甘肃酒泉市敦煌中学等校2026届高考全真模拟数学试卷

高考全真模拟卷 数学 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在 本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.一组数据1,6,4，x,9的平均数为5，则该组数据的第40百分位数为 A.4 B.4.5 C.5 D.5.5 2.已知集合A={x|2x+1|≤7}，B={x|x≤5，x∈N},则A∩B= A.1,2,3} B.{-1,0,1,2} C.{1,2,3,4} D.{0,1,2,3} 3.已知：是复数x的共轭复数，若(1一2i)z=2-i,则z十z= A号 D 5 4.我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容 异”，意思是两个等高的几何体，如果在同高处的截面积都相等，那么这两个几何体的体积 相等.已知一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为3的正四棱台与一个不规则几何体 满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为 A.7 B.10 C.7π D.10元 5.设a=log2,b=log64,c=log6,则a,b,c的大小关系为 A.c<b<a B.a<b<c C.b<a<c D.a<c<b 6设mn是两条直线，a,B是两个平面，下列说法错误的是 A.若a∥B,mCa,则m∥B B.若m⊥aa⊥B,则m∥B C.若anB=m,n∥a,n∥B,则m∥n D.若m⊥a,n⊥B,a⊥B,则m⊥n 第1页（共4页） 7,在△ABC中，MB=2AC=4,∠BAC=60,若Ad=合，酝=号c,AE,CD相交于 点0，则A0·AC= 号 B.3 c号 8 &已知函数)=a1+hx)十2在z=1处取得授值2，则了：)在1，间]的最大值为 A.4 B.2 C.2> e D.2+ e 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.从甲口袋内换出1个白球的概率是兮，从乙口袋内摸出1个白球的概率是，若从两个口 袋内各摸出一个球，则下列说法正确的是 A2个球都是白球的概率为后 B,2个球都不是白球的概率为号 C2个球不都是白球的概率为号 D.2个球恰好有一个球是白球的概率为 10.已知函数fx)=os一}w>0)的最小正周期为x,则 A.w=2 Cf:)的图象关于点（爱0对称 D:)在[0，]上的最小值为-号 1.已知双曲线C菁若=16>0)的左，右焦点分别为F,FR,过点F,作双曲线C的- 条渐近线的垂线l,垂足为点H.直线L与双曲线C的右支相交于点P,若cos∠F1PF,= 号则 A.IOH=2 B.|PF2|=4 C双曲线C的高近线方程是y=士： D.四边形OF,PH的面积为15 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在研究两个变量的相关关系时，观察散点图发现样本点集中于某一条指数曲线y=+“的周 围.令x=ny,求得经验回归方程为x=0.25.x一2.58，则该模型的经验回归方程为 13.在数列{an}中，a1=1,a.=(n十2)am+1,记数列{a.}的前n项和为Sn,则S26= 第2页（共4页） 14.已知点A,B分别是直线3x+4y+5=0和圆x十y2=1上的动点，P(2,2),则 PA+PB|的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)某高科技制造企业致力于智能生产线的研发与应用，以提升关键精密元件的产 品质量.原有甲生产线采用传统自动化技术，而新投人使用的乙生产线引入了基于物联 网和大数据分析的智能调控系统，实现了生产参数的实时优化.为评估技术创新对产品 质量的影响，质检部门从甲、乙两条生产线生产的同种产品中各随机抽取100件进行检 测，得到如下列联表： 优等品 非优等品 合计 甲生产线 65 35 100 乙生产线 90 10 100 合计 155 45 200 (1)根据小概率值α=0.001的独立性检验，判断产品的质量是否与生产线有关 (2)以样本估计总体，以频率估计概率已知甲、乙两条生产线的产品数量之比为2：3，若 从混合产品中随机抽取3件，记这3件产品中优等品的件数为X,求X的分布列和数学 期望. n(ad-bc)2 附X2= a+b)(c+d)(a+c)(6+d其中n=a+b+c+d. 0.100 0.010 0.001 I. 2.706 6.635 10.828 16(15分)已知数列1a.的首项a1=号，且满是a1一。 2a 正明：数列侣-为等比数列，求数列a,的通项公式 (2)设c.=”,求数列{c.}的前n项和T a. 第3页（共4页） 17.(15分)如图，在四棱锥P一ABCD中，PA⊥平面ABCD,AD∥BC,AB⊥AD,PA= 2,AB=23,BC=2,AD=4,M是PD的中点. (1)证明：CM∥平面PAB. (2)求平面PAB与平面PCD所成角的余弦值 (③)在线段BD上是否存在点Q,使得点D到平面PAQ的距高为百！若存在，求曲 品的值：若不存在，请说男理面 18.(17分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P是抛物线C上任意一点，|PF|的 最小值为2. (1)求抛物线C的方程. (2)直线l过定点T(t,0)(其中t>0,t≠2)与抛物线C相交于A,B两点（点A位于第 一象限) ①若OA⊥OB,求证：t=8; ②如图，连接AF,BF,并延长交抛物线C于A1,B1两点，设△ABF和△A,B,F的面积 分别为5，和S求S2 19.(17分)已知函数f(x)=ax3+3sinx-x,其导函数为f'(x). (1)当a=1时，求函数f'(x)的值域； (2)当x∈[0，π]时，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围. 第4页（共4页）高考全真模拟卷 数学参考答案及评分意见 1.B【解析1由题意，得+6+4+x+9-5,解得工=5，将数据从小到大排列为14,56,9. 5 因为5X40%=2,所以第40百分位数为4十5=45.故选B. 2.D【解析】由|2x+1≤7，得-7≤2x+1≤7，解得-4≤x≤3，即A={x|-4≤x≤3}. 又B={xx≤5，x∈N}={0,1,2,3,4,5},所以A∩B={0,1,2,3}.故选D 3C熊折们抽1-0-2i,得8=清-得0得牛品=号+所以-台-含则十-故选C 4.A【解析】因为正四棱台的上底面边长为1，下底面边长为2，所以上底面面积S上=12=1，下底面面积S下= 22=4.因为正四棱台的高h=3,所以正四棱台的体积V= 3×3X(1+4+1×4)=1×(5+2)=7.故选A 5B【折1因为6格5格。3g。 -1g2+lg3)2-2g2×21g3_(1g2-1g3)2 21g3X4g2+1g3)21g3×(1g2+1g3)>0,所以c>b. 因为6。贤器提号5号如X8》0报器0 1g3×(1g2+lg3) 所以b>a,即a<b<c.故选B. 6.B【解析】对于A,若a∥3，mCa,则m∥3，故A正确. 对于B,若m⊥a,a⊥B,则m∥B或mCB,故B错误。 对于C,因为n∥a,所以存在直线lCa,使得n∥l. 又因为n∥β，所以l∥B或1Cβ. 当l∥B时，因为a∩B=m,lCa,所以由线面平行性质定理得m∥l, 所以由平行传递性，得m∥n. 当lCB时，因为lCa,a∩B=m,所以直线l与直线m重合，故m∥n. 综上，若a∩B=m,n∥a,n∥g,则m∥n,故C正确。 对于D,因为m⊥a,a⊥B,所以m∥B或mCβ. 当m∥B时，存在直线lCB,使得m∥l.又因为n⊥B,所以n⊥l,则m⊥n. 当mC3时，因为n⊥3，所以m⊥n. 综上，若m⊥a,n⊥B,a⊥B,则m⊥n,故D正确.故选B. 7.C【解析】如图，A正-AC+C正-AC+号C店-AC-号BC-AC-子(AC-A)=子AC+子A, 因为Ad与正共线，设Ad-AA应，侧Ad=号4C+台A. 同理，因为C0与CD共线，设C0=μCD: 数学答案第1页（共7页） 又因为CD=AD-Ad=2Ai-AC,所以Cd=A店-uAC, 又因为Ad=AC+Cd=AC+5A店-uAC=(1-)AC+5A店， 入 1-= 3 A=3 1 所以 解得{ 所以d=1-)AC+兮A店-C+号】 3, =5 所以6.AC-(号AC+号A·AC=号AC:+号A店.AC 又因为A店.AC-|A店|ACc0s∠BAC=4X2Xcos60°=4X2X号=4， 所以ad·A花-号A+A店·A心=号×2+号×4-号故选C &D【解析1因为f)=a1+1n)+2>0,所以f'x)=a·士-会 1 b ax-b x2 因为f(x)在x=1处取得极值2， f(1)=2,.1a+b=2, ,a=1, 所以 则 。解得，所以f'(x)=x f'(1)=0,a-b=0,b=1, 当x>1时，f'(x)>0,所以函数f(x)在(1，十∞)上单调递增， 当0<x<1时，f'(x)<0,所以函数f(x)在(0,1)上单调递减. 所以f(x)在x=1处取得极值， 当x∈[1，©]时，f(x)单调递增，所以f(x)=f(e)=1+1+1=2+上.故选D. 9.ACD【解析】设事件A表示从甲口袋内摸出1个白球，事件B表示从乙口袋内摸出1个白球. 对于A,PAB)=PA)·P(B)=了×2-石，放A正确， 对于B,P(AB)=1-P(A]·1-P(B]=(1-)×1-)=3,放B错误： 对于C1-P(AB)=1-日-，放C正确， 对于D,PB)+P(AB)=P(A)·P(B)+P(A)·(B)=(-)×号+号×1-)-名放D正疏.放 选ACD. 10,ACD【解折】对于A,因为函数fx)的最小正周期为元-2，所以u=2.故f(x)=c0s2x-),放A正确， C) 对于B,f）-or2x)-ox-）-o子立故B错误 π1 对于c,f}-o2×5）-eos-0,改函数f)的图象关于点0对称，故c正确 对FD.当∈0引时2江音[所以oax引[ 数学答案第2页（共7页） 当x=登时，1)在[0，]上取得最小值，为-2故D正确故选ACD 11.AD【解析】由双曲线的对称性，不妨设点H在第二象限，如图. 对于A,因为H是过点F1作双曲线C的一条渐近线的垂线1的垂足， 所以商近线方程为y=名，即x十ay=0.因为P,(一c,0,所以R,H1= VoFa-c=6. 所以|OH|=√TF1O2-F1Hz=√c2-b2=a=2,故A正确. JQF:l_IF:F:l-2, 对于B,如图，过点F,作F,Q⊥F,P,则△HFOn△QFF所以OH=OF, 所以|QF2=2OH|=4. 又因为c∠RPF:=,∠F,PF,∈0，m 所以sin∠F,PF,=-coZF.PF,-专 又因为sin/F,PF,=所以PF,=5,放B错误. 对于C,由B知，PF2|=5,因为|PF1|-|PF2|=2a=4,所以PF1|=|PF2|+4=9. 在△F1PF2中，|F1F2|2=|PF1I2+|PF212-2|PF1I|PF2cos∠F1PF2, 所以(2c)2=4c2=81+25-2×9X5×号=52，解得c2=13.又因为6：=c-a2=13-4=9,所以6=3. 所以双曲线C的渐近线方程是)-±》，放C错误 对于D,四边形OF,PH的面积为S,-SAoa=2PF,PF,sin∠RF,PF,-名HF,HO =2×9X5×号×2X8=18-3=15,放D正确放选AD, 12.y=e.25x-2.58【解析】因为之=0.25x-2.58,之=lny,所以y=e0.25x-2.58 13.4052 2027 【解析】na,=(n十2)a+1,a1=1,a,>0,.a:+1=” an n+2" 当n≥2时，8-a2×03×…Xa。=1X2X…X(n-1) 2 al a1 a2 am-13×4X…Xn(n十1)n(n十1) 又7a:-1n4D2-)a,-1%合上式a,-2日》 s.=a+a+…+-2-+2合-)++（日n+)=4-n)n0 2×20264052 S2026=2026+12027 .28 14.6 【解析】设AB的中点为M,则PA+PB=2PM,所以PA+PB|=2PM. 5 因为点B在圆x2+y2=1上，圆心O(0,0),半径r=1,圆心O到直线3x+4y+5=0的距离为 =1, 32+4 数学答案第3页（共7页） 所以直线3x+4y十5=0与圆x2+y2=1相切. 所以点M的轨迹是3x十4y十5=0和3x十4y=0两条平行线所夹的区域. 点P(2,2)到该区域的最小距离为点P(2,2)到直线3x十4y=0的距离， 设点P到直线3x十4y=0的距离为d,则d=3X2+4×21_14 √32+425 所以Ps- 又因为Pi+店=2，所以Pi+店=2×4-器综上，P+店的最小值为 15.解：(1)零假设H。:产品的质量与生产线无关. 2X=20X(65X10-35X902-5,00≈17.921>10.828， 100×100×155×45279 …3分 根据a=0.001的独立性检验，拒绝零假设H。, 并认为产品的质量与生产线有关.……4分 (②)甲生产线优等品概率为部一品乙生产线优等品概率为 909 10010 …6分 因为在混合产品中，甲，乙生产线牛产的产品数量比为2：3，所以甲生产线牛产的产品占比为号，乙生产线生产 的产品占比为多 所以位体优等品率为号×+×-号 4 ………8分 由题意得，X~B3,号)X=01,23. PX=2)=c×()×-)-Px=-(信)-0 10分 所以X的分布列为 X 0 1 2 1 12 48 64 125 125 125 125 X的数学期望E(X)=3×4=12 5=5 …13分 2 16.解：(1)因为a1=3a+1= 所以，1-2-+2×士则-1=×.- an+i 2an 22 an ……3分 an+l 因为a1=号所以1= a 数学答案第4页（共7页） 行以数列石一1是首项和公比均为亏的等比数列.………- …5分 所以 …7分 n =2,所以a.=20+1 工所以一十1，所以c”==。十.· …9分 an 2n 所以T.=6+:十e+…+,=号+1+景+2+是+3+…++ 3 2+2+2十…+2+n2十n 1,2,3 2 ……12分 设名+++…+会期P.+++ 1,2,3 2n+， 11,1 1 n n+2 两式相减得2P。=2十2十2十+2一2=1 2+7,所以P.=2-n+2 2n …14分 所以T.=2-,+2+n十n 2 2 15分 17.(1)证明：如图，取AP的中点E,连接ME 因为M是PD的中点，所以ME∥AD,ME= 2月D…… …1分 又因为BC/AD且BC=2AD,所以ME/BC,ME=BC, …2分 所以四边形BCME是平行四边形，所以CM∥BE.…3分 因为CM寸平面PAB,BEC平面PAB,所以CM∥平面PAB.…5分 (2)解：由题意，PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,则AP,AB,AD两两互相垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz. 24 D 又因为PA=2,AB=25,BC=2,AD=4, 所以P(0,0,2),B(2√3,0,0)，D(0,4,0),C(23,2,0).…7分 平面PAB的一个法向量为n1=(0,1,0).…8分 数学答案第5页（共7页） 设平面PCD的法向量为n2=(x,y,z),因为PC=(2√3,2，一2)，PD=(0,4,一2)， n2·P元-3x十y-之=0 所以 令y=1,则n2= 31,2 …9分 n2·PD=2y-z=0, 设平面PAB与平面PCD所成的角为0， cos 0-1cos< n1·n2 1 √3 1 4, √3+1+4 所以平面PAB与平面PCD所成角的余弦值为 ……10分 （9)解：设88-且03<1，A店-25,00)，B时-(-25,4.0. 则B0=入BD,AQ=AB+λBD=(2W3-23入，4λ，0)，Ap=(0,0,2).…11分 设平面PAQ的法向量为n3=(xo,yo,之)， n3·AQ=2√3(1-λ)x0+4λyo=0, 则 令yo=1,所以n3= 2入1,0 3(a-1)’10 …13分 n3·AP-2zo=0, 又因为点D到平面PAQ的距离为，P元=0,4，-2). 所以n,·PD 4 1n3 4λ2 4耳，即以=1-X0,解得- √3(1-)2+1 所以存在点Q,使得点D到平面PAQ的距离为，此时8号 BD2· …15分 18.1)解：设P()≥0，则1PF=x十名≥台当且仅当=0时，等号度立。 由题意，得号=2，解得力=4，…4分 2 所以抛物线C的方程为y2=8x,…5分 (2)①证明：由题意，直线l与x轴不重合，设直线1的方程为x=my十t,A(x1,y1),B(x2,y2). (x=my+t, 联立直线1与抛物线C的方程，得 y2=8x, 消去x并整理，得y2-8my一8t=0,所以y1y2=一8t.…7分 则OA·OB=(x1,y1)·(x2y2)=x1x2十y1y2= .yy= y1y2)2 8 8 64 +y1y2=t2-8t=0, 獬得t=8.…10分 数学答案第6页（共7页） ②解：由①y1y2=-8t,设A1(x3,y3),B1(x4,y4),直线A1A的方程为x=ny十2， 联立直线A:A与抛物线C的方程，得=y十2， 消去x并整理，得y2-8y-16=0. y2=8x, 所以+=80y=-16,则y=6,同理得y=1 ，…………………………14分 y1 y2 所以= 2 AF∠AFB AFBFI Iyx2yiyt2 AFB1F可1y4T=256=4 ……17分 S,A,FB,Psin∠AFB, 19.解：(1)当a=1时，f(x)=x3+3sinx-x,x∈R,则f'(x)=3x2+3cosx-1. 令g(x)=f'(x),则g'(x)=6x-3sinx=3X(2x一sinx).…3分 令h(x)=2x-sinx,则h'(x)=2-cosx>0, 所以h(x)在R上单调递增，且h(0)=0.…5分 所以x>0时，A(x)=弓g'(x)>0,所以g()=了'(x)在0，十)上单调递增： 当z<0时，A()-日8(2)<0，所以gx)-(x)在(-0,0上单调递减 所以f'(x)in=f'(0)=2,所以f'(x)的值域为[2，十o∞).… …8分 (2)当x=0时，f(0)=0,则f(x)≥0恒成立，所以a∈R. 当x>0时，由f(x)≥0，得a≥x-3sin之. 10分 令F(x)=-3sinz,则F'(r)=9sinx-2x-3 cOs G(x)=9sin x-2x-3x cos x,G'(x)=3xsin x+6cos x-2. H(x)=3xsin x+6cos -2,H'(x)=3xcos x-3sin x. 令K(x)=3 xcos x-3sinx,则K'(x)=-3 xsin x.…12分 ①当0<x≤π时，K'(x)=一xsix≤0，当且仅当x=π时，等号成立，故K(x)在(0，π]上单调递减， 又K(0)=0,所以H'(x)=K(x)<K(0)=0,故H(x)在(0，π]上单调递减. 因为H(0)=4>0,H(π)=-8<0， 所以存在xo∈(0，π)，使得G'(xo)=H(xo)=0. 所以G(x)在(0，xo)上单调递增，在(xo,π)上单调递减. …15分 由于G(0)=0,G(x)=π，于是当x∈(0，元]时，G(x)>0,此时F'(x)>0, 所以F(x)在(O,]上单调递增，F(x)在(0，]上的最大值为F()=京， 所以a之京： 1 综上，实数a的取值范围是 …17分 数学答案第7页（共7页）