精品解析：2026年湖南省长沙市雨花区九年级会考科目适应性考试数学试卷

2026年初中会考科目适应性考试 九年级数学 注意事项： 1、答题前，请考生先将自己的姓名、考号填写清楚，并认真核对答题卡的姓名、考号、考室和座位号； 2、必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3、答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4、请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5、答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6、本试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各数中小于0的是（ ） A. B. C. D. 2. 我国在量子通信领域整体处于国际领先地位．在量子通信中，某设备能处理的数据量为每秒比特，若持续工作100秒，总处理数据量约为（单位：比特）（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. “费尔兹奖”是数学领域的国际最高奖项之一，被誉为“数学界的诺贝尔奖”，每四年颁发一次．截止到2022年“费尔兹奖”得主中最年轻的8位数学家获奖时的年龄分别为29，28，29，31，31，31，29，31，则这组数据的中位数是（ ） A. 28 B. 29 C. 30 D. 31 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知直线，现将含角的直角三角板放入平行线之间，两个锐角顶点B、C分别落在直线a、b上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一次函数与的图象交于点P．下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 当时， 8. 某校举行“垃圾分类”知识竞赛，共20道题，答对一题得5分，答错或不答扣2分．若小明得分不低于86分，则他答对的题数至少有（ ） A. 19 B. 18 C. 17 D. 16 9. 如图，，是的切线，A，C为切点，若是的直径，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点I为的内心，，，，将平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 有8张卡片，上面分别写着数1，2，3，4，5，6，7，8．从中随机抽取1张，该卡片上的数是4的整数倍的概率是__________ 12. 分解因式：=______． 13. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，且，则__________ 14. 如图，抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于点，M点在抛物线的对称轴上，当周长最小时，点M的坐标为__________ 15. 1号、2号、3号、4号运动员取得了运动会800米赛跑的前四名．小记者来采访他们各自的名次时，1号运动员说：“3号在我前面冲向终点”．另一个得第3名的运动员说：“1号运动员不是第4名”．小裁判员：“他们的号码与各自的名次都不相同”．则3号运动员是第__________名． 16. 如图，在中，，相交于点， ，．过点作，垂足为，则的值等于__________ 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在中，，以点C为圆心，线段的长为半径画弧，交线段于点D；以点D为圆心，线段的长为半径画弧，恰好经过点A．求证：． 20. 某校开展“青赴绿意，大美湖湘”环保实践活动，聆听圭塘河从“龙须沟”到“幸福河”的蜕变历程．活动结束后，在初三年级随机抽取了部分学生，就“对圭塘河治理情况的了解程度”进行问卷调查，问卷有以下四个选项：A．非常了解；B．比较了解；C．了解较少；D．不太了解（每名被调查的学生必选且只能选择一项）现将调查的结果绘制成下面有待完成的条形统计图和扇形统计图． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）被抽取的学生共有多少人？图中p的值是多少？ （2）请补全条形图； （3）扇形图中的选项“D．不太了解”部分所占扇形的圆心角的大小为多少？ （4）若该校初三年级共有1200名学生，请你根据上述调查结果，估计该校初三年级学生对圭塘河治理情况“非常了解”和“比较了解”的学生共有多少名？ 21. 2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武BOT》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台型机器人、3台型机器人，共需260万元；若买3台型机器人、2台型机器人，共需360万元． （1）求、两种型号智能机器人的单价． （2）该企业现计划采购型和型机器人共15台，且总费用不超过1000万元．最多能买型机器人多少台？ 22. 小刘与小王相约到岳麓山旅游风景区登山，需要登顶高的山峰，由山底A处先步行到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处，已知点A、B、D、E、F在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（如图所示）． （1）求登山缆车上升的高度； （2）若步行速度为，缆车的速度为，求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟（换乘登山缆车的时间忽略不计，结果精确到）？ （参考数据：） 23. 如图，E是正方形的边的中点，将该正方形沿折叠，点C落在处，分别与、、相切，切点分别为F、G、H． （1）求证：； （2）若正方形的边长是，求图中阴影部分的面积． 24. 在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是其横坐标的倍，我们称这个点为“双倍点”，例如就是“双倍点”．若二次函数图象的顶点为“双倍点”，则我们称这个二次函数为“双倍二次函数”，例如二次函数就是“双倍二次函数”． （1）求直线上的“双倍点”的坐标； （2）反比例函数图象上否存在“双倍点”？如存在，求出其坐标；如不存在，说明理由； （3）已知二次函数（，是常数）是“双倍二次函数”，且函数图象与轴的交点是“双倍点”，求二次函数的解析式； （4）若“双倍二次函数”（，是常数）的图象过除顶点外的另一个“双倍点”，并当时，函数最小值为，求的值． 25. 在中，，D是上一点，，垂足为点E． （1）如图1，，求的度数； （2）如图2，，F是的中点，，猜想与的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，，，F是上一动点，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中会考科目适应性考试 九年级数学 注意事项： 1、答题前，请考生先将自己的姓名、考号填写清楚，并认真核对答题卡的姓名、考号、考室和座位号； 2、必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3、答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4、请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5、答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6、本试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各数中小于0的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据相反数、绝对值、立方根、乘方的运算法则化简每个选项，再将化简结果和0比较大小，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴A不符合要求． ∵，， ∴B不符合要求． ∵，， ∴C符合要求． ∵，， ∴D不符合要求． 2. 我国在量子通信领域整体处于国际领先地位．在量子通信中，某设备能处理的数据量为每秒比特，若持续工作100秒，总处理数据量约为（单位：比特）（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用“总处理数据量=每秒处理数据量×工作时间”列式，再根据同底数幂的乘法法则计算得到结果． 【详解】解：由题意可知，总处理数据量等于每秒处理数据量乘工作时间， ∵每秒处理数据量为比特，工作时间为秒，且， ∴总处理数据量为． 3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意． 4. “费尔兹奖”是数学领域的国际最高奖项之一，被誉为“数学界的诺贝尔奖”，每四年颁发一次．截止到2022年“费尔兹奖”得主中最年轻的8位数学家获奖时的年龄分别为29，28，29，31，31，31，29，31，则这组数据的中位数是（ ） A. 28 B. 29 C. 30 D. 31 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数的定义，解题的关键是熟练掌握中位数的定义． 利用中位数的定义进行求解即可． 【详解】解：把数据从小到大排列，中位数是第4位和第5位的平均数为． 故选：C． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：选项A：与不是同类项，不能合并，∴A错误； 选项B：，∴B正确； 选项C：，∴C错误； 选项D：，∴D错误． 6. 如图，已知直线，现将含角的直角三角板放入平行线之间，两个锐角顶点B、C分别落在直线a、b上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件得出，根据两直线平行，内错角相等即可得出答案． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴． 7. 如图，一次函数与的图象交于点P．下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数的图象和性质进行判断即可． 【详解】解：由图象可知一次函数的图象经过一、二、四象限，则， 由图象可知一次函数的图象经过一、二、三象限，则， ∴，，故A、B正确； 由函数图象可知：一次函数与的图象交于点P，且点P的横坐标为1， ∴，故C正确； 根据图象可知，当时，，故D错误． 8. 某校举行“垃圾分类”知识竞赛，共20道题，答对一题得5分，答错或不答扣2分．若小明得分不低于86分，则他答对的题数至少有（ ） A. 19 B. 18 C. 17 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】设出答对题数，根据得分规则和得分要求列出不等式，求解后取最小整数得到结果． 【详解】解：设小明答对的题数为，则答错或不答的题数为． ∵答对一题得5分，答错或不答扣2分，小明得分不低于86分， ∴列不等式得： 展开整理得： 解得： ∴小明答对的题数至少为18． 9. 如图，，是的切线，A，C为切点，若是的直径，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，等腰三角形的性质等；连接，由切线的性质得，根据四边形的内角和可求出，再由等腰三角形的性质得，即可求解． 【详解】解：连接， ∵，是的切线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 10. 如图，点I为的内心，，，，将平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】连接，因为三角形的内心是角平分线的交点，所以是的平分线，由平行的性质和等角对等边可得：，同理，所以图中阴影部分的周长就是边的长． 【详解】解：如图，连接， 点I为的内心， 是的平分线， ， 由平移得：， ， ， ， 同理可得， ， 即图中阴影部分的周长为6． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 有8张卡片，上面分别写着数1，2，3，4，5，6，7，8．从中随机抽取1张，该卡片上的数是4的整数倍的概率是__________ 【答案】## 【解析】 【分析】此题主要考查了概率公式，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：随机事件A的概率事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数． 先找出4的整数倍的个数，再根据概率公式可得答案． 【详解】一共有8张卡片，其中是4的整数倍的有2张， ∴从中随机抽取1张，该卡片上的数是4的整数倍的概率是． 故答案为：． 12. 分解因式：=______． 【答案】x（x+2）（x﹣2） 【解析】 【分析】先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可． 【详解】解： = =x（x+2）（x﹣2）． 故答案为：x（x+2）（x﹣2）． 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，掌握a2-b2=（a+b）（a-b）是解题的关键． 13. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，且，则__________ 【答案】4 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和的表达式，结合已知条件构造关于的方程，求解即可得到的值． 【详解】解：已知一元二次方程 ，其中二次项系数，一次项系数， 根据根与系数的关系，可得：， ∵， ∴， 解得：， 验证判别式 ，原方程恒有两个不相等的实数根，符合题意． 14. 如图，抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于点，M点在抛物线的对称轴上，当周长最小时，点M的坐标为__________ 【答案】 【解析】 【分析】连接，由点M在对称轴上，根据对称性可得，根据两点间线段最短可得，确定当点M在上时，最小，利用待定系数法求出的解析式，再求抛物线对称轴与的交点M的坐标即可． 【详解】解：连接， ∵点M在对称轴上， ∴， ∴， ∴当点M在上时，的最小值，此时的周长最小， ∵点， 设解析式为，把点A、C的坐标代入得：， 解得， ∴解析式为， 当时， 则点． 15. 1号、2号、3号、4号运动员取得了运动会800米赛跑的前四名．小记者来采访他们各自的名次时，1号运动员说：“3号在我前面冲向终点”．另一个得第3名的运动员说：“1号运动员不是第4名”．小裁判员：“他们的号码与各自的名次都不相同”．则3号运动员是第__________名． 【答案】1##一 【解析】 【详解】解：因为他们的号码与各自的名次都不相同， 所以1号运动员不是第1名， 因为得第3名的运动员说：“1号运动员不是第4名”， 所以1号运动员不是第3名，也不是第4名， 因为1号运动员说：“3号在我前面冲向终点”， 所以1号运动员不是第2名，3号运动员是第1名． 16. 如图，在中，，相交于点， ，．过点作，垂足为，则的值等于__________ 【答案】1 【解析】 【分析】作交的延长线于，由平行四边形的性质可得，，证明，设长为，长为，得出，表示出，，由勾股定理得出，即可得解． 【详解】解：如图，作交的延长线于， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 设长为，长为， ∴， ∵， ∴，， ∵，，，， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先按 “特殊运算优先” 的原则，分别算出乘方、绝对值、三角函数、零次幂的值，再算乘法，最后算加减即可， 【详解】解：原式 ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解：原式， 当时，原式． 19. 如图，在中，，以点C为圆心，线段的长为半径画弧，交线段于点D；以点D为圆心，线段的长为半径画弧，恰好经过点A．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】由作法得，则，由三角形外角的性质和等边对等角可得，进一步可证明，再由，即可证明． 【详解】证明：由作法得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 20. 某校开展“青赴绿意，大美湖湘”环保实践活动，聆听圭塘河从“龙须沟”到“幸福河”的蜕变历程．活动结束后，在初三年级随机抽取了部分学生，就“对圭塘河治理情况的了解程度”进行问卷调查，问卷有以下四个选项：A．非常了解；B．比较了解；C．了解较少；D．不太了解（每名被调查的学生必选且只能选择一项）现将调查的结果绘制成下面有待完成的条形统计图和扇形统计图． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）被抽取的学生共有多少人？图中p的值是多少？ （2）请补全条形图； （3）扇形图中的选项“D．不太了解”部分所占扇形的圆心角的大小为多少？ （4）若该校初三年级共有1200名学生，请你根据上述调查结果，估计该校初三年级学生对圭塘河治理情况“非常了解”和“比较了解”的学生共有多少名？ 【答案】（1）人， （2）见解析 （3） （4）名 【解析】 【分析】（1）通过条形图和扇形图“比较了解”的情况，求抽查学生数，进而用A的人数除以总数乘以可求p的值； （2）先计算了解较少的学生数，再补全条形统计图； （3）用乘以选项D对应的百分比即可得出答案； （4）用总人数乘以“非常了解”和“比较了解”的学生所占比例即可． 【小问1详解】 解：从条形图知“比较了解”的有40名，从扇形图知“比较了解”占， 所以抽查的学生数为：（人）； ∵， ∴； 【小问2详解】 解：（名）； 补全条形图如下： 【小问3详解】 解：扇形图中的选项“D．不太了解”部分所占扇形的圆心角的大小为； 【小问4详解】 解：“非常了解”和“比较了解”的学生占抽查学生数的百分比为：， ∴该校初三年级学生对圭塘河治理情况“非常了解”和“比较了解”的学生共有（名）． 21. 2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武BOT》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台型机器人、3台型机器人，共需260万元；若买3台型机器人、2台型机器人，共需360万元． （1）求、两种型号智能机器人的单价． （2）该企业现计划采购型和型机器人共15台，且总费用不超过1000万元．最多能买型机器人多少台？ 【答案】（1）种型号智能机器人的单价为80万元，种型号智能机器人的单价为万元 （2）最多能买型机器人台 【解析】 【分析】（1）设、两种型号智能机器人的单价分别为万元，万元，根据题意列出方程组即可得到答案； （2）设最多能买型机器人台，则最多能买型机器人台，根据题意列出不等式，即可得到答案． 【小问1详解】 解：设、两种型号智能机器人的单价分别为万元，万元， 由题意得，， 解得， 答：种型号智能机器人的单价为80万元，种型号智能机器人的单价为万元； 【小问2详解】 解：设最多能买型机器人台，则最多能买型机器人台， 由题意得，， 解得，， 答：最多能买型机器人台． 22. 小刘与小王相约到岳麓山旅游风景区登山，需要登顶高的山峰，由山底A处先步行到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处，已知点A、B、D、E、F在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（如图所示）． （1）求登山缆车上升的高度； （2）若步行速度为，缆车的速度为，求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟（换乘登山缆车的时间忽略不计，结果精确到）？ （参考数据：） 【答案】（1）登山缆车上升的高度DE为 （2）从山底A处到达山顶D处大约需要 【解析】 【分析】（1）过点B作于点M，求出，再根据即可得到答案； （2）求出，再根据即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图，过点B作于点M， 由题意可知，， 在中，，， ， ； 答：登山缆车上升的高度为； 【小问2详解】 解：在中，，， ， 从山底A处到达山顶D处需要的时间， 答：从山底A处到达山顶D处大约需要． 23. 如图，E是正方形的边的中点，将该正方形沿折叠，点C落在处，分别与、、相切，切点分别为F、G、H． （1）求证：； （2）若正方形的边长是，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2）阴影部分面积为 【解析】 【分析】（1）在正方形中，，根据折叠可得，则，结合，得出，由折叠可知，即可证明． （2）延长与交于点K，连接，，，，，在正方形中，，，根据切线的性质得出，，证出四边形为正方形，则．根据折叠可得，，，则，证明，得出，，由（1）得，则，证明，求出，再求出的半径，根据阴影部分面积求解即可． 【小问1详解】 证明：在正方形中，， 在四边形中，根据折叠可得， ∴， 又∵， ∴， 由折叠可知， ∴． 【小问2详解】 解：延长与交于点K，连接，，，，， 在正方形中，，， ∵分别与、、相切，切点分别为F、G、H， ∴，， ∴四边形为正方形， ∴，． ∵E是正方形的边的中点， ∴， 根据折叠可得，，， ∴， 在与中，，， ∴， ∴，， 由（1）得， ∴， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的半径为， ∴阴影部分面积． 24. 在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是其横坐标的倍，我们称这个点为“双倍点”，例如就是“双倍点”．若二次函数图象的顶点为“双倍点”，则我们称这个二次函数为“双倍二次函数”，例如二次函数就是“双倍二次函数”． （1）求直线上的“双倍点”的坐标； （2）反比例函数图象上否存在“双倍点”？如存在，求出其坐标；如不存在，说明理由； （3）已知二次函数（，是常数）是“双倍二次函数”，且函数图象与轴的交点是“双倍点”，求二次函数的解析式； （4）若“双倍二次函数”（，是常数）的图象过除顶点外的另一个“双倍点”，并当时，函数最小值为，求的值． 【答案】（1） （2）不存在“双倍点”，理由见解析 （3）或 （4）的值为或 【解析】 【分析】（1）根据“双倍点”的定义设直线上的“双倍点”的坐标，可得，解方程求出的值即可； （2）设在反比例函数图象上，把代入可得，根据平方的非负数性质得出得出该方程无实数解，可得不存在“双倍点”； （3）根据二次函数解析式得出与轴的交点坐标是，根据“双倍点”的定义得出，根据“双倍二次函数”的定义得出顶点坐标为，根据“双倍点”的定义求出或，即可得出答案； （4）根据“双倍二次函数”的得出及“双倍点”的定义求出二次函数解析式为，分，，三种情况，利用二次函数的性质分别求解即可得答案． 【小问1详解】 解：设直线上的“双倍点”的坐标， ∴， 解得：， ∴， ∴直线上的“双倍点”的坐标． 【小问2详解】 解：不存在“双倍点”，理由如下： 设在反比例函数图象上， ∴ ∴，此方程无实数解， ∴在反比例函数图象上不存在“双倍点”． 【小问3详解】 解：∵二次函数解析式为， ∴当时，， ∴函数的图象与轴的交点坐标是， ∵函数的图象与轴的交点是“双倍点”， ∴， ∴， ∴顶点坐标为， ∵该二次函数是“双倍二次函数”， ∴， 解得：或， ∴二次函数的解析式为或． 【小问4详解】 解：设“双倍二次函数”， ∵为“双倍点”， ∴， ∴， 解得：或， 当时，顶点为，不合题意，舍去； ∴时，这个“双倍二次函数”为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，在对称轴左侧，随的增大而减小， ∴当时，函数有最小值，即， 解得：或（舍去）； 当时，时，函数的最小值为，不存在满足条件的t值； 当时，即时，在对称轴右侧，随的增大而增大， ∴当时，函数有最小值，即， 解得：或（舍去）， 综上所述，的值为或． 25. 在中，，D是上一点，，垂足为点E． （1）如图1，，求的度数； （2）如图2，，F是的中点，，猜想与的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，，，F是上一动点，求的最小值． 【答案】（1） （2）；证明见解析 （3）的最小值为 【解析】 【分析】（1）设，根据，得，又，则，即可求出； （2）延长至点P，使，连接，证明，则，根据，，得出是等边三角形，则，，即可得，再证明，得出，结合，即可得； （3）过点F作，垂足为G，由（2）可知，求出，则，得出最小时，即最小，此时C、F、G三点共线，即三点共线，，据此求解即可． 【小问1详解】 解：设， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：； 证明：延长至点P，使，连接， ∵， ∴， ∵F是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：过点F作，垂足为G， 由（2）可知， ∴， ∵， ∴最小时，即最小， 此时C、F、G三点共线，即， ∵，， ∴的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $