2.3 函数的奇偶性讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦函数奇偶性核心考点，涵盖奇偶性判定、图像性质及与单调性等综合应用，按考向预测、双基自测、核心梳理、题型突破、限时训练逻辑架构知识体系。通过考点梳理明确定义与性质，方法指导解析判定及应用策略，真题训练强化解题能力，助力学生系统突破难点。 资料采用分层教学策略，双基自测夯实基础，题型突破分命题点（判定、求解析式等）精讲，限时训练融合高考真题。通过引导学生分析奇偶性定义推理判断，培养数学思维，结合图像性质训练数学语言表达，确保高效复习，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第二章 函 数 §2.3　函数的奇偶性 【高考考向预测】 近三年高考函数奇偶性考查频次较高，多以小题为主也常融入大题，重点考查奇偶性判定、奇偶函数图像性质、利用奇偶性化简求值与对称分析，常搭配单调性综合出题；预测2027 年依旧保持高频考查，命题更侧重奇偶性与周期性、对称性结合考查，强化抽象函数性质运用及含参奇偶问题分析，注重数形结合，侧重综合性质灵活运用。 【双基自测●明考向】 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)若函数f(x)为奇函数，则f(0)=0. (　 　) (2)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数. (　 　) (3)对于函数y=f(x)，若f(-2)=-f(2)，则函数y=f(x)是奇函数. (　 　) (4)若f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则f(x)·g(x)是奇函数. (　 　) 【答案】（1）×（2）×（3）×（4）√ 2.下列函数中是偶函数的是(　　) A.f(x)=x+1 B.f(x)= C.f(x)=()2 D.f(x)=sin x 【答案】B 【解析】对于A，f(x)=x+1的定义域为R，且f(-x)=-x+1，所以f(-x)≠f(x)，f(-x)≠-f(x)，故f(x)=x+1为非奇非偶函数； 对于B，f(x)=的定义域为{x|x≠0}，且f(-x)===f(x)，故f(x)=为偶函数； 对于C，f(x)=()2的定义域为[0，+∞)，不关于原点对称，故f(x)=()2为非奇非偶函数； 对于D，f(x)=sin x的定义域为全体实数，且f(-x)=sin(-x)=-sin x≠f(x)，故f(x)=sin x不为偶函数. 3.(多选)若函数f(x)是定义在R上的奇函数，则下列结论正确的是(　　) A.f(x)+f(-x)=0 B.f(0)=0 C.f(x)·f(-x)≤0 D.=-1 【答案】ABC 【解析】因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)+f(-x)=0，且f(0)=0，A，B正确； 因为f(-x)=-f(x)，所以f(x)·f(-x)=-[f(x)]2≤0，当x=0时，等号成立，C正确； 当x=0时，f(-x)=0，此时无意义，D错误. 4.(2025·湛江期末)已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)=2x-，则f(2)=　　　　.  【答案】13 【解析】因为f(x)为定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)=2x-， 则f(-2)=2×(-2)-=-4-9=-13，故f(2)=-f(-2)=13. 【核心梳理●明考点】 函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有-x∈D，且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有-x∈D，且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 1.理解函数奇偶性的常用结论 (1)①如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)=0. ②如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)=f(|x|). (2)奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性. 2.灵活应用奇函数的两个特殊性质 (1)若f(x)为奇函数，则f(x)+f(-x)=0.特别地，若f(x)存在最值，则f(x)min+f(x)max=0. (2)若F(x)=f(x)+c，f(x)为奇函数，则F(-x)+F(x)=2c.特别地，若F(x)存在最值，则F(x)min+F(x)max=2c. 3.谨防两个易误点 (1)求奇函数的解析式时，忽略x=0会造成解析式缺失，特别地，奇函数要么在x=0处没有定义，要么在x=0处的函数值为0，即f(0)=0. (2)解函数的奇偶性与单调性相结合的题目时，不要忽视自变量的取值在定义域内这一隐含条件. 【题型突破●明方向】 题型一　函数奇偶性的判断 例1　(1)判断下列函数的奇偶性： ①f(x)=+； ②f(x)=ex+e-x； ③f(x)= ④f(x)=log2(x+). 【解析】①由得x2=3，解得x=±， 即函数f(x)的定义域为{-，}， 从而f(x)=+=0. 因此f(-x)=-f(x)且f(-x)=f(x)，∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数. ②显然函数f(x)的定义域为R，f(-x)=e-x+ex=f(x)，∴函数f(x)为偶函数. ③显然函数f(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，关于原点对称. ∵当x<0时，-x>0，则f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-f(x)； 当x>0时，-x<0，则f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x)； 综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(-x)=-f(x)，∴函数f(x)为奇函数. ④∵x2+1>x2，∴+x>0恒成立， 即f(x)的定义域为R， f(-x)=log2[-x+] =log2(-x)=log2(+x)-1 =-log2(+x)=-f(x)， 故f(x)为奇函数. (2)(多选)已知f(x)是定义在R上的函数，下列结论正确的有 (　　) A.函数f(-|x|)是奇函数 B.若恒有f(x+y)=f(x)+f(y)，则f(x)为奇函数 C.若恒有f(xy)=f(x)+f(y)，则f(x)为偶函数 D.若恒有2f(x+y)f(x-y)=f(x)+f(y)，且f(0)≠1，则y=f(x)为奇函数 【答案】BCD 【解析】对于A，令g(x)=f(-|x|)，则g(x)的定义域为R， 又g(-x)=f(-|-x|)=f(-|x|)=g(x)，所以g(x)为偶函数，故A错误； 对于B，令x=y=0，有f(0)=f(0)+f(0)，所以f(0)=0， 令y=-x，有f(0)=f(x)+f(-x)， 即f(-x)+f(x)=0，所以f(x)为奇函数，B正确； 对于C，令y=-1，有f(-x)=f(x)+f(-1)， 令x=y=1，有f(1)=f(1)+f(1)，所以f(1)=0， 令x=y=-1，所以f(1)=f(-1)+f(-1)⇒f(-1)=0， 所以f(-x)=f(x)，所以f(x)为偶函数，C正确； 对于D，在2f(x+y)f(x-y)=f(x)+f(y)中，令x=y=0，得2[f(0)]2=2f(0)， 因为f(0)≠1，所以f(0)=0，令y=-x，得2f(0)f(2x)=f(x)+f(-x)，即0=f(x)+f(-x)，所以f(x)是奇函数，故D正确. 【思维升华】判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件 (1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数. (2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立. 【跟踪训练】1　(1)(2024·天津)下列函数是偶函数的是(　　) A.f(x)= B.f(x)= C.f(x)= D.f(x)= 【答案】B 【解析】对于A，函数定义域为R， f(-x)==≠f(x)， 故f(x)不是偶函数，故A错误； 对于B，函数定义域为R， f(-x)===f(x)， 故f(x)为偶函数，故B正确； 对于C，函数定义域为{x|x≠-1}， 不关于原点对称， 故f(x)不是偶函数，故C错误； 对于D，函数定义域为R， f(-x)== =-=-f(x)， 故f(x)不是偶函数，故D错误. (2)若定义在R上的函数f(x)满足对任意x1，x2∈R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1，则下列说法一定正确的是(　　) A.f(x)为奇函数 B.f(x)为偶函数 C.f(x)+1为奇函数 D.f(x)+1为偶函数 【答案】C 【解析】令x1=x2=0，则f(0)=f(0)+f(0)+1，所以f(0)=-1，则f(x)不为奇函数，故A错误； 令x1=x，x2=-x， 则f(0)=f(x)+f(-x)+1， 所以f(x)+1+f(-x)+1=0， 即f(x)+1=-[f(-x)+1]，所以f(x)+1为奇函数，故B，D错误，C正确. 题型二　函数的奇偶性的应用 命题点1　利用奇偶性求解析式 例2　(1)(人教A版必修第一册P86习题3.2 T11改编)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f(x)=x(1+x)，则函数的解析式为　　　　　　　　　　　　.  