2.9 函数的图象讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦函数图象专题，涵盖图象识别、变换（平移、对称、伸缩）及应用（性质分析、解不等式、参数范围）等高考核心考点，按“考向预测-双基自测-核心梳理-题型突破-限时训练”逻辑架构整合知识，通过考点梳理构建变换规律体系，方法指导强化数形结合思想，真题训练提升识图用图能力，助力学生系统突破难点。 讲义采用“题型分类+分层训练”模式，题型突破环节通过作图象、识别、应用三类题型精讲，结合跟踪训练培养数学思维与逻辑推理能力，限时训练设置基础到综合分层练习，配合即时反馈保障复习效果。创新设计复合函数图象分析等预测考向，强化数学眼光观察图象特征，提升学生应考能力，为教师把控复习节奏提供精准指导。

第二章 函 数 §2.9　函数的图象 【高考考向预测】 近三年高考函数图象考查频次稳定偏高，多以选择题形式出现，重点考查图象识别、平移对称伸缩变换、利用图象分析函数性质与求解不等式、零点相关问题，常融合各类基本函数综合命题；预测2027 年依旧保持常规考查力度，命题更侧重复杂复合函数图象判断、图象交点与范围分析，强化数形结合思想，趋向结合实际背景与分段函数设题，注重识图、用图能力的综合考查。 【双基自测●明考向】 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y=|f(x)|为偶函数. (　 　) (2)函数y=f(1-x)的图象，可由y=f(-x)的图象向右平移1个单位长度得到. (　 　) (3)函数y=f(x)与y=f(x+1)的值域相同. (　　) (4)函数y=f(x)的图象关于y轴对称即函数y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称. (　 　) 2.函数y=-的图象是(　　) 3.函数f(x)=的大致图象为(　　) 4.函数y=f(x)的图象与y=ex的图象关于y轴对称，再把y=f(x)的图象向右平移1个单位长度后得到函数y=g(x)的图象，则g(x)=　　　　.  【核心梳理●明考点】 1.利用描点法作函数图象的步骤：列表、描点、连线. 2.利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换 (2)对称变换 ①y=f(x)y=-f(x). ②y=f(x)y=f(-x). ③y=f(x)y=-f(-x). ④y=ax (a>0，且a≠1)y=logax(a>0，且a≠1). (3)翻折变换 ①y=f(x)y=|f(x)|. ②y=f(x)y=f(|x|). 谨记三个图象变换的注意点 (1)“左加右减”只针对x本身，与x的系数没有关系，如从y=f(-2x)的图象到y=f(-2x+1)的图象是向右平移个单位长度，即将x变成x-. (2)“上加下减”只针对函数值f(x). (3)对称变换的对称是指两个函数的图象特征，而与奇偶性有关的对称，是指一个函数图象自身的特征. 【题型突破●明方向】 题型一　作函数的图象 例1　作出下列各函数的图象： (1)y=； (2)y=x2-2|x|-3； (3)y=-1. 【跟踪训练】1　作出下列各函数的图象： (1)y=|x2-4x-5|； (2)y=|log2(x+1)|. 题型二　函数图象的识别 例2　(1)(2025·天津)已知函数y=f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能为(　　) A.f(x)= B.f(x)= C.f(x)= D.f(x)= (2)(2026·哈尔滨模拟)已知函数y=f(x)的图象如图所示，则y=|f(x-1)|+1的图象大致为(　　) 【跟踪训练】2　(1)(2024·全国甲卷)函数f(x)=-x2+(ex-e-x)sin x在区间[-2.8，2.8]的图象大致为(　　) (2)(2025·北京检测)如图，下列函数的图象和该图最接近的是(　　) A.y=2x-x2-1 B.y=(x2-2x)ex C.y= D.y= 题型三　函数图象的应用 命题点1　利用图象研究函数的性质 例3　(多选)关于函数f(x)=|ln|x-2||，下列描述不正确的有(　　) A.函数f(x)在区间(1，2)上单调递增 B.函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称 C.若x1≠x2，但f(x1)=f(x2)，则x1+x2=2 D.函数f(x)有且仅有一个零点 命题点2　利用图象解不等式 例4　(2026·北京东城区模拟)函数y=f(x)的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧(如图所示)，则不等式f(x)<f(-x)+2x的解集为(　　) A. B. C. D. 命题点3　利用图象求参数的取值范围 例5　(2026·咸阳模拟)已知函数f(x)=若a，b，c互不相等，且f(a)=f(b)=f(c)，则abc的取值范围是(　　) A.(1，10) B.(5，6) C.(8，10) D.(10，12) 【跟踪训练】3　(1)(多选)(2025·桂林模拟)已知函数f(x)=x2-4|x|，则下列结论正确的是(　　) A.f(x)在[2，+∞)上单调递增 B.f(x)的最小值为-4 C.方程f(x)=-1有2个解 D.若t∈(4，6)，则f(t-4)<f(t) (2)已知函数f(x)在R上单调且其部分图象如图所示，若不等式-2<f(x+t)<4的解集为(-1，2)，则实数t的值为　　　　.  【限时训练】 （30分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.(2026·北京朝阳区检测)为了得到函数y=ln(ex)的图象，只需把函数y=ln x图象上所有的点(　　) A.向上平移1个单位长度 B.向下平移1个单位长度 C.向左平移e个单位长度 D.向右平移e个单位长度 2.(2026·哈尔滨模拟)已知函数f(x)在[-6，6]上的大致图象如图所示，则f(x)的解析式可能是(　　) A.f(x)= B.f(x)= C.f(x)= D.f(x)=x2cos x 3.(2026·淄博模拟)函数f(x)=(2x+2-x)ln|x|的图象大致为(　　) 4.(2026·铜仁模拟)某条公共汽车的路线收支差额(收支差额=车票收入-支出费用)y与乘客人数x的图象如图所示.由于目前本条路线存在亏损情况，公司有关人员提出了两条建议：(1)不改变车票价格，减少支出费用；(2)不改变支出费用，提高车票价格.图中虚线表示调整前的状态，实线表示调整后的状态.则下列说法正确的是(　　) A.①反映了建议(2)，③反映了建议(1) B.①反映了建议(1)，③反映了建议(2) C.②反映了建议(1)，④反映了建议(2) D.④反映了建议(1)，②反映了建议(2) 5.(2025·扬州模拟)已知图①对应的函数为y=f(x)，则图②对应的函数是(　　) A.y=f(-|x|) B.y=-f(-|x|) C.y=f(-x) D.y=-f(-x) 6.(2025·深圳模拟)已知函数f(x)=则f(x)图象上关于原点对称的点有(　　) A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.(2025·邵阳模拟)下列函数对于任意x1，x2∈(0，+∞)，都有f≥成立的是(　　) A.f(x)=ln x B.f(x)=x2+1 C.f(x)= D.f(x)=2x 8.(2025·赣州模拟)已知函数f(x)=若f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)，且x1<x2<x3<x4，则下列结论正确的是(　　) A.x1+x2=2 B.x3x4=1 C.0<x1+x2+x3+x4< D.0<x1x2x3x4<1 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.(2025·日照模拟)如图，函数f(x)的图象为折线ACB，且线段BC的中点坐标为(1，1)，则不等式f(x)≥log2(x+1)的解集是　　　　　.  10.若函数f(x)=x(|x|-2)在[m，n]上的最小值是-1，最大值是3，则n-m的最大值为　　　　.  四、解答题(共28分) 11.(13分)设f(x)为定义在R上的偶函数，如图是其函数图象的一部分，当0≤x<2时，图象是线段OA；当x≥2时，图象是顶点为P(3，4)，且过点(2，2)的二次函数图象的一部分. (1)在图中的直角坐标系中将函数f(x)的图象补充完整；(3分) (2)求函数f(x)在[0，+∞)上的解析式；(5分) (3)求函数f(x)的单调区间和最大值.(5分) 12.(15分)已知函数f(x)= (1)作出函数f(x)的图象；(6分) (2)讨论方程f(x)-m=0根的情况.(9分) [每小题5分，共10分] 13.(2026·佛山模拟)若图中所示为在同一平面直角坐标系中y=f(x)的图象及y=g(x)的图象，则(　　) A.g(x)=2f(2x) B.g(x)=2f C.g(x)=f(2x)+4 D.g(x)=f+4 14.(2026·南昌模拟)在平面直角坐标系中，动点P到x轴、y轴、坐标原点O的距离分别为d1，d2，d3，这3个距离均大于0，且2d1d2=，则动点P的轨迹大致为(　　) 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 函 数 §2.9　函数的图象 【高考考向预测】 近三年高考函数图象考查频次稳定偏高，多以选择题形式出现，重点考查图象识别、平移对称伸缩变换、利用图象分析函数性质与求解不等式、零点相关问题，常融合各类基本函数综合命题；预测2027 年依旧保持常规考查力度，命题更侧重复杂复合函数图象判断、图象交点与范围分析，强化数形结合思想，趋向结合实际背景与分段函数设题，注重识图、用图能力的综合考查。 【双基自测●明考向】 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y=|f(x)|为偶函数. (　 　) (2)函数y=f(1-x)的图象，可由y=f(-x)的图象向右平移1个单位长度得到. (　 　) (3)函数y=f(x)与y=f(x+1)的值域相同. (　　) (4)函数y=f(x)的图象关于y轴对称即函数y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称. (　 　) 【答案】（1）×（2）√（3）√（4）× 2.函数y=-的图象是(　　) 【答案】C 【解析】函数y=-的定义域为(-∞，1)∪(1，+∞)，B，D选项排除； 当x=2时，y=-1，A选项排除，故C正确. 3.函数f(x)=的大致图象为(　　) 【答案】B 【解析】函数f(x)=的定义域为(-∞，-3)∪(-3，3)∪(3，+∞)， 而f(-x)==-=-f(x)， 所以f(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除D； 当x>3时，f(x)>0，排除C； 当0<x<3时，f(x)<0，排除A，故B正确. 4.函数y=f(x)的图象与y=ex的图象关于y轴对称，再把y=f(x)的图象向右平移1个单位长度后得到函数y=g(x)的图象，则g(x)=　　　　.  【答案】e-x+1 【解析】由题意可知f(x)=e-x，把y=f(x)的图象向右平移1个单位长度后得到g(x)=e-(x-1)=e-x+1的图象. 【核心梳理●明考点】 1.利用描点法作函数图象的步骤：列表、描点、连线. 2.利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换 (2)对称变换 ①y=f(x)y=-f(x). ②y=f(x)y=f(-x). ③y=f(x)y=-f(-x). ④y=ax (a>0，且a≠1)y=logax(a>0，且a≠1). (3)翻折变换 ①y=f(x)y=|f(x)|. ②y=f(x)y=f(|x|). 谨记三个图象变换的注意点 (1)“左加右减”只针对x本身，与x的系数没有关系，如从y=f(-2x)的图象到y=f(-2x+1)的图象是向右平移个单位长度，即将x变成x-. (2)“上加下减”只针对函数值f(x). (3)对称变换的对称是指两个函数的图象特征，而与奇偶性有关的对称，是指一个函数图象自身的特征. 【题型突破●明方向】 题型一　作函数的图象 例1　作出下列各函数的图象： (1)y=； (2)y=x2-2|x|-3； (3)y=-1. 【解析】(1)原函数解析式可化为y=2+，故函数图象可由函数y=的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图所示. (2)y=x2-2|x|-3=其图象如图所示. (3)y=-1，其图象可看作由函数y=的图象向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到， 而y==其图象可由y=的图象保留x≥0时的图象，然后将该部分关于y轴对称得到，则y=-1的图象如图所示. 【思维升华】函数图象的常见画法及注意事项 (1)直接法：对于熟悉的基本函数，根据函数的特征描出图象的关键点，直接作图. (2)转化法：含有绝对值符号的，去掉绝对值符号，转化为分段函数来画. (3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到，则可利用图象变换作图. (4)画函数的图象一定要注意定义域. 【跟踪训练】1　作出下列各函数的图象： (1)y=|x2-4x-5|； (2)y=|log2(x+1)|. 【解析】(1)y=|x2-4x-5|的图象可由函数y=x2-4x-5的图象保留x轴上方的部分不变，将x轴下方的部分翻折到x轴上方得到，如图所示. (2)y=|log2(x+1)|，其图象可由y=log2x的图象向左平移1个单位长度， 再保留x轴上方部分不变，将x轴下方部分翻折到x轴上方得到，如图所示. 题型二　函数图象的识别 例2　(1)(2025·天津)已知函数y=f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能为(　　) A.f(x)= B.f(x)= C.f(x)= D.f(x)= 【答案】D 【解析】由题图可知，该函数为偶函数，而函数f(x)=和函数f(x)=为奇函数，故A，B错误； 又当x∈(0，1)时，1-x2>0，x2-1<0，此时f(x)=>0，f(x)=<0，由题图可知当x∈(0，1)时，f(x)<0，故C错误，D正确. (2)(2026·哈尔滨模拟)已知函数y=f(x)的图象如图所示，则y=|f(x-1)|+1的图象大致为(　　) 【答案】C 【解析】先将y=f(x)的图象向右平移1个单位长度得到y=f(x-1)的图象， 然后保留x轴上方的图象不变，将x轴下方的图象翻折到x轴上方得到y=|f(x-1)|的图象， 最后将图象向上平移1个单位长度得到y=|f(x-1)|+1的图象，故C正确. 【思维升华】识别函数的图象的主要方法 (1)利用函数的性质，如奇偶性、单调性、定义域等判断. (2)利用函数的零点、极值点等判断. (3)利用特殊函数值判断. 【跟踪训练】2　(1)(2024·全国甲卷)函数f(x)=-x2+(ex-e-x)sin x在区间[-2.8，2.8]的图象大致为(　　) 【答案】B 【解析】f(-x)=-x2+(e-x-ex)sin(-x) =-x2+(ex-e-x)sin x=f(x)， 又函数f(x)的定义域为[-2.8，2.8]， 故该函数为偶函数，可排除A，C， 又f(1)=-1+sin 1>-1+sin=-1->->0，故可排除D. (2)(2025·北京检测)如图，下列函数的图象和该图最接近的是(　　) A.y=2x-x2-1 B.y=(x2-2x)ex C.y= D.y= 【答案】B 【解析】由图可得区间[0，+∞)为函数定义域的真子集，且当x<0时函数值为正， 对于A，当x=-2时，y=2-2-(-2)2-1=-<0，故A不符合； 对于D，y=的定义域为(0，1)∪(1，+∞)，故D不符合； 对于C，当x=-时，y==-<0，故C不符合，故选B. 题型三　函数图象的应用 命题点1　利用图象研究函数的性质 例3　(多选)关于函数f(x)=|ln|x-2||，下列描述不正确的有(　　) A.函数f(x)在区间(1，2)上单调递增 B.函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称 C.若x1≠x2，但f(x1)=f(x2)，则x1+x2=2 D.函数f(x)有且仅有一个零点 【答案】CD 【解析】函数f(x)=|ln|x-2||的图象由函数y=|ln|x||的图象向右平移2个单位长度得到. 易知函数y=|ln|x||为偶函数，先画出函数y=|ln x|的图象，再保留该部分图象并将该部分图象关于y轴对称，即得到函数y=|ln|x||的图象，再向右平移2个单位长度即得到函数f(x)=|ln|x-2||的图象， 如图所示，由图象可得函数f(x)在区间(1，2)上单调递增，故选项A正确； 由图象可得函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称，故选项B正确； 若x1≠x2，但f(x1)=f(x2)，若x1，x2关于直线x=2对称，则x1+x2=4，故选项C错误； 由图象可得函数f(x)有两个零点，故选项D错误. 命题点2　利用图象解不等式 例4　(2026·北京东城区模拟)函数y=f(x)的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧(如图所示)，则不等式f(x)<f(-x)+2x的解集为(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】根据图象可知函数f(x)是定义在[-1，0)∪(0，1]上的奇函数， 故f(-x)=-f(x). 所以原不等式可化为f(x)<-f(x)+2x，即f(x)<x.如图所示， 易得A，B. 要使不等式成立，根据图象可知原不等式的解集为. 命题点3　利用图象求参数的取值范围 例5　(2026·咸阳模拟)已知函数f(x)=若a，b，c互不相等，且f(a)=f(b)=f(c)，则abc的取值范围是(　　) A.(1，10) B.(5，6) C.(8，10) D.(10，12) 【答案】D 【解析】画出函数f(x)的大致图象如图所示，不妨设a<b<c，令t=f(a)=f(b)=f(c)， 结合f(10)=1和图象可知t∈(0，1)，ab=1，c∈(10，12)，则abc=c，故abc的取值范围为(10，12). 【思维升华】当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为图象的位置关系问题，从而利用数形结合思想求解. 【跟踪训练】3　(1)(多选)(2025·桂林模拟)已知函数f(x)=x2-4|x|，则下列结论正确的是(　　) A.f(x)在[2，+∞)上单调递增 B.f(x)的最小值为-4 C.方程f(x)=-1有2个解 D.若t∈(4，6)，则f(t-4)<f(t) 【答案】ABD 【解析】f(x)=x2-4|x|=画出f(x)的图象如图所示， 由图可知，f(x)在[2，+∞)上单调递增，故A正确； f(2)=f(-2)=-4，则f(x)分别在x=-2，x=2处取得最小值-4，故B正确； 由图象知，直线y=-1与f(x)的图象有4个交点，所以方程f(x)=-1有4个解，故C错误； 因为t∈(4，6)，所以t-4∈(0，2)，由图可知， f(t-4)<0<f(t)，故D正确. (2)已知函数f(x)在R上单调且其部分图象如图所示，若不等式-2<f(x+t)<4的解集为(-1，2)，则实数t的值为　　　　.  【答案】1 【解析】由题图可知不等式-2<f(x+t)<4，即f(3)<f(x+t)<f(0)， 由图知函数f(x)单调递减，所以x+t∈(0，3)， 即不等式的解集为(-t，3-t)， 又因为不等式-2<f(x+t)<4的解集为(-1，2)， 所以-t=-1且3-t=2，可得t=1. 【限时训练】 （30分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.(2026·北京朝阳区检测)为了得到函数y=ln(ex)的图象，只需把函数y=ln x图象上所有的点(　　) A.向上平移1个单位长度 B.向下平移1个单位长度 C.向左平移e个单位长度 D.向右平移e个单位长度 【答案】A 【解析】因为y=ln(ex)即为y=1+ln x， 故只需把函数y=ln x图象上所有的点向上平移1个单位长度即可，故A正确，B错误； 对于C，把函数y=ln x图象上所有的点向左平移e个单位长度后所得图象对应的解析式为y=ln(x+e)，故C错误； 对于D，把函数y=ln x图象上所有的点向右平移e个单位长度后所得图象对应的解析式为y=ln(x-e)，故D错误. 2.(2026·哈尔滨模拟)已知函数f(x)在[-6，6]上的大致图象如图所示，则f(x)的解析式可能是(　　) A.f(x)= B.f(x)= C.f(x)= D.f(x)=x2cos x 【答案】B 【解析】由图可知，函数f(x)为偶函数，排除A，C； 又函数f(x)在x=0处无定义，排除D，故B正确. 3.(2026·淄博模拟)函数f(x)=(2x+2-x)ln|x|的图象大致为(　　) 【答案】B 【解析】函数f(x)=(2x+2-x)ln|x|的定义域为{x|x≠0}，又f(-x)=(2-x+2x)ln|-x|=(2x+2-x)ln|x|=f(x)，所以f(x)为偶函数，则函数图象关于y轴对称，故排除D； 当0<x<1时，ln|x|<0，2x>0，2-x>0，所以f(x)<0，故排除A，C，故B正确. 4.(2026·铜仁模拟)某条公共汽车的路线收支差额(收支差额=车票收入-支出费用)y与乘客人数x的图象如图所示.由于目前本条路线存在亏损情况，公司有关人员提出了两条建议：(1)不改变车票价格，减少支出费用；(2)不改变支出费用，提高车票价格.图中虚线表示调整前的状态，实线表示调整后的状态.则下列说法正确的是(　　) A.①反映了建议(2)，③反映了建议(1) B.①反映了建议(1)，③反映了建议(2) C.②反映了建议(1)，④反映了建议(2) D.④反映了建议(1)，②反映了建议(2) 【答案】B 【解析】建议(1)是不改变车票价格，减少支出费用，也就是增大y，车票价格不变，即平行于原图象且在原图象上方，故①反映了建议(1)；建议(2)是不改变支出费用，提高车票价格，即图象倾斜度增大，故③反映了建议(2). 5.(2025·扬州模拟)已知图①对应的函数为y=f(x)，则图②对应的函数是(　　) A.y=f(-|x|) B.y=-f(-|x|) C.y=f(-x) D.y=-f(-x) 【答案】B 【解析】由图①②可知，将y=f(x)在(-∞，0]上的的图象沿着y轴对称得到y=f(-|x|)的图象， 然后再沿着x轴翻折， 即可得到y=-f(-|x|)的图象. 6.(2025·深圳模拟)已知函数f(x)=则f(x)图象上关于原点对称的点有(　　) A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 【答案】B 【解析】如图所示，当x>0时，f(x)=，其关于原点对称的图象的解析式为y=-=-2x(x<0)， 由图象知，y=-2x(x<0)与f(x)=-|x+2|(x<0)的图象有两个交点，故f(x)图象上关于原点对称的点有2对. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.(2025·邵阳模拟)下列函数对于任意x1，x2∈(0，+∞)，都有f≥成立的是(　　) A.f(x)=ln x B.f(x)=x2+1 C.f(x)= D.f(x)=2x 【答案】AC 【解析】因为对任意x1，x2∈(0，+∞)，都有f≥，则函数在(0，+∞)上为上凸函数， 对于A，f(x)=ln x在(0，+∞)上的图象是上凸的，符合题意； 对于B，f(x)=x2+1在(0，+∞)上的图象是下凸的，不符合题意； 对于C，f(x)=在(0，+∞)上的图象是上凸的，符合题意； 对于D，f(x)=2x在(0，+∞)上的图象是下凸的，不符合题意. 8.(2025·赣州模拟)已知函数f(x)=若f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)，且x1<x2<x3<x4，则下列结论正确的是(　　) A.x1+x2=2 B.x3x4=1 C.0<x1+x2+x3+x4< D.0<x1x2x3x4<1 【答案】BCD 【解析】作出f(x)的图象如图. 由图知，x1+x2=-2，A选项错误； 由图象知|log2x3|=|log2x4|且0<x3<1<x4， 则-log2x3=log2x4， 即log2x3+log2x4=log2(x3x4)=0， ∴x3x4=1，B选项正确； ∴x4=，而当f(x)=1，x>0时， 有|log2x|=1，得x=或x=2， ∴<x3<1<x4<2， ∵函数y=x+在上单调递减， ∴2<x3+x4=x3+<， 即得0<x1+x2+x3+x4=-2+x3+x4<，C选项正确； ∵x1∈(-2，-1)，∴x1x2x3x4=x1x2=x1(-2-x1)=-(x1+1)2+1∈(0，1)，D选项正确. 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.(2025·日照模拟)如图，函数f(x)的图象为折线ACB，且线段BC的中点坐标为(1，1)，则不等式f(x)≥log2(x+1)的解集是　　　　　.  【答案】(-1，1] 【解析】由题图得f(x)= 在同一平面直角坐标系中作出函数f(x)与y=log2(x+1)，x>-1的图象，如图所示， 当x=1时，y=log2(1+1)=log22=1，所以f(x)与y=log2(x+1)的交点坐标为(1，1)，由图象可得不等式f(x)≥log2(x+1)的解集为(-1，1]. 10.若函数f(x)=x(|x|-2)在[m，n]上的最小值是-1，最大值是3，则n-m的最大值为　　　　.  【答案】4+ 【解析】作出函数f(x)=x(|x|-2)=的图象，如图所示， 当x≥0时， 令x(x-2)=3， 得x1=-1(舍)，x2=3， 当x<0时，令x(-x-2)=-1， 得x3=-1-，x4=-1+(舍)， 结合图象可得(n-m)max=x2-x3=3-(-1-)=4+. 四、解答题(共28分) 11.(13分)设f(x)为定义在R上的偶函数，如图是其函数图象的一部分，当0≤x<2时，图象是线段OA；当x≥2时，图象是顶点为P(3，4)，且过点(2，2)的二次函数图象的一部分. (1)在图中的直角坐标系中将函数f(x)的图象补充完整；(3分) (2)求函数f(x)在[0，+∞)上的解析式；(5分) (3)求函数f(x)的单调区间和最大值.(5分) 【解析】(1)如图，根据函数f(x)为偶函数，函数的图象关于y轴对称，其完整图象如图. (2)当0≤x<2时，f(x)=x； 当x≥2时，设f(x)=a(x-3)2+4， 将点(2，2)代入，得a+4=2，解得a=-2， 故f(x)=-2(x-3)2+4=-2x2+12x-14. 即函数f(x)在[0，+∞)上的解析式为f(x)= (3)由图知，函数f(x)的单调递增区间为(-∞，-3]和[0，3]，单调递减区间为[-3，0]和[3，+∞)， 函数f(x)在x=-3和x=3处取得最大值，且f(3)=f(-3)=4， 所以函数f(x)的最大值为4. 12.(15分)已知函数f(x)= (1)作出函数f(x)的图象；(6分) (2)讨论方程f(x)-m=0根的情况.(9分) 【解析】(1)当x≤0时，0<2x≤1，则f(x)=|2x-2|=2-2x∈[1，2)， 作出函数f(x)的图象，如图所示. (2)由f(x)-m=0可得m=f(x)， 则方程f(x)-m=0的根的个数即为直线y=m与函数y=f(x)图象的交点个数， 如图所示. 当m≤0时，方程f(x)-m=0无实根； 当0<m<1或m≥2时，方程f(x)-m=0只有一个实根； 当1≤m<2时，方程f(x)-m=0有两个不相等的实根. [每小题5分，共10分] 13.(2026·佛山模拟)若图中所示为在同一平面直角坐标系中y=f(x)的图象及y=g(x)的图象，则(　　) A.g(x)=2f(2x) B.g(x)=2f C.g(x)=f(2x)+4 D.g(x)=f+4 【答案】A 【解析】由题图可知y=f(x)的横坐标变为原来的一半，纵坐标变为原来的两倍得到函数y=g(x)的图象，所以g(x)=2f(2x). 14.(2026·南昌模拟)在平面直角坐标系中，动点P到x轴、y轴、坐标原点O的距离分别为d1，d2，d3，这3个距离均大于0，且2d1d2=，则动点P的轨迹大致为(　　) 【答案】A 【解析】设P(x，y)，则d1=|y|>0，d2=|x|>0，d3=>0. 因为2d1d2=，所以2|xy|=x2+y2(x≠0，y≠0)， 则(|x|-|y|)2=0(x≠0，y≠0)，则y=±x(x≠0，y≠0)， 所以动点P的轨迹为两条直线y=-x与y=x(除去坐标原点)，其轨迹大致为选项A中的图象. 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $