第二章 第3节 函数的奇偶性与周期性&热点强化课1 函数性质的综合应用-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（北师大版）

第3节函数的名 ★[课程标准] 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的概念和几何意义。 2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性. 3.结合三角函数，了解函数周期性的概念和几何意义 4.会运用函数的图象理解和研究函数的周期性」 复盘>必备知识 必备知识掌握 1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 一般地，设函数f(x)的定 义域是A,如果对任意的 关于原点 奇函数x∈A,有 ,且 对称 ,那么称函数f(x)为奇 函数 一般地，设函数f(x)的定 义域是A,如果对任意的 偶函数x∈A,有 关于y轴 ,且 对称 那么称函数f(x)为偶 函数 当函数f(x)是奇函数或偶函数时，称f(x)具有 ·奇函数和偶函数的定义域关于 对称 2.函数的周期性 (1)周期函数：一般地，对于函数y=f(x),x∈D,如果 存在一个非零常数T,使得对任意的x∈D,都有 x+T∈D,且满足f(x+T)=f(x),那么函数y f(x)称作周期函数，非零常数T称作这个函数的 周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期 中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就 叫做f(x)的最小正周期 …重要结论·… 1.函数奇偶性的四个重要结论 (1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即 f(0)有意义，那么一定有f(0)=0. (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)=f(x). (3)奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相 同的单调性；偶函数在两个关于原点对称的 区间上具有相反的单调性. (4)奇、偶函数的性质：在公共定义域内，奇函数· 奇函数=偶函数，奇函数十奇函数=奇函数， 偶函数·偶函数=偶函数，偶函数十偶函数 =偶函数，奇函数·偶函数一奇函数。 ·23 主题二第二章函数 奇偶性与周期性 打通教材强基固本 2.函数周期性的三个常用结论 对函数(x)定义域内任意一个自变量x都 有：（如下a>0): (1)若f(x十a)=-f(x),则T=2a; 1 (2)若fx+a)=f,则T=2a: (3)若f(x十a)= fr,则T=2a. 3.函数对称性的三个常用结论 (I)若函数y=f(x十a)是偶函数，即f(a一x) fa十x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a 对称： (2)若对于R上的任意x都有f(2a一x)=f(x) 或f(-x)=f(2a十x),则y=f(x)的图象关 于直线x=a对称； (3)若函数y=f(x十b)是奇函数，即f(一x十b)十 f(x十b)=0,则函数y=f(x)关于点(b,0)中心 对称. 自主诊断查验 ◆[思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号 里打“√”，错误的打“X” (1)函数y=x2,x∈(0，+∞)是偶函数.( ) (2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一 定过原点 (3)如果函数f(x),g(x)为定义域相同的偶函 数，则F(x)=f(x)+g(x)是偶函数. ( ) ◆[小题查验 1.下列函数为偶函数的是 ( A.f(x)=x-1 B.f(x)=x2+x C.f(x)=2x-2-x D.f(x)=2x+2-x 2.设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=ex一1， 则当x<0时，f(x)= () A.e--1 B.e+1 C.-e-x-1 D.-e+1 3.设偶函数f(x)对任意x∈R,都有f(x+3)= f0,且当x∈[-3，-2]时，f(x)=4,则 1 f(107.5)= () A.10 B品 C.-10 D.一10 4.(忽视定义域的对称性致误)函数f(x)=(x十1)· 隔是 函数（填“奇”“偶”或“非奇非偶”）. 5.已知函数f(x)满足f(x+3)=f(x).当x∈[0,2] 时，f(x)=x2+4,则f(2027)= 高考总复习数学(BS) 跃升>关键能力 题型1（ 判断函数的奇偶性 1.(2024·天津卷)下列函数是偶函数的是( A.f(x)= er-22 x2+1 B.f(x)=cos x+x2 x2+1 C.f(x)=e-z x+1 D.f(x)=sin z+4x 2.判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)=√3-x2+√x2-3; (2)f(.x)= 1g(1-x2) 1x-2-29 (3)f(x)= x2+x,x<0, -x2+x,x>0; (4)f(x)=1og2(.x+√x2+1). 题后反思 判断函数奇偶性的两个必备条件 (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性 的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f(x)与f(一x)是否具有等量关系，在 判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶 性的等价等量关系式(f(x)+f(一x)=0(奇 函数)或f(x)一f(一x)=0(偶函数)是否 成立. 题型突破素养提升 题型2 函数奇偶性的应用 [命题点1]利用奇偶性求函数值 1.已知f(x)=log2(W/x2+1+x)+sinx+3,f(a) =2026.求f(-a)= [命题点2]利用奇偶性求参数值 2.(2023·新课标Ⅱ卷)若f(x)=(x+an2x十 2x-1 为偶函数，则a= ( A.-1 B.0 C. 2 D.1 [教材知识迁移与运用] 条件 教材知识 迁移与应用 若f(x)=如果对于函数f(x)因为函数y= (x+a) 的定义域内任意一f(x)是偶函数，所 2x-1 个x,都有f(一x)以f(一1)=f1), 1n2x+1 =f(x),那么函数或者f(一x)= 为偶函数f(x)就叫作偶函数f(x)恒成立 ◆[命题点3]利用奇偶性求解析式 3.已知f(x)为奇函数，当x≥0时，f(x)=x2- 4x+m,则当x<0时，f(x)= ( ) A.x2-4-x+1 B.-x2-4-x-1 C.-x2+4-x-1 D.-x2+4-x+1 [命题点4]利用奇偶性的图象特征解不等式 [典例]已知y=f(x)是偶函数， y=g(x)是奇函数，它们的定义域 y=g(x) 是[-3,3]，且它们在x∈[0,3]上 的图象如图所示，求不等式 y=f(x) fx<0的解集。 g(x) 24· 主题二第二章函数 解题技巧 (2)已知f(x)是定义域为R的偶函数，f(5.5)= 应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法 4,g(x)=(x一1)f(x),若g(x十1)是偶函数，则 (1)求函数值 g(-0.5) ) 将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函 A.-6 B.-4 C.4 D.6 数值求解， (3)已知f(x)是定义在R上的奇函数，若 (2)求解析式 将待求区间上的自变量转化到已知区间上， +) 为偶函数且f(1)=3,则f(2024)+ 再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造 f(2025) 关于f(x)的方程（组），从而得到f(x)的解 A.3 B.-5 C.-3 D.0 析式 方法指导 (3)求函数解析式中参数的值 1.判断函数周期性的两个方法：定义法、图象法 利用待定系数法求解，根据f(x)士f(一x)=O 2.函数周期性的重要应用：利用函数的周期性，可 得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等 将其他区间上的求值，求零点个数，求解析式等 性得参数的值或方程（组），进而得出参数 问题，转化为已知区间上的相应问题，进而求解。 的值. 易错警示 (4)画函数图象和判断单调性 应用函数的周期性时，应保证自变量在给定的区 利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及 间内. 判断另一区间上的单调性. 日跟踪训练 跟踪训练 1.(2025·全国一卷)已知f(x)是定义在R上且周 期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x)=5一2.x, 1.已知函数f(x)=9二“的图象关于原点对称， 则() ( g(x)=1g(10r+1)+bx是偶函数，则a+b= A. 2 B.-1 CI 4 n号 2.设函数f(x),g(x)的定义域分别为F,G,且F三 2.已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,f(x)为偶 G.若对任意的x∈F,都有g(x)=f(x),则称 函数且f(x)+f(x+2)=3,g(x)+g(10-x)=2,则 g(x)为f(x)在G上的一个“延拓函数”.已知函 2[f(i)+g(i)]= ( ) 数f(x)=e(x≤0)，若g(x)为f(x)在R上的 一个延拓函数，且g(x)是偶函数，则函数g(x)的 A.21 B.22 c号 D.47 解析式是 3.已知定义域为R的偶函数满足f(2一x) A.exl B.Inlxl f(x),当0≤x≤1时，f(x)=e1-x-1,则方程 C.el D.-Inlx x二1可在区间[一3,5]上所有解的和为 1 f(x)= 题型3 函数周期性的应用 [典例](1)x为实数，[x]表示不超过x的最大 A.8 B.7 C.6 D.5 整数，则函数f(x)=x一[x]在R上为 ( A.奇函数 B.偶函数 C温馨提 学习至此，请完成配套训练 课时冲关8 C.增函数 D.周期函数 培优拓展3 抽象函数性质的综合应用 抽象函数问题，其构思新颖，条件隐蔽，技巧性强，解法灵活，往往让学生感觉头痛.抽象函数问题可以 全面考查函数的概念和性质，将函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、图象集于一身，是考查函数 的良好载体，借助特殊函数模型有利于打开解题思路，有时会起到事半功倍的效果， [典例][多选]已知函数f(x),g(x)的定义域均 名师点拨 为R,且g(x)+f(-x+2)=1,f(x)-g(x+1) 对含有f(x),g(x)混合关系的抽象函数， =1,若y=f(x)的图象关于直线x=1对称，则 要探求f(x),g(x)性质首先要消去一个函数只 以下说法正确的是 剩下另一个函数，消去其中一个函数的方法就 A.g(x)为奇函数 是对x进行合理的赋值，组成方程组消去一个 B(-)-0 函数，再考查剩余函数的性质.对抽象函数的周 期性、奇偶性、单调性以及图象的对称性的综合 C.Hx∈R,f(x)=f(x+4) 应用，解决该问题应该注意的事项： D.若f(x)的值域为[m,M],则f(x)+g(x) (1)赋值法使用，注意和题目条件作联系； m+M-1 (2)转化过程要以相关定义为目的，不断转变 25 高考总复习数学(BS) 日跟踪训练 C.若函数F(x)=f(x)+g(x)在x∈[1-m,1+m] [多选]已知函数f(x)=1g(Wx2-2x+2-x+1), 上的最大值、最小值分别为M、N,则M+N=4 g(x)= 2”+6,则下列说法正确的是 2x+2 D.令F(x)=f(x)+g(x),若F(a)+F(-2a+1) A.f(x)是奇函数 B.g(x)的图象关于点(1,2)对称 >4,则实数a的取值范围是（一1，+o∞） [热点强化课1]函数性质的综合应用 高考对函数性质的考查往往是综合性的，如将奇偶性、周期性、单调性及函数的零点综合考查，因此， 复习过程中应注意在掌握常见函数图象和性质的基础上，注重函数性质的综合应用的演练， 题型1〔 函数的单调性与奇偶性 [例4]若定义在R上的函数f(x)满足y=f(x+1) 是奇函数，f(4+x)=f(一x),f(2)=2,则f(1) [例1]已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在 +f(2)+f(3)+…+f(30)= 区间[0，+∞)上单调递增，则 …方法指导 A.fogx)>f(o8e号>f2) 利用函数的奇偶性和周期性求解策略：周期性 与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇 B.f(1og23)>f(2-x)>f(1og2π) 偶性结合周期性进行转换，将所求函数值的自变 C.f2)>fogf1og影x} 量转化到已知函数值或解析式的定义域内求解。 题型3 函数的奇偶性与对称性 D2)>fogx>fiog [例5] 若函数f(x)= 2(x+1)2+sin的最大值和 x2+1 2 [例2]已知函数f(x)= -x-2,若f(m2)十 e2+1 最小值分别为M、m,则函数g(x)=(M+m)x十 f(m一2)+2>0恒成立，则实数m的取值范 sin[(M+m) 图象的对称中心不可能是 围是 ( A.(-2,1) B.(-1,2) C.(0,2) D.(2,4) A后 (危剖 方法指导 c(】 ） 函数的单调性与奇偶性的综合问题解题思路 [例6]设函数y=f(x)的定义域为D,若对任意 (1)解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关 的x1,x2∈D,且x1+x2=2a,恒有f(x1)+ 于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶 f(x2)=2b,则称函数f(x)具有对称性，其中点 函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的 (a,b)为函数y=f(x)的对称中心，研究函数 单调性. 十tan(x一l)的对称中心，求 (2)解决不等式问题时一定要充分利用已知的条 fx)=x+1十x 件，把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或 f22)+r(2s) 、2025 …十 f(x1)<f(x2)的形式，再根据函数的奇偶 性与单调性，列出不等式（组），要注意函数定 f049 2025 义域对参数的影响： A.2025 B.4049 C.4050 D.8100 题型2〔 函数的奇偶性与周期性 …方法指导 将奇函数平移可以得到中心对称函数，若逆向探 [例3]设函数f(x)的定义域为R,f(x+1)为奇 讨，则可以得到任何一个中心对称函数平移后都 函数，f(x+2)为偶函数，当x∈[1,2]时，f(x)= 可以变成奇函数，这样便可以得到对称中心；将 ar2+6,若f0)+f3)=6,则f(号) 偶函数平移可以得到轴对称函数，若逆向探讨， 则可以得到任何一个轴对称函数平移后都可以 A.-9 B.-3 c D. 2 变成偶函数，这样便可以得到对称轴. ·26. 主题二第二章函 数 题型4 函数的周期性与对称性 [例7]已知函数f(x)满足f(x+3)=f(1一x)+ 9f(2)对任意x∈R恒成立，又函数f(x+9)的 图象关于点（一9,0）对称，且f(1)=2025,则 f(53)= () A.函数g(x)=f(x)-2√2在[-3,9]上有两个零点 A.2024 B.-2024 B.函数y=f(x)是偶函数 C.2025 D.-2025 C.函数y=f(x)在[一8，-6]上单调递增 [例8]已知函数f(x)、g(x)的定义域均为R,函 数f(2x一1)+1的图象关于原点对称，函数g(x D对任意的xR,都有十)= f(x) +1)的图象关于y轴对称，f(x十2)+g(x+1) [例10]（多选）已知定义在R上的函数f(x)满 =-1,f(-4)=0,则f(2030)-g(2017)= 足f(x)=-f(4-x),且f(x+1)=f(1一x),则 ( () A.-4 B.-3 C.3 D.4 A.f(x)为奇函数 方法指导 B.f(x)的图象关于x=2对称 周期性与对称性的综合解题，尤其要注意对称性与 C.f(x+2)为偶函数 周期性之间的关系，周期是两条对称轴（或对称中 D.f(x)是周期为4的函数 心)之间距离的2倍，是对称中心与对称轴之间距 离的4倍 方法指导 函数的奇偶性、对称性、周期性与单调性是函数 题型5 函数的奇偶性、对称性、周期性与 的四大性质，在高考中常常将它们综合到一起命 单调性的综合 题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性、对称性 [例9]（多选）在平面直角坐标系xOy中，如图放 和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区 置的边长为2的正方形ABCD沿x轴滚动（无 间的转化，再利用单调性解决相关问题。 滑动滚动)，点D恰好经过坐标原点，设顶点 B(x,y)的轨迹方程是y=f(x),则对函数y= ©温馨提今 f(x)的判断正确的是 ( 学习至此，请完成配套训练 课时冲关9 第4节 幂函数与二次函数 ★[课程标准] 1.通过具体事例，了解幂函数及其图象的变化规律.2.掌握二次函数的图象与性质（单调性、对称性、顶点、 最值等). 复盘>必备知识 打通教材强基固本 必备知识掌握 续表 1.幂函数 函数 y=x (1)幂函数的定义 y=r2 y=r3 y=ri y=x-1 一般地，形如y=x“(α为常数)的函数，即底数 值域 [0,十o∞) 是自变量，指数是常数的函数称为幂函数. (2)常见的5种幂函数的图象 奇偶性 偶 非奇非偶 奇 在R 上单 单调性 调递 (3)常见的5种幂函数的性质 增 函数 y=I y=r2 y=x3 y=rt y=x-1 定义域 R x|x≠0 公共点 27高考总复习 数学(BS) 跟踪训练 2.解析：对于①，f(x)=x无界，不符合 4a+ b =8, 题意： 解：(1)由题意可知 解得 b 对于②，f(x)=1十2= 7 不单 4a- 0 4=1,b=8,故fx)=2+8(x≠0). 调，不符合题意： x (2)证明：Hx1,2∈(-∞，0)，且x 对于③，f(x）=g-e=e2x-1 erte i er+1 <,则f(x1)-f(x)=x+8 e红十1一2=1一1十2x单调递增，且 e2x+1 (+)-+ f(x)∈(-1,1)，则|f(x)|<1,符合 题意； =(x1-x2)(x+x2）十 8(x2-x） x1x2 对于④，f(x)二十。三单调递增，且 8 fx)∈(0,1)，则|f(x)|<1,符合题意. 答案：③④ -.[x1x2(知十x)-8]. 题型3命题点1 由x1,x2∈(-∞，0)且1<x2,得 1.D[因为f(x)= ∫-2+2(x>0), {-x3(x≤0)， x1x2>0,x1-x2<0,x十x2<0,所 又y=2x在(0，十∞)上单调递增，y 以12<0，x1(m1十x2)-8<0, 2x在(0，十∞)上单调递减，则g(x) x1x2 =一2r十2x在(0，十∞)上单调递减 所以52.[5(h十2)-8]>0， 且g(0)=-20十20=0，又h(x)=-x3 则f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)> 在（一∞，0）上单调递减且h(0)=一03 f(x2).故f(x)在（一∞，0）上单调 0,所以f(x)在R上单调递减，又因为 递减 30.2>30=1,即b>1,0=1n1<1n2< 题型2 In e=1,Bp 0<a<1,l0go.3 2<log0.3 1= [典例](1)[解析]x∈（一∞，1]时， 0,即<0，所以b>a>c,所以f(b)< f(a)f(c).] f(x)=e-1单调递增，f(x)f(1) 命题点2 e-1=1; 2.解析：由函数解析式知f(x)在R上单 x(1,+∞)时，f(x)=1 -x+1单 调递增，且一f(2)=-2=f(-2), x 则f(1-|x|)+f(2)>0→f(1-1x|) 调递减，f(x)<-1+1=1. >-f(2)=f(一2)，由单调性知1 |x>-2,即|x<3,解得-3<x< 所以f(x)的最大值为1. 3,故不等式的解集为(-3,3). [答案]1 答案：(-3,3) (2)[解析]法一：基本不等式法： 命题点3 f)=2+8-x-102+21D+9 3.B「由题意知f(x)在R上单调递增， x-1 x-1 令h(x)=-x2-2ax-a,则h(x)的对 =(-1+9+2> 称轴必大于等于0，否则与题意不符， x-1 即-a≥0→a≤0，排除C、D项；又因为 2-·马+2-8，当里仅当 当x=0时，f(x)=1,所以当x=0时， h(x)≤1→-x2-2a.x-a≤1，代入x= 9 0,得-a≤1→a≥-1，所以-1≤a≤0， 上-1=，即x=4时，f(x)m=8. 故a的取值范国是[-1,0].] 法二：导数法：f(x) 跟踪训练 -x-40(x+2) 1.B[依题意，x1x2∈(0，十∞)， (x-1)2 1≠，f）-fx20 令f(x)=0,得x=4或x=-2(舍去). x1一x2 当1x<4时，f'(x)<0,f(x)在 f()_f(2） (1,4)上单调递减：当x>4时，f(x)》 x>0 >0,f(x)在(4，+∞)上单调递增，所 x1-x2 以f(x)在x=4处达到最小值，即 于是得函数x在(0，十0)上单调 f(x)min=f(4)=8. [答案] 8 递增，而函数f(x)是R上的偶函数， 跟踪训练 即b=f-2)=f(2) 2 2 1.解析：，f(-3)=1g[(-3)2十1] =1g10=1, 显然有<f2)<f3),因此得 2 3 ∴.fLf(-3)]=f(1)=0, a<b<c,所以a<b<c.] 当≥1时f)-r+是-3≥2E 2.C[:f(x)= 2x-1(x>,当0<x tIn x(o<1), 一3，当且仅当x=√2时，取等号， ≤1时，f(x)=lnx≤0，且单调递增；当 此时f(x)min=2√2-3<0； x>1时，f(x)=2x-1>1,且单调递增， 当x<1时，f(x)=lg(x2+1)≥lg1= 所以fx)=2x-1(x>1), 0,当且仅当x=0时，取等号，此时 In r(0<r1) f(x)min=0.f(x)的最小值为 在(0，十∞)上单调递增，不等式 f3.x-1)<f(2x+1)等价于0<3x-1 2√2-3. 答案：02√2-3 <2+1,解得号<r2.] ·386· 3.D[依题意，f(x)-2n-二 In a In 2a 2m2u-8·l1nx=na:n2a In 4a lna·(ln2a) ·lnx,显然函数y=lnx在(0，十∞) 上单调递增，而函数f(x)在(0，十∞) In 4a 上单调递减，因此na,n2a<0, 而0<a<2a<4a,则ln4a<0或 {他0解得0a<十或<a<1 In 2a>0, 所以实数a的取值范国为 ()(3) 4.解析：因为对任意x1≠x2,都有 fx1)-f(x2) >0, 1.2 所以y=f(x)在（一o,十∞）上是增 函数， /2-a>0. 所以3a≥1， ((2-a)×1+1≤a, 故实数a的取值范国是[是，2）】 答案：[是2) 第3节 复盘·必备知识必备知识掌握 1.-x∈Af(-x)= f(x) -x∈A f(一x)=f(x)奇偶性原点 自主诊断查验思考辨析 (1)×(2)×(3)/ 小题查验 1.D[,f(-x)=2x+2=f(x), .f(x)=2r十2x是偶函数.] 2.D[设x<0,则一x>0,因为函数 f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x) ex一1，可得f(x)=一f(一x)= -(e2-1)=-e2+1.] 3.B[因为f(x十3)= fr),故有 f(x十6)= 1 f(x+3) f(x) f(x),所以函数f(x)是以6为周期的 函数 所以f(107.5)=f(6×17+5.5) 1 1 =f(5.5)= f(2.5) -f(-2.5) 2] 1 = 4.解析：f(x)的定义域为（一∞，一1）U [1,十∞)不关于原点对称.故f(x)为 非奇非偶函数。 答案：非奇非偶 5.解析：因为f(x十3)=f(x),所以f(x) 是以3为周期的周期函数，所以 f(2027)=f(675×3+2)=f(2)=22 +4=8. 答案：8 跃升·关键能力题型1 1.B[对A,设f(x)=ex 2+1,函效定 义战为R,但f(-1)=e)1.f1) 2 =,1,则f(-1)≠f1),故A错误： 2 对B,设f(x)=cosr十x 2+1,函数定义 战为R,且f（一x)= os(-t)十(x)2=osx+x (-x)2+1 x2+1 f(x),则f(x)为偶函数，故B正确：对 C,设f(x)干千，函数定义战为 {xx≠一1}，不关于原点对称，则 f(x)不是偶函数，故C错误：对D,设 fr)=im+,函数定义城为R, 因为f(-x)=sin(-x)+4(-) -in+4虹=-f(x,则f(x)为奇 er 函数，f(x)不是偶函数，故D错误.] 2解：0油位8得2=8，好得 x=士√尽，即函数f(x)的定义域为 {-√5,5}，从而f(x)=√3-x2+ √/x2-3=0. 因此f(一x)=一fx)且f代一x)=fx), ,.函数f(x)既是奇函数又是偶函数. (e由8定义城为(-. 0)U(0,1)关于原点对称.∴x-2<0, ∴.x-2|-2=-x, fx)=lg1-2) 一 又：f(-x)=1g1-(-x)2] 一（一x) = lg(1-x2) =-f(x), ∴.函数f(x)为奇函数 (3)显然函数f(x)的定义域为（一∞，0） U(0,十∞)，关于原，点对称 ,当x0时，一x>0, 则f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x =-f(x): 当x>0时，-x<0, 则f(-x)=(一x)2-x=x2-x -f(x): 综上可知：对于定义城内的任意x,总 有f(一x)=一f(x),∴，函数f(x)为 奇函数， (4)显然函数f(x)的定义域为R, f(-x)=log2[-x+V(-x)2+1] =log2(√x2+1-x)=log2(√2+1 +x)-1=-log2(√x2+1+x）= 一f(x),故f(x)为奇函数. 题型2命题点1 1.解析：令g（x)=f(x）一3= log2(√x2+1+x)+sinx,则g(x)的 定义域为R, 且g(-x)=log2(√x2+1-x) +sin(-x) =-log (2+1+x)-sin r=-g(r), 故g(x)为奇函数， 从而f(-a)-3=-[f(a)-3], 即f(-a)+f(a)=6,因为f(a)=2026, 所以f(-a)=6-2026=-2020. 答案：-2020 命题点2 2B[20得>号成K-是 由f(x)是偶函数， ∴.f(-x)=f(x), 参考答案 得(-r+a)ln二(x+a) 题型3 [典例](1)[解析]作出函数f(x)的 In 2r-1 2x+1 2+,即(-x+aln2z- =(-x 图象，由图象可知进D. /2x-1 ta)In(2+1) -(z-d)ln 2x+1 -1 2x-1 2x-1 -(ata)na-xta. 得-a=a,得a=0.] -10123x 命题点3 [答案]D 3.C[因为f(x)为奇函数，所以f(0) (2)[解析]因为g(x十1)是偶函数， =m一1=0，即n=1. 所以g(x)的图象关于直线x=1对 当x<0时，一x>0,f(x)=一f(一x) 称，即g(x)=g(2-x),即(x一1)f(x) =-[(-x)2-4-x+1]=-x2+4 =(1一x)f(2-x),所以f(x)十f(2 -1.] x)=0.所以f(x)关于点(1,0)中心 命题点4 对称 [典例门「解]第一步：根据奇偶性补全 又f(x)是定义域为R的偶函数，所以 函数f(x)和g(x)在整个定义域上的 f(x）=-f(2一x)=-f(x-2),所以 图象 f(x-4)=f(x-2)-2)=-f(x- ↑y 2)=-(-f(x)=f(x),即f(x-4) =f(x),所以函数f(x)的周期为4.所 以f(5.5)=f(1.5)=f(-2.5)= y=g(x) f(2.5)=4,所以g(-0.5)=g(2.5) -3210i23 =1.5f(2.5)=6. y [答案]D (3)[解析]因为f(x)是定义在R上的 y=f(x)是偶函数，y=g(x)是奇函 奇函数，所以f(0)=0,f(x)十f(一x) 数，根据函数图象的奇偶性画出y =0, f(x),y=g(x)在[一3,0]上的图象如图 所示， 所以有f(x-是)）十f(-x+子）-0， 第二步：将分式不等式等价特化 g(x) 由f(+是)为锅画教可得 <0等价于fr)>0或{fx)<0, g(x)<0,g(x)>0. f(+)-f(x+是) 第三步：根据图象，分别解两个不等 式组 故有f(+)+(-是)-0. 由图可知f(x)>0,g(x)<0时， -2<x<-1或0<x<1,f(x)<0, f(x+是)+fx)=0, g(x)>0时，2<x3. 第四步：根据求解结果取并集 即fx)=-f(+) 可求得其解集是{x|一2<x<一1或 0<x<1或2r<3}. f(e+2）-f+3… 跟踪训练 故f(x)=f(x+3), 1.解析：函数f(x)=二巴的图象关于 所以f(x)周期T=3,且f(2)=f(3 32 1)=f(-1)=-f(1)=-3. 原，点对称，则函数f(x)是奇函数， 故f(2024)+f(2025)=f(3×674+ 函数的定义域为R,∴.f(0)=0,即 2)+f(3×675+0)=f(2)+f(0) f0)=9°4=-1-a=0,则a=1, =-3十0=-3. 30 [答案]C :g(x)=1g(10+1)十bx是偶函数， 跟踪训练 .g(-r)=g(x), 即1g(101+1)-b.x=1g(102+1)+ 1.Af(-4)-()-f(2+) bx,即1g1+10 102 -lg(102+1)=2bx, =5-2(2+4)-] 即lg(10x+1)-lg10x-1g(10x+1) 2.C[,:f(x)为偶函数且f(x)十f(x =2bx,则-x=2bx,2b=-1, 十2)=3，则f(-x)十f(x十2)=3，故 得b=一 1 1 2,则a+b=1-2=2 f代x)关于点(（1,2)对称， 1 又f(x+2)+f(x+4)=3,则f(x) 答案：2 =f(x十4)，则f(x)是以周期为4的 2.C[,g(x)是偶函数，.定义域关于 原点对称.对于进项A,g(x)是偶函 周期画数，故f(x)关于点(5，受)对 数，当x≤0时，g(x)=ex≠f(x),则 称，.f(x十f(10-x)=3,则2f(i) 不满足条件，A错误；对于选项B,当 =[f(1)+f(9)]+[f(2)+f(8)]+ x=0时，g(x)=lnx|无意义，则定义 Lf(3)+f(7)]+[f(4)+f(6)]+ 域不满足条件，B错误；对于选项C, g(x)是偶函数，当x≤0时，g(x)= 2[f(6)+f(5)]-3×4+多-2？ 2=2 e（-)=e2=f(x),满足条件，C正 确；对于选项D,当x=0时，g(x)一 又：g(x)十g(10-x)=2,则∑g(i)= 一lnx无意义，则定义域不满足条 [g(1)+g(9)门+[g(2)+g(8)]+ 件，D错误.门 Lg(3)+g(7)]+[g(4)+g(6)]+ ·387· 高考总复习数学(BS) 号g5)+g(6]-2X4+1-9,故 2[fi)+g(]-2f)+三g() -+9=5] 3.A[因为函数f(x)满足f(2一x)= f(x),所以函数f(x)的图象关于直线 x=1对称，又函数f(x)为偶函数，所 以f(2-x)=f(x)=f(一x),所以函 数f(x)是周期为2的函数，又g(x)= x一可的图象也关于直线x=1对称， 1 作出函数f(x)与g(x)在区间[一3,5] 上的图象，如图所示： 3 3210 12345 由图可知，函数f(x）与g(x)的图象 在区间[-3,5]上有8个交点，且关于 直线x=1对称， 所以方程f)=c一在区间[-3,5] 上所有解的和为4×2×1=8.] 培优拓展3 [典例][解析]，g(x)+f(一x十2) =1,∴.g(x十1)+f1-x)=1, f(x)-g(x+1)=1, ∴.f(x)+f(1-x)=2, ,f(x)关于直线x=1对称， ∴.f(1-x)=f(1十x), .f(x)+f(1+x)=2,.f(x+1)十 f(2+x)=2,∴.f(x)=f(2十x), .T=2,.f(x)=f(x十4)，故C 正确； f(x)关于x=1对称， .f(x)=f(2-x), f(x)=f(-x),∴f(x)为偶函数， :g(x)+f(-x+2)=1, ,g(x)+f(x）=1, ∴.g(-x)+f(-x)=1, ∴g(-x)+fx)=1, g(x)=g(-x),.g(x)为偶函数， 故A错误； :f(x)十f(1-x)=2,f(x)图象关 于点（合1）中心对称， ∴存在一对最小值点与最大值点也关 于（合，1）对称m十M=2 ,∴.g(x)+f(x)=1=m十M-1,故D 正确； 由f)+f1-x)-2,得f(2）-1 又T=2,所以f(号）1 由g(x)+f(x)=1,得g(号)十 f(-是)=1，所以g(-是)0.故 B正确 [答案] BCD 跟踪训练 BCD[由题意函数f(x) =lg(√x2-2x+2-x+1) =lg(√(x-1)2+1-(x-1), 因为√(x-1)2+1-(x-1)>0恒 成立， 即函数f(x)的定义域为R, 又因为f(0)=1g(√2+1)≠0，所以 所以g(x)是奇函数.又由f(m2)十 f(x)不是奇函数，所以A错误； f(m一2)+2>0，可得f(n2)+1+ 将g()-士的图象向下平移两个 f(n-2)+1>0, 2x+2 即g(n2)十g(n-2)>0,得g(n2)> 单位得到y= 2z+6 2=22 g(2-m). 2x+2 2+2x' 由g(x)=1-e efl-x= -(ex+1)+2 再向左平移一个单位得到h(x)= er+1 2-2+11-2 2+2x+11+2x1 1+7，周为y 此时K一x==?-25}一h, 2 1+2x2+1 e2+1y=一工一1均为R上的减函 所以h(x)图象关于点(0,0)对称， 数，所以g(x)在R上单调递减，所以 所以g(x)的图象关于(1,2)对称，所 n2<2-m,即m2+m-20, 以B正确： 解得一2<n<1,即实数n的取值范 将函数f(x)的图象向左平移一个单 国是(-2,1). [答案]A 位得m(x)=lg(√/x2十1-x), 题型2 因为m(-x)十m(x)-lg(√2+1+x) [例3][解析]因为f(x十1)为奇函 +lg(√x2+1-x)=g1=0, 数，所以f(1)=0,即a十b=0,所 即n(一x)=一n(x),所以函数n(x) 以b=一a, 又f(0)=f(-1+1)=一f(1+1) 为奇函数， =-f(2)=-4a-b=-3a, 所以函数f(x)关于(1,0)，点对称， f(3)=f1+2)=f(-1+2)-f(1) 所以F(x)若在1十a处取得最大值， =0,由f(0)十f(3)=6,得a=-2, 则F(x)在1一a处取得最小值， 则F(1+a)+F(1-a)=f(1+a)+ 所以（是）-f(2+) f(1-a)+g(1+a)+g(1-a)=0+4 =4,所以C正确； -(2-) 由F(a)+F(-2a+1)>4,可得f(a) +f(1-2a)+g(a)+g(1-2a)>4, =f()-f(-号+1) 由f(x)-lg(V√(x-1)2+1-(x-1), 设n(.x)=lg(/x2+1-x), =-f(Ξ+)=-f(分+2) t=√2+1-x, =-1(+2)-f(2) 可得t= -10, 9 Wx2+1 所以t=√2十1一x为减函数， [答案]D [例4][解析]因为y=f(.x十1)是奇 可得函数m(x)=1g(√/x2+1一x)为 函数，所以f(x+1)=一f(一x+1), 减函数， 用x一1替换上式中的x,可得f(x)= 所以函数f(x)=1g(√/(x一1)2+1 -f(-x+2),在f(4十x)=f(一x) (x一1)为减函数， 中，用x一2替换x,可得f(x十2)= 又由-+ 4 f(-x十2)，所以f(x)=一f(x+2) =1十2十2为减函 用x十2替换该式中的x,可得f(x十 数，所以F(x)为减函数，因为F(x)关 2)=-f(x十4)，所以f(x)=(x+4), 于，点(1,2)对称，所以F(a)十F(-2a 所以函数f(x)的周期为4，在f(x十 +1)>4=F(a)+F(2-a),即F(-2a 1)=一f(-x+1)中，令x=0,得f(1) +1)>F(2-a),即-2a+1<2-a,解 =0,在f(x)=-f(x十2)中，令x 得a>一1，所以D正确.] 1,得f(3)=-f(1)=0,在f(x+2)= 热点强化课1 -f(x十4)中，令x=0,得f(4)= -f(2)=-2,所以f(1)十f(2)+ 题型1 f(3)+f(4)=0,所以f(1)+f(2)+ [例1][解析]f(x)是偶函数， f(3)+…+f(30)=f(1)+f(2)=2. “f(log影3）=f(-log23) [答案]2 题型3 =f(1og23). 「例51「解析1设h(x)=f(.x)一2 1<10g23<10g2π<2,0<2r<1, =x十sinx ∴.0<2x<1og23<1og2π<2. x2+1 :f(x)在[0，十∞)上为增函数， 剥h(一x)=二4二sin正=一h(x), ∴f(2-x)<f(log23)<f(log2π)， x2+1 即f2)<f(log号）<fog影x. 即h(x)为奇函数， ,∴.M+m=h(x)+2+h(-x)+2=4, [答案]A [例2][解析] 由题可知，f(x)= g(x)-4r+in(4r-子) 2 e2+1-x-2- (--1 I-er 令s(x)=4x十sin4x, e+1-x-1, 则(x)+(经-）4r+sm4+ 令g(x)=f(x)+1=1-e e+1x, (竖-十8n(2x-)=26x,k∈ Z,可知x(x)=4x十sin4x的对称中心 e+1 x=-g(x), 为（纤，kx)k∈Z, ·388· 将s(x)=4x十sin4x的图象向右平移 两式相加，f(x)十f(一2-x)+g(r 是个单位，再向上平移于个单位得到 1)+g(一x-3)=一2，将①式代入，得 g(x-1)+g(-x-3)=0, g(x)的图象， 则得g(x-5)十g(-x十1)=0，将② ,g(工)的对称中心为 式代入得，g(x十1)=-g(x-5),则 (停+最x+子)e, g(x十6)=-g(x),于是g(x+12)= 一g(x十6)=g(x),即g(x)的周期为12 当气+音号时=子不合题意， 又由f(-4)=0,由①可得f(2)十 f(-4)=-2,得f(2)=-2, 可知不可能为C,又当k=1,0,5时分 又由f(x十2)+g(x+1)=-1,可得 别对应选项A,B,D,可知A,B,D均 f(2)+g(1)=-1,即得g(1)=1. 为g(x)的对称中心. 因f(2030)+g(2029)=-1, [答案]C 可得f(2030)=-1-g(2029),于是 [例6][解析]令函数g()=1十子十 f(2030)-g(2017)=-1-g(2029) -g(2017)=-1-g(1)-g(1)=-1 tant,则g(-t)=一t一 十tan(-D= -2g(1)=-3. t [答案]B -g(++tant）=-g(), 题型5 工例9][解析]以A点为中心滚动时， 所以函数g(1)为奇函数，其图象关于 B,点轨远为以（一2,0）为圆心，2为半径 原点对称，可得f(x)=x一1 1 r-I+ 的子喝孤； tan(x一1)+2的图象关于，点(1,2)中 心对称， 即当x1十x2=2,可得f(x1)+f(x2) =4, 3 设M=f 1 202s)+f(2025) -3-2-1012345 f(2025 +…+f /4049 2025) 当以D点为中心滚动时，B点轨迹为 M=(8器)+r()十 以0.0)为国心，2E为半径的号 f(8)++f(2z) 1 圆孤； 当以C点为中心滚动时，B,点轨迹为 所以2M 以(2,0)为圆心，2为半径的一圆孤； -[r(0)+(器)]十 当以B点为中心滚动时，B点不动，然 [r()+()】 404711 后周期循环，周期为8. 十…十 画出函数图象，如图所示， [r(器) f八2025】 g(0)=f(0)-2√2=0，g(8)=f(8) 2√2=f(0)一2√2=0，A正确： =2025×4=8100,所以 根据图象和周期知B正确； ()+f(2)+f() 3 函数y=f(x)在[0,2]上单调递减，故 在[-8，一6]上单调递减，C错误； +…十f(2025 4049 =4050. 取x=-2易知f(2)≠一-2，故 [答案]C D错误 题型4 [答案]AB [例7][解析]因为对任意x∈R,都有 [例10][解析]因为f(x+1)=f(1 f(x+3)=f(1-x)+9f(2), 一x),所以f(x)关于x=1对称. 令x=一1，得f(2)=f(2)十9f(2),解 因为f(x)=一f(4-x),所以f(x+2)= 得f(2)=0,则f(x+3)=f(1-x), -f(2-x),所以f(x)关于点(2,0) 即f(x十4)=f(一x),所以函数f(x) 对称. 的图象关于直线x一2对称，又函数 对于A,由，点(2,0)关于x=1的对称，点 f(x十9)的图象关于，点（一9,0）对称， 为(0,0)，(2,0)为f(x)的对称中心，且 则函数f(x》的图象关于，点(0,0)对称 f(x)关于x=1对称，所以(0,0)为f(x) 即函数f(x)为奇函数，所以f(x十4) 的对称中心，即f(一x)=一f(x),所以 f(-x)=-f(x),所以f(x十8)= f(x)为奇函数，故A正确； 一f(x十4)=f(x),所以8是函数 对于B,因为f(x)=一f(4一x),所以 f(x)的一个周期，所以f(53)=f(7× f(x+2)=-f(2-x),f2+x) 8-3)=f(-3)=-f(3)=-f(1) =f(2一x)未必成立，所以f(x)的图象 =-2025. 不一定关于x=2对称，故B错误： [答案]D 对于C,因为f(x)=一f(4一x),令x十2 [例8][解析][由函数f(2.x一1)+1 代换x,得到f代x十2)=一f(2一x).① 的图象关于原点对称，f(-2x一1)+1 对于f(x十1)=f(1-x),令x十1代 -f(2x-1)-1,即f(-x-1)= 换x,得到f(x十2)=f(一x).② 2-f（x-1),即f(x)+f(-2-x)= 由①②得f(一x)=-f(2-x),令-x 一2①，由函数g(x十1)的图象关于y 代换x,得到f(x)=一f(2十x), 轴对称，可得g(一x十1)=g(x十 与②结合得f(x十2)=f(一x)=一f(x), 1)②， 所以f(x十2)为奇函数，故C错误： 由f(x+2)十g(x+1)=-1,可得 对于D,对于f(x十1)=f(1一x),令x f(x)+g(x-1)=-1,又得f(一2- 1代换x,得到fx)=f(2-x), x)十g(-x-3)=-1, ·389· 参考答案 又因为f(x)=一f(4一x),所以f(2-x) =一f4一x),令2一x代换x,得到 f(x)=-f(2十x),令x-2代换x,得 到f(x一2)=一f(x),所以f(x一2) =f(x十2)，令x十2代换x,得到 f(x)=f(x十4)，即f(x)是周期为4 的函数.故D正确. [答案]AD 第4节 复盘·必备知识必备知识掌握 1.(3)[0,+∞)[0，+∞){y|y≠0} 奇奇在（一∞，0]上单调递减，在 [0,十∞)上单调递增在R上单调递增 在[0，十∞)上单调递增在（一∞，0） 和(0，十∞)上单调递减(1,1) 2.(1)a.x2+b.x+c(a≠0)(m,n) (2)「4ac 4a -,十∞ 4ac-21 -00, Aa b a+） (-∞，-2a] 自主诊断查验思考辨析 (1)×(2)/(3)×(4)×(5)× 小题查验 1.D[设f)=,则20-a=-2. 即f(x)=x2,它是偶函数，单调递增区 间是（一∞，0）.] 2.B[图象①对应的暴函数的幂指数必 然大于1，排除A,D.图象②中幂函数是 偶函数，暴指数必为正偶数，排除C,] 3.C[由题意知∫a>0, 1△0 即∫a>0, 1-20a<0,解得a>20] 4.解析：由已知得，f(0)=c=-4,a,b,c 成等比数列，b2=ac=一4a,a<0, 所以，f(x)=ax2+bx+c有最大值， 最大值为4ac-b2_4ac-ac-3。 Aa 4a 答案：大一3 5.解析：f(x)=x2一x十a图象的对称轴 为直线x=2,且f(1)>0f0)>0, 而f(m)0,∴.n∈(0,1)，.-1< 0,…f(m-1)>0. 答案：> 跃升·关键能力题型1 1.D[因函数y=x的图象关于y轴 对称，于是得函数y=x为偶函数，聊 p为偶数，又函数y=x÷的定义域为 (-∞，0)U(0,+),且在(0，十∞) 上单调递减，则有卫<0，又因，g互 质，则g为奇数，所以只有选项D正确.] ln0.35 2.D[由a-1n0.53 =1og0.530.35> 10g0.530.53=1, ,y=0.352,y=0.53在R上单调递 减，y=x.35在(0，十∞)上单调递增， 0.350.的<0.350.35<0.530.35< 0.53°=1，∴.a>c>b.] 3.B[如图，作直线x=2,y=x I y=x y=x y三x y=x- 0计 142