【答案】f(x)= 【解析】因为f(x)是R上的奇函数，所以f(-x)=-f(x). 因为当x≥0时，f(x)=x(1+x)， 所以当x<0时，-x>0， 所以f(-x)=(-x)(1-x)=-x(1-x)， 所以f(x)=-f(-x)=x(1-x). 所以f(x)= (2)已知定义域为R的函数f(x)和g(x)，函数f(x)的图象关于原点对称，函数g(x)满足g(x)-g(-x)=0，若f(x)+g(x)=2x+x3-1，则f(1)与g(-2)的大小关系为(　　) A.f(1)>g(-2) B.f(1)<g(-2) C.f(1)=g(-2) D.不确定 【答案】A 【解析】由函数f(x)的图象关于原点对称，得f(x)+f(-x)=0， 又g(x)-g(-x)=0，f(x)+g(x)=2x+x3-1， ① 则f(-x)+g(-x)=2-x-x3-1， 即-f(x)+g(x)=2-x-x3-1， ② 由①②得f(x)=， g(x)=， 因此f(1)=，g(-2)=， 所以f(1)>g(-2). 命题点2　利用奇偶性求值 例3　(1)(2023·全国乙卷)已知f(x)=是偶函数，则a等于(　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 【答案】D 【解析】方法一　因为f(x)=为偶函数， 则f(x)-f(-x)=- ==0， 又因为x≠0，可得ex-e(a-1)x=0， 即ex=e(a-1)x， 则x=(a-1)x，即1=a-1，解得a=2. 方法二　因为f(x)为偶函数，所以f(-1)=f(1)， 所以=， 即=， 所以a-1=1，所以a=2.经检验，符合题意. (2)(人教B版必修第一册P115练习BT2改编)已知f(x)=x5+ax3+bx-8，且f(-2)=10，则f(2)=　　　　.  【答案】-26 【解析】方法一　令g(x)=x5+ax3+bx， 易知g(x)是R上的奇函数，从而g(-2)=-g(2)，又f(x)=g(x)-8， ∴f(-2)=g(-2)-8=10， ∴g(-2)=18， ∴g(2)=-g(-2)=-18， ∴f(2)=g(2)-8=-18-8=-26. 方法二　由已知条件，得 ①+②得f(2)+f(-2)=-16. 又f(-2)=10，∴f(2)=-26. 命题点3　利用奇偶性解不等式 例4　(2025·广西名校调研)设函数f(x)=ln(1+x4)-，则不等式f(2x)>f(x+1)的解集为(　　) A. B.∪(1，+∞) C. D.∪ 【答案】B 【解析】函数f(x)=ln(1+x4)-的定义域为R，且f(-x)=ln(1+x4)-=f(x)，即f(x)为偶函数， 当x>0时，y=ln(1+x4)与y=-均单调递增， 所以f(x)在(0，+∞)上单调递增，在(-∞，0)上单调递减，则不等式f(2x)>f(x+1)等价于|2x|>|x+1|， 即(2x)2>(x+1)2，解得x>1或x<-， 即不等式f(2x)>f(x+1)的解集为∪(1，+∞). 【思维升华】(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值. (2)利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题. 【跟踪训练】2　(1)若函数f(x)=(x2+ax)lg为奇函数，则a的值为(　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 【答案】B 【解析】令>0，解得-2<x<2，可知函数f(x)的定义域为(-2，2)， 若函数f(x)为奇函数，则f(1)+f(-1)=0， 可得(1+a)lg 3+(1-a)lg=2a·lg 3=0，即a=0，则f(x)=x2lg， 可得f(x)+f(-x)=x2lg+(-x)2lg=x2=0， 即f(x)=-f(-x)，可知函数f(x)为奇函数， 所以a=0. (2)(2025·湖北联考)定义在R上的奇函数f(x)满足∀x1，x2∈(0，+∞)且x1≠x2，都有<0，f(3)=0，则满足不等式xf(x)>0的实数x的取值范围为(　　) A.(-∞，-3)∪(3，+∞) B.(-3，0)∪(3，+∞) C.(-∞，-3)∪(0，3) D.(-3，0)∪(0，3) 【答案】D 【解析】因为∀x1，x2∈(0，+∞)且x1≠x2，都有<0， 所以f(x)在(0，+∞)上单调递减，又f(x)是定义在R上的奇函数， 所以f(x)在(-∞，0)上单调递减，又f(3)=0，所以f(-3)=-f(3)=0， 所以当x<-3或0<x<3时，f(x)>0，当-3<x<0或x>3时，f(x)<0， 不等式xf(x)>0，即或 解得0<x<3或-3<x<0， 所以满足不等式xf(x)>0的实数x的取值范围为(-3，0)∪(0，3). 【限时训练】 （30分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.(2025·北京模拟)下列函数中，既是奇函数又在区间(-∞，+∞)上单调递增的是(　　) A.f(x)=-x3 B.f(x)=2x C.f(x)=ex-e-x D.f(x)=lg x 【答案】C 【解析】对于A，显然函数f(x)=-x3为奇函数，且在(-∞，+∞)上单调递减，故A不符合题意； 对于B，f(-x)=2-x，显然函数f(x)是非奇非偶函数，故B不符合题意； 对于C，由函数f(x)=ex-e-x的定义域为R，f(-x)=e-x-ex=-f(x)，则函数f(x)是奇函数，由函数y=ex在R上单调递增，函数y=-e-x在R上单调递增，则函数f(x)在R上单调递增，故C符合题意； 对于D，由函数f(x)=lg x的定义域为(0，+∞)，则函数f(x)是非奇非偶函数，故D不符合题意. 2.(2026·柳州模拟)设偶函数f(x)的定义域为R，在区间[0，4]上单调递减，则(　　) A.f(π)<f(-3)<f(-2) B.f(π)<f(-2)<f(-3) C.f(-2)<f(-3)<f(π) D.f(-3)<f(-2)<f(π) 【答案】A 【解析】因为f(x)为偶函数， 则f(-2)=f(2)，f(-3)=f(3)， 又因为f(x)在区间[0，4]上单调递减， 0<2<3<π<4， 则f(2)>f(3)>f(π)， 即f(π)<f(-3)<f(-2). 3.(2025·赤峰模拟)若函数f(x)=a-是奇函数，则实数a的值为(　　) A. B.1 C. D.3 【答案】C 【解析】因为函数f(x)=a-是奇函数，定义域为R， 所以f(0)=a-=a-=0，解得a=， 当a=时，f(x)=-=， f(-x)===-f(x)， 所以函数f(x)=-是奇函数，则a=. 4.(2025·白银模拟)已知函数f(x)=x3-sin x+2在[-2，2]上的最大值和最小值分别为M，m，则M+m等于(　　) A.8 B.0 C.4 D.2 【答案】C 【解析】设g(x)=x3-sin x，易知定义域为R，又g(-x)=(-x)3-sin(-x)=-x3+sin x=-g(x)，故函数g(x)为奇函数， 所以当x∈[-2，2]时，g(x)max+g(x)min=0， 又f(x)=g(x)+2，所以M+m=f(x)max+f(x)min=[g(x)max+2]+[g(x)min+2]=4. 5.(2021·全国乙卷)设函数f(x)=，则下列函数中为奇函数的是(　　) A.f(x-1)-1 B.f(x-1)+1 C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+1 【答案】B 【解析】方法一　因为f(x)=，所以f(x-1)==，f(x+1)==. 对于A，令F(x)=f(x-1)-1=-1=，定义域关于原点对称，但不满足F(x)=-F(-x)，即f(x-1)-1不是奇函数； 对于B，令G(x)=f(x-1)+1=+1=，定义域关于原点对称，且满足G(x)=-G(-x)，即f(x-1)+1是奇函数； 对于C，f(x+1)-1=-1==-，定义域不关于原点对称，即f(x+1)-1为非奇非偶函数； 对于D，f(x+1)+1=+1==，定义域不关于原点对称，即f(x+1)+1为非奇非偶函数. 方法二　f(x)===-1，为保证函数变换之后为奇函数，需将函数y=f(x)的图象向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度，得到的图象对应的函数为y=f(x-1)+1. 6.(2025·安徽皖南八校模拟)已知函数f(x)的定义域为R，y=f(x)+ex是偶函数，y=f(x)-3ex是奇函数，则f(ln 3)的值为(　　) A. B.3 C. D. 【答案】D 【解析】因为函数y=f(x)+ex为偶函数， 则f(-x)+e-x=f(x)+ex， 即f(x)-f(-x)=e-x-ex， ① 又因为函数y=f(x)-3ex为奇函数， 则f(-x)-3e-x=-f(x)+3ex， 即f(x)+f(-x)=3ex+3e-x， ② 联立①②可得f(x)=ex+2e-x， 所以f(ln 3)=eln 3+2e-ln 3=. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.(2025·毕节模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，g(x)是定义在R上的偶函数，则(　　) A.f(x)g(x)是奇函数 B.f(g(x))是奇函数 C.f(x)-g(x)是奇函数 D.g(f(x))是偶函数 【答案】AD 【解析】因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(-x)=-f(x)； g(x)是定义在R上的偶函数，所以g(-x)=g(x)， 则f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)，所以f(x)g(x)为奇函数，故A正确； f(g(-x))=f(g(x))，所以f(g(x))为偶函数，故B错误； f(-x)-g(-x)=-f(x)-g(x)，则f(x)-g(x)为非奇非偶函数，故C错误； g(f(-x))=g(-f(x))=g(f(x))，故g(f(x))为偶函数，故D正确. 8.(2025·湖北重点学校开学联考)已知函数f(x)的定义域为R，∀x，y∈R，f(xy)+xy=xf(y)+yf(x)，则(　　) A.f(0)=0 B.xf+f(x)=2(x≠0) C.f(x)为减函数 D.f(x)为奇函数 【答案】ABD 【解析】因为∀x，y∈R，f(xy)+xy=xf(y)+yf(x)， 令x=y=1，可得f(1)+1=f(1)+f(1)，则f(1)=1， 令x=y=-1，可得f(1)+1=-f(-1)-f(-1)，则f(-1)=-1. 对于A，令x=y=0，可得f(0)=0，所以A正确； 对于B，令y=(x≠0)，可得f(1)+1=xf+f(x)=2，所以B正确； 对于C，因为f(-1)=-1，f(1)=1，所以f(x)不可能为R上的减函数，故C错误； 对于D，函数f(x)的定义域为R，定义域关于原点对称， 令y=-1，可得f(-x)-x=xf(-1)-f(x)， 所以f(-x)=-f(x)，所以f(x)为奇函数，所以D正确. 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.(2026·绵阳模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=2x+x+m，则f(-3)=　　　　.  【答案】-10 【解析】因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=20+m=0， 解得m=-1，则当x≥0时，f(x)=2x+x-1， 故f(-3)=-f(3)=-10. 10.若函数f(x)为偶函数，且在(0，+∞)上单调递增，又f(-2)=0，则xf(x)>0的解集为　　　　　　　.  【答案】(-2，0)∪(2，+∞) 【解析】因为函数f(x)为偶函数，且在(0，+∞)上单调递增，f(-2)=0， 所以f(x)在(-∞，0)上单调递减，f(2)=f(-2)=0， 则xf(x)>0可化为或 所以或 即x>2或-2<x<0， 所以原不等式的解集为(-2，0)∪(2，+∞). 四、解答题(共28分) 11.(13分)(2025·湖南省名校联盟开学考)已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=3x-3. (1)求函数f(x)的解析式；(6分) (2)若关于x的方程f(x)=2a+3恰有两个实数根，求实数a的取值范围.(7分) 【解析】(1)因为函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=3x-3， 当x=0时，f(0)=0； 当x<0时，-x>0， 所以f(x)=-f(-x)=-3-x+3， 综上，f(x)= (2)函数f(x)的图象如图所示， 所以-2<2a+3<2且2a+3≠0， 解得-<a<-或-<a<-， 故实数a的取值范围是∪. 12.(15分)函数f(x)和g(x)具有如下性质：①定义域均为R；②f(x)为奇函数，g(x)为偶函数；③f(x)+g(x)=ex(常数e是自然对数的底数). (1)求函数f(x)和g(x)的解析式；(7分) (2)对任意实数x，[g(x)]2-[f(x)]2是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.(8分) 【解析】(1)由性质③f(x)+g(x)=ex， 则f(-x)+g(-x)=e-x， 由性质②知f(-x)=-f(x)，g(-x)=g(x)，故-f(x)+g(x)=e-x. 则 解得f(x)=，g(x)=. (2)由(1)可得[g(x)]2-[f(x)]2 =- =-=1， 故对任意实数x，[g(x)]2-[f(x)]2为定值，定值为1. [每小题5分，共10分] 13.(2026·贵阳模拟)已知函数f(x)=的定义域为[-4，4]，且满足f(m2)+f(m-2)>0，则实数m的取值范围是　　　　　　.  【答案】(1，2] 【解析】因为f(-x)===-f(x)，所以f(x)为奇函数， 又因为f(x)==1-， 所以f(x)为[-4，4]上的增函数. 因为f(m2)+f(m-2)>0，f(x)为奇函数， 所以f(m2)>-f(m-2)=f(2-m)， 又f(x)为[-4，4]上的增函数， 所以 解得1<m≤2， 所以实数m的取值范围为(1，2]. 14.(2022·全国乙卷)若f(x)=ln+b是奇函数，则a=　　　，b=　　　.  【答案】-　ln 2 【解析】f(x)=ln+b=ln+ln eb=ln. ∵f(x)为奇函数， ∴f(-x)+f(x) =ln=0， ∴=|1-x2|. 当(a+1)2e2b-a2e2bx2=1-x2时， [(a+1)2e2b-1]+(1-a2e2b)x2=0对任意的x恒成立， 则 解得 当(a+1)2e2b-a2e2bx2=x2-1时， [(a+1)2e2b+1]-(a2e2b+1)x2=0对任意的x恒成立， 则无解. 综上，a=-，b=ln 2. 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 函 数 §2.3　函数的奇偶性 【高考考向预测】 近三年高考函数奇偶性考查频次较高，多以小题为主也常融入大题，重点考查奇偶性判定、奇偶函数图像性质、利用奇偶性化简求值与对称分析，常搭配单调性综合出题；预测2027 年依旧保持高频考查，命题更侧重奇偶性与周期性、对称性结合考查，强化抽象函数性质运用及含参奇偶问题分析，注重数形结合，侧重综合性质灵活运用。 【双基自测●明考向】 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)若函数f(x)为奇函数，则f(0)=0. (　 　) (2)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数. (　 　) (3)对于函数y=f(x)，若f(-2)=-f(2)，则函数y=f(x)是奇函数. (　 　) (4)若f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则f(x)·g(x)是奇函数. (　 　) 2.下列函数中是偶函数的是(　　) A.f(x)=x+1 B.f(x)= C.f(x)=()2 D.f(x)=sin x 3.(多选)若函数f(x)是定义在R上的奇函数，则下列结论正确的是(　　) A.f(x)+f(-x)=0 B.f(0)=0 C.f(x)·f(-x)≤0 D.=-1 4.(2025·湛江期末)已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)=2x-，则f(2)=　　　　.  【核心梳理●明考点】 函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有-x∈D，且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有-x∈D，且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 1.理解函数奇偶性的常用结论 (1)①如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)=0. ②如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)=f(|x|). (2)奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性. 2.灵活应用奇函数的两个特殊性质 (1)若f(x)为奇函数，则f(x)+f(-x)=0.特别地，若f(x)存在最值，则f(x)min+f(x)max=0. (2)若F(x)=f(x)+c，f(x)为奇函数，则F(-x)+F(x)=2c.特别地，若F(x)存在最值，则F(x)min+F(x)max=2c. 3.谨防两个易误点 (1)求奇函数的解析式时，忽略x=0会造成解析式缺失，特别地，奇函数要么在x=0处没有定义，要么在x=0处的函数值为0，即f(0)=0. (2)解函数的奇偶性与单调性相结合的题目时，不要忽视自变量的取值在定义域内这一隐含条件. 【题型突破●明方向】 题型一　函数奇偶性的判断 例1　(1)判断下列函数的奇偶性： ①f(x)=+； ②f(x)=ex+e-x； ③f(x)= ④f(x)=log2(x+). (2)(多选)已知f(x)是定义在R上的函数，下列结论正确的有 (　　) A.函数f(-|x|)是奇函数 B.若恒有f(x+y)=f(x)+f(y)，则f(x)为奇函数 C.若恒有f(xy)=f(x)+f(y)，则f(x)为偶函数 D.若恒有2f(x+y)f(x-y)=f(x)+f(y)，且f(0)≠1，则y=f(x)为奇函数 【跟踪训练】1　(1)(2024·天津)下列函数是偶函数的是(　　) A.f(x)= B.f(x)= C.f(x)= D.f(x)= (2)若定义在R上的函数f(x)满足对任意x1，x2∈R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1，则下列说法一定正确的是(　　) A.f(x)为奇函数 B.f(x)为偶函数 C.f(x)+1为奇函数 D.f(x)+1为偶函数 题型二　函数的奇偶性的应用 命题点1　利用奇偶性求解析式 例2　(1)(人教A版必修第一册P86习题3.2 T11改编)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f(x)=x(1+x)，则函数的解析式为　　　　　　　　　　　　.  (2)已知定义域为R的函数f(x)和g(x)，函数f(x)的图象关于原点对称，函数g(x)满足g(x)-g(-x)=0，若f(x)+g(x)=2x+x3-1，则f(1)与g(-2)的大小关系为(　　) A.f(1)>g(-2) B.f(1)<g(-2) C.f(1)=g(-2) D.不确定 命题点2　利用奇偶性求值 例3　(1)(2023·全国乙卷)已知f(x)=是偶函数，则a等于(　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 (2)(人教B版必修第一册P115练习BT2改编)已知f(x)=x5+ax3+bx-8，且f(-2)=10，则f(2)=　　　　.  命题点3　利用奇偶性解不等式 例4　(2025·广西名校调研)设函数f(x)=ln(1+x4)-，则不等式f(2x)>f(x+1)的解集为(　　) A. B.∪(1，+∞) C. D.∪ 【跟踪训练】2　(1)若函数f(x)=(x2+ax)lg为奇函数，则a的值为(　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 (2)(2025·湖北联考)定义在R上的奇函数f(x)满足∀x1，x2∈(0，+∞)且x1≠x2，都有<0，f(3)=0，则满足不等式xf(x)>0的实数x的取值范围为(　　) A.(-∞，-3)∪(3，+∞) B.(-3，0)∪(3，+∞) C.(-∞，-3)∪(0，3) D.(-3，0)∪(0，3) 【限时训练】 （30分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.(2025·北京模拟)下列函数中，既是奇函数又在区间(-∞，+∞)上单调递增的是(　　) A.f(x)=-x3 B.f(x)=2x C.f(x)=ex-e-x D.f(x)=lg x 2.(2026·柳州模拟)设偶函数f(x)的定义域为R，在区间[0，4]上单调递减，则(　　) A.f(π)<f(-3)<f(-2) B.f(π)<f(-2)<f(-3) C.f(-2)<f(-3)<f(π) D.f(-3)<f(-2)<f(π) 3.(2025·赤峰模拟)若函数f(x)=a-是奇函数，则实数a的值为(　　) A. B.1 C. D.3 4.(2025·白银模拟)已知函数f(x)=x3-sin x+2在[-2，2]上的最大值和最小值分别为M，m，则M+m等于(　　) A.8 B.0 C.4 D.2 5.(2021·全国乙卷)设函数f(x)=，则下列函数中为奇函数的是(　　) A.f(x-1)-1 B.f(x-1)+1 C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+1 6.(2025·安徽皖南八校模拟)已知函数f(x)的定义域为R，y=f(x)+ex是偶函数，y=f(x)-3ex是奇函数，则f(ln 3)的值为(　　) A. B.3 C. D. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.(2025·毕节模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，g(x)是定义在R上的偶函数，则(　　) A.f(x)g(x)是奇函数 B.f(g(x))是奇函数 C.f(x)-g(x)是奇函数 D.g(f(x))是偶函数 8.(2025·湖北重点学校开学联考)已知函数f(x)的定义域为R，∀x，y∈R，f(xy)+xy=xf(y)+yf(x)，则(　　) A.f(0)=0 B.xf+f(x)=2(x≠0) C.f(x)为减函数 D.f(x)为奇函数 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.(2026·绵阳模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=2x+x+m，则f(-3)=　　　　.  10.若函数f(x)为偶函数，且在(0，+∞)上单调递增，又f(-2)=0，则xf(x)>0的解集为　　　　　　　.  四、解答题(共28分) 11.(13分)(2025·湖南省名校联盟开学考)已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=3x-3. (1)求函数f(x)的解析式；(6分) (2)若关于x的方程f(x)=2a+3恰有两个实数根，求实数a的取值范围.(7分) 12.(15分)函数f(x)和g(x)具有如下性质：①定义域均为R；②f(x)为奇函数，g(x)为偶函数；③f(x)+g(x)=ex(常数e是自然对数的底数). (1)求函数f(x)和g(x)的解析式；(7分) (2)对任意实数x，[g(x)]2-[f(x)]2是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.(8分) [每小题5分，共10分] 13.(2026·贵阳模拟)已知函数f(x)=的定义域为[-4，4]，且满足f(m2)+f(m-2)>0，则实数m的取值范围是　　　　　　.  14.(2022·全国乙卷)若f(x)=ln+b是奇函数，则a=　　　，b=　　　.  第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $