期末专题02 导数与函数的单调性讲义-2025-2026学年高二下学期数学冲刺人教A版选择性必修第二册

专题02 函数的单调性 题 型 题型1 求不含参函数的单调性（区间） 题型2 求不含参函数的单调性（区间） 题型3 已知单调性求参数 考向1 在某区间上单调求参数 考向2 在某区间上存在单调区间求参数 考向3 已知单调区间求参数 考向4 在某区间上不单调求参数 题型4 单调性的应用 1．函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f′(x)>0 f(x)在区间(a，b)上单调递增 f′(x)<0 f(x)在区间(a，b)上单调递减 f′(x)＝0 f(x)在区间(a，b)上是常数函数 2.利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数的定义域； 第2步，求出导数f′(x)的零点； 第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． 常用结论 1．若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则当x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则当x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立． 2．若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)<0有解． 题型1 求函数（不含参）的单调区间 1．函数的单调递增区间是（   ） A． B． C．和 D． 2．函数，则函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 3．函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 4．函数的单调减区间为（   ） A． B． C． D． 5．函数的单调递增区间是（   ） A． B．C． D． 6．已知定义在区间上的函数，则的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 题型2 含参函数的单调性 1．已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性； 3．求函数的单调区间． 3．已知函数. (1)当时，求的极值； (2)讨论函数的单调性； 【跟踪训练】 1．已知函数．讨论在上的单调性. 2．设函数，．求函数的单调区间． 3．已知函数．讨论函数的单调性． 4．已知函数，且． (1)求的值； (2)讨论的单调性． 5．已知函数，其中． (1)若时，求函数在处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间． 题型3 已知单调性求参数 例1 ．已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【对点练1】若函数在单调递减，则的取值范围是（    ） A． B．C． D． 【对点练2】已知函数在单调递增，则的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 【对点练3】若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【对点练4】若函数在区间上单调，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．不存在这样的实数k 例2．函数的单调递减区间是，则（    ） A． B． C． D． 例3．若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（    ） A． B．C． D． 【对点练1】函数在区间上存在单调增区间，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【对点练2】若函数在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例4 ．已知函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【对点练1】若函数在区间上不单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例5．，，当时，都有，则实数的最小值（） A． B． C． D．1 【对点练1】若，有成立，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【对点练2】若对于任意的，都有，则实数m的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 题型4 利用单调性比较大小 例1．若，则（   ） A． B． C． D． 例2．已知函数在区间上均有，则下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 例3．已知，，，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【对点练1】设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【对点练2】已知为定义在上的可导函数，为其导函数，且恒成立，其中是自然对数的底数，则（   ） A． B． C． D． 【对点练3】是定义在上的非负可导函数，且满足，对任意正数，若，则必有（   ） A． B． C． D． 【对点练4】已知，，，，则下面结论正确的是（    ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 函数的单调性 题 型 题型1 求不含参函数的单调性（区间） 题型2 求不含参函数的单调性（区间） 题型3 已知单调性求参数 考向1 在某区间上单调求参数 考向2 在某区间上存在单调区间求参数 考向3 已知单调区间求参数 考向4 在某区间上不单调求参数 题型4 单调性的应用 1．函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f′(x)>0 f(x)在区间(a，b)上单调递增 f′(x)<0 f(x)在区间(a，b)上单调递减 f′(x)＝0 f(x)在区间(a，b)上是常数函数 2.利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数的定义域； 第2步，求出导数f′(x)的零点； 第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． 常用结论 1．若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则当x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则当x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立． 2．若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)<0有解． 题型1 求函数（不含参）的单调区间 1．函数的单调递增区间是（   ） A． B． C．和 D． 【答案】B 【分析】先求出导函数，再令导函数为正得出单调增区间即可. 【详解】因为函数的导函数为， 令，即得， 所以函数的单调递增区间是. 故选：B. 2．函数，则函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求导，根据，解不等式计算即可求解. 【详解】求导可得， 令，则，解得， 所以函数的单调递增区间为. 故选：C 3．函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求导，令，解不等式求解单调区间即可. 【详解】由题意得，定义域为，， 令，解得， 故函数的单调递减区间是. 故选：C 4．函数的单调减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导，令导数小于零求解． 【详解】函数的定义域为， ， 由得，所以的单调减区间为. 故选：D. 5．函数的单调递增区间是（   ） A． B．C． D． 【答案】B 【分析】求出导函数，在定义域内解不等式可得单调递增区间. 【详解】因为，，所以对函数求导得：， 令，即，，， 解得， 因此函数的单调递增区间为． 故选：B. 6．已知定义在区间上的函数，则的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求导，令，求出，从而得到答案. 【详解】，， 令得，解得， 则的单调递减区间为. 故选：A 题型2 含参函数的单调性 1．已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性； 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）求导得，分、分别讨论即可. 【详解】（1）若，则， 所以．又， 所以， 故曲线在处的切线方程为， 即； （2）的定义域为，． 当时，， 故在上单调递增； 当时，令，解得， 故在上单调递增，在上单调递减； 综上：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 3．求函数的单调区间． 【答案】答案见解析 【分析】先对函数求导，然后分三种情况讨论求解． 【详解】的定义域为．． 当时，，故在上单调递增． 当时，，故在上单调递减． 当时，令，解得． 则当时，时，． 故在上单调递增，在上单调递减． 综上知，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时， 在上单调递减． 3．已知函数. (1)当时，求的极值； (2)讨论函数的单调性； 【详解】（1）当时，， ， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值为，无极大值. （2）因为， 所以， 当时，， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，令得或， ①当时，，，所以在单调递增， ②当时，， 当时，，当时，， 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 【跟踪训练】 1．已知函数．讨论在上的单调性. 【答案】答案见解析 【分析】利用导函数研究函数的单调性，根据的范围对参数进行分类讨论，确定的符号，从而确定函数的单调性. 【详解】由，得， 由，得. ① 当时，，则，在上单调递增； ② 当时，，则，在上单调递减； ③ 当时，由，解得， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减. 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 2．设函数，．求函数的单调区间． 【答案】答案见解析 【分析】先求导并提取公因子，再根据参数的不同取值和讨论导数的符号，进而确定函数的单调区间. 【详解】因为，则， 当时，则， 即函数的单调递减区间为，没有单调递增区间； 当时，由可得，由可得. 此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 综上所述，当时，函数的单调递减区间为，无单调递增区间； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 3．已知函数．讨论函数的单调性． 【答案】答案见解析 【分析】，对分，和讨论单调性即可. 【详解】，， ， 当时，，所以在上单调递增， 当时，或时，；时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 当时，或时，；时，， 所以在上单调递增；在上单调递减． 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减． 4．已知函数，且． (1)求的值； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求导，结合代入求解即可； （2）整理可得，分类讨论二次项系数和两根大小，利用导数分析原函数单调性. 【详解】（1）因为，则， 可得，解得. （2）由（1）可知， （i）当时，则， 令，解得；令，解得； 所以在上单调递增，在上单调递减； （ⅱ）当时，令，解得或， ①当，即时， 令，解得；令，解得或； 所以在上单调递增，在和上单调递减； ②当，即时，则，可知在上单调递减； ③当，即时，令，解得；令，解得或； 所以在上单调递增，在和上单调递减； 综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 5．已知函数，其中． (1)若时，求函数在处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）先代入求出函数值与导数值，得到切点坐标和切线斜率，再用点斜式写成切线方程； （2）先求导并对导数因式分解，再根据时两个临界点的大小关系分情况讨论，确定函数的单调区间. 【详解】（1）当时，，， 又由得， 所以切线方程为，即. （2）当时，， 令得或， ①若，即，当或时，，单调递增； 当时，，单调递减； ②若，即，则当时，恒成立（当且仅当时取等号），单调递增； ③若，即，则当或时，，单调递增； 当时，，单调递减. 综上，当时， 的单调递增区间是和，单调递减区间是； 当时， 的单调递增区间是，无单调递减区间； 当时，的单调递增 区间是和，单调递减区间是. 题型3 已知单调性求参数 例1 ．已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据在上单调递增，将问题转化为在恒成立即可求解． 【详解】， 若在上单调递增，则在恒成立， 即， 令，其对称轴为，所以的最大值为， 故只需．即． 故选：D． 【对点练1】若函数在单调递减，则的取值范围是（    ） A． B．C． D． 【答案】C 【分析】先对函数求导，根据导数的函数性质结合零点取值得出已知条件恒成立时需满足的条件，再讨论的符号得出的取值范围． 【详解】函数，求导得， 当时，，在R上单调递增，不合题意； 令，解得或， 若函数在单调递减，则在恒成立， 当时，，， 当时，，， 的取值范围为. 故选：C． 【对点练2】已知函数在单调递增，则的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数求出函数的单调增区间为，利用集合关系列不等式求解即可. 【详解】由得，令，得． 当时，，所以的单调增区间为， 因为在单调递增，所以， 所以. 故选：D. 【对点练3】若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得在上恒成立，即，令，求出即可得出答案. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立， 所以，因为在上单调递增， 所以，所以. 故选：B. 【对点练4】若函数在区间上单调，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．不存在这样的实数k 【答案】B 【分析】由求出，利用求函数的单调区间，可得出区间的包含关系，计算即可求出的取值范围. 【详解】， ， 令，解得： 或， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 函数在区间上单调， 或或 若，则，解得， 若，则，解得， 若，则，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 例2．函数的单调递减区间是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出的导函数，因为有单调递减区间，所以；再根据与，求出的单调递减区间为，最后根据题目给出的条件得出最后答案即可. 【详解】由题可知，因为函数有单调递减区间，所以； 令，则，又，故， 即的单调递减区间是，可得. 故选：A. 例3．若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（    ） A． B．C． D． 【答案】B 【分析】由题意，利用，经等价转化，得到在区间上能成立，故只需先求即得. 【详解】依题意，在区间上能成立， 即在区间上能成立， 设，则，故只需求在上的最小值， 而在时，取得最小值，故得. 故选：B. 【对点练1】函数在区间上存在单调增区间，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导，根据题意得在区间有解，即，利用基本不等式求最值即可． 【详解】函数定义域为，， 因为函数在区间上存在单调增区间， 所以在区间有解， 即在区间有解， 所以在区间上能成立，故， 又，当且仅当时取等，所以． 故选：B． 【对点练2】若函数在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】可知在区间上有解，,等价于在区间上有解，结合存在性问题分析求解即可. 【详解】因为， 若在区间上存在单调递减区间， 则在区间上有解，可得在区间上有解， 又因为在区间上单调递增，则， 可得，所以实数的取值范围是. 故选：A． 例4 ．已知函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导后讨论单调性，再根据题意可得，进而解不等式即可. 【详解】由题知函数的定义域为， ， 所以，当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 因为函数在区间上不单调， 所以，，解得， 所以，实数的取值范围是. 故选：D． 【对点练1】若函数在区间上不单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意转化为导数在上有变号零点，列出不等式求解. 【详解】，令， 因为函数在区间上不单调， 所以在上有变号零点， 即，解得， 故选：C 例5．，，当时，都有，则实数的最小值（） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】由题意分析可知：在上单调递减，求导，可得在上恒成立，结合恒成立问题分析求解. 【详解】因为，，当时，都有， 即，可得， 令，，则恒成立， 即在上单调递减，且， 可知在上恒成立，即在上恒成立， 又因为在上单调递减， 所以最大值1，即实数的最小值为1. 故选：D 【对点练1】若，有成立，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简已知不等式得出在上单调递减，再应用导函数结合恒成立转化为最值得出参数范围. 【详解】由题得， ∴在上单调递减， 恒成立，即恒成立， 又，所以． 故选：B. 【对点练2】若对于任意的，都有，则实数m的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】由，都有转化为，得到函数在上单调递减，求出函数的导数，得到在恒成立，求出的最小值. 【详解】由，都有, 转化为， 构造在上单调递减， 求导在上恒成立， 则，解得, 故，即的最小值为. 故选：D. 题型4 利用单调性比较大小 例1．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先通过求导判断函数的单调性，再利用单调性比较和的大小． 【详解】因为．当时，，所以，所以在上为单调递减函数．故． 故选：A. 例2．已知函数在区间上均有，则下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，则在上递减，由单调性进行求解． 【详解】根据题意，由，得． 令，则在上递减，由单调性知， 当时，必有， 即，移项整理，得． 故选：B 例3．已知，，，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知函数结构构造函数，根据导数求出单调性，利用同一区间的单调性进行比较. 【详解】，，，令，则， 当时，，函数在上单调递减， 又，所以，所以，所以. 故选：A. 【对点练1】设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，研究其单调性，进而可以比较a，b，c的大小. 【详解】令，， 所以时，，单调递增， 时，，单调递减， ，，， 因为，所以. 故选：D. 【对点练2】已知为定义在上的可导函数，为其导函数，且恒成立，其中是自然对数的底数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知不等式的形式构造新函数，利用新函数导数的正负性判断新函数的单调性，利用函数的单调性进行判断即可. 【详解】构造新函数， 所以是上递增函数， 所以. 故选：D 【对点练3】是定义在上的非负可导函数，且满足，对任意正数，若，则必有（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，求导，根据条件，可得在上单调递减，结合，分析即可得答案. 【详解】令，则． 又当时，，所以， 则在上单调递减， 又，所以，即， 所以. 故选：A． 【对点练4】已知，，，，则下面结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断函数的单调性，利用函数的单调性比较大小. 【详解】因为，所以（当且仅当时取等号）， 所以函数在上单调递增. 又，即，所以， 即. 故选：B 学科网（北京）股份有限公司 $