高频考点08统计与概率（专项训练）（浙江专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

**基本信息** 以“考向-知识-方法-训练”四维体系构建统计与概率专项，通过命题探源、知识整合、妙法指津及分层闯关，培养数据意识与推理能力，实现高频考点精准突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |统计|5命题点+3预测题|样本容量无单位/中位数排序/方差意义辨析；统计图陷阱识别（扇形图无总量/条形图纵轴起点）|从数据收集（普查/抽样）到整理（图表），再到分析（统计量计算与决策），形成完整数据处理链| |概率|5命题点+3预测题|一步概率公式；两步试验树状图/列表法（放回vs不放回）；频率估计概率模板；游戏公平性判断步骤|从事件分类到概率计算（公式/几何/频率），再到实际应用，体现概率从理论到实践的逻辑递进|

高频考点08 统计与概率 内容概览 01命题探源·考向解密（分析近3年中考考向与命题特征） 02根基夯实·知识整合（核心知识必备、常用结论与技巧等） 03高频考点·妙法指津（2大命题点+6道中考预测题，） 考点一 统计数据的收集与分析 命题点1数据的收集 命题点2统计图与统计表 命题点3平均数，中位数与众数 命题点4方差，标准差 命题点5选择合适的统计量做决策 中考预测题3道 考点二 概率 命题点1数据的收集 命题点2统计图与统计表 命题点3平均数，中位数与众数 命题点4方差，标准差 命题点5选择合适的统计量做决策 中考预测题3道 04好题速递·分层闯关（精选10道最新名校模拟试题+9道中考闯关题） 考点 考向 命题特征 统计数据的收集与分析 1.调查方式：普查、抽样调查判断；2.统计概念：总体、个体、样本、样本容量辨析；3.三大统计图：条形、扇形、折线图读取、补全、计算；4.统计量：平均数、中位数、众数、方差计算与意义；5.用样本估计总体、数据分析、合理决策。 1.题型固定：选择填空基础题+一道解答大题（必考）；2.难度极低，属于纯送分板块；3.命题贴近生活：校园调查、环保、体育、社会热点情境；4.高频组合：条形图+扇形图联立出题；5.侧重数据分析，要求根据方差判断稳定性、统计量做决策；6.计算简单，陷阱集中在样本容量、中位数排序。 概率 1.事件分类：必然事件、不可能事件、随机事件；2.简单一步概率公式计算；3.两步及以上概率：列表法、树状图；4.几何概率、面积概率；5.频率估计概率、用频率求未知数量。 1.分值稳定，选择填空必考1题，常和统计合为一道解答题；2.浙江中考偏爱**两步试验概率**（放回/不放回）；3.强调书写规范：树状图、列表必须画完整；4.极少出现复杂运算，重在逻辑列举；5.常结合摸球、转盘、抽取卡片、游戏公平性出题；6.不放回抽样是高频命题陷阱。 考点一 统计数据的收集与分析 《解题指南》 易错提醒： •统计概念混淆：样本容量不带单位；总体、个体、样本容易混淆，样本是一部分个体，样本容量是数量。 •调查方式判断错误：具有破坏性、大范围、危害性调查只能抽样；精确度高、数量少用普查。 •中位数易错：求中位数必须先排序；偶数个数取中间两数平均数，很多学生直接取中间数。 •统计图陷阱：扇形图没有总量不能求具体数量；条形图纵坐标是否从0开始，防止比例误导。 •平均数计算失误：加权平均数权重看错，忘记乘对应权重。 •方差理解错误：方差越大波动越大、越不稳定；方差越小数据越稳定，经常记反。 命题点01 数据的收集 【典例1】．（2025·湖南·中考真题）下列调查中，适合采用全面调查的是（   ） A．了解某班同学的跳远成绩 B．了解夏季冷饮市场上冰激凌的质量情况 C．了解全国中学生的身高状况 D．了解某批次汽车的抗撞击能力 【典例2】．（2025·浙江杭州·三模）为了了解某校初中学生晚上的睡眠时间，从中抽取了以下几个样本，比较合适的是（　　） A．调查九（1）班学生的睡眠时间 B．调查九年级所有男生的睡眠时间 C．随机在七年级调查100名学生的睡眠时间 D．随机在七、八、九年级各调查两个班学生的睡眠时间 【典例3】．（2025·浙江杭州·一模）每年的月日是全国爱眼日．为了解某初中学校名学生的视力情况，某兴趣小组的同学制定了如下调查方案，最合理的是（　　） A．抽取八年级名女生进行调查 B．按学籍号随机抽取名学生进行调查 C．抽取九年级名男生进行调查 D．按学籍号随机抽取名学生进行调查 【典例4】．（2025·江苏盐城·中考真题）6月6日是“全国爱眼日”．小明在报纸上看到某市疾控中心发布的中学生近视情况统计数据，如图（1）． (1)图（1）中的数据是从全市30所中学随机抽取的部分学生视力筛查的结果． ①疾控中心收集数据，采用的调查方式是________；（填“普查”或“抽样调查”） ②根据统计图，请你分析近视率随年级升高的变化趋势． (2)小明想了解“影响视力的主要因素”，对全校近视的985名学生进行问卷调查．问卷中设置了五个主要因素：A．不认真做眼保健操；B．长时间连续用眼；C．课间只在教室休息；D．饮食不均衡；E．睡眠时间不足．他绘制了如图（2）所示的条形统计图． ①从图（2）中可知，影响视力的最主要因素是_________．（填选项代号） ②结合上述统计数据，请你谈一谈如何预防近视． 命题点02 统计图与统计表 【典例1】．（2026·浙江杭州·一模）杭州某中学为传承宋韵文化，开展（A．宋词诵读，B．书法篆刻，C．宋韵剪纸，D．陶艺制作）四个类型的文化体验活动，从全校学生中随机抽取部分学生进行“最喜爱的活动类型”抽样调查，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．下列说法正确的是（    ） A．本次抽样调查的样本容量为500 B．C类活动所对应的扇形圆心角度数为 C．选择D类活动的学生人数为50人 D．若该校共有初中学生1200人，则该校选择B类活动的学生大约有320人 【典例2】．（2026·浙江·一模）图1是某品牌手机2025年9到12月四个月的总销量统计图，图2是该品牌的A型号手机销量的分析统计图，下列对该品牌手机2025年9到12月销售情况分析错误的是（    ）． A．该品牌手机9到12月共销售手机500万台 B．10月A型号手机销售了20万台 C．四个月A型号手机的销量逐月增高 D．四个月中12月份A型号手机的销量最高 【典例3】．（2025·广东广州·中考真题）某地一周的每天最高气温如下表，利用这些数据绘制了下列四个统计图，最适合描述气温变化趋势的是（   ） 星期 一 二 三 四 五 六 日 最高气温/℃ 25 25 28 30 33 30 29 A． B． C． D． 【典例4】．（2026·浙江·模拟预测）为弘扬传统文化，某中学组织全校学生参加传统文化知识竞赛，并从中抽取了部分学生的成绩数据（成绩为整数，满分为100分），将收集的数据分A，B，C，D，E五个等级，绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据统计图中的信息，解答下列问题： (1)所抽取的学生人数是_______，频数分布条形图中_______，扇形统计图中_______． (2)成绩在81分及以上为优秀，若该校以2000人计算，估计成绩优秀的学生人数． 【典例5】．（2026·浙江宁波·一模）为营造书香校园，了解同学们的课外阅读习惯，某校文学社随机抽取300名同学进行问卷调查，所有问卷全部收回且有效．调查问卷如下： 亲爱的同学： 你好！为优化校园阅读环境，诚邀你参与本次匿名调查（均为单选）： 1．你每天的课外阅读时长是（   ） A．30分钟以内    B．30分钟~1小时    C．1小时~2小时    D．2小时及以上 2．你通常进行课外阅读的时间段是（   ） A．早读前    B．午休时段    C．放学后    D．其他时间 （注：问题1中的阅读时长含前一个边界值，不含后一个边界值．） 调查结果绘制成了如下不完整的扇形统计图以及阅读时长为“1小时~2小时”的同学在各阅读时间段的人数的条形统计图． (1)扇形统计图中“30分钟以内”所在扇形的圆心角度数为________度． (2)本次调查的同学中，每天阅读时长为“1小时~2小时”的同学有多少人？并补全条形统计图． (3)若该校共有1500名学生，请估计每天课外阅读时长在1小时及以上的学生人数． 【典例6】．（2025·四川雅安·中考真题）聚焦“双减”落地，凸显“特色”作业．随着暑假来临，某校为学生制定了四类假期实践作业：A．非遗传承人；B．运动打卡师；C．睡眠科学家；D．今天我当家．某班就“你最喜欢哪一类作业”（必须选且只能选一类）进行调查，通过调查绘制出如下不完整的统计图． 请你根据图中的信息解答下列问题： (1)求该班此次调查的学生人数； (2)求的值，并补全条形统计图； (3)开学后，老师准备在甲、乙、丙、丁四名同学中任选两名同学进行假期实践类作业分享，请利用树状图或列表的方法求恰好达到“甲”和“乙”两位同学的概率． 【典例7】．（2025·江苏南京·中考真题）某校准备从甲、乙两名学生中选拔一名参加跳远比赛，共进行了3次测试，每次各跳远3次，统计成绩如下表（单位：m）． 第1次测试 第2次测试 第3次测试 甲 × × × 乙 × 注：×表示犯规． 将上述成绩分成“犯规”“一般成绩”“优秀成绩”三类，其中，以下为“一般成绩”， 及以上为“优秀成绩”，并绘制条形统计图． (1)补全条形统计图； (2)你认为哪名学生参加跳远比赛较为合适？为什么？ 命题点031 平均数、中位数与众数 【典例1】．（2025·四川乐山·中考真题）某学校食堂有7元、8元和9元三种价格的午餐供师生选择（每人限定一份），5月份销售情况如图所示，则师生购买午餐的平均价格为（   ） A．7.8元 B．7.9元 C．8元 D．8.1元 【典例2】．（2025·浙江丽水·二模）一次“垃圾分类”知识竞赛中7名同学的分数分别为95，85，90，85，90，80，90，这组数据的中位数和众数分别是（   ） A．85，95 B．85，90 C．90，95 D．90，90 【典例3】．（2025·浙江·模拟预测）下表是某小区志愿者们在一次捐款活动中对捐款金额进行的统计： 金额（元） 50 80 100 200 500 人数（人） 5 12 10 6 1 根据表中提供的信息，捐款金额的众数和中位数分别为（　　） A．12元，90元 B．12元，80元 C．80元，90元 D．80元，100元 【典例4】．（2025·江苏南京·中考真题）已知一组数据8，10，12，9，11，这组数据的平均数是____________． 【典例5】．（2025·江苏宿迁·中考真题）某公司在一次招聘中，分笔试和面试两部分，笔试和面试成绩按计算最终成绩．小李的笔试成绩为85分，面试成绩为90分，则小李的最终成绩为___________分． 【典例6】．（2025·江苏淮安·中考真题）为了解某品牌A、B两种型号扫地机器人的销售情况，商场对这两种型号的扫地机器人1～8月份的销售情况进行了调查统计，并对统计数据进行了整理分析． 数据整理：1～8月份A、B型号扫地机器人销售情况条形统计图 数据分析： 平均数 中位数 众数 A型号 a 14 12 B型号 12 b c 请认真阅读上述信息，回答下列问题： (1)填空： ， ， ； (2)请对商场八月份以后这两种型号扫地机器人的进货意向提出合理的建议，并说明理由． 【典例7】．（2025·浙江衢州·三模）为弘扬国学文化，某校开展了国学知识讲座，为了解学生的学习情况，在七、八年级各抽取了50名学生进行了国学知识测试，根据测试成绩绘制了如图所示的统计图． (1)求抽取的八年级学生中测试成绩为10分的人数； (2)请通过计算确定表中a、b、c、d的值： 统计量 平均数 众数 中位数 方差 七年级 8 8 c d 八年级 a b 8 1.56 【典例8】．（2025·浙江·中考真题）2024年11月9日是浙江省第31个消防日，为增强师生消防安全意识、提高自数防范能力，某县教育与消防部门共同组织消防知识竞赛．全县九年级共120个班，每班选派10名选手参加．随机抽取其中10个班级，统计其获奖人数，结果如下表． 班级 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 获奖人数 7 8 6 8 6 6 9 7 8 5 (1)若①班获奖选手的成绩分别为（单位：分）：，求该班获奖选手成绩的众数与中位数． (2)根据统计信息，估计全县九年级参赛选手获奖的总人数． 【典例9】．（2025·山东东营·中考真题）东营市各县区积极创建全国义务教育城乡优质均衡发展县，为了解城乡教育质量发展情况，从农村和城区各抽取1所学校进行艺术抽测，每个学校均随机抽测了10名学生，数据分析如下． （一）收集与整理 农村学校10名学生的艺术成绩（单位：分）： 64，74，78，82，84，86，86，92，96，98； 城区学校10名学生的艺术成绩（单位：分）： 62，70，79，83，85，87，87，90，97，100． （二）描述与分析 城乡学生艺术成绩的平均数、中位数、众数和方差如下： 统计量 平均数 中位数 众数 方差 农村 84 a 86 c 城区 84 86 b 118.6 根据以上信息，回答下列问题： （1）直接写出表格中a、b、c的值， ________， __________， ________； （三）迁移与应用 （2）若从本次艺术成绩在95分以上的4名学生中，任意选择两名学生参加艺术展演，请用列表法或画树状图的方法求出所选两名学生恰好都是城区学生的概率； （3）请从以上统计量中，任选一个统计量，对这两所学校的艺术成绩进行对比分析，并对艺术教学提出一条合理化建议． 命题点04 方差、标准差 【典例1】．（2025·浙江·模拟预测）如图，小雨将一学期的五次数学成绩制作成了折线统计图，并计算了5次成绩的方差．当他得知期末数学成绩时，计算出六次成绩的方差，发现，小雨的期末数学成绩可能是（   ） A．82 B．88 C．90 D．93 【典例2】．（2025·黑龙江大庆·中考真题）下列说法正确的是（   ） A．调查某种灯泡的使用寿命最适合采用普查的方式 B．64的平方根为8 C．若一个正多边形的每个内角都是，那么这个多边形是正五边形 D．甲、乙两人在相同的条件下各射击8次，他们射击成绩的平均数相同，方差分别是，，则乙的射击成绩较稳定 【典例3】．（2025·浙江丽水·二模）测试五位学生的“一分钟跳绳”成绩，得到五个各不相同的数据，在统计时出现了一处错误：将最高成绩写得更高了，计算结果不受影响的是（   ）． A．方差 B．中位数 C．标准差 D．平均数 【典例4】．（2025·浙江·模拟预测）6月5日是世界环境日，某校组织了一次环保知识竞赛，每班选25名同学参加比赛，成绩分别为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分，学校将甲班和乙班的成绩整理并绘制成统计图．根据提供的信息解答下列问题： 班级 平均分 中位数 众数 方差 甲班 a 9 乙班 8 b (1)把甲班竞赛成绩统计图补充完整； (2)写出表中a，b的值； (3)依据数据分析表，有同学认为甲班的成绩好，也有同学认为乙班的成绩好，请写出一条支持甲班成绩更好的理由． 【典例5】．（2025·浙江台州·三模）某校举办“十佳歌手”演唱比赛，五位评委进行现场打分，将甲、乙、丙三位选手的得分数据整理成下列统计图． 根据以上信息，解答下列问题． (1)完成表格： 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 甲      ①_____ 8和9      乙 ②_____ 9 9      丙      8 ③_____      (2)从三位选手中选一位参加市级比赛，你认为选谁更合适？请说明理由． 命题点05 选择合适的统计量做决策 【典例1】．（2026·贵州铜仁·模拟预测）某校九年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试，每人10次跳绳成绩的平均数及方差，如下表所示： 甲 乙 丙 丁 平均数 202 214 205 214 方差 3.8 3.8 5.6 5.6 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【典例2】．（2026·吉林·一模）2025年，国务院印发《国务院关于深入实施“人工智能＋”行动的意见》，为人工智能的发展描绘了未来10年的战略蓝图．为了更好地拥抱人工智能，某校八年级信息技术社团在第一次能力测试之后，将人工智能技术应用于社团教学中，两个月后进行了第二次能力测试．从两次能力测试中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，绘制成如图统计图． 根据以上信息，整理、分析数据，得到下表： 平均成绩/分 中位数/分 众数/分 第一次测试 第二次测试 (1)________，________； (2)若规定分及分以上为优秀，该社团共名学生参加了第二次测试，估计在第二次测试中成绩优秀的学生人数； (3)结合两次测试成绩，通过分析统计量，你能得到什么结论？写出一条即可． 【典例3】．（2026·广西·一模）为全面落实《国家学生体质健康标准》，切实加强学生体质健康水平，某中学针对毕业班学生就一分钟跳绳项目开展了一次专项训练活动．为检测训练成效，该校随机抽取了3个班级各20名学生代表进行测试，规定跳绳次数不少于180次为“优秀”．现将测试数据进行整理绘制统计图表，部分信息如下： 甲班代表跳绳次数：160，160，160，160，170，170，170，170，180，180，180，180，180，180，190，190，190，190，190，200； 代表 平均数 中位数 众数 “优秀”人数（） 甲班 177.5 180 12 乙班 182 180 14 丙班 180.5 180 14 (1)填空：___________，___________，___________； (2)若该校毕业班学生人数共有900人，请你估计本次跳绳项目专项训练活动中达到“优秀”（次）的学生总人数； (3)学校计划对训练成效更好的班级进行表彰，你认为哪个班级的跳绳训练成效更好？请结合统计量说明理由． 【典例4】．（2026·北京西城·一模）某校开展合理使用手机的宣传活动，某班班长选取甲、乙、丙、丁四名同学进行经验分享，他收集了这四名同学最近天使用手机的时长（单位：分钟）的数据，并进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲同学天使用手机时长：                   b．乙、丙同学天使用手机时长的折线图： c．四名同学天使用手机时长的平均数、中位数、方差： 甲 乙 丙 丁 平均数 m 16 17 16 中位数 15.5 15 p 16.5 方差 15 7.8 n 7.8 (1)表中的值为 ，的值为 ， （填“”“”或“”）； (2)根据这天使用手机的数据，班长按如下方式决定四名同学的分享顺序：首先比较平均数，平均数较小者优先；若平均数相等，则比较方差，方差较小者优先；若平均数、方差分别相等，则使用时长小于平均数的次数较多者优先．四名同学的经验分享顺序依次为 ． 【典例5】．（2026·山东济宁·二模）为培育玉米新品种，研究人员对某生长期试验田和对照田的玉米株高进行抽样分析，从两块田地中各随机选取20株玉米测量株高，将株高（用h表示，单位：）划分为A，B，C，D四个等级，株高为长势优秀，对数据整理分析后得到如下信息： 【信息整理】 a．等级划分： 等级 A B C D 株高 b．试验田株高的条形统计图、对照田株高的扇形统计图如下： c．试验田B，C两组株高分别为：94，94，93，92，92，89，89，88，85； 对照田C组株高为：89，89，88，88，88，88，88，87，86． 【数据分析】两块田地株高的统计表（部分数据缺失）： 田地类型 平均数 中位数 众数 优秀率 方差 试验田 88 a 95 28.25 对照田 88 88 b 32.10 (1)填空：____________，____________，____________； (2)请根据题中提供的信息，评估试验田的玉米生长情况； (3)为评估试验田和对照田的玉米综合品质，研究人员从株高、产量、抗倒伏、抗病性四个维度进行百分制评分，综合得分由株高、产量各占，抗倒伏、抗病性各占，计算加权平均分．两组玉米的评分如下表： 玉米类型 株高 产量 抗倒伏 抗病性 试验田 80 t 90 95 对照田 90 80 85 90 若试验田玉米的综合得分不低于对照田，求整数t的最小值． 中考预测题 1.下列调查中，最适合采用全面调查（普查）的是（   ） A．调查全国中学生使用学习辅助工具的频率 B．调查某校航天兴趣小组全体成员的航天模型制作合格率 C．调查一批新能源汽车电池的使用寿命 D．调查某市中学生生态环境保护知识的掌握程度 2.某校开展“我最喜爱的一项体育活动”调查，要求每名学生必选且只能选一项，现随机抽查了m名学生，并将其结果绘制成如下不完整的条形图和扇形图． 请结合以上信息解答下列问题： (1)______； (2)上面条形统计图中足球的人数是______； (3)在扇形图中，“乒乓球”所占的百分比为______； (4)已知该校共有名学生，请你估计该校约有______名学生最喜爱足球活动； (5)该校想要购买一些足球、排球和乒乓球，请你写出一条购买建议． 3．学校为选拔“校园广播主持人”，先后进行了笔试和面试．在笔试中，甲、乙、丙三位同学脱颖而出，他们的笔试成绩（满分为分）分别是，，．在面试中，十位评委对甲、乙、丙三位同学的表现进行打分，每位评委最高打分，面试成绩等于各位评委打分之和，对三位同学的面试数据进行整理、描述和分析，并给出了相关信息． ．评委给甲、乙两位同学打分的折线图        ．评委给丙同学打分的扇形统计图    ．甲、乙、丙三位同学面试情况统计表 同学 评委打分的中位数 评委打分的众数 面试成绩 方差 甲 9和10 85 1.85 乙 8.5 8 87 丙 8 2.01 根据以上信息，回答下列问题： (1)______，______； (2)求丙同学的面试成绩； (3)通过比较方差，可判断评委对学生面试表现评价的一致性程度．据此推断评委对______同学的评价更一致（填“甲”、“乙”或“丙”）； (4)按笔试成绩占，面试成绩占选出综合成绩最高的同学是______（填“甲”、“乙”或“丙”）． 考点二 概率 《解题指南》 解题技巧： •一步概率公式：P(A)=符合条件情况数总情况数。 •两步试验固定方法：有序用树状图、无序用列表法；必须写全所有等可能结果。 •放回&不放回区分技巧：拿完放回总数不变；拿完不放回总数-1。 •频率估计概率模板：大量试验下，频率稳定在概率附近，列式求解未知量。 •游戏公平性解题步骤：分别算出双方概率→概率相等则公平，不相等则不公平。 •规范得分要求：大题必须画图、枚举、写总结果数，不可直接写答案。 命题点01 事件的分类 【典例1】．（2025·青海西宁·中考真题）下列说法正确的是（   ） A．概率很大的事件一定会发生 B．“任意画一个三角形，其外角和是”是必然事件 C．两组身高数据的方差分别是，，则乙组的身高更整齐 D．某抽奖活动的中奖概率为，表示抽奖10次就有1次中奖 【典例2】．（2025·海南·中考真题）掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，观察向上一面的点数．下列说法正确的是（   ） A．出现点数为6的概率是 B．出现点数为0是随机事件 C．出现点数为偶数是必然事件 D．出现点数为奇数是不可能事件 【典例3】．（2025·浙江杭州·一模）下列事件中，属于随机事件的是（   ） A．从地面向上抛的硬币会落下 B．射击运动员射击一次，命中环 C．太阳从东边升起 D．有一匹马奔跑的速度是米秒 【典例4】．（2025·四川广元·一模）下列事件是确定性事件的是（     ） A．购买一张彩票，中奖； B．射击运动员射击1次，命中靶心； C．等边三角形的三条边长相等； D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯． 命题点02 列举法或公式法计算概率 【典例1】．（2025·河南驻马店·三模）如图，张卡片的正面分别呈现了几种常见的生活现象，它们的背面完全相同．现将所有卡片背面朝上洗匀后从中随机抽取两张，这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的概率是（） A． B． C． D． 【典例2】．（2025·山东东营·中考真题）盒中有四张卡片，分别印有孤岛槐林、黄河入海口、红色刘集、孙子文化园图案，它们的形状和大小完全相同．两名同学先后从中随机抽取一张卡片（抽完后放回），则他们抽到的卡片图案相同的概率为（    ） A． B． C． D． 【典例3】．（2025·浙江·模拟预测）思思和想想参加“飞向太空模拟活动”，随机选择“飞向月球”“飞向火星”其中一项，那么两人同时选择“飞向火星”的概率是______． 【典例4】．（2025·浙江宁波·模拟预测）一个人在直角坐标系上从走到，每次他可以往上走一个单位长度或往右走一个单位长度且它的横坐标和纵坐标的绝对值至少有一个大于等于二，则这个人有_______种走法． 【典例5】．（2025·浙江衢州·二模）“石头、剪刀、布”是一种广为流传的小游戏，规则是两人每次任意出“石头”、“剪刀”、“布”这三种手势中的一种，剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀．小方和小袁比赛一局，他们出相同手势的概率为___________． 【典例6】．（2025·山东德州·中考真题）把英文单词“”中的字母依次写在完全相同的6张卡片上，每张卡片上只写其中的1个字母．然后将卡片洗匀，从中随机抽取2张，恰好是字母相同的两张卡的概率是_______． 【典例7】．（2024·甘肃甘南·中考真题）某校组织学生观看“天宫课堂”第二课直播，跟着空间站的翟志刚、王亚平、叶光富三位宇航员学习科学知识，他们相互配合，生动演示了四个实验：（A）微重力环境下的太空“冰雪”实验，（B）液桥演示实验，（C）水油分离实验，（D）太空抛物实验．观看完后，该校对部分学生对四个实验的喜爱情况作了抽样调查，将调查情况制成了如下的条形统计图和扇形统计图． 请根据图中信息，回答下列问题： (1)共调查了______名学生，图2中A所对应的圆心角度数为______； (2)请补全条形统计图； (3)若从两名男生、两名女生中随机抽取2人参加学校组织的“我爱科学”演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求抽到的学生恰好是一男一女的概率． 命题点03 几何概率 【典例1】．（2025·四川雅安·中考真题）某中学九年级（1）班开展“禁毒知识竞赛”活动，为表扬同学们积极参与，班主任组织转盘抽奖活动．自由转动转盘，当它停止转动时指针落在三等奖区域的概率为，落在二等奖区域的概率为，落在一等奖区域的概率为，则一等奖区域所对的圆心角度数为______． 【典例2】．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，转盘中5个扇形的面积都相等，分别涂红色和黄色．任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向红色区域的概率是_____． 【典例3】．（24-25九年级上·浙江·期末）如图，正六边形是由个大小相等的等边三角形构成，随机地往六边形内投一粒米，落在阴影区域的概率为__． 【典例4】．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）有一个转盘（材质均匀）如图，已知红色、黄色区域的圆心角度数分别为和，当指针刚好落在分界线时，重新转动． (1)自由转动转盘一次，指针落在“红色区域”的概率为，分别求x和y的值． (2)在（1）的条件下，若自由转动转盘两次，求“指针一次落在红色区域，另一次落在黄色区域”的概率． 命题点04 频率估算概率 【典例1】．（2025·浙江衢州·模拟预测）某篮球运动员进行定点投篮训练，其成绩如表： 投篮次数 10 50 100 200 投中次数 9 44 91 180 频率 0.90 0.88 0.91 0.90 则这名运动员定点投篮一次，投中的概率约是________（精确到）． 【典例2】．（23-24九年级上·广东广州·期末）小梦在研究“掷一枚图钉，针尖朝上”的概率时，用同一枚图钉做实验得到如下数据 掷图钉的次数 10 100 300 500 800 1000 2000 针尖朝上的频率 请利用以上数据估算“掷这枚图钉，针尖朝上”的概率是_______． 【典例3】．（2025·浙江杭州·二模）在同样条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表． 试验种子数（粒） 发芽频数 发芽频率 根据频率的稳定性，估计该麦种的发芽概率约为______．（精确到） 【典例4】．（2025·贵州·中考真题）某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，将同学们获得的试验数据整理如下表：（  ） 抛掷次数 20 60 100 120 140 160 500 1000 2000 5000 “正面朝上”的次数 12 38 58 62 75 88 275 550 1100 2750 “正面朝上”的频率 则抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为（  ） A． B． C． D． 命题点05 概率的应用 【典例1】．（2024·浙江·模拟预测）在一次摸球游戏中，规定：连续摸到2个相同颜色的小球即为胜利，且每人只有一次挑战机会．小金和小华一起参加游戏，两人轮流从不透明的箱子里摸出一个小球，小金先摸．现已知箱子里有4个红球和2个白球，则下列推断正确的是（   ） A．一定是小金获胜 B．一定是小华获胜 C．若第一轮两人都摸到了白球，则一定是小金获胜 D．若第一轮两人都摸到了红球，则一定是小金获胜 【典例2】．（2024·山东青岛·中考真题）学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程． (1)小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是______； (2)请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平． 【典例3】．（2022·山东青岛·中考真题）2022年3月23日下午，“天宫课堂”第二课开讲，航天员翟志刚、王亚平、叶光富相互配合进行授课，激发了同学们学习航天知识的热情．小冰和小雪参加航天知识竞赛时，均获得了一等奖，学校想请一位同学作为代表分享获奖心得．小冰和小雪都想分享，于是两人决定一起做游戏，谁获胜谁分享，游戏规则如下：甲口袋装有编号为1，2的两个球，乙口袋装有编号为1，2，3，4，5的五个球，两口袋中的球除编号外都相同．小冰先从甲口袋中随机摸出一个球，小雪再从乙口袋中随机摸出一个球，若两球编号之和为奇数，则小冰获胜；若两球编号之和为偶数，则小雪获胜． 请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平． 中考预测题 1.考拉兹猜想(又称冰雹猜想、猜想)是全球知名的数学难题，至今未获得证明．其规则为：对任意正整数，重复以下变换：若它是奇数，则对它乘3加1；若它是偶数，则对它除以2．猜想断言：无论从哪个正整数开始，最终都会落入“”的循环，也就是一定会走到1．数学家已验证极大范围内的数均符合该猜想的规律．在正整数1，2，3，4中，随机选取两个不同的数，分别按上述规则进行一次操作后，两个结果均为偶数的概率是________． 2.如图所示是一个可以自由转动的转盘．转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率是________． 3.某商场为了吸引顾客，设立了一个如图可以自由转动的转盘，转盘被等分成20个扇形．商场规定：顾客每购买200元的商品就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、绿或黄色区域，顾客就可以分别获得100元、50元，20元的购物券，已知甲顾客购物220元，获得一次转动转盘的机会． (1)求他得到100元购物券的概率是多少？ (2)若要让获得50元购物券的概率变为，还需要将几个无色扇形涂成绿色？ 好题速递 1.（2026·云南大理·一模）某校举行啦啦操比赛，从甲、乙、丙三个班的参赛学生中各随机抽取10名学生进行身高测量，三个班抽取的学生平均身高都为1.68米，身高数据的方差分别是，，，则估计参赛学生的身高比较整齐的班级为（   ） A．甲班 B．乙班 C．丙班 D．无法确定 2.（2026·云南文山·一模）在某次“保护野生动物知识竞赛”中，有五位同学的成绩（满分分）分别为，这组数据的中位数是（    ） A． B． C． D． 3.（25-26八年级下·全国·单元测试）已知数据的方差计算公式为，则这组数据的（   ） A．方差为40 B．中位数为4 C．平均数为4 D．众数为2 4.（25-26八年级下·全国·课后作业）学校准备设计一款女生校服，对全校女生喜欢的颜色进行了问卷调查，统计如下表所示： 颜色 黄色 绿色 白色 紫色 红色 学生人数 100 180 220 80 250 学校决定采用红色，可用来解释这一现象的统计知识是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．加权平均数 5.（25-26七年级下·河北张家口·期中）天气预报显示，明天某地的降水概率如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．明天一定会下雨 B．明天下雨的可能性比较大 C．明天一定不会下雨 D．明天下雨的可能性比较小 6.（25-26七年级下·山东泰安·期中）某小组做“当试验的次数足够多时，可以用频率估计概率”的试验时，当试验次数达到1000次时，统计了某一结果出现了253次，则符合这一结果的试验最有可能是（   ） A．从一副52张（不含大小王）的扑克牌中任意抽取一张，抽到红桃 B．掷一枚一元的硬币，正面朝上 C．三张同样的纸片，分别写有数字1，3，4，背面朝上洗匀后，任取一张恰好为奇数 D．掷一个质地均匀的骰子，向上的面点数是“6” 7.（2026·贵州遵义·一模）2026年是丙午马年，“马到功成”将马年与祝福相结合，表达对新一年事事如意、顺遂美好的期盼．将分别印有“马”、“到”、“功”、“成”的四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张，则抽取到的卡片上印有汉字“功”的概率为__________． 8.（2026·北京通州·一模）某小区有A、B、C、D四栋楼共1000个住户，为了解小区住户的生活垃圾量（单位：），物业公司某日在该小区内随机抽取四栋楼的住户进行调查，结果如表所示．根据表格，估计该小区住户当日生活垃圾总量为______． 所抽取的居民楼 A栋 B栋 C栋 D栋 住户数（户） 30 40 10 20 被抽取住户当日产生的生活垃圾总量（） 40 45 70 35 9.（25-26九年级下·江西九江·阶段检测）为了解某校八、九年级学生在某段时间内参加公益活动次数（单位：次）的情况，从这两个年级中各随机抽取20名学生进行调查．已知这两个年级的学生人数均为400人． 对抽取的八年级学生在此段时间内参加公益活动次数的统计结果如下： 平均数 方差 同时对抽取的九年级学生的调查数据进行如下统计分析． 【收集数据】从九年级抽取的学生在此段时间内参加公益活动次数如下： 9，8，6，10，8，8，7，3，6，7，7，5，8，4，8，5，7，6，8，6 【整理数据】结果如表： 次数x分组 画记 频数 丅 2 正一 6 正正 10 【分析数据】数据的平均数是，方差是． 【解决问题】回答下列问题： (1)___________，   ___________．补全频数分布直方图； (2)九年级抽取的学生参加公益活动次数的中位数是___________，众数是___________； (3)请估计该校九年级学生在此段时间内参加公益活动次数超过6次的人数； (4)请从平均数、方差两个量中任选一个，比较该校八、九年级学生在此段时间内参加公益活动次数的情况． 中考闯关 1.某班有45名学生，一次体育中考模拟后，老师对模拟成绩进行了统计．由于小州没有参加本次模拟考，算得44人的平均成绩分，中位数分．后来小州进行了补考，成绩为分，得到45人考试成绩数据的平均数为，中位数为，则（   ）． A． B． C． D． 2.已知，在“浙BA”篮球赛中，由大数据推送发现某地21号运动员比赛中罚球投中的概率是．若他在一场比赛中，有10次罚球机会，则他估计能投中的次数是__________． 3．学校种植园中有4盆相同品种的植物，需要按植物的株高分成两组进行培养，使得同组内植物株高尽量接近，将4盆植物的株高从小到大排序后分成两组，共有3种情况，计算它们的组内离差平方和结果如下表所示，则4盆植物的最优分组序号是___________． 序号 分组情况 组内离差平方和 ① 第一组1个，第二组3个 44 ② 第一组2个，第二组2个 28 ③ 第一组3个，第二组1个 16.67 4．萧山区某校为积极备战中考，引入赋能的体育打卡平台，为全校学生打造良好的运动氛围．现随机抽取数名学生，统计其使用该平台后每天运动打卡时长（单位：小时），结果分为六组：第组，第组，第组，第组，第组，第组，老师整理数据后，绘制了如下不完整的两幅统计图，解答下列问题． (1)分别求本次调查共抽取了多少学生人数及第组的学生人数； (2)抽查的每天运动打卡时长的众数在第______组； (3)若该校有名学生，试估计能落实“中小学生每天综合体育活动时间不低于小时”的学生人数． 5．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球． (1)第一次取出的小球标号为偶数的概率为________； (2)请用列表或画树状图的方法求两次取出的小球标号的和等于4的概率． 6．某校组织学生观看“天宫课堂”第二课直播，宇航员生动演示了四个实验：（A）微重力环境下的太空“冰雪”实验，（B）液桥演示实验，（C）水油分离实验，（D）太空抛物实验，观看后，为了解学生对四个实验的喜爱情况，学校对部分学生进行了抽样调查，将调查情况制成了如下的条形统计图和扇形统计图．请根据图中信息，回答下列问题： (1)求一共调查了多少名学生，图2中A所对应的圆心角度数是多少； (2)若从两名男生、两名女生中随机抽取2人参加学校组织的实验比赛，请用列表或画树状图的方法，求抽到的学生恰好是一男一女的概率． 7．为进一步落实好“光盘行动”，某校食堂推出“半份菜”服务，在试行阶段，食堂对师生满意度进行抽样调查．并将结果绘制成如下统计图（不完整）． (1)求被调查的师生人数，并补全条形统计图． (2)求扇形统计图中表示“不满意”的扇形圆心角度数． (3)若该校共有师生1400名，根据抽样结果，试估计该校对食堂“半份菜”服务“很满意”或“满意”的师生总人数． 8．定海二中九年级共有600名学生．为了解该年级学生，两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． ①A课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：，，，，，）： ②A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下： 课程 平均数 中位数 众数 A 75.8 m 84.5 B 72.2 70 83 ③A课程在这一组的成绩是： 70  71  71  71  76  76  77  77  77  78  79  79  79.5  79.5 根据以上信息，回答下列问题： (1)求出表中的值； (2)在此次测试中，学生小舟的A课程成绩为77分，B课程成绩为72分，学生小舟成绩排名更靠前的课程是什么课程，并说明理由； (3)假设该年级学生都参加此次测试，估计A课程成绩超过79分的人数． 9．某校有学生3000人，现欲开展学校社团活动，准备组建摄影社、国学社、篮球社、科技制作社四个社团．每名学生最多只能报一个社团，也可以不报．为了估计各社团人数，现在学校随机抽取了若干名学生做问卷调查，得到了如图所示的两个不完全统计图．结合以上信息，回答下列问题： (1)本次抽样调查的样本容量是______； (2)请你补全条形统计图，并在图上标明具体数据； (3)求科学制作社团对应的扇形的圆心角度数； (4)请你估计全校有多少名学生报名参加篮球社团活动． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 高频考点08 统计与概率 内容概览 01命题探源·考向解密（分析近3年中考考向与命题特征） 02根基夯实·知识整合（核心知识必备、常用结论与技巧等） 03高频考点·妙法指津（2大命题点+6道中考预测题，） 考点一 统计数据的收集与分析 命题点1数据的收集 命题点2统计图与统计表 命题点3平均数，中位数与众数 命题点4方差，标准差 命题点5选择合适的统计量做决策 中考预测题3道 考点二 概率 命题点1数据的收集 命题点2统计图与统计表 命题点3平均数，中位数与众数 命题点4方差，标准差 命题点5选择合适的统计量做决策 中考预测题3道 04好题速递·分层闯关（精选10道最新名校模拟试题+9道中考闯关题） 考点 考向 命题特征 统计数据的收集与分析 1.调查方式：普查、抽样调查判断；2.统计概念：总体、个体、样本、样本容量辨析；3.三大统计图：条形、扇形、折线图读取、补全、计算；4.统计量：平均数、中位数、众数、方差计算与意义；5.用样本估计总体、数据分析、合理决策。 1.题型固定：选择填空基础题+一道解答大题（必考）；2.难度极低，属于纯送分板块；3.命题贴近生活：校园调查、环保、体育、社会热点情境；4.高频组合：条形图+扇形图联立出题；5.侧重数据分析，要求根据方差判断稳定性、统计量做决策；6.计算简单，陷阱集中在样本容量、中位数排序。 概率 1.事件分类：必然事件、不可能事件、随机事件；2.简单一步概率公式计算；3.两步及以上概率：列表法、树状图；4.几何概率、面积概率；5.频率估计概率、用频率求未知数量。 1.分值稳定，选择填空必考1题，常和统计合为一道解答题；2.浙江中考偏爱**两步试验概率**（放回/不放回）；3.强调书写规范：树状图、列表必须画完整；4.极少出现复杂运算，重在逻辑列举；5.常结合摸球、转盘、抽取卡片、游戏公平性出题；6.不放回抽样是高频命题陷阱。 考点一 统计数据的收集与分析 《解题指南》 易错提醒： •统计概念混淆：样本容量不带单位；总体、个体、样本容易混淆，样本是一部分个体，样本容量是数量。 •调查方式判断错误：具有破坏性、大范围、危害性调查只能抽样；精确度高、数量少用普查。 •中位数易错：求中位数必须先排序；偶数个数取中间两数平均数，很多学生直接取中间数。 •统计图陷阱：扇形图没有总量不能求具体数量；条形图纵坐标是否从0开始，防止比例误导。 •平均数计算失误：加权平均数权重看错，忘记乘对应权重。 •方差理解错误：方差越大波动越大、越不稳定；方差越小数据越稳定，经常记反。 命题点01 数据的收集 【典例1】．（2025·湖南·中考真题）下列调查中，适合采用全面调查的是（   ） A．了解某班同学的跳远成绩 B．了解夏季冷饮市场上冰激凌的质量情况 C．了解全国中学生的身高状况 D．了解某批次汽车的抗撞击能力 【答案】A 【分析】本题考查全面调查与抽样调查的适用情况． 全面调查适用于范围小、精确度要求高或破坏性小的调查；抽样调查适用于范围大、具有破坏性或无法全面调查的情况． 【详解】解：选项A：某班同学人数有限，进行全面调查容易实施且能准确获取每位同学的跳远成绩，适合全面调查，符合题意； 选项B：夏季冷饮市场冰激凌数量庞大，全面调查成本过高，且检测可能破坏产品，适合抽样调查，不符合题意； 选项C：全国中学生人数极多，全面调查耗费资源巨大，通常采用抽样调查，不符合题意； 选项D：检测汽车抗撞击能力会破坏被测车辆，无法对所有汽车进行测试，必须采用抽样调查，不符合题意； 故选：A． 【典例2】．（2025·浙江杭州·三模）为了了解某校初中学生晚上的睡眠时间，从中抽取了以下几个样本，比较合适的是（　　） A．调查九（1）班学生的睡眠时间 B．调查九年级所有男生的睡眠时间 C．随机在七年级调查100名学生的睡眠时间 D．随机在七、八、九年级各调查两个班学生的睡眠时间 【答案】D 【分析】本题主要考查了抽样调查的方式．抽样调查抽取的样本要具有代表性，即全体被调查对象都有相等的机会被抽到． 在抽样调查中，样本的选取应注意广泛性和代表性，据此进行分析． 【详解】解：比较合适的是随机在七、八、九年级各调查两个班学生的睡眠时间， 故选：D． 【典例3】．（2025·浙江杭州·一模）每年的月日是全国爱眼日．为了解某初中学校名学生的视力情况，某兴趣小组的同学制定了如下调查方案，最合理的是（　　） A．抽取八年级名女生进行调查 B．按学籍号随机抽取名学生进行调查 C．抽取九年级名男生进行调查 D．按学籍号随机抽取名学生进行调查 【答案】B 【分析】本题考查了随机抽样，解题的关键是熟练掌握随机抽样的定义：为了获取能够客观反映问题的结果，通常按照总体中每个个体都有相同的被抽取机会的原则抽取样本，这种抽样的方法叫做随机抽样．样本的选取应具有随机性、代表性、容量应足够大．据此分析即可． 【详解】解：A中，抽取八年级名女生进行调查不具有代表性，不符合题意． B中，按学籍号随机抽取名学生进行调查是随机抽样，符合题意； C中，抽取九年级名男生进行调查不具有代表性，不符合题意． D中，按学籍号随机抽取名学生进行调查，样本容量太小，不符合题意； 故选：B． 【典例4】．（2025·江苏盐城·中考真题）6月6日是“全国爱眼日”．小明在报纸上看到某市疾控中心发布的中学生近视情况统计数据，如图（1）． (1)图（1）中的数据是从全市30所中学随机抽取的部分学生视力筛查的结果． ①疾控中心收集数据，采用的调查方式是________；（填“普查”或“抽样调查”） ②根据统计图，请你分析近视率随年级升高的变化趋势． (2)小明想了解“影响视力的主要因素”，对全校近视的985名学生进行问卷调查．问卷中设置了五个主要因素：A．不认真做眼保健操；B．长时间连续用眼；C．课间只在教室休息；D．饮食不均衡；E．睡眠时间不足．他绘制了如图（2）所示的条形统计图． ①从图（2）中可知，影响视力的最主要因素是_________．（填选项代号） ②结合上述统计数据，请你谈一谈如何预防近视． 【答案】(1)①抽样调查；②见解析 (2)①B；②见解析 【分析】本题主要考查折线统计图，条形统计图，调查的方式，熟练掌握折线统计图，条形统计图的特征是解题的关键． （1） ①利用抽样调查的定义解答即可；②通过观察折线图的走势回答即可； （2） ①观察条形统计图，通过比较各选项对应的人数解答即可；②观察条形统计图，依据依据影响视力的主要因素提出合理建议即可． 【详解】（1）解：①∵图1中的数据是从全市30所中学随机抽取的部分学生视力筛查的结果， ∴疾控中心收集数据，采用的调查方式是抽样调查， 故答案为：抽样调查； ②根据统计图可以看到，从七年级到高二年级，近视率随年级升高呈整体上升趋势，高二年级到高三年级有所下降； （2）解：①观察条形统计图可以看到，B选项长时间连续用眼的有887人，人数最多， ∴从图2中可知，影响视力的最主要因素是B选项长时间连续用眼． 故答案为：B； ②观察条形统计图可以看到，影响视力的主要因素有：不认真做眼保健操，长时间连续用眼，课间只在教室休息，饮食不均衡，睡眠时间不足，所以预防近视从以下入手：认真做眼保健操，避免长时间连续用眼，用眼一段时间要适当休息，课间到室外活动或者作适当远眺，保持饮食均衡，保证充足的睡眠时间． 命题点02 统计图与统计表 【典例1】．（2026·浙江杭州·一模）杭州某中学为传承宋韵文化，开展（A．宋词诵读，B．书法篆刻，C．宋韵剪纸，D．陶艺制作）四个类型的文化体验活动，从全校学生中随机抽取部分学生进行“最喜爱的活动类型”抽样调查，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．下列说法正确的是（    ） A．本次抽样调查的样本容量为500 B．C类活动所对应的扇形圆心角度数为 C．选择D类活动的学生人数为50人 D．若该校共有初中学生1200人，则该校选择B类活动的学生大约有320人 【答案】B 【分析】根据A类人数求出样本容量，进而求出选择D类活动的学生人数及C类活动所对应的扇形圆心角度数，进而求出样本中选择B类活动的人数，即可求出该校选择B类活动的学生． 【详解】解：由条形图可知A类有100人，由扇形图可知A类占， 样本容量为：，故A选项错误； D类占， 选择D类活动的学生人数为：（人），故C选项错误； C类有140人， C类活动所对应的扇形圆心角度数为：，故B选项正确； 样本中选择B类活动的人数为：（人）， 该校选择B类活动的学生大约有：（人），故D选项错误． 【典例2】．（2026·浙江·一模）图1是某品牌手机2025年9到12月四个月的总销量统计图，图2是该品牌的A型号手机销量的分析统计图，下列对该品牌手机2025年9到12月销售情况分析错误的是（    ）． A．该品牌手机9到12月共销售手机500万台 B．10月A型号手机销售了20万台 C．四个月A型号手机的销量逐月增高 D．四个月中12月份A型号手机的销量最高 【答案】C 【分析】结合两个统计图的信息，逐项判断即可． 【详解】解：对于选项A：9到12月共销售手机：（万台），故A正确； 对于选项B：10月A型号手机销售：（万台），故B正确； 对于选项C：9月A型号手机销量：（万台），11月A型号手机销量：（万台），12月A型号手机销量：（万台）， ∵， ∴A型号手机11月份的销量低于10月份，故C错误； 对于选项D：∵， ∴四个月中，12月份A型号手机的销量最高，故D正确． 【典例3】．（2025·广东广州·中考真题）某地一周的每天最高气温如下表，利用这些数据绘制了下列四个统计图，最适合描述气温变化趋势的是（   ） 星期 一 二 三 四 五 六 日 最高气温/℃ 25 25 28 30 33 30 29 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是选择合适的统计图，根据条形图，折线图，扇形图的特点进行选择即可． 【详解】解：∵扇形统计图可以清楚地表示各部分数量和总量之间的关系；条形统计图可以清楚地看出数量的多少；折线统计图，不仅可以清楚地看出数量的多少，而且还能清楚地看出数量的增减变化趋势； ∴最适合描述气温变化趋势的是折线统计图； 故选：C． 【典例4】．（2026·浙江·模拟预测）为弘扬传统文化，某中学组织全校学生参加传统文化知识竞赛，并从中抽取了部分学生的成绩数据（成绩为整数，满分为100分），将收集的数据分A，B，C，D，E五个等级，绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据统计图中的信息，解答下列问题： (1)所抽取的学生人数是_______，频数分布条形图中_______，扇形统计图中_______． (2)成绩在81分及以上为优秀，若该校以2000人计算，估计成绩优秀的学生人数． 【答案】(1)200，16， (2)估计该校成绩优秀的学生约有940人 【分析】（1）根据B组人数和占比求出总数，乘以A组占比求出a的值，乘以D组占比即可求出n； （2）利用样本估计总体的思想求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得B组有40人，占比为， ∴所抽取的学生人数是； ∴频数分布条形图中； ∴； （2）解：根据题意得，E组人数为：（人） （人）， 答：估计该校成绩优秀的学生约有940人． 【典例5】．（2026·浙江宁波·一模）为营造书香校园，了解同学们的课外阅读习惯，某校文学社随机抽取300名同学进行问卷调查，所有问卷全部收回且有效．调查问卷如下： 亲爱的同学： 你好！为优化校园阅读环境，诚邀你参与本次匿名调查（均为单选）： 1．你每天的课外阅读时长是（   ） A．30分钟以内    B．30分钟~1小时    C．1小时~2小时    D．2小时及以上 2．你通常进行课外阅读的时间段是（   ） A．早读前    B．午休时段    C．放学后    D．其他时间 （注：问题1中的阅读时长含前一个边界值，不含后一个边界值．） 调查结果绘制成了如下不完整的扇形统计图以及阅读时长为“1小时~2小时”的同学在各阅读时间段的人数的条形统计图． (1)扇形统计图中“30分钟以内”所在扇形的圆心角度数为________度． (2)本次调查的同学中，每天阅读时长为“1小时~2小时”的同学有多少人？并补全条形统计图． (3)若该校共有1500名学生，请估计每天课外阅读时长在1小时及以上的学生人数． 【答案】(1) (2)人，见解析 (3)675人 【分析】（1）用360度乘以所占百分比计算即可； （2）先计算该项目的人数，再补图即可； （3）用样本估计总体的思想计算即可； 【详解】（1）解： ． （2）解：（人）， 阅读时长为“1小时~2小时”的同学人数为（人）， 补全图形如下： （3）解：（人） 答：该校每天课外阅读时长在1小时及以上的学生人数为675人． 【典例6】．（2025·四川雅安·中考真题）聚焦“双减”落地，凸显“特色”作业．随着暑假来临，某校为学生制定了四类假期实践作业：A．非遗传承人；B．运动打卡师；C．睡眠科学家；D．今天我当家．某班就“你最喜欢哪一类作业”（必须选且只能选一类）进行调查，通过调查绘制出如下不完整的统计图． 请你根据图中的信息解答下列问题： (1)求该班此次调查的学生人数； (2)求的值，并补全条形统计图； (3)开学后，老师准备在甲、乙、丙、丁四名同学中任选两名同学进行假期实践类作业分享，请利用树状图或列表的方法求恰好达到“甲”和“乙”两位同学的概率． 【答案】(1)该班此次调查的学生人； (2) ，见解析； (3)恰好选到“甲”和“乙”两位同学的概率为： 【分析】（1）根据非遗传承人的人数和占比求解即可； （2）根据（1）求出的总学生和今天我当家的人数求出，再求出选择“运动打卡师”假期实践作业的人数，进而补全条形统计图即可； （3）根据题意，用树状图法列出所有等可能结果，进而计算概率即可． 【详解】（1）解：（人）， 答：该班此次调查的学生人； （2）解：∵， ∴， 选择“运动打卡师”假期实践作业的人数为（人）， 补全条形图如下： （3）解：把“甲、乙、丙、丁”分别记为， 画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中恰好选到“甲”和“乙”两位同学的结果有种， ∴恰好选到“甲”和“乙”两位同学的概率为：． 【典例7】．（2025·江苏南京·中考真题）某校准备从甲、乙两名学生中选拔一名参加跳远比赛，共进行了3次测试，每次各跳远3次，统计成绩如下表（单位：m）． 第1次测试 第2次测试 第3次测试 甲 × × × 乙 × 注：×表示犯规． 将上述成绩分成“犯规”“一般成绩”“优秀成绩”三类，其中，以下为“一般成绩”， 及以上为“优秀成绩”，并绘制条形统计图． (1)补全条形统计图； (2)你认为哪名学生参加跳远比赛较为合适？为什么？ 【答案】(1)见详解 (2)乙参加跳远比赛较为合适，理由见详解 【分析】本题考查了补全条形统计图，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据共进行了3次测试，每次各跳远3次，共次测试，用总次数减去犯规次数以及优秀成绩的次数，即可得出甲的一般成绩有次，再补全条形统计图，即可作答． （2）分析表格，得出乙的一般成绩和优秀成绩都比甲多，并且犯规的次数也少，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， 即甲的一般成绩有次， 补全条形统计图，如图所示： （2）解：乙参加跳远比赛较为合适， 理由：根据条形统计图可知，乙的一般成绩和优秀成绩都比甲多，并且犯规的次数也少， ∴乙参加跳远比赛较为合适． 命题点031 平均数、中位数与众数 【典例1】．（2025·四川乐山·中考真题）某学校食堂有7元、8元和9元三种价格的午餐供师生选择（每人限定一份），5月份销售情况如图所示，则师生购买午餐的平均价格为（   ） A．7.8元 B．7.9元 C．8元 D．8.1元 【答案】A 【分析】本题考查了加权平均数，根据加权平均数的计算方法，分别用单价乘以相应的百分比，计算即可得解． 【详解】解：由题意得，师生购买午餐的平均价格为（元）， 故选：A． 【典例2】．（2025·浙江丽水·二模）一次“垃圾分类”知识竞赛中7名同学的分数分别为95，85，90，85，90，80，90，这组数据的中位数和众数分别是（   ） A．85，95 B．85，90 C．90，95 D．90，90 【答案】D 【分析】本题为统计题，考查的是众数和中位数，要注意，将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）叫做这组数据的中位数；如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错． 中位数需将数据排序后取中间值，众数为出现次数最多的数，据此求解即可． 【详解】解：将数据从小到大排列：80， 85， 85， 90， 90， 90， 95． ∵数据个数为7，是奇数， ∴中位数为第4个数，即90． ∵90出现3次，次数最多， ∴众数为90． ∴中位数和众数均为90． 故选：D． 【典例3】．（2025·浙江·模拟预测）下表是某小区志愿者们在一次捐款活动中对捐款金额进行的统计： 金额（元） 50 80 100 200 500 人数（人） 5 12 10 6 1 根据表中提供的信息，捐款金额的众数和中位数分别为（　　） A．12元，90元 B．12元，80元 C．80元，90元 D．80元，100元 【答案】C 【分析】本题主要考查了求中位数和众数，在一组数据中出现次数最多的数叫这组数据的众数，处在最中间的数或最中间的两个数的平均数叫作这组数据的中位数，据此求解即可． 【详解】 解：捐款80元的有12人，人数最多， 众数是80元， 志愿者共有：（人）， 所以第17，18个数据为：80，100， 中位数：， 故选：C． 【典例4】．（2025·江苏南京·中考真题）已知一组数据8，10，12，9，11，这组数据的平均数是____________． 【答案】10 【分析】本题考查了求平均数．计算这组数据的和，然后除以数据的个数，即可作答． 【详解】解：依题意，数据之和为， ∵数据的个数为， ∴平均数为． 故答案为：10． 【典例5】．（2025·江苏宿迁·中考真题）某公司在一次招聘中，分笔试和面试两部分，笔试和面试成绩按计算最终成绩．小李的笔试成绩为85分，面试成绩为90分，则小李的最终成绩为___________分． 【答案】 【分析】本题考查了加权平均数的应用，掌握加权平均数的意义及计算是关键． 按照加权平均数的计算公式计算即可． 【详解】解：由题意得小李的最终成绩为：（分）， 故答案为：． 【典例6】．（2025·江苏淮安·中考真题）为了解某品牌A、B两种型号扫地机器人的销售情况，商场对这两种型号的扫地机器人1～8月份的销售情况进行了调查统计，并对统计数据进行了整理分析． 数据整理：1～8月份A、B型号扫地机器人销售情况条形统计图 数据分析： 平均数 中位数 众数 A型号 a 14 12 B型号 12 b c 请认真阅读上述信息，回答下列问题： (1)填空： ， ， ； (2)请对商场八月份以后这两种型号扫地机器人的进货意向提出合理的建议，并说明理由． 【答案】(1)14，13，14 (2)建议多进B型号扫地机器人．理由见解析 【分析】本题考查平均数、中位数、众数，利用统计数据做决策： （1）根据平均数、中位数、众数的定义，结合条形统计图，即可求解； （2）观察统计图，B型号需求逐渐上升的趋势，进而做出决策． 【详解】（1）解：A型号平均数：； 将B型销量按从小到大顺序排列为：5，8，11， 12，14，14，15，17， 第4位和第5位的平均数为：， B型号中位数； B型销量中14出现了2次，出现的次数最多， B型号众数； 故答案为：14，13，14； （2）解：建议多进B型号扫地机器人． 理由：B 型销量从年初的较低水平逐渐上升，八月份已高于 A 型；基于这一走势，商场可适当增加 B 型的进货量以满足需求． 【典例7】．（2025·浙江衢州·三模）为弘扬国学文化，某校开展了国学知识讲座，为了解学生的学习情况，在七、八年级各抽取了50名学生进行了国学知识测试，根据测试成绩绘制了如图所示的统计图． (1)求抽取的八年级学生中测试成绩为10分的人数； (2)请通过计算确定表中a、b、c、d的值： 统计量 平均数 众数 中位数 方差 七年级 8 8 c d 八年级 a b 8 1.56 【答案】(1)6名 (2)，，， 【分析】本题考查了统计的相关知识点，主要包括平均数、中位数、众数、方差，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）用乘以八年级学生中测试成绩为10分的人数所占的比例即可得出答案； （2）根据平均数、中位数、众数、方差的定义进行解答即可； 【详解】（1）解：根据题意得：（名）， 抽取的八年级学生中测试成绩为10分的人数有6人； （2）解：把七年级抽取的50名学生成绩从小到大排列，则中位数是第25、26个数的平均数，所以； 七年级的方差； ， 分的人数最多， 众数． 【典例8】．（2025·浙江·中考真题）2024年11月9日是浙江省第31个消防日，为增强师生消防安全意识、提高自数防范能力，某县教育与消防部门共同组织消防知识竞赛．全县九年级共120个班，每班选派10名选手参加．随机抽取其中10个班级，统计其获奖人数，结果如下表． 班级 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 获奖人数 7 8 6 8 6 6 9 7 8 5 (1)若①班获奖选手的成绩分别为（单位：分）：，求该班获奖选手成绩的众数与中位数． (2)根据统计信息，估计全县九年级参赛选手获奖的总人数． 【答案】(1)众数为，中位数为 (2)全县九年级参赛选手获奖的总人数为人． 【分析】本题考查了中位数，众数，用样本估计总体的知识，正确理解题意是解题的关键． （1）根据中位数和众数的定义即可求解； （2）用样本估计总体的方法求解即可． 【详解】（1）解：将①班获奖选手的成绩从小到大排列为：， ∵出现了次，且次数最多， ∴众数为， 共7个数，第个数据为， ∴中位数为； （2）解：10个班级获奖人数平均数为：， ∴估计全县九年级参赛选手获奖的总人数为：（人）， 答：全县九年级参赛选手获奖的总人数为人． 【典例9】．（2025·山东东营·中考真题）东营市各县区积极创建全国义务教育城乡优质均衡发展县，为了解城乡教育质量发展情况，从农村和城区各抽取1所学校进行艺术抽测，每个学校均随机抽测了10名学生，数据分析如下． （一）收集与整理 农村学校10名学生的艺术成绩（单位：分）： 64，74，78，82，84，86，86，92，96，98； 城区学校10名学生的艺术成绩（单位：分）： 62，70，79，83，85，87，87，90，97，100． （二）描述与分析 城乡学生艺术成绩的平均数、中位数、众数和方差如下： 统计量 平均数 中位数 众数 方差 农村 84 a 86 c 城区 84 86 b 118.6 根据以上信息，回答下列问题： （1）直接写出表格中a、b、c的值， ________， __________， ________； （三）迁移与应用 （2）若从本次艺术成绩在95分以上的4名学生中，任意选择两名学生参加艺术展演，请用列表法或画树状图的方法求出所选两名学生恰好都是城区学生的概率； （3）请从以上统计量中，任选一个统计量，对这两所学校的艺术成绩进行对比分析，并对艺术教学提出一条合理化建议． 【答案】（1）85，87，95.2；（2）；（3）建议见解析 【分析】本题主要考查了中位数，众数，方差的定义，用列表法或画树状图的方法求概率，利用平均数、中位数、众数、方差作决策等知识． （1）根据中位数，众数，方差的定义求解即可． （2）农村学校95分以上学生有2人，分别记为，，城区学校95分以上学生有2人，分别记为，，画出树状图，根据概率公式求解即可． （3）答案不唯一，只要能对平均数、中位数、众数、方差任一统计量进行比较，数据大小比较，进而提出合理建议即可． 【详解】解：（1）， 城区学校10名学生的艺术成绩中出现次数最多的是87， 故， （2）农村学校95分以上学生有2人，分别记为，，城区学校95分以上学生有2人，分别记为，，画树状图如下： 总共有12种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中所选两名学生恰好都是城区学生的结果有2种， ∴P（所选两名学生恰好都是城区学生）． （3）例：从平均数看，城区学校和农村学校的艺术成绩水平相同，建议继续保持城乡优质均衡发展； 从中位数看，城区学校的艺术成绩高于农村学校的艺术成绩，建议加强农村学校艺术教学； 从众数看，城区学校的艺术成绩高于农村学校的艺术成绩，建议提高农村学校艺术教学水平； 从方差看，城区学校艺术成绩的方差大于农村学校艺术成绩的方差，城区学校艺术成绩波动较大，建议减小两极分化． 命题点04 方差、标准差 【典例1】．（2025·浙江·模拟预测）如图，小雨将一学期的五次数学成绩制作成了折线统计图，并计算了5次成绩的方差．当他得知期末数学成绩时，计算出六次成绩的方差，发现，小雨的期末数学成绩可能是（   ） A．82 B．88 C．90 D．93 【答案】A 【分析】本题考查了方差：方差公式…，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 先计算前5次的平均数，要使六次成绩的方差小于5次成绩的方差，则第6次的成绩要等于或接近平均数，据此可得答案． 【详解】解：前5次的平均数为：， ， 小雨的期末数学成绩可能是 故选：A 【典例2】．（2025·黑龙江大庆·中考真题）下列说法正确的是（   ） A．调查某种灯泡的使用寿命最适合采用普查的方式 B．64的平方根为8 C．若一个正多边形的每个内角都是，那么这个多边形是正五边形 D．甲、乙两人在相同的条件下各射击8次，他们射击成绩的平均数相同，方差分别是，，则乙的射击成绩较稳定 【答案】C 【分析】本题考查了普查与抽样调查，平方根，多边形的内角和与外角和，方差的意义．根据普查与抽样调查，平方根，多边形的内角和与外角和，方差的意义，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A、调查某种灯泡的使用寿命，具有破坏性，其范围广，最适宜采用抽样调查的方式，故原说法不正确，该选项不符合题意； B、64的平方根为，故原说法不正确，该选项不符合题意； C、∵一个正多边形的每一个内角都是， ∴每一个外角都是， ∵多边形的外角和为， ∴这个正多边形的边数为， 即这个多边形是正五边形，故原说法正确，该选项符合题意； D、甲、乙两人在相同的条件下各射击8次，他们射击成绩的平均数相同，方差分别是，， ，则甲的成绩较稳定，故原说法不正确，该选项不符合题意； 故选：C． 【典例3】．（2025·浙江丽水·二模）测试五位学生的“一分钟跳绳”成绩，得到五个各不相同的数据，在统计时出现了一处错误：将最高成绩写得更高了，计算结果不受影响的是（   ）． A．方差 B．中位数 C．标准差 D．平均数 【答案】B 【分析】本题考查求平均数，中位数，方差和标准差，根据平均数受极端值影响，方差受平均数的影响，标准差是方差的算术平方根，受方差影响，中位数与数据个数和排序有关，进行判断即可． 【详解】解：∵平均数受极端值影响，方差受平均数的影响，标准差是方差的算术平方根，受方差影响， ∴当将最高成绩写得更高了时，平均数，方差，标准差均会受到影响， ∵中位数与数据个数和排序有关，当将最高成绩写得更高了时，数据个数不变，排序不变， ∴中位数不受影响； 故选B． 【典例4】．（2025·浙江·模拟预测）6月5日是世界环境日，某校组织了一次环保知识竞赛，每班选25名同学参加比赛，成绩分别为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分，学校将甲班和乙班的成绩整理并绘制成统计图．根据提供的信息解答下列问题： 班级 平均分 中位数 众数 方差 甲班 a 9 乙班 8 b (1)把甲班竞赛成绩统计图补充完整； (2)写出表中a，b的值； (3)依据数据分析表，有同学认为甲班的成绩好，也有同学认为乙班的成绩好，请写出一条支持甲班成绩更好的理由． 【答案】(1)见解析 (2)9，10 (3)甲班成绩更好，理由见解析 【分析】本题主要考查了扇形统计图和条形统计图，求一组数据的中位数和众数，解题的关键是熟练掌握中位数和众数的定义，条形统计图和扇形统计图的特点． 求出甲班C等级的人数，然后补全统计图即可； 根据中位数的定义求出a，根据众数的定义求出b的值即可； 根据表格中的中位数、众数、平均数和方差进行解答即可． 【详解】（1）甲班C等级的人数为：人， 补全条形统计图如图所示： （2）将甲班25个同学的成绩从小到大进行排序，排在第13位的在B等级中，因此中位数； 乙班25个同学的成绩在A等级的人数最多，因此众数； （3）根据表格中的数据可知，甲班25个同学的成绩的中位数比乙班25个同学的成绩的中位数大，且甲班25个同学的成绩的方差比乙班25个同学的成绩的方差要小，说明甲班25个同学的成绩较稳定，因此甲班成绩更好． 【典例5】．（2025·浙江台州·三模）某校举办“十佳歌手”演唱比赛，五位评委进行现场打分，将甲、乙、丙三位选手的得分数据整理成下列统计图． 根据以上信息，解答下列问题． (1)完成表格： 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 甲      ①_____ 8和9      乙 ②_____ 9 9      丙      8 ③_____      (2)从三位选手中选一位参加市级比赛，你认为选谁更合适？请说明理由． 【答案】(1)①9，②，③8 (2)选甲更合适．理由见解答 【分析】本题主要考查了中位数，平均数，众数以及方差，理解相关定义与意义，熟记方差公式是解题关键． （1）分别根据中位数、平均数的定义进行计算，即可得到答案； （2）根据（1）中表格，结合平均数和方差的意义进行分析，即可得到答案． 【详解】（1）解：由甲得分的折线统计图可知，甲得分的排序为：10、、、、， ∴甲得分的中位数为 9 ， 由乙得分的条形统计图可知，乙得分分别为：7，9，9，9，10， ∴乙得分的平均数为， 由丙得分的扇形统计图可知，， 则丙得分分别为：8，8，8，10，10， ∴ 8出现的次数最多， ∴丙得分的众数为 8 ． 故答案为：①9，②，③8； （2）解：选甲更合适．理由如下： 因为甲、乙、丙三人平均成绩一样，说明三人实力相当，但是甲的方差最小，说明甲的成绩更稳定，所以选甲更合适． 命题点05 选择合适的统计量做决策 【典例1】．（2026·贵州铜仁·模拟预测）某校九年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试，每人10次跳绳成绩的平均数及方差，如下表所示： 甲 乙 丙 丁 平均数 202 214 205 214 方差 3.8 3.8 5.6 5.6 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】平均数越大成绩越好，方差越小数据波动越小，发挥越稳定，先找出平均数最大的同学，再在其中找出方差最小的同学即可． 【详解】解：∵要选择成绩好且发挥稳定的同学，平均数越大代表成绩越好， ∴根据表中数据可得，乙和丁的平均数最大，均大于甲和丙的平均数，因此只需从乙和丁中选择， 又∵方差越小代表发挥越稳定，乙的方差为，小于丁的方差， ∴乙满足成绩好且发挥稳定的要求． 【典例2】．（2026·吉林·一模）2025年，国务院印发《国务院关于深入实施“人工智能＋”行动的意见》，为人工智能的发展描绘了未来10年的战略蓝图．为了更好地拥抱人工智能，某校八年级信息技术社团在第一次能力测试之后，将人工智能技术应用于社团教学中，两个月后进行了第二次能力测试．从两次能力测试中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，绘制成如图统计图． 根据以上信息，整理、分析数据，得到下表： 平均成绩/分 中位数/分 众数/分 第一次测试 第二次测试 (1)________，________； (2)若规定分及分以上为优秀，该社团共名学生参加了第二次测试，估计在第二次测试中成绩优秀的学生人数； (3)结合两次测试成绩，通过分析统计量，你能得到什么结论？写出一条即可． 【答案】(1)； (2)该社团在第二次测试中成绩优秀的人数约为人 (3)第二次测试的平均成绩和中位数都高于第一次，说明将人工智能技术应用于社团教学后，学生的成绩整体有所提升．（答案不唯一，言之有理即可） 【分析】（1）根据中位数和众数的定义进行计算即可； （2）先计算第二次测试成绩优秀的人在样本中的占比，再乘以社团的学生数即可； （3）对比两次成绩的平均数、中位数和众数，得出结论． 【详解】（1）解：∵第一次能力测试的学生成绩中，分的占比最高，为， ∴第一次成绩的众数为分，即； ∵第二次测试的名学生的成绩中，第名和第名的成绩都是分， ∴第二次成绩的中位数为（分），即； （2）解：第二次测试中分及分以上的人数为（人），占比为， （人）． 答：该社团在第二次测试中成绩优秀的人数约为人． （3）解：第二次测试的平均成绩和中位数都高于第一次，说明将人工智能技术应用于社团教学后，学生的成绩整体有所提升．（答案不唯一，言之有理即可） 【典例3】．（2026·广西·一模）为全面落实《国家学生体质健康标准》，切实加强学生体质健康水平，某中学针对毕业班学生就一分钟跳绳项目开展了一次专项训练活动．为检测训练成效，该校随机抽取了3个班级各20名学生代表进行测试，规定跳绳次数不少于180次为“优秀”．现将测试数据进行整理绘制统计图表，部分信息如下： 甲班代表跳绳次数：160，160，160，160，170，170，170，170，180，180，180，180，180，180，190，190，190，190，190，200； 代表 平均数 中位数 众数 “优秀”人数（） 甲班 177.5 180 12 乙班 182 180 14 丙班 180.5 180 14 (1)填空：___________，___________，___________； (2)若该校毕业班学生人数共有900人，请你估计本次跳绳项目专项训练活动中达到“优秀”（次）的学生总人数； (3)学校计划对训练成效更好的班级进行表彰，你认为哪个班级的跳绳训练成效更好？请结合统计量说明理由． 【答案】(1)180；190；180 (2)本次跳绳专项训练活动中达到“优秀”的学生总人数约为600人 (3)乙班的跳绳训练成效更好，理由见解析 【分析】（1）根据各班的数据和中位数、众数的定义即可求解； （2）根据样本数据估计总体数据的方法即可求解； （3）从平均数，中位数，众数或优秀率方面进行比较即可确定． 【详解】（1）解：∵甲班代表跳绳次数从小到大排列的数据中第10位和第11位均为180， ∴中位数， ∵乙班代表跳绳次数的扇形统计图中190次占比为30%最多， ∴乙班代表跳绳次数的数据中众数， ∵从丙班代表跳绳次数的条形统计图可得数据中第10位和第11位均为180， ∴中位数． （2）解：达到“优秀”的学生总人数为（人） 答：本次跳绳专项训练活动中达到“优秀”的学生总人数约为600人． （3）解：乙班的跳绳训练成效更好． 理由是：从表格看，三个班级的中位数相同，说明数据的中间水平一致；甲班优秀率60%，而乙、丙班的优秀率都是70%，但乙班的平均数和众数均高于甲、丙班，说明乙班训练成效更好．（答案不唯一，理由合理即可） 【典例4】．（2026·北京西城·一模）某校开展合理使用手机的宣传活动，某班班长选取甲、乙、丙、丁四名同学进行经验分享，他收集了这四名同学最近天使用手机的时长（单位：分钟）的数据，并进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲同学天使用手机时长：                   b．乙、丙同学天使用手机时长的折线图： c．四名同学天使用手机时长的平均数、中位数、方差： 甲 乙 丙 丁 平均数 m 16 17 16 中位数 15.5 15 p 16.5 方差 15 7.8 n 7.8 (1)表中的值为 ，的值为 ， （填“”“”或“”）； (2)根据这天使用手机的数据，班长按如下方式决定四名同学的分享顺序：首先比较平均数，平均数较小者优先；若平均数相等，则比较方差，方差较小者优先；若平均数、方差分别相等，则使用时长小于平均数的次数较多者优先．四名同学的经验分享顺序依次为 ． 【答案】(1)，， (2)乙，丁，丙，甲 【分析】（1）根据甲的数据求出平均数；把丙同学使用手机的时长按照从小到大的顺序排列中间两数的平均数即为丙的中位数；计算出丙的方差和比较； （2）按照要求先比较平均数、平均数相等的再比较方差、如果方差也相等，则通过中位数的大小确定使用时长小于平均数的次数． 【详解】（1）解：分钟； 由折线统计图可知，把丙同学使用手机的时长按照从小到大的顺序排列如下： 、、、、、、、、、， 共有个数据，其中第和第个数据是和， 丙同学使用手机时长的中位数为； 丙同学使用手机的时长的方差为， ； （2）解：由平均数可知，甲和丙的平均数都是，乙和丁的平均数都是， 乙和丁优先， 甲的方差是，丙的方差是， 丙比甲优先， 乙和丁的方差都是， 乙的中位数是，丁的中位数是， 乙使用时长小于平均数的次数较多， 乙比丁优先， 四名同学的经验分享顺序依次为乙、丁、丙、甲． 【典例5】．（2026·山东济宁·二模）为培育玉米新品种，研究人员对某生长期试验田和对照田的玉米株高进行抽样分析，从两块田地中各随机选取20株玉米测量株高，将株高（用h表示，单位：）划分为A，B，C，D四个等级，株高为长势优秀，对数据整理分析后得到如下信息： 【信息整理】 a．等级划分： 等级 A B C D 株高 b．试验田株高的条形统计图、对照田株高的扇形统计图如下： c．试验田B，C两组株高分别为：94，94，93，92，92，89，89，88，85； 对照田C组株高为：89，89，88，88，88，88，88，87，86． 【数据分析】两块田地株高的统计表（部分数据缺失）： 田地类型 平均数 中位数 众数 优秀率 方差 试验田 88 a 95 28.25 对照田 88 88 b 32.10 (1)填空：____________，____________，____________； (2)请根据题中提供的信息，评估试验田的玉米生长情况； (3)为评估试验田和对照田的玉米综合品质，研究人员从株高、产量、抗倒伏、抗病性四个维度进行百分制评分，综合得分由株高、产量各占，抗倒伏、抗病性各占，计算加权平均分．两组玉米的评分如下表： 玉米类型 株高 产量 抗倒伏 抗病性 试验田 80 t 90 95 对照田 90 80 85 90 若试验田玉米的综合得分不低于对照田，求整数t的最小值． 【答案】(1)88.5，88，40 (2)试验田的玉米生长情况好于对照田 (3)84 【分析】（1）根据中位数、众数、优秀率的定义分别求出、、的值即可； （2）从中位数、众数、优秀率、方差等角度分析即可解答； （3）根据加权平均数的公式分别计算试验田和对照田玉米的综合得分，再根据题意列出关于的不等式，求出的取值范围即可解答． 【详解】（1）解：将试验田株高（单位：）从大到小顺序排列，第10位和第11位的数据为89和88， ∴试验田株高的中位数为，即； 对照田C组株高（单位：）出现次数最多的是88，共计5次，对应占比为， ∵， ∴对照田株高的众数为，即； ， ∴； （2）解：从中位数、众数、优秀率来看，试验田都高于对照田；从方差看，试验田明显低于对照田，说明试验田玉米株高数据波动小，相对集中． 综合以上信息，试验田的玉米生长情况好于对照田． （3）解：试验田玉米的综合得分为， 对照田玉米的综合得分为， ∵试验田玉米的综合得分不低于对照田， ∴， 解得， ∴整数t的最小值为84． 中考预测题 1.下列调查中，最适合采用全面调查（普查）的是（   ） A．调查全国中学生使用学习辅助工具的频率 B．调查某校航天兴趣小组全体成员的航天模型制作合格率 C．调查一批新能源汽车电池的使用寿命 D．调查某市中学生生态环境保护知识的掌握程度 【答案】B 【分析】需根据普查的适用条件判断，当调查范围小，数量少，调查无破坏性，且对结果准确度要求高时，适合采用全面调查（普查），反之适合抽样调查． 【详解】解：选项A中调查对象为全国中学生，范围广、人数多，适合抽样调查； 选项B中调查对象为某校航天兴趣小组全体成员，人数少，范围小，易实施，适合采用全面调查； 选项C中测试电池使用寿命具有破坏性，适合抽样调查； 选项D中调查对象为某市中学生，范围广、人数多，适合抽样调查． 2.某校开展“我最喜爱的一项体育活动”调查，要求每名学生必选且只能选一项，现随机抽查了m名学生，并将其结果绘制成如下不完整的条形图和扇形图． 请结合以上信息解答下列问题： (1)______； (2)上面条形统计图中足球的人数是______； (3)在扇形图中，“乒乓球”所占的百分比为______； (4)已知该校共有名学生，请你估计该校约有______名学生最喜爱足球活动； (5)该校想要购买一些足球、排球和乒乓球，请你写出一条购买建议． 【答案】(1)150 (2)30 (3) (4)240 (5)见解析 【分析】（1）根据图中信息列式计算即可； （2）总人数乘以喜欢足球人数所占百分比即可； （3）“乒乓球”的人数除以总人数即可得出所占的百分比； （4）利用样本估计总体即可； （5）根据喜欢三种活动的人数进行分析． 【详解】（1）解：； （2）解：（人）， 即条形统计图中足球的人数是30； （3）解：在扇形图中，“乒乓球”所占的百分比为； （4）解：（名）， 估计该校约有240名学生最喜爱足球活动． （5）解：抽取学生中，喜欢足球、排球和乒乓球的人数依次为30，21，15， 因此建议多购买一些足球，少购买一些排球和乒乓球． 3．学校为选拔“校园广播主持人”，先后进行了笔试和面试．在笔试中，甲、乙、丙三位同学脱颖而出，他们的笔试成绩（满分为分）分别是，，．在面试中，十位评委对甲、乙、丙三位同学的表现进行打分，每位评委最高打分，面试成绩等于各位评委打分之和，对三位同学的面试数据进行整理、描述和分析，并给出了相关信息． ．评委给甲、乙两位同学打分的折线图        ．评委给丙同学打分的扇形统计图    ．甲、乙、丙三位同学面试情况统计表 同学 评委打分的中位数 评委打分的众数 面试成绩 方差 甲 9和10 85 1.85 乙 8.5 8 87 丙 8 2.01 根据以上信息，回答下列问题： (1)______，______； (2)求丙同学的面试成绩； (3)通过比较方差，可判断评委对学生面试表现评价的一致性程度．据此推断评委对______同学的评价更一致（填“甲”、“乙”或“丙”）； (4)按笔试成绩占，面试成绩占选出综合成绩最高的同学是______（填“甲”、“乙”或“丙”）． 【答案】(1)， (2)丙同学的面试成绩为分 (3)乙 (4)乙 【分析】（1）根据中位数的定义可得的值，根据众数的定义可得的值； （2）把十位评委的打分相加即可得丙的得分； （3）先求出乙的方差，根据方差的意义解答即可； （4）根据加权平均数公式计算即可得出结论． 【详解】（1）解：将甲同学的打分按照从小到大的顺序排列：，，，，，，，，，， 位于第位和第位的数据均为， 中位数； 由扇形统计图可知，丙的打分中分的最多， 众数； （2）解：丙同学的面试成绩（分）； （3）解：乙的平均分为（分）， ， ， 乙的打分波动比甲和丙小， 评委对乙同学的评价更一致； （4）解：甲的综合成绩为：（分）； 乙的综合成绩为：（分）； 丙的综合成绩为：（分）； ， 综合成绩最高的同学是乙． 考点二 概率 《解题指南》 解题技巧： •一步概率公式：P(A)=符合条件情况数总情况数。 •两步试验固定方法：有序用树状图、无序用列表法；必须写全所有等可能结果。 •放回&不放回区分技巧：拿完放回总数不变；拿完不放回总数-1。 •频率估计概率模板：大量试验下，频率稳定在概率附近，列式求解未知量。 •游戏公平性解题步骤：分别算出双方概率→概率相等则公平，不相等则不公平。 •规范得分要求：大题必须画图、枚举、写总结果数，不可直接写答案。 命题点01 事件的分类 【典例1】．（2025·青海西宁·中考真题）下列说法正确的是（   ） A．概率很大的事件一定会发生 B．“任意画一个三角形，其外角和是”是必然事件 C．两组身高数据的方差分别是，，则乙组的身高更整齐 D．某抽奖活动的中奖概率为，表示抽奖10次就有1次中奖 【答案】B 【分析】本题考查了事件的概率，随机事件的分类，方差等知识的综合运用，理解概率，事件分类，方差的概念是解题的关键． 根据概率，事件的分类，方差的概念，逐一分析即可求解． 【详解】解：A、概率很大的事件发生的可能性大，不一定会发生，故A选项错误，不符合题意； B、“任意画一个三角形，其外角和是”是必然事件，正确，符合题意； C、∵， ∴甲组的身高更整齐，故C选项错误，不符合题意 ； D、某抽奖活动的中奖概率为，则抽奖10次不一定就有1次中奖，故D选项错误，不符合题意； 故选：B ． 【典例2】．（2025·海南·中考真题）掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，观察向上一面的点数．下列说法正确的是（   ） A．出现点数为6的概率是 B．出现点数为0是随机事件 C．出现点数为偶数是必然事件 D．出现点数为奇数是不可能事件 【答案】A 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念以及事件发生的可能性大小判断即可． 本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：A．出现点数为6的概率是，正确，符合题意； B．出现点数为0是不可能事件； C．出现点数为偶数是随机事件； D．出现点数为奇数是随机事件； 故选A． 【典例3】．（2025·浙江杭州·一模）下列事件中，属于随机事件的是（   ） A．从地面向上抛的硬币会落下 B．射击运动员射击一次，命中环 C．太阳从东边升起 D．有一匹马奔跑的速度是米秒 【答案】B 【分析】在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件，一定会发生的是必然事件，一定不会发生的是不可能事件.结合概念判断各选项即可. 【详解】解：A 、从地面向上抛的硬币会落下，是一定会发生的事件，属于必然事件，不符合题意； B 、射击运动员射击一次，可能命中环，也可能不命中环，是否发生无法预先确定，属于随机事件，符合题意； C 、太阳从东边升起，是一定会发生的事件，属于必然事件，不符合题意； D 、马奔跑的速度不可能达到米/秒，是一定不会发生的事件，属于不可能事件，不符合题意； 故选：B. 【典例4】．（2025·四川广元·一模）下列事件是确定性事件的是（     ） A．购买一张彩票，中奖； B．射击运动员射击1次，命中靶心； C．等边三角形的三条边长相等； D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯． 【答案】C 【分析】本题主要考查了事件的分类，掌握确定性事件指必然发生或必然不发生的事件是解题的关键． 根据确定性事件的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．购买一张彩票，中奖，是随机事件，不符合题意； B．射击运动员射击1次，命中靶心，是随机事件，不符合题意； C．等边三角形的定义是三条边长相等，是确定性事件，符合题意； D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，属于随机事件，不符合题意． 故选C． 命题点02 列举法或公式法计算概率 【典例1】．（2025·河南驻马店·三模）如图，张卡片的正面分别呈现了几种常见的生活现象，它们的背面完全相同．现将所有卡片背面朝上洗匀后从中随机抽取两张，这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的概率是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画树状图得出所有可能的结果数以及两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的结果数，再利用概率公式即可解答． 【详解】解：按图上顺序将张卡片分别记为，，，，则属于化学变化的有和，画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的结果有种， 故这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的概率为． 【典例2】．（2025·山东东营·中考真题）盒中有四张卡片，分别印有孤岛槐林、黄河入海口、红色刘集、孙子文化园图案，它们的形状和大小完全相同．两名同学先后从中随机抽取一张卡片（抽完后放回），则他们抽到的卡片图案相同的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列表法求概率，通过列举所有可能的抽取结果，再找出两人抽到卡片图案相同的结果，最后根据概率公式计算出相应概率． 【详解】解：记印有孤岛槐林、黄河入海口、红色刘集、孙子文化园图案的卡片分别为a，b，c，d，列表如下： a b c d a b c d 由表格可知，共有16种等可能的结果，其中他们抽到的卡片图案相同的结果有4种， ∴所求概率为， 故选：D． 【典例3】．（2025·浙江·模拟预测）思思和想想参加“飞向太空模拟活动”，随机选择“飞向月球”“飞向火星”其中一项，那么两人同时选择“飞向火星”的概率是______． 【答案】/0.25 【分析】本题考查了用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 画树状图，共有4种等可能的结果，其中两人同时选择“飞向火星”的结果有1种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：把“飞向月球”“飞向火星”分别记为A、B， 画树状图如下： 共有4种等可能的结果，其中两人同时选择“飞向火星”的结果有1种， 两人同时选择“飞向火星”的概率是， 故答案为： 【典例4】．（2025·浙江宁波·模拟预测）一个人在直角坐标系上从走到，每次他可以往上走一个单位长度或往右走一个单位长度且它的横坐标和纵坐标的绝对值至少有一个大于等于二，则这个人有_______种走法． 【答案】74 【分析】本题考查了列表法求事件的种数， 问题核心：从走到，每次只能往右或往上走 格，且不能经过 “禁区”（横坐标，0，1且纵坐标，0，1的点，这些点横、纵坐标绝对值都小于 2）． 解题方法：用 “标数法”—— 每个点的走法数 = 从左边过来的走法数 + 从下边过来的走法数（因只能右 / 上走）． 【详解】点的坐标 解：基础标数： （1）起点标 “1”（只有 1 种到起点的方法）； （2）（）和（）只能单向走，全标 “”． 逐点计算（重点标关键位置）： x\y 0 1 2 3 3 1 7 13 19 25 37 2 1 6 6 6 6 12 37 1 1 5 （禁区） （禁区） （禁区） 6 25 0 1 4 （禁区） （禁区） （禁区） 6 19 1 3 （禁区） （禁区） （禁区） 6 13 1 2 3 4 5 6 7 起点 1 1 1 1 1 1 结果：终点的走法数为 74． 故填：74． 【典例5】．（2025·浙江衢州·二模）“石头、剪刀、布”是一种广为流传的小游戏，规则是两人每次任意出“石头”、“剪刀”、“布”这三种手势中的一种，剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀．小方和小袁比赛一局，他们出相同手势的概率为___________． 【答案】 【分析】本题考查列表法与树状图法，列表可得出所有等可能的结果数以及他们出相同手势的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： 石头 剪刀 布 石头 （石头，石头） （石头，剪刀） （石头，布） 剪刀 （剪刀，石头） （剪刀，剪刀） （剪刀，布） 布 （布，石头） （布，剪刀） （布，布） 共有9种等可能的结果，其中他们出相同手势的结果有3种， ∴他们出相同手势的概率为． 故答案为：． 【典例6】．（2025·山东德州·中考真题）把英文单词“”中的字母依次写在完全相同的6张卡片上，每张卡片上只写其中的1个字母．然后将卡片洗匀，从中随机抽取2张，恰好是字母相同的两张卡的概率是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了列表法与树状图法、概率公式，解题时要熟练掌握并能根据题意画出树状图是关键． 依据题意，画出树状图，从而可得随机抽取2张共有30种等可能性，其中恰好是字母相同的两张卡片有4种，进而可以计算概率求解． 【详解】根据题意，画出树状图如下： 从中随机抽取2张共有30种等可能性，其中恰好是字母相同的两张卡片有4种， 从中随机抽取2张，恰好是字母相同的两张卡片的概率为． 故答案为：． 【典例7】．（2024·甘肃甘南·中考真题）某校组织学生观看“天宫课堂”第二课直播，跟着空间站的翟志刚、王亚平、叶光富三位宇航员学习科学知识，他们相互配合，生动演示了四个实验：（A）微重力环境下的太空“冰雪”实验，（B）液桥演示实验，（C）水油分离实验，（D）太空抛物实验．观看完后，该校对部分学生对四个实验的喜爱情况作了抽样调查，将调查情况制成了如下的条形统计图和扇形统计图． 请根据图中信息，回答下列问题： (1)共调查了______名学生，图2中A所对应的圆心角度数为______； (2)请补全条形统计图； (3)若从两名男生、两名女生中随机抽取2人参加学校组织的“我爱科学”演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求抽到的学生恰好是一男一女的概率． 【答案】(1)50， (2)见解析 (3) 【分析】本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识，从统计图中获取数量和数量之间的关系，列举出所有可能出现的结果数，是解决问题的关键． （1）由B的人数除以所占百分比得出共调查的学生人数，再由乘以A的占比即可求解圆心角即可解决问题； （2）求出D、C的人数，即可解决问题； （3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽到的学生恰好是一男一女的结果有8种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：共调查的学生人数为：（名）， ∴图2中A所对应的圆心角度数为：， 故答案为：50，； （2）解：D的人数为：（人） ∴C的人数为：（人）， 补全条形统计图如下： （3）解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中抽到的学生恰好是一男一女的结果有8种， ∴抽到的学生恰好是一男一女的概率为． 命题点03 几何概率 【典例1】．（2025·四川雅安·中考真题）某中学九年级（1）班开展“禁毒知识竞赛”活动，为表扬同学们积极参与，班主任组织转盘抽奖活动．自由转动转盘，当它停止转动时指针落在三等奖区域的概率为，落在二等奖区域的概率为，落在一等奖区域的概率为，则一等奖区域所对的圆心角度数为______． 【答案】/度 【分析】用360度乘以落在一等奖区域的概率即可得到答案． 【详解】解：， ∴一等奖区域所对的圆心角度数为． 【典例2】．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，转盘中5个扇形的面积都相等，分别涂红色和黄色．任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向红色区域的概率是_____． 【答案】 【分析】本题考查了几何概率，熟练掌握概率公式是解题关键．先求出任意转动转盘1次共有5种等可能的结果，其中，当转盘停止转动时，指针指向红色区域的结果有3种，再利用概率公式计算即可得． 【详解】解：由图可知，任意转动转盘1次共有5种等可能的结果，其中，当转盘停止转动时，指针指向红色区域的结果有3种， 则当转盘停止转动时，指针指向红色区域的概率是， 故答案为：． 【典例3】．（24-25九年级上·浙江·期末）如图，正六边形是由个大小相等的等边三角形构成，随机地往六边形内投一粒米，落在阴影区域的概率为__． 【答案】 【分析】本题考查了简单事件的概率，关键是求得所有事件的可能结果数，某个事件发生时的可能结果数． 根据概率的计算方法即可求解． 【详解】解：正六边形是由个大小相等的等边三角形构成，随机地往六边形内投一粒米，落在阴影区域有种可能； 故一粒米落在阴影区域的概率为：； 故答案为： 【典例4】．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）有一个转盘（材质均匀）如图，已知红色、黄色区域的圆心角度数分别为和，当指针刚好落在分界线时，重新转动． (1)自由转动转盘一次，指针落在“红色区域”的概率为，分别求x和y的值． (2)在（1）的条件下，若自由转动转盘两次，求“指针一次落在红色区域，另一次落在黄色区域”的概率． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了几何概率，列表法或树状图法求概率，根据概率公式计算概率等知识点，熟练掌握几何概率的求法以及列表法或树状图法求概率是解题的关键． （1）由题意可得，由此即可求出的值，然后根据即可求出的值； （2）把黄色区域均分为圆心角都是的扇形，分别记作黄，黄，先用表格列出所有等可能的结果，并找出“指针一次落在红色区域，另一次落在黄色区域”的结果数，然后利用概率公式计算概率即可． 【详解】（1）解：由题意可得：， ， ； （2）解：如图，把黄色区域均分为圆心角都是的扇形，分别记作黄，黄， 列表如下： 第一次第二次 红 黄1 黄2 红 红，红 红，黄1 红，黄2 黄1 黄1，红 黄1，黄1 黄1，黄2 黄2 黄2，红 黄2，黄1 黄2，黄2 由表格可知，共有种等可能的结果，其中“指针一次落在红色区域，另一次落在黄色区域”的结果有种， （一次红色区域，一次黄色区域）． 命题点04 频率估算概率 【典例1】．（2025·浙江衢州·模拟预测）某篮球运动员进行定点投篮训练，其成绩如表： 投篮次数 10 50 100 200 投中次数 9 44 91 180 频率 0.90 0.88 0.91 0.90 则这名运动员定点投篮一次，投中的概率约是________（精确到）． 【答案】 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．熟练掌握利用频率估计概率的方法是解题关键． 【详解】解：由成绩表可知，事件发生的频率稳定在附近， 则这名运动员定点投篮一次，投中的概率约是， 故答案为：． 【典例2】．（23-24九年级上·广东广州·期末）小梦在研究“掷一枚图钉，针尖朝上”的概率时，用同一枚图钉做实验得到如下数据 掷图钉的次数 10 100 300 500 800 1000 2000 针尖朝上的频率 请利用以上数据估算“掷这枚图钉，针尖朝上”的概率是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查用频率估计概率，熟练掌握用频率估计概率是解题的关键．根据用频率估计概率即可得到答案． 【详解】解：观察数据可得，“掷这枚图钉，针尖朝上”的概率是，即． 故答案为：． 【典例3】．（2025·浙江杭州·二模）在同样条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表． 试验种子数（粒） 发芽频数 发芽频率 根据频率的稳定性，估计该麦种的发芽概率约为______．（精确到） 【答案】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，解题的关键是能够了解大量重复试验频率稳定到哪个常数附近，就可以用这个常数来估计概率．观察大量重复试验频率稳定到哪个常数附近，就可以用这个常数来估计发芽概率． 【详解】解：观察发现：随着大量重复试验，发芽频率逐渐稳定到常数附近， 所以估计该麦种的发芽概率为， 故答案为：． 【典例4】．（2025·贵州·中考真题）某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，将同学们获得的试验数据整理如下表：（  ） 抛掷次数 20 60 100 120 140 160 500 1000 2000 5000 “正面朝上”的次数 12 38 58 62 75 88 275 550 1100 2750 “正面朝上”的频率 则抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，根据频率估计概率的原理，当试验次数足够大时，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，该常数即可作为概率的估计值．观察表格数据，随着抛掷次数增加，频率逐渐稳定在附近，即可得出答案． 【详解】解：当抛掷次数较小时（如20次、60次等），频率波动较大（、等），当次数增加到500次及以上时，频率稳定在，所以抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为． 故选：B． 命题点05 概率的应用 【典例1】．（2024·浙江·模拟预测）在一次摸球游戏中，规定：连续摸到2个相同颜色的小球即为胜利，且每人只有一次挑战机会．小金和小华一起参加游戏，两人轮流从不透明的箱子里摸出一个小球，小金先摸．现已知箱子里有4个红球和2个白球，则下列推断正确的是（   ） A．一定是小金获胜 B．一定是小华获胜 C．若第一轮两人都摸到了白球，则一定是小金获胜 D．若第一轮两人都摸到了红球，则一定是小金获胜 【答案】C 【分析】本题考查了随机事件，列举法等知识，利用排除法求解即可． 【详解】解：假设两人第一次都摸到红球，若第二次小金摸到红球，小华摸到白球，则小金获胜；若第二次小金摸到白球，小华摸到红球，则小华获胜； 故A、B都不正确； 若第一轮两人都摸到了白球，剩下只能是红球，因为小金先摸球，则小金先摸到2个红球，所以一定是小金获胜， 故C正确； 若第一轮两人都摸到了红球，剩下4球为两个红球，两个白球，假设两人第三次都摸到红球，若第四次小金摸到红球，小华摸到白球，则小金获胜；若第四次小金摸到白球，小华摸到红球，则小华获胜； 故D不正确． 故选：C． 【典例2】．（2024·山东青岛·中考真题）学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程． (1)小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是______； (2)请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平． 【答案】(1) (2)树状图见解析，该游戏对双方公平 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率： （1）根据概率计算公式求解即可； （2）画出树状图得到所有符合题意的等可能性的结果数，再分别找到两次数字之和大于4和小于4的结果，再依据概率计算公式计算出两人获胜的概率即可得到结论． 【详解】（1）解：∵一共有3张牌，其中写有数字1的牌有1张，且每张牌被摸到的概率相同， ∴小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是， 故答案为：； （2）解：画树状图如下所示： 由树状图可知，一共有6种（和为4的不符合题意）等可能性的结果数，其中两次摸到的数字之和大于4的结果数有3种，两次摸到的数字之和小于4有3种， ∴小明获胜的概率为，小红获胜的概率为， ∴小明和小红获胜的概率相同， ∴该游戏对双方公平． 【典例3】．（2022·山东青岛·中考真题）2022年3月23日下午，“天宫课堂”第二课开讲，航天员翟志刚、王亚平、叶光富相互配合进行授课，激发了同学们学习航天知识的热情．小冰和小雪参加航天知识竞赛时，均获得了一等奖，学校想请一位同学作为代表分享获奖心得．小冰和小雪都想分享，于是两人决定一起做游戏，谁获胜谁分享，游戏规则如下：甲口袋装有编号为1，2的两个球，乙口袋装有编号为1，2，3，4，5的五个球，两口袋中的球除编号外都相同．小冰先从甲口袋中随机摸出一个球，小雪再从乙口袋中随机摸出一个球，若两球编号之和为奇数，则小冰获胜；若两球编号之和为偶数，则小雪获胜． 请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平． 【答案】游戏对双方都公平 【分析】根据题意列表求得双方的概率即可求解． 【详解】解：所有可能的结果如下： 乙甲 1 2 3 4 5 1 2 ∴共有10种等可能的结果，其中两球编号之和为奇数的有5种结果，两球编号之和为偶数的有5种结果． ∴P（小冰获胜） P（小雪获胜） ∵P（小冰获胜）=P（小雪获胜） ∴游戏对双方都公平． 【点睛】本题考查了游戏的公平性，列表法求概率，掌握求概率的方法是解题的关键． 中考预测题 1.考拉兹猜想(又称冰雹猜想、猜想)是全球知名的数学难题，至今未获得证明．其规则为：对任意正整数，重复以下变换：若它是奇数，则对它乘3加1；若它是偶数，则对它除以2．猜想断言：无论从哪个正整数开始，最终都会落入“”的循环，也就是一定会走到1．数学家已验证极大范围内的数均符合该猜想的规律．在正整数1，2，3，4中，随机选取两个不同的数，分别按上述规则进行一次操作后，两个结果均为偶数的概率是________． 【答案】 【分析】先按照变换规则计算每个数操作一次后的结果，得到操作后为偶数的原数个数，再计算所有等可能的选取情况数，以及两个结果均为偶数的情况数，最后根据概率公式计算概率． 【详解】解：对每个正整数进行一次变换： 是奇数，变换结果为，是偶数； 是偶数，变换结果为，是奇数； 是奇数，变换结果为，是偶数； 是偶数，变换结果为，是偶数； 因此变换后结果为偶数的原数为1，3，4，共3个，变换后结果为奇数的原数为2， 从4个数中随机选取2个不同的数，所有等可能的结果为：，共6种， 其中两个结果均为偶数的结果有，共3种， 根据概率公式可得． 2.如图所示是一个可以自由转动的转盘．转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率是________． 【答案】 【分析】指针落在红色区域的概率等于红色区域圆心角的度数除以周角的度数，从图中读取红色区域的圆心角度数，代入计算即可； 【详解】解：由图可知，红色区域所对的圆心角为， 整个圆周角为, 指针落在红色区域的概率是． 3.某商场为了吸引顾客，设立了一个如图可以自由转动的转盘，转盘被等分成20个扇形．商场规定：顾客每购买200元的商品就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、绿或黄色区域，顾客就可以分别获得100元、50元，20元的购物券，已知甲顾客购物220元，获得一次转动转盘的机会． (1)求他得到100元购物券的概率是多少？ (2)若要让获得50元购物券的概率变为，还需要将几个无色扇形涂成绿色？ 【答案】(1) (2)还需要将个无色扇形涂成绿色 【分析】（1）根据概率公式计算即可得出结果； （2）设还需要将个无色扇形涂成绿色，根据目标概率建立方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵转盘被等分成20个扇形，红色区域一共有2个， ∴他得到100元购物券的概率是； （2）解：设还需要将个无色扇形涂成绿色， 由题意可得， 解得：， ∴还需要将个无色扇形涂成绿色． 好题速递 1.（2026·云南大理·一模）某校举行啦啦操比赛，从甲、乙、丙三个班的参赛学生中各随机抽取10名学生进行身高测量，三个班抽取的学生平均身高都为1.68米，身高数据的方差分别是，，，则估计参赛学生的身高比较整齐的班级为（   ） A．甲班 B．乙班 C．丙班 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查方差的意义，方差越小，数据的波动越小，身高越整齐，只需比较三个班身高数据的方差大小即可得出结论． 【详解】∵ ，，，且 ， ∴ ． ∵ 方差越小，数据的波动越小，身高越整齐， ∴ 参赛学生的身高比较整齐的班级是丙班． 2.（2026·云南文山·一模）在某次“保护野生动物知识竞赛”中，有五位同学的成绩（满分分）分别为，这组数据的中位数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将数据从小到大排序，再根据数据个数为奇数，取中间位置的数得到中位数． 【详解】解：将原数据从小到大排序，得 ∵这组数据共有个，是奇数， ∴中位数为排序后第个数， 第个数为， 即这组数据的中位数是． 3.（25-26八年级下·全国·单元测试）已知数据的方差计算公式为，则这组数据的（   ） A．方差为40 B．中位数为4 C．平均数为4 D．众数为2 【答案】C 【详解】解：由题意知，这组数据的平均数为4，样本容量为10．无法确定方差、中位数和众数 4.（25-26八年级下·全国·课后作业）学校准备设计一款女生校服，对全校女生喜欢的颜色进行了问卷调查，统计如下表所示： 颜色 黄色 绿色 白色 紫色 红色 学生人数 100 180 220 80 250 学校决定采用红色，可用来解释这一现象的统计知识是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．加权平均数 【答案】C 【分析】本题考查不同统计量的概念，掌握各统计量的实际意义是解题关键． 【详解】解：∵众数是一组数据中出现次数最多的数，本题中喜欢红色的学生人数最多，即红色是最受多数女生喜欢的颜色，符合众数代表的统计意义， ∴可以用众数解释学校选用红色的现象． 5.（25-26七年级下·河北张家口·期中）天气预报显示，明天某地的降水概率如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．明天一定会下雨 B．明天下雨的可能性比较大 C．明天一定不会下雨 D．明天下雨的可能性比较小 【答案】B 【详解】解：由图可知，明天某地的降水概率为， 接近，但不等于， 明天下雨的可能性比较大，但不是必然事件． 6.（25-26七年级下·山东泰安·期中）某小组做“当试验的次数足够多时，可以用频率估计概率”的试验时，当试验次数达到1000次时，统计了某一结果出现了253次，则符合这一结果的试验最有可能是（   ） A．从一副52张（不含大小王）的扑克牌中任意抽取一张，抽到红桃 B．掷一枚一元的硬币，正面朝上 C．三张同样的纸片，分别写有数字1，3，4，背面朝上洗匀后，任取一张恰好为奇数 D．掷一个质地均匀的骰子，向上的面点数是“6” 【答案】A 【分析】先计算题目中事件的频率，根据频率估计概率得到该事件概率约为，再计算各选项事件的概率，选出概率最接近的选项即可． 【详解】解：∵试验总次数为次，该结果出现次， ∴频率为， 可得该事件的概率约为； 对各选项逐一计算概率： A选项：∵张不含大小王的扑克牌中，红桃有张， ∴抽到红桃的概率为，符合要求； B选项：掷一枚硬币正面朝上的概率为，不符合要求； C选项：∵共张纸片，其中奇数纸片有张， ∴抽到奇数的概率为，不符合要求； D选项：∵质地均匀的骰子共个点数，点数为的情况只有种， ∴点数为的概率为，不符合要求． 7.（2026·贵州遵义·一模）2026年是丙午马年，“马到功成”将马年与祝福相结合，表达对新一年事事如意、顺遂美好的期盼．将分别印有“马”、“到”、“功”、“成”的四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张，则抽取到的卡片上印有汉字“功”的概率为__________． 【答案】 【详解】解：盒中共有张质地均匀大小相同的卡片，从中随机抽取一张，所有等可能的结果共种， 其中抽取到印有汉字“功”的结果共种， 因此抽取到的卡片上印有汉字“功”的概率为. 8.（2026·北京通州·一模）某小区有A、B、C、D四栋楼共1000个住户，为了解小区住户的生活垃圾量（单位：），物业公司某日在该小区内随机抽取四栋楼的住户进行调查，结果如表所示．根据表格，估计该小区住户当日生活垃圾总量为______． 所抽取的居民楼 A栋 B栋 C栋 D栋 住户数（户） 30 40 10 20 被抽取住户当日产生的生活垃圾总量（） 40 45 70 35 【答案】1900 【分析】先计算抽取样本的总户数和样本的生活垃圾总量，再利用样本估计总体计算该小区的生活垃圾总量； 【详解】解：抽取样本的总户数为（户）， 样本中住户当日生活垃圾总量为， 估计该小区1000个住户当日生活垃圾总量为：． 9.（25-26九年级下·江西九江·阶段检测）为了解某校八、九年级学生在某段时间内参加公益活动次数（单位：次）的情况，从这两个年级中各随机抽取20名学生进行调查．已知这两个年级的学生人数均为400人． 对抽取的八年级学生在此段时间内参加公益活动次数的统计结果如下： 平均数 方差 同时对抽取的九年级学生的调查数据进行如下统计分析． 【收集数据】从九年级抽取的学生在此段时间内参加公益活动次数如下： 9，8，6，10，8，8，7，3，6，7，7，5，8，4，8，5，7，6，8，6 【整理数据】结果如表： 次数x分组 画记 频数 丅 2 正一 6 正正 10 【分析数据】数据的平均数是，方差是． 【解决问题】回答下列问题： (1)___________，   ___________．补全频数分布直方图； (2)九年级抽取的学生参加公益活动次数的中位数是___________，众数是___________； (3)请估计该校九年级学生在此段时间内参加公益活动次数超过6次的人数； (4)请从平均数、方差两个量中任选一个，比较该校八、九年级学生在此段时间内参加公益活动次数的情况． 【答案】(1)丅；2；补全频数分布直方图见解析 (2)7；8 (3)240人 (4)该校在此段时间内九年级学生比八年级学生参加公益活动次数多 【分析】（1）利用频数之和为20可得“”的频数，进而补全频数分布直方图； （2）根据中位数、众数的定义求解即可； （3）利用样本估计总体求解即可； （4）根据平均数和方差的意义解答即可． 【详解】（1）解：由题意得：“”的频数为：，即 则画记丅， 补全频数分布直方图如下： （2）解：九年级学生在此段时间内参加公益活动次数从小到大排列为： 3，4，5，5，6，6，6，6，7，7，7，7，8，8，8，8，8，8，9，10 其中出现次数最多的为8， 则众数为8，中位数为：； （3）解：人， 答：该校九年级学生在此段时间内参加公益活动次数超过6次的人数为240人； （4）解：因为八年级学生参加公益活动次数的平均数为，而九年级的平均数为， 则该校在此段时间内九年级学生比八年级学生参加公益活动次数多． 中考闯关 1.某班有45名学生，一次体育中考模拟后，老师对模拟成绩进行了统计．由于小州没有参加本次模拟考，算得44人的平均成绩分，中位数分．后来小州进行了补考，成绩为分，得到45人考试成绩数据的平均数为，中位数为，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平均数计算公式和中位数的定义即可解答． 【详解】解：∵ 44人的平均成绩为，小州补考成绩为35分，且 ∴ 加入补考成绩后，45人的平均成绩小于原平均成绩，即 ∵ 原44个数据排序后，中位数是第22个和第23个数据的平均数，加入一个小于36的成绩35后，45个数据排序后，新中位数为第23个数据，可得，即． ∴，即选项D符合题意． 2.已知，在“浙BA”篮球赛中，由大数据推送发现某地21号运动员比赛中罚球投中的概率是．若他在一场比赛中，有10次罚球机会，则他估计能投中的次数是__________． 【答案】8 【分析】根据概率的意义，用罚球总次数乘以单次罚球投中的概率，即可估计出投中的次数. 【详解】由题意可知，罚球总次数为，单次罚球投中的概率为， 因此估计投中的次数为：. 3．学校种植园中有4盆相同品种的植物，需要按植物的株高分成两组进行培养，使得同组内植物株高尽量接近，将4盆植物的株高从小到大排序后分成两组，共有3种情况，计算它们的组内离差平方和结果如下表所示，则4盆植物的最优分组序号是___________． 序号 分组情况 组内离差平方和 ① 第一组1个，第二组3个 44 ② 第一组2个，第二组2个 28 ③ 第一组3个，第二组1个 16.67 【答案】③ 【分析】本题要求得到使同组株高尽量接近的最优分组，根据组内离差平方和的意义，最优分组对应组内离差平方和最小，只需比较表格中三组的组内离差平方和大小即可求解. 【详解】解：由题意可知，要使同组内植物株高尽量接近，需选择组内离差平方和最小的分组. 比较表格中三组的组内离差平方和，得， 因此序号③的组内离差平方和最小，为最优分组. 4．萧山区某校为积极备战中考，引入赋能的体育打卡平台，为全校学生打造良好的运动氛围．现随机抽取数名学生，统计其使用该平台后每天运动打卡时长（单位：小时），结果分为六组：第组，第组，第组，第组，第组，第组，老师整理数据后，绘制了如下不完整的两幅统计图，解答下列问题． (1)分别求本次调查共抽取了多少学生人数及第组的学生人数； (2)抽查的每天运动打卡时长的众数在第______组； (3)若该校有名学生，试估计能落实“中小学生每天综合体育活动时间不低于小时”的学生人数． 【答案】(1)本次调查共抽取了200名学生；第组的学生人数为30人 (2)3 (3)1600名 【分析】（1）由表格中的数据可得到：第组的人数为人，占比为，利用抽查总数4组的人数占比运算即可；利用抽查总数减去其余组人数可求出第组人数． （2）从表格中得出第组人数最多，可判断众数在第组； （3）先求出不低于小时的占比，再用该校学生总人数占比即可求解． 【详解】（1）解：由表格中的数据可得到：第4组的人数为人，占比为， ∴本次调查抽取人数（人）； 第组的学生人数（人）； （2）解：∵第三组人数最多， ∴每天运动打卡时长的众数在第组； （3）解：∵中小学生每天综合体育活动时间不低于小时的占比为：， ∴中小学生每天综合体育活动时间不低于小时的人数为：（人）． 5．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球． (1)第一次取出的小球标号为偶数的概率为________； (2)请用列表或画树状图的方法求两次取出的小球标号的和等于4的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据概率公式直接求解； （2）通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解． 【详解】（1）解：从标号为1，2，3，4的小球中摸球，第一次取出的小球标号为偶数的概率为； （2）解：列表如下： 1 2 3 4 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 ∴共有16种可能结果，其中两次取出的小球标号的和等于4的结果有3种， ∴两次取出的小球标号的和等于4的概率为． 6．某校组织学生观看“天宫课堂”第二课直播，宇航员生动演示了四个实验：（A）微重力环境下的太空“冰雪”实验，（B）液桥演示实验，（C）水油分离实验，（D）太空抛物实验，观看后，为了解学生对四个实验的喜爱情况，学校对部分学生进行了抽样调查，将调查情况制成了如下的条形统计图和扇形统计图．请根据图中信息，回答下列问题： (1)求一共调查了多少名学生，图2中A所对应的圆心角度数是多少； (2)若从两名男生、两名女生中随机抽取2人参加学校组织的实验比赛，请用列表或画树状图的方法，求抽到的学生恰好是一男一女的概率． 【答案】(1)50； (2) 【分析】（1）由B的人数除以所占百分比得出共调查的学生人数，再由乘以A的占比即可求解A所对应的圆心角度数； 画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽到的学生恰好是一男一女的结果有8种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：共调查的学生人数为：（名）， ∴图2中A所对应的圆心角度数为：， （2）解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中抽到的学生恰好是一男一女的结果有8种， ∴抽到的学生恰好是一男一女的概率为． 7．为进一步落实好“光盘行动”，某校食堂推出“半份菜”服务，在试行阶段，食堂对师生满意度进行抽样调查．并将结果绘制成如下统计图（不完整）． (1)求被调查的师生人数，并补全条形统计图． (2)求扇形统计图中表示“不满意”的扇形圆心角度数． (3)若该校共有师生1400名，根据抽样结果，试估计该校对食堂“半份菜”服务“很满意”或“满意”的师生总人数． 【答案】(1)师生人数200人，补全条形统计图见解析 (2) (3)1330人 【分析】（1）根据“很满意”人数和所占的百分比可以求得本次调查的师生人数，进而可以将条形统计图补充完整； （2）根据（1）中所求的“不满意”的人数求得对应比例，即可求得对应的扇形圆心角度数； （3）总人数1400乘以“很满意”或“满意”的比例和，即可求解． 【详解】（1）解：师生人数为． ， 补全条形统计图如图： （2）解：， 答：扇形统计图中表示“不满意”的扇形圆心角度数为． （3）解：（人）， 答：估计全校师生对食堂“半份菜”服务“很满意”或“满意”的师生总人数有1330人． 8．定海二中九年级共有600名学生．为了解该年级学生，两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． ①A课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：，，，，，）： ②A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下： 课程 平均数 中位数 众数 A 75.8 m 84.5 B 72.2 70 83 ③A课程在这一组的成绩是： 70  71  71  71  76  76  77  77  77  78  79  79  79.5  79.5 根据以上信息，回答下列问题： (1)求出表中的值； (2)在此次测试中，学生小舟的A课程成绩为77分，B课程成绩为72分，学生小舟成绩排名更靠前的课程是什么课程，并说明理由； (3)假设该年级学生都参加此次测试，估计A课程成绩超过79分的人数． 【答案】(1)78.5 (2)B课程，理由见解析 (3)估计A课程成绩超过79的人数为280人． 【分析】（1）根据中位数的定义解答即可； （2）根据中位数的理解可得答案； （3）先求出样本中超过79的百分比，再乘以总人数可得答案． 【详解】（1）解：一共有60名学生的成绩，前三组有个成绩， 中位数是第30,31个的平均数，且在第四组（）， 则中位数； （2）解：B课程，理由如下： 学生小舟的A课程成绩为77分，低于中位数，B课程成绩为72分，高于中位数， 所以学生小舟成绩排名更靠前的课程是B课程； （3）解：， 所以估计A课程成绩超过79的人数为280人． 9．某校有学生3000人，现欲开展学校社团活动，准备组建摄影社、国学社、篮球社、科技制作社四个社团．每名学生最多只能报一个社团，也可以不报．为了估计各社团人数，现在学校随机抽取了若干名学生做问卷调查，得到了如图所示的两个不完全统计图．结合以上信息，回答下列问题： (1)本次抽样调查的样本容量是______； (2)请你补全条形统计图，并在图上标明具体数据； (3)求科学制作社团对应的扇形的圆心角度数； (4)请你估计全校有多少名学生报名参加篮球社团活动． 【答案】(1)50 (2)见解析 (3) (4)600 【分析】（1）根据样本容量频数所占百分数，合理选择计算即可． （2）计算出国学社的学生数，完善统计图即可． （3）根据扇形统计图的意义计算即可． （4）利用样本估计总体的思想计算即可． 【详解】（1）解：本次抽样调查的样本容量是 ． （2）解：参与国学社的人数为（人）， 补全条形统计图如图所示： （3）解：参与科学制作社团所在扇形的圆心角度数为． （4）解：（名）， 答：全校有600名学生报名参加篮球社团活动． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $