分析比较，可判断A、B的正误；根据的公式，将数据扩大2倍，可得新的，分析可判断C的正误；根据实际场景，分析可判断D的正误. 【详解】由题意，， 所以有95%的把握认为新优化算法对提升识别成功率有效，故A错误，B正确； 若将列联表中每个单元格的数据都扩大为原来的2倍， 则， 所以统计量的值扩大2倍，故C错误； 样本的成功率高15个百分点，不能直接推广到所有工业检测场景中，属于过度推断，故D错误. 6．（2026·云南红河·模拟预测改编）（多选）某实验室为了研究荧光抗体法与常规培养法在沙门氏菌检验结果中是否存在差异，用以上两种检验方法对某种食品做了沙门氏菌检验，结果得到列联表如下： 阳性 阴性 合计 荧光抗体法 常规培养法 合计 参考公式：，其中． 附：下列表述正确的是（    ） A．，，n=800 B．零假设：在沙门氏菌检验中荧光抗体法与常规培养法有差异 C．依据小概率值的独立性检验，认为荧光抗体法与常规培养法在沙门氏菌检验中有差异 D．常规培养法检测沙门氏菌阳性的频率为 【答案】C 【详解】对于A，根据表格数据可知：，，n=400,A错误； 对于B，为了研究荧光抗体法与常规培养法在沙门氏菌检验结果中是否存在差异，零假设：在沙门氏菌检验中荧光抗体法与常规培养法无差异，B错误； 对于C，由题意得， 零假设不成立，依据小概率值的独立性检验，认为荧光抗体法与常规培养法在沙门氏菌检验中有差异，C正确； 对于D，由表格数据知，常规培养法检测沙门氏菌阳性的频率为，D错误. 二、多选题 7．设，为两个变量，每一个变量都可以取两个值，即，，且，，，且，随机调查个样本数据后，得到如下列联表，则（   ） 合计 合计 A．若，则可以认为与独立 B．若变量与独立，则 C．若很大，则变量与不独立 D．若变量与不独立，则很大 【答案】AC 【分析】运用独立性检验的步骤原理推理判断即可. 【详解】用频率可以估计，用频率可以估计，用频率可以估计，若，则，可以认为与独立，故正确； 由于，，表示的是频率，是抽取的样本数据，故即使变量与独立，也不一定成立，故错误； 若很大，可以说明与不独立，故正确； 若变量与不独立，，但并不一定很大，故错误. 故选：AC. 8．下列结论正确的是（    ） A．一组样本数据通过计算得到线性回归方程为，若，则 B．一组数据的第80百分位数是11.5 C．已知随机变量，若，则 D．在列联表中，若每个数据均变成原来的2倍，则不变（，其中） 【答案】AB 【分析】将样本中心代入回归方程，求出a值，可判断A的正误，根据百分位数的求法，可判断B的正误；根据二项分布的方差公式，可得，根据变量间的关系，计算求解，可判断C的正误；根据计算公式，代入求解，可判断D的正误. 【详解】选项A：将代入回归方程，得，解得，故A正确； 选项B：，则该组数据的第80百分位数为，故B正确； 选项C：由，得， 所以，解得，故C错误； 选项D：若每个数据均变成原来的2倍， 则 ，则改变，故D错误. 9．下列选项正确的是（    ） A．若回归方程为，则当变量增加1个单位时，增加3个单位 B．设具有相关关系的两个变量x、y的相关系数为r，越接近于1，说明两个变量之间的线性相关性越强 C．利用进行独立性检验时，的值越大，说明有更大的把握认为两个分类变量相关性越弱 D．根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归方程为，若其中一个散点坐标为，则 【答案】AB 【详解】对于选项A：因为回归方程为， 所以当变量增加1个单位时，增加3个单位，故A正确； 对于选项B：越接近于1，说明两个变量之间的线性相关性越强，故B正确； 对于选项C：的值越大，说明有更大的把握认为两个分类变量相关，故C错误； 对于选项D：回归直线不一定经过样本点，无法求参数的值，故D错误. 3、 填空题 10．（2026·上海·二模）某工厂为判断两种不同的操作方法是否对生产某种零件的合格个数有影响，收集了相关数据，绘制了列联表，设原假设：两种不同的操作方法对生产该种零件的合格个数没有影响，计算出统计量，已知，则在显著性水平下，推断的结论为________．（用“拒绝”或“接受”填空） 【答案】拒绝 【详解】在独立性检验中，当计算出的统计量大于给定显著性水平对应的临界值时，样本数据出现的概率小于， 属于小概率事件，根据小概率原理，我们拒绝原假设，认为两个变量之间存在显著关联， 本题中，所以拒绝，即认为两种操作方法对合格个数有影响. 四、解答题 11．某学校开展阅读兴趣调查，随机采访男生、女生各100人，得到下面列联表： 喜欢文学类书籍 喜欢科普类书籍 男生 30 70 女生 50 50 (1)估计该校男生和女生喜欢科普类书籍的概率分别是多少； (2)能否有的把握认为学生喜欢文学类书籍还是科普类书籍与性别有关？ 附：． 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)该校男生喜欢科普类书籍的概率为， 该校女生喜欢科普类书籍的概率为． (2)有的把握认为学生喜欢文学类书籍还是科普类书籍与性别有关． 【分析】（1）根据列联表，计算该校男生和女生喜欢科普类书籍的比例，依频率估计概率即可； （2）根据独立性检验思想，先计算出，再根据的概率判断、分析即可. 【详解】（1）该校男生喜欢科普类书籍的概率为， 该校女生喜欢科普类书籍的概率为． （2）将列联表补充完整，得 喜欢文学类书籍 喜欢科普类书籍 合计 男生 30 70 100 女生 50 50 100 合计 80 120 200 零假设：学生喜欢文学类书籍还是科普类书籍与性别无关 ， 所以根据小概率值判断，不成立，即有的把握认为学生喜欢文学类书籍还是科普类书籍与性别有关． 12．长跑可提高呼吸系统和心血管系统机能，为了调查学生喜欢跑步是否与性别有关，某校从高三年级选取了200名学生进行问卷调查，得到如下的列联表．已知在这200名学生中随机抽取1人抽到喜欢跑步学生的概率为0.6． 性别 跑步 喜欢跑步 不喜欢跑步 总计 男生 80 女生 20 总计 (1)完成上面表格，判断能否有90%的把握认为喜欢跑步与性别有关并说明理由？ (2)从上述不喜欢跑步的学生中用样本量按比例分配的分层随机抽样的方法抽取8名学生，再从这8人中抽取3人调查其喜欢的运动，用X表示3人中女生的人数，求X的分布列及数学期望． 附：，其中． 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1) 补全列联表见解析，没有90%的把握认为喜欢跑步与性别有关 (2) 分布列见解析，数学期望为 【分析】（1）先根据抽取到喜欢跑步学生的概率求出对应总人数，补全2×2列联表，计算卡方统计量与临界值比较判断相关性； （2）先按分层抽样比例计算抽取的8人中男女生人数，再依据超几何分布求解X的分布列和数学期望. 【详解】（1）由题意得，200名学生中喜欢跑步的总人数为， 不喜欢跑步的总人数为， 补全2×2列联表如下： 性别 喜欢跑步 不喜欢跑步 总计 男生 80 60 140 女生 40 20 60 总计 120 80 200 计算卡方： ， 因为 （90%把握对应的临界值）， 因此没有90%的把握认为喜欢跑步与性别有关. （2）不喜欢跑步的学生中，男生60人、女生20人，比例为， 按比例分层抽取8人，因此抽取男生6人、女生2人， 表示抽取3人中女生的人数，则的可能取值为， ，，， 因此的分布列为： 数学期望： . 13．2025年举办的江西省城市足球联赛（简称“赣超”）深受广大市民的喜爱，66个场次累计123万人次现场观看了比赛.为了解喜欢观看“赣超”联赛与性别是否有关系，随机抽取了部分市民，调查他们是否喜欢观看“赣超”联赛的情况，得到如下表格： 性别 不喜欢观看“赣超”联赛 喜欢观看“赣超”联赛 男性 25 150 女性 50 75 (1)是否有99%的把握认为喜欢观看“赣超”联赛与性别有关； (2)用频率估计概率，从喜欢观看“赣超”联赛的市民中随机抽取3人参加抽奖活动，记这3人中女性人数为X，求X的分布列和数学期望． 附：，（结果精确到0.001）． α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)有99%的把握认为喜欢观看“赣超”联赛与性别有关，利用独立性检验思想判断 (2)分布列： 0 1 2 3 【分析】（1）通过列联表计算出值，结合独立性检验与临界值比较即可. （2）确定随机变量的值，根据二项分布概率计算公式得到分布列，进而求出数学期望. 【详解】（1）假设：喜欢观看“赣超”联赛与性别无关， ， 则假设不成立，即有99%的把握认为喜欢观看“赣超”联赛与性别有关. （2）喜欢观看“赣超”联赛的市民中女性的概率为：，则. 的可能取值为0，1，2，3. ，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 则. 14．深圳一高中为了解学生周末使用手机的情况，统计了全校所有学生在一年内周末使用手机的时长，现随机抽取了名同学在某个周末使用手机的时长，结果如下表： 周末使用手机时长（h） 0 1 2 3 4 5 6 合计 男生人数 1 2 4 5 6 5 4 3 30 女生人数 4 5 5 6 4 3 2 1 30 合计 5 7 9 11 10 8 6 4 60 (1)若将周末使用为小时及小时以上的，称为“经常使用”，其余的称为“不经常使用”． 请完成以下列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与使用的经常性有关系； 性别 使用手机 合计 不经常 经常 男生 女生 合计 (2)对于周末使用手机小时及以上的同学，学校想要为进一步了解他们的手机使用情况： （ⅰ）在样本的名周末使用手机小时及以上的同学中，随机抽取人进行访谈，求恰好抽中名男生的概率； （ⅱ）在和小明的访谈中得知，他有款喜爱的手机游戏，并且在周五周六周日三天中，每天随机选择一款玩一个小时，每天的选择互相独立.记至少选中过一次游戏的数目为，求的分布列和数学期望． 附：，． 【答案】(1)表格见解析，性别因素与学生使用的经常性有关系 (2)（ⅰ）；（ⅱ）分布列见解析， 【分析】（1）完善列联表，提出零假设性别与使用手机情况独立，计算出的观测值，结合临界值表可得出结论； （2）（i）利用超几何分布的概率公式求解即可； （ii）由题意得，的所有可能取值为、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值. 【详解】（1）根据统计表格数据可得列联表如下： 性别 使用手机 合计 不经常 经常 男生 女生 合计 零假设为性别与使用手机情况独立，即性别因素与学生使用手机的经常性无关； 根据列联表的数据计算可得， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即性别因素与学生使用的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过． （2）（ⅰ）设抽取的三人中男生的人数为，易知名周末使用手机小时及以上的同学中有名男生，名女生， 所以的所有可能取值为、、、， 且服从超几何分布：， 则恰好抽中名男生的概率为； （ⅱ）由题意得，的所有可能取值为、、， 则，，， 则的分布列如下 所以． 15．某学习小组为了研究性别与近视之间是否有关联，在年级随机选取了30人，得到如下列联表： 性别 近视 合计 不近视 近视 男 5 17 22 女 2 6 8 合计 7 23 30 (1)在样本中的名女生中随机选取人，求这人中至少有人是近视的概率； (2)小组成员甲通过计算发现女生的近视率为小于男生的近视率，所以甲认为男生更容易近视.请根据小概率值的独立性检验，分析甲的说法是否正确？ α xα 【答案】(1) (2)不正确 【分析】（1）利用组合计数原理结合古典概型的概率公式、对立事件的概率公式可求出所求事件的概率； （2）零假设性别与是否近视无关，求出的观测值，结合临界值表可得出结论. 【详解】（1）名女生中，有名近视，名不近视，设为近视的人数， 则， 所以这人中至少一个是近视的概率为. （2）零假设性别与是否近视无关， 根据列联表数据，计算得， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为性别与是否近视无关，甲同学的说法不正确. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $