精品解析：河南省实验中学2025-2026学年（下）期中考试 七年级 数学(B卷 )

2025-2026学年（下）期中考试 七年级 数学（B卷） （时间：100分钟，满分：120分） 一、选择题（本大共10小题，每小题3分，共30分） 1. 中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三顶点的距离相等，凉亭的位置应选在（ ） A. 的三条中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条高所在直线的交点 D. 三边的中垂线的交点 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 只有一个实数根 5. 如图，一次函数与的图象交于点，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 6. 一个正多边形的每个内角都比它相邻的外角的2倍大45°，那么它的边数是（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 7. 下列说法：①真命题的逆命题一定是真命题； ②等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合； ③对角线相等的菱形是正方形； ④用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于”时，首先要假设“这个三角形中有一个内角大于”．其中，正确的说法有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 将线段平移得到线段，点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否>5”为一次程序操作．若输入x后程序操作进行了两次就停止，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，顶点在轴上，点在轴上，点在第一象限，分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧交正方形内一点，将点绕点逆时针每次旋转90°，则第2026次旋转结束时，点对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 方程的根是______． 12. 请写出一个分式使它满足：①只含有字母；②最简分式；③取任意实数，分式有意义，这样的分式可以是_______（只写一个）． 13. 如图，在中，，．点F是中点，连接，把线段沿射线方向平移到，点D在上．则线段在平移过程中扫过区域形成的四边形的周长是______． 14. 如图，边长为1的正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，边与交于点，则阴影部分的面积是_______． 15. 如图，是等边三角形，点在上，，，是射线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转60°，得到线段，连接，．当为直角三角形时，的长为______． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 按要求完成作答 （1）计算：， （2）用公式法解方程：． 17. 如图，在四边形中，，对角线与相交于点，，，垂足分别为，，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，点为中点，，求的长． 18. 【阅读材料】配方法除了可以求解一元二次方程外，在因式分解、求代数式最值等问题中都有广泛应用． 例如：将先利用配方法变形为的形式，再分解因式． 配方： 分解因式： 【解决问题】根据以上材料，解答下列问题： （1）利用配方法把分解因式． （2）代数式的最小值是___________（直接写答案）． （3）若、、分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 19. 小明想在锐角中作一个菱形，使点、、分别在边、、上． （1）经分析，为的________（填“中线”“角平分线”或“高”）； （2）请用无刻度的直尺和圆规作出菱形（保留作图痕迹，不写作法）； （3）若菱形边长为1，，则菱形面积是_______（直接写答案）． 20. 某文具店预测一款新文具很受学生喜欢，先用元购进一批这款文具，面市后果然供不应求，又用元购进这款文具，第二批文具的数量是第一批的倍，但单价比第一批贵元． （1）求第一批文具的进货单价多少元？ （2）若二次购进的文具按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于元，那么销售单价至少为多少元? 21. 定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，，则和都是“和谐分式”． （1）下列式子中，不属于“和谐分式”的是________（填序号）； ①；②；③；④ （2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式（写过程）； （3）应用：若为正整数，且分式值为整数，则_______． 22. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，有线段，点，，均在小正方形的顶点上． （1）将线段绕着点逆时针旋转得到线段（点，的对应点分别为点，），请画出线段； （2）以为对角线画，请画出，若点在格点上，的面积为5，则满足条件的点有_______个； （3）在（2）的条件下，若直线上有两点、，且，连接、，则四边形周长的最小值是__________． 23. 综合探究与应用 （1）【探索发现】 如图1，两个全等的正方形，正方形的一个顶点是正方形对角线的交点，边、分别与边、相交于点，，连接．延长，交于点，通过证明……可得到，，之间的数量关系．在正方形绕点旋转过程中，这种数量关系始终不变，请你猜想，，之间的数量关系是____________． （2）【类比迁移】 如图2，两个全等的矩形，矩形的中心是矩形的一个顶点，边、分别与边、相交于，，连接．在矩形绕点旋转过程中，判断，，之间的数量关系并进行证明； （3）【拓展应用】 如图3，在中，，，，点是边的中点，现有，它的两条边和分别与直线，相交于点，．在绕点旋转过程中，当时，请直接写出线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年（下）期中考试 七年级 数学（B卷） （时间：100分钟，满分：120分） 一、选择题（本大共10小题，每小题3分，共30分） 1. 中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：选项A、B、C中的图案都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形， 选项D中的图案能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形， 故选：D． 2. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键．根据因式分解的定义，对选项逐个分析即可． 【详解】解：，是整式的乘法，不是因式分解，故A选项错误； ，是整式的乘法，不是因式分解，故B选项错误； ，等式右边中的不是整式，不是因式分解，故C选项错误； ，把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，是因式分解，故D选项正确． 故选：D． 3. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三顶点的距离相等，凉亭的位置应选在（ ） A. 的三条中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条高所在直线的交点 D. 三边的中垂线的交点 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，根据线段垂直平分线的判定：与线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上即可确定凉亭位置，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵凉亭到草坪三个顶点的距离相等， ∴凉亭选择三条边的垂直平分线的交点，即凉亭选择三条边的中垂线的交点， 故选：． 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 只有一个实数根 【答案】A 【解析】 【分析】计算一元二次方程根的判别式进而即可求解． 【详解】解： 一元二次方程的根的情况是有两个不相等的实数根， 故选：A. 【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 5. 如图，一次函数与的图象交于点，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】观察函数图象，写出直线在上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：由题意得：不等式表示函数的图象在函数图象上方的部分， 由图可知：该不等式的解集为：． 6. 一个正多边形的每个内角都比它相邻的外角的2倍大45°，那么它的边数是（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】先设出外角度数，根据内角与外角的数量关系列方程求出外角度数，再用外角和除以单个外角得到边数. 【详解】解：设这个正多边形的一个外角为，则相邻内角为， ∵ 正多边形的内角与相邻外角和为， ∴， 解得； ∵任意多边形的外角和为， ∴边数为 ； 因此该正多边形的边数为. 7. 下列说法：①真命题的逆命题一定是真命题； ②等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合； ③对角线相等的菱形是正方形； ④用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于”时，首先要假设“这个三角形中有一个内角大于”．其中，正确的说法有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据逆命题的性质、等腰三角形的性质、正方形的判定、反证法的假设规则，逐个判断命题真假即可. 【详解】解：①真命题的逆命题不一定是真命题，例如“对顶角相等”是真命题，逆命题“相等的角是对顶角”是假命题，故①错误； ②根据等腰三角形三线合一的性质，等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，故②正确； ③菱形的对角线互相垂直平分，若再加上对角线相等，符合正方形的判定条件，因此对角线相等的菱形是正方形，故③正确； ④反证法证明时，需要假设原命题结论不成立，因此证明“三角形中必有一个内角小于或等于”，应假设“这个三角形中每一个内角都大于”，题目中的假设错误，故④错误. 综上，正确的说法共2个. 8. 将线段平移得到线段，点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由点A及其对应点C的坐标得出平移规律，再计算点B对应点D的坐标即可. 【详解】解：∵点的对应点为， ∴平移规律为横坐标加，纵坐标加， ∴点按此规律平移得到点D， ∴点D的横坐标为，纵坐标为， ∴点D的坐标为. 9. 运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否>5”为一次程序操作．若输入x后程序操作进行了两次就停止，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，理解运行程序并列出不等式组是解题的关键． 根据运行程序，第一次运算结果小于等于，第二次运算结果大于列出不等式组，然后求解即可． 【详解】解：根据题意得 解不等式得， 解不等式得， 不等式组的解集为， 的取值范围是， 故选：B． 10. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，顶点在轴上，点在轴上，点在第一象限，分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧交正方形内一点，将点绕点逆时针每次旋转90°，则第2026次旋转结束时，点对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据题意求出点的坐标，再根据旋转的周期性得出第2026次旋转后的位置与第2次旋转后的位置相同，最后利用关于原点对称的点的坐标特征求解即可． 【详解】解：四边形是正方形，， ，轴． 由题意可知，， 是等边三角形． 过点作于点， ． 在中，． 点的横坐标为1，纵坐标为，即． 每次逆时针旋转， 每旋转4次点回到原位，即循环周期为4． ， 第2026次旋转结束时，点对应点的位置与第2次旋转结束时的位置相同． 旋转2次相当于绕原点旋转，即关于原点对称， 点关于原点对称的点的坐标为． ∴第2026次旋转结束时，点对应点的坐标是． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 方程的根是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用平方根解方程即可． 【详解】解：移项，得 开平方，得. 12. 请写出一个分式使它满足：①只含有字母；②最简分式；③取任意实数，分式有意义，这样的分式可以是_______（只写一个）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据最简分式的定义和分式有意义的条件，进行构造即可. 【详解】解：由题意，这样的分式可以为. 13. 如图，在中，，．点F是中点，连接，把线段沿射线方向平移到，点D在上．则线段在平移过程中扫过区域形成的四边形的周长是______． 【答案】16 【解析】 【分析】先论证四边形是平行四边形，再分别求出, 继而用平行四边形的周长公式和面积公式求出即可. 【详解】由平移的性质可知, , ∴四边形是平行四边形， 在中,, ， ∵, 点是的中点, ， ∵， 则是的中位线， ∴, ∴四边形的周长为, 故答案为： . 【点睛】本题主要考查了平移的性质，平行四边形的判定和性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，三角形中位线定理等知识，推到四边形是平行四边形和是的中位线是解决问题的关键. 14. 如图，边长为1的正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，边与交于点，则阴影部分的面积是_______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，证明三点共线，勾股定理求出的长，进而求出的长，利用分割法求出阴影部分的面积即可． 【详解】解：连接， ∵边长为1的正方形绕点C逆时针旋转后得到正方形， ∴， ∴，， ∵， ∴三点共线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴. 15. 如图，是等边三角形，点在上，，，是射线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转60°，得到线段，连接，．当为直角三角形时，的长为______． 【答案】 4或7 【解析】 【分析】根据旋转，得到是等边三角形， 分3种情况进行讨论求解即可. 【详解】解：将线段绕点逆时针旋转， ∴， ∴是等边三角形， ①当时，如图，过点作，交于点． 是等边三角形，是等边三角形，， ，， ∴是等边三角形， ， ，即， ， ， 是的中点， ， ； ②当时，由①，得，则，与矛盾， 此种情况不成立； ③当时， 如图，过点作，交于点． 、是等边三角形，， ，， ∴是等边三角形， ， ，即， ， ， ， ， ， ． 综上所述，的长为或． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 按要求完成作答 （1）计算：， （2）用公式法解方程：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解： ， ， ， 解得． 17. 如图，在四边形中，，对角线与相交于点，，，垂足分别为，，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，点为中点，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）3 【解析】 【分析】（1）先证明，然后根据全等三角形的性质证明即可； （2）先得到四边形是矩形，然后证明为等边三角形，那么可得，再由直角三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 证明：∵，，， ∴ ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：∵平行四边形 ∴ ∵ ∴ ∴四边形是矩形， ∴， ∵点为中点， ∴ ∴ ∴为等边三角形， ∴ ∴ ∵ ∴． 18. 【阅读材料】配方法除了可以求解一元二次方程外，在因式分解、求代数式最值等问题中都有广泛应用． 例如：将先利用配方法变形为的形式，再分解因式． 配方： 分解因式： 【解决问题】根据以上材料，解答下列问题： （1）利用配方法把分解因式． （2）代数式的最小值是___________（直接写答案）． （3）若、、分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2）2 （3）等边三角形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用配方法进行因式分解即可； （2）利用配方法和完全平方的非负性进行求解即可； （3）利用配方法和非负性进行判断即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； ∵， ∴ ； ∴代数式的最小值是2； 【小问3详解】 解：， ， ， ， ∴， ∴， ∴为等边三角形． 19. 小明想在锐角中作一个菱形，使点、、分别在边、、上． （1）经分析，为的________（填“中线”“角平分线”或“高”）； （2）请用无刻度的直尺和圆规作出菱形（保留作图痕迹，不写作法）； （3）若菱形边长为1，，则菱形面积是_______（直接写答案）． 【答案】（1）角平分线 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质对角线平分一组对角即可得平分； （2）结合菱形的判定与性质，先作的平分线，交于点D，再作线段的垂直平分线，分别交，于点E，F，连接，即可； （3）根据菱形边长为1，可得，，即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是菱形， ∴平分，即为的角平分线． 【小问2详解】 解：如图，菱形即为所求． 由作图可知：平分，垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问3详解】 解：设与交于点， ∵四边形是菱形， ∴，平分， ∴，， ∵菱形边长为1， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 20. 某文具店预测一款新文具很受学生喜欢，先用元购进一批这款文具，面市后果然供不应求，又用元购进这款文具，第二批文具的数量是第一批的倍，但单价比第一批贵元． （1）求第一批文具的进货单价多少元？ （2）若二次购进的文具按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于元，那么销售单价至少为多少元? 【答案】（1）元； （2）元． 【解析】 【分析】（）设第一批文具的进货单价为元，则第二批文具的进货单价为元，根据题意列出分式方程即可求解； （）由（）求出两次购进文具的数量，设销售单价为元，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求解； 本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意，正确列出分式方程和一元一次不等式是解题的关键． 【小问1详解】 解：设第一批文具的进货单价为元，则第二批文具的进货单价为元， 由题意可得，， 解得， 经检验是原方程的解， 答：第一批文具的进货单价为元； 【小问2详解】 解：由（）可得，第一批文具的数量为件，第二批文具的数量为件， 设销售单价为元， 由题意可得，， 解得， 答：销售单价至少为元． 21. 定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，，则和都是“和谐分式”． （1）下列式子中，不属于“和谐分式”的是________（填序号）； ①；②；③；④ （2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式（写过程）； （3）应用：若为正整数，且分式值为整数，则_______． 【答案】（1）② （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据“和谐分式”的定义进行判断即可； （2）由化简解答即可； （3）先将分式化为，根据为正整数，且分式值为整数，得到，即可得出结果． 【小问1详解】 解：①，是“和谐分式”； ②是整式，不是“和谐分式”； ③，是“和谐分式”； ④，是“和谐分式”； 【小问2详解】 解：． 【小问3详解】 解：， ∵为正整数，且分式值为整数， ∴是整数， ∴， ∴． 22. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，有线段，点，，均在小正方形的顶点上． （1）将线段绕着点逆时针旋转得到线段（点，的对应点分别为点，），请画出线段； （2）以为对角线画，请画出，若点在格点上，的面积为5，则满足条件的点有_______个； （3）在（2）的条件下，若直线上有两点、，且，连接、，则四边形周长的最小值是__________． 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析，10 （3） 【解析】 【分析】（1）根据旋转三要素，画出线段即可； （2）利用平移构造，构造面积为5的直角三角形，根据平行面积转化，确定点的个数即可； （3）将向上平移4个单位长度，得到，易得，作关于的对称点，则，根据四边形的周长，得到当最小时，四边形的周长最小，当三点共线时，最小，利用勾股定理进行求解即可. 【小问1详解】 解：如图，线段即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 由勾股定理可知：，， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为； 根据平行面积转化，由图，满足条件的点有10个； 【小问3详解】 解：将向上平移4个单位长度，得到，则，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 作关于的对称点，则， ∴四边形的周长， ∴当最小时，四边形的周长最小， ∴当三点共线时，最小， ∴四边形周长的最小值是. 23. 综合探究与应用 （1）【探索发现】 如图1，两个全等的正方形，正方形的一个顶点是正方形对角线的交点，边、分别与边、相交于点，，连接．延长，交于点，通过证明……可得到，，之间的数量关系．在正方形绕点旋转过程中，这种数量关系始终不变，请你猜想，，之间的数量关系是____________． （2）【类比迁移】 如图2，两个全等的矩形，矩形的中心是矩形的一个顶点，边、分别与边、相交于，，连接．在矩形绕点旋转过程中，判断，，之间的数量关系并进行证明； （3）【拓展应用】 如图3，在中，，，，点是边的中点，现有，它的两条边和分别与直线，相交于点，．在绕点旋转过程中，当时，请直接写出线段的长度． 【答案】（1） （2），证明见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）①先证明，可得，推出，再运用勾股定理即可证得结论；②延长交于，由正方形的性质可得，，再利用可证得； （2）延长交于，连接，可证得，得出，，再由线段垂直平分线的性质可得，再运用勾股定理即可得出答案； （3）设，分两种情况讨论：当点在线段上时；当点在的延长线上时，结合勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 解：猜想：，理由如下： 如图： ∵四边形和四边形均为正方形， ∴，，，， ∴，即， ∴， ∴， ∴，即， 在中，， ∴； 【小问2详解】 解：， 证明：如图，延长交于，连接， ∵是矩形的中心， ∴点是的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，即， ∴垂直平分， ∴， 在中，， ∴； 【小问3详解】 解：设， 当点在线段上时，连接， ∵，，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 由（2）可得， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴此时线段的长度为； 当点在延长线上时，作，交的延长线于，连接、， 同理可得：， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴此时线段的长度为， 综上所述，线段的长度为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $