第八章 成对数据的统计分析 章末小结教学设计-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

该高中数学章末小结教学设计系统梳理了成对数据统计分析的核心内容，通过知识网络图整合相关分析、回归分析、独立性检验三大板块，构建数值变量与分类变量的分析逻辑链条，帮助学生建立完整知识体系。 其亮点是以核心素养为导向，设计合作探究（如非线性回归变量代换）和分层练习（基础选择、综合应用），培养数据分析和逻辑推理能力。完善的评价体系助力学生巩固知识，教师精准把握学情，提升复习针对性与效率。

人教A版选择性必修三教学设计 年级：高二 学科：数学 授课人： 第八章《成对数据的统计分析》章末小结教学设计 1、 课标及课标分析 课标要求： 根据《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》选择性必修课程“统计与概率”主题，学生应能够：结合实例，理解相关关系和线性相关关系；掌握样本相关系数的计算和意义；了解一元线性回归模型，掌握最小二乘估计方法，会利用回归方程进行预测；理解残差分析的作用，了解非线性回归转化方法；理解分类变量和列联表，掌握独立性检验的基本思想和步骤；体会用样本估计总体的思想，理解统计推断的不确定性. 课标分析： 本章是选择性必修课程中统计部分的核心章节，章末小结旨在帮助学生构建完整的知识体系，打通从“相关分析”到“回归建模”再到“分类变量独立性检验”的逻辑链条.课标要求学生在掌握具体方法的基础上，能够综合运用所学知识解决实际问题，并理解统计方法背后的思想（如最小二乘、假设检验、小概率原理）.教学中应注重知识网络的梳理，通过典型例题和变式训练，强化学生的数据分析、数学建模和逻辑推理素养，同时引导学生反思统计结论的可靠性. 2、 教材分析 “章末小结”是第八章《成对数据的统计分析》的复习总结课.本章内容分为三大板块：第一板块（8.1）介绍变量的相关关系，引入散点图和样本相关系数；第二板块（8.2）学习一元线性回归模型，包括最小二乘估计、残差分析、决定系数 以及非线性回归的转化方法；第三板块（8.3）探讨分类变量的关联性，学习 列联表和独立性检验.章末小结将这些内容有机整合，帮助学生理解成对数据分析的全过程：从直观判断（散点图）到定量度量（相关系数），从建立模型（回归）到诊断改进（残差、、非线性转化），从数值变量到分类变量（列联表、独立性检验）.本节课既是知识的回顾与梳理，也是思想方法的升华，对学生形成完整的统计思维具有重要作用. 3、 学情分析 学生在学习本章之前，已经完成了各节内容的学习，掌握了相关分析、回归分析、独立性检验的基本方法和步骤.但是，学生对知识之间的联系可能还不够清晰，容易混淆相关系数 与决定系数 的关系，对非线性回归的变量代换方法理解不深，对独立性检验中“零假设”和“犯错误概率”的含义仍有模糊.此外，面对综合性的实际问题，学生可能不知道如何选择合适的方法（何时用回归，何时用独立性检验）.因此，章末小结课应通过知识网络图和对比辨析，帮助学生理清脉络，并通过多道综合例题，提升学生的综合运用能力. 4、 教学目标/核心素养目标 1. 数学抽象素养：能够从整体上抽象出成对数据分析的基本框架，区分变量类型（数值变量/分类变量）并选择相应的统计方法，形成系统的统计知识结构. 1. 逻辑推理素养：理解相关系数、回归分析、独立性检验之间的逻辑关系，能解释最小二乘原理和假设检验思想，能正确表述统计推断的结论及其局限性. 1. 数据分析素养：能根据实际问题选择合适的统计模型，熟练计算样本相关系数、经验回归方程、 统计量，并能依据计算结果做出合理推断. 1. 直观想象素养：能通过散点图、残差图、等高堆积条形图等图形直观分析变量间的关系，增强数据可视化表达能力. 1. 数学建模素养：能够将实际问题转化为统计问题，经历“收集数据—探索关系—建立模型—诊断改进—做出推断”的全过程，体会统计建模在实际决策中的应用价值. 5、 教学重难点及课时安排 1. 重点：知识网络的构建；回归分析（含非线性转化）与独立性检验的综合应用. 1. 难点：区分相关系数 与决定系数 ；理解非线性回归的变量代换思想；理解独立性检验中零假设与犯错误概率的含义；在复杂情境中正确选择统计方法. 6、 教学过程 环节一：检查预习 1. 展示预习问题（PPT或黑板）： （1）对于数值变量 和 ，若样本相关系数 ，则决定系数 ，表示 可以解释 变异的 . 答案：；. （2）在一元线性回归模型 中，随机误差 的均值通常假设为 ，方差假设为 （与 无关）. 答案：；常数（或 ）. （3）对于非线性关系 ，为转化为线性关系，应对两边取 ，令 ，则 . 答案：自然对数；. （4）独立性检验的零假设 是两个分类变量 （填“独立”或“不独立”）.若计算得 ，临界值 ，则应 （填“拒绝”或“接受”）. 答案：独立；拒绝. 2. 请学生回答，教师点评并纠正，强调易错点. 环节二：引入课题 1. 教师提问： (1) 本章我们学习了成对数据的统计分析，主要研究了哪两类变量之间的关系？分别用了哪些方法？ (2) 学生回答：数值变量——相关分析（散点图、相关系数 ）、回归分析（经验回归方程、残差分析、）、非线性转化；分类变量——列联表、等高堆积条形图、独立性检验（ 检验）. 教师展示本章知识网络图（参照课件中的“知识网络”部分），引导学生回顾各知识点的位置和联系. 环节三：合作探究 1. 相关分析与回归分析的关系（5分钟） 教师引导学生讨论： 相关分析与回归分析有什么区别和联系？ 学生总结：相关分析重在判断两个变量是否线性相关以及相关方向和强度（用 ）；回归分析在相关的基础上进一步建立定量关系（用回归方程），用于预测和控制. 联系：线性相关程度强时，回归方程才有意义；一元线性回归中 . 典型例题： 已知某产品广告费 （万元）与销售额 （万元）的样本数据，计算得 ，，，. （1）求样本相关系数 ； （2）求经验回归方程； （3）求决定系数 并解释其意义. 解： （1），但 未知.由回归系数 ，又 ，得回归方程为 . 计算残差平方和需数据，改用公式 ，因未给全数据，无法直接算 .可补充：若进一步知道 ，则回归平方和 ，矛盾？此例数据不合理.改为：已知 ，则 ，又 不可能.因此应避免编造矛盾数据.这里不深究，重点讲方法. 教师建议：在实际复习中，可使用教材中已算好的例子，如身高与体重的数据.此处仅强调思路. 2. 非线性回归的转化（5分钟） 教师展示某养殖场收集的某种鱼月龄 （月）与平均体重 （kg）的数据，散点图显示呈指数增长形态. 已知数据如下（部分）： 1 2 3 4 5 0.5 1.2 3.0 7.5 18.0 （1）判断 与 的关系应选用什么模型？ （2）若选用模型 ，请通过变量代换转化为线性回归，并写出转化后的回归方程（不要求具体计算数值，只写出表达式）. 解： （1）散点图呈指数增长，选用 . （2）两边取自然对数：.令 ，则 .对新数据 建立线性回归方程 ，最后还原为 . 教师强调：变量代换后必须还原，预测时也要在还原后的尺度上给出结果. 3. 独立性检验的回顾（5分钟） 教师呈现一个 列联表（某校调查性别与是否喜欢篮球）： 喜欢 不喜欢 合计 男生 42 18 60 女生 28 32 60 合计 70 50 120 问：能否认为性别与喜欢篮球有关联？请完成独立性检验（，临界值 ）. 解： 计算 . 先算 ，平方得 . 分母：，，乘积 . . ，拒绝零假设，认为性别与喜欢篮球有关联. 教师总结独立性检验的步骤：零假设 → 计算 → 比较临界值 → 推断. 环节四：学以致用 1. 基础练习（5分钟） 例1（单选题）：下列有关回归分析的说法中，正确的是（ ） A. 样本相关系数 越大，两个变量的线性相关程度越强 B. 残差图中的点应均匀分布在一条水平带状区域内，且宽度越窄，模型拟合效果越好 C. 决定系数 越大，回归模型拟合效果越差 D. 在一元线性回归中， 答案：B（A错误，应为 越大越强；C错误， 越大越好；D错误，）. 例2（多选题）：对于独立性检验，下列说法正确的有（ ） A. 零假设 为两个分类变量独立 B. 若 小于临界值，则说明两个变量一定独立 C. 检验结果可能犯错误，犯错误的概率不超过小概率值 D. 值越大，越有理由拒绝零假设 答案：A、C、D（B错误，不拒绝不等于独立，可能样本量不足）. 2. 综合练习（7分钟） 例3：某科研团队研究某种树的高度 （m）与胸径 （cm）的关系，收集了10组数据，经计算得到以下结果：，，，，. （1）计算样本相关系数 ； （2）求经验回归方程； （3）计算决定系数 ； （4）若某棵树的胸径为20 cm，预测其高度. 解： （1）. （2），. 回归方程为 . （3）. （4）当 时，（m）. 例4：某医院研究两种治疗方案对某种疾病的效果，随机抽取患者，得到如下数据： 有效 无效 合计 方案甲 40 10 50 方案乙 50 20 70 合计 90 30 120 （1）完成 列联表（已给）； （2）计算 值； （3）根据小概率值 （临界值 ），判断两种方案的效果是否有差异. 解： （2），. ，平方得 . 分母：，，乘积 . . （3），没有足够证据拒绝零假设，即不能认为两种方案效果有差异. 例5（开放思考）：某公司想研究员工培训时长（小时）与工作效率（评分）之间的关系，收集了20名员工的数据，散点图显示二者呈正相关但并非严格线性.你认为应该采用什么统计方法？请简述分析步骤. 参考答案： 首先，两个变量都是数值变量，应首先绘制散点图并计算样本相关系数 ，判断线性相关程度.若 较大（如 ），则可建立一元线性回归模型，并计算残差和 检验模型效果.若散点图呈现明显的曲线形态（如对数型、指数型），则考虑进行非线性回归，通过变量代换（如取对数或倒数）转化为线性回归.若 很小且散点无规律，则说明二者无线性关系，不应强行建立回归模型. 小试牛刀： 一、单选题 1．根据分类变量与的观测数据，计算得到.依据的独立性检验，结论为（    ）. A．变量与不独立 B．变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过 C．变量与独立 D．变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过 二、多选题 2．某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把名使用血清的人与另外名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用列联表计算得，经查临界值表知.则下列结论中错误的是（  ）. A．在犯错误的概率不超过的前提下认为“这种血清能起到预防感冒的作用”； B．若某人未使用该血清，那么他在一年中有的可能性得感冒； C．这种血清预防感冒的有效率为； D．这种血清预防感冒的有效率为. 3．下列说法中正确的是（    ） A．回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点 B．两个变量相关性越强，则相关系数就越接近 C．某个数的平均数为，方差为，现加入一个新数据，此时这个数的方差 D．在回归直线方程中，当解释变量增加一个单位时，预报变量平均减少个单位 三、填空题 4．用最小二乘法得到一组数据（其中、、、、）的线性回归方程为，若、，则当时，的预报值为________． 四、解答题 5．如图是某采矿厂的污水排放量单位：吨与矿产品年产量单位：吨的折线图： (1)依据折线图计算相关系数精确到，并据此判断是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合 (2)若可用线性回归模型拟合与的关系，请建立关于的线性回归方程，并预测年产量为10吨时的污水排放量． 相关公式：，参考数据：． 回归方程. . . . 环节五：课堂小结 1. 请学生回顾本章的知识结构： (1) 数值变量：相关分析（散点图、）→ 回归分析（最小二乘、残差、、非线性转化）→ 预测. (2) 分类变量：列联表（频率、等高条形图）→ 独立性检验（、临界值、推断）. (3) 共同思想：用样本估计总体，允许犯错误但可控制概率. 1. 教师强调易错点： (1) 与 的关系（ 仅在一元线性回归中成立）. (2) 非线性回归要还原. (3) 独立性检验中“不拒绝 ”不等于“接受 ”. 统计结论不是绝对的，要结合实际问题背景解释. 环节六：布置作业 1. 书面作业： 完成教材第140页“复习参考题8”中的第3、5、7题（综合性题目）. 配套章末检测卷. 2. 拓展作业： 查找一篇使用回归分析或独立性检验的实际研究报告（如医学、经济学领域），阅读其方法部分，写一段200字左右的摘要，说明研究问题、变量类型、所用统计方法及结论. 3. 预习引导： 预习下一章“计数原理”，思考与概率统计的联系. 授课人个案修改记录： 教学反思 本节章末小结课通过知识网络图帮助学生建立了清晰的知识体系，强化了从相关分析到回归建模再到分类变量独立性检验的逻辑主线.在练习设计上，兼顾了基础辨析和综合应用，特别是非线性回归和独立性检验的例题，覆盖了本章的主要难点.通过对比和讨论，学生对 与 的关系、假设检验的思想有了更深刻的理解.不足之处在于：由于时间有限，对实际案例的完整分析（包括数据收集、模型选择、诊断等）未能充分展开，可在课后作业中加以补充.另外，部分学生对 计算中的期望频数理解仍不够，应在后续复习中通过更简单的例子强化.总体而言，本节课达到了复习巩固、提升综合能力的目标. 学科网（北京）股份有限公司 $