函数与导数：导数与函数的单调性、极值、最值讲义-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

函数与导数：导数与函数的单调性、极值、最值 函数与导数：导数与函数的单调性、极值、最值 考点一 导数与函数的单调性 【知识点解析】 1. 导数与函数的单调性 在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减． 注意：在某个区间内，（）是函数在此区间内单调递增（减）的充分条件，而不是必要条件．函数在内单调递增（减）的充要条件是（）在内恒成立，且在的任意子区间内都不恒等于0． 2.解题步骤 步骤1：确定函数的定义域. 步骤2：求导，令导数，求根. 步骤3：根据的根将定义域分为多个区间，分别讨论每个子区间导数的正负. 步骤4：根据导数的正负写出单调区间. 【例题分析】 1．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知定义在区间上的函数，则的单调递增区间为（    ） A． B． C．， D． 【答案】C 【详解】，，则，， 由有，由，解得或， 所以的单调递增区间为和. 故选：C. 2．（2024·黑龙江佳木斯·模拟预测）若函数，则函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数，定义域为， 由，令，解得， 则函数的单调递减区间为. 故选：C. 3．（24-25高二上·云南曲靖·阶段练习）设函数  ，的单调递减区间为（    ） A． B． C．和 D． 【答案】C 【详解】函数的定义域为，求导得， 由，即，解得或， 所以函数的单调减区间为和. 故选：C 4．（24-25高二上·江苏淮安·期末）已知函数，则的单调递增区间为 . 【答案】 【详解】由题意， 由得， 所以单调递增是. 故答案为： 5．（2024·河南·模拟预测）若函数的减区间为，则的值为 . 【答案】3 【详解】的解集为， 即的解集为，所以， 解得. 故答案为：. 6．（2025·四川·一模）函数的单调递减区间为 ． 【答案】/ 【详解】因为函数，定义域为， 所以， 令，所以， 的单调递减区间为. 故答案为：或. 7．（23-24高二下·广东广州·阶段练习）求下列函数的单调区间： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为. (2)单调递增区间为，，单调递减区间为. (3)单调递增区间是，，单调递减区间是. 【详解】（1）易知函数的定义域为， 令，得或，列表如下： 0 2 + 0 - 0 + 3 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）易知函数的定义域为. 令，得或.列表如下： + 0 - 0 + 1 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为. （3）的定义域为，且， 令，得或，列表如下： + 0 - - 0 + 所以的单调递增区间是，，单调递减区间是. 8．（24-25高二上·北京朝阳·期末）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间. 【答案】(1)． (2)单调减区间是，单调增区间是． 【详解】（1），，又， 所以切线方程为，即． （2），定义域是， ， 当时，，当时，， 所以的单调减区间是，单调增区间是． 考点二 导数与函数的极值 【知识点解析】 1. 导数与函数的极值 若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，；而且在点附近的左侧，右侧，就把点叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值． 若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，；而且在点附近的左侧，右侧，就把点叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值． 极大值点和极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 2.解题步骤 步骤1：确定函数的定义域. 步骤2：求导，令导数，求根. 步骤3：根据的根将定义域分为多个区间，分别讨论每个子区间导数的正负. 步骤4：根据导数的正负写出单调区间. 步骤5：根据单调区间确定极值点和极值. 【例题分析】 1．（24-25高二上·江苏连云港·期末）函数的极小值为（    ） A． B． C．15 D．17 【答案】B 【详解】由函数，求导得, 令,得, 当时, ,函数单调递增; 当时, ,函数单调递减; 当时, ,函数单调递增; 所以是极小值点,所以函数的极小值为. 故选：B 2．（24-25高二上·湖南怀化·期末）函数的极值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】A 【详解】由题知的定义域为，且. 当时，； 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故的极小值为，无极大值， 故选：A 3．（24-25高三下·四川乐山·期末）若函数无极值，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】的导数为， 函数不存在极值点， 在R上恒成立， 即恒成立， ，解得， 即实数a的取值范围是 故选：B. 4．（24-25高三下·江苏南通·开学考试）已知函数的极大值为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意，， 则， 令，解得或， 当时，在，上满足，单调递增， 在上满足，单调递减， 所以在处取得极大值，，解得， 当时，在，上满足，单调递增， 在上满足，单调递减， 所以在处取得极大值，，不符合题意， 当时，，在R上单调递增，无极值，不符合题意， 综上所述，. 故选：D. 5．（24-25高二下·河南商丘·开学考试）已知函数在处取得极小值，则的极大值为（   ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】由题得，因为函数在处取得极小值， 所以或， 当时，，， 所以当时，，当时，， 所以函数在处取得极小值，符合题意， 所以函数在处取得极大值为； 当时，，， 所以当时，，当时，， 所以函数在处取得极大值，不符合题意； 综上，的极大值为4. 故选：A 6．（2025·新疆·模拟预测）已知函数在处有极小值，则极大值为（    ） A．32 B．1 C． D．0 【答案】C 【详解】由题意可得， 由于是极小值点，故，或    , 当时，，当和时，，当时，， 故在单调递减，在和单调递增， 此时是函数的极大值点，不符合题意，舍去， 当时，，当和时，，当时，， 故在单调递减，在和单调递增， 此时是函数的极小值点，符合题意，且是极大值点，故极大值为， 故选：C 7．（24-25高二上·贵州黔西·期末）已知函数在处有极大值，则c的值为（    ） A．2 B．6 C．2或6 D．-2 【答案】B 【详解】， 且函数在处有极大值， 故，即，解得或2． 当时，，令得，或， 令得，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故函数在处取得极小值，不符合题意，应舍去； 当时，，令得或， 令得，， 故在上单调递增，在上单调递减， 满足在处取得极大值，满足要求. 故． 故选：B 8．（24-25高二下·河南郑州·阶段练习）函数的极小值为 ． 【答案】 【详解】由，， 令，解得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 当时，取得极小值，且极小值为， 故答案为：. 9．（2025·陕西宝鸡·二模）若函数的极大值点为，则 ． 【答案】/0.8 【详解】由函数， 求导可得， 令，则， 由题意可得， 由函数可知当（）时，， 当（）时，，且为函数的极大值点， 则可得（），解得（）， 所以. 故答案为：. 10．（24-25高三上·吉林松原·期末）函数的极小值为 ． 【答案】0 【详解】对函数求导得， 令，可得或， 列表如下： x + 0 - 0 + y 增 极大值 减 极小值 增 所以函数极小值为. 故答案为：0 11．（24-25高三下·广东深圳·阶段练习）已知函数． (1)求函数的极小值； (2)求不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）的定义域为,， 令,得（舍负）, 当时,,在时为减函数; 当时,,在时为增函数; 所以的极小值为． （2）原不等式等价于, 令, 因为, 所以在上单调递减，且, 得的解集为,即原不等式的解集为． 12．（24-25高三上·北京·期中）已知函数在处有极值-1. (1)求实数a，b的值; (2)求函数的单调区间. 【答案】(1) (2)的单调递增区间为，单调递减区间为 【详解】（1）已知函数，则， 由题意，解得 ， 当时，，， 当或时，，当时，， 所以在上均单调递增，在上单调递减， 所以在处有极小值，满足题意， 综上所述，符合题意； （2）由题意，则， 当时，，当时，， 所以的单调递增区间为，的单调递减区间为. 13．（24-25高三下·辽宁·开学考试）已知函数 (1)若的图象在点处的切线方程为，求a与b的值； (2)若在处有极值，求a与b的值. 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）因为，所以， 所以，， 因为切线方程为， 所以，解得， 所以. （2）函数在处有极值 且或 恒成立，此时函数无极值点， 此时1是极值点，满足题意， 所以. 14．（24-25高二上·湖南·期末）已知函数，当时取得极大值. (1)求的值； (2)求函数在上的最大值与最小值. 【答案】(1) (2)最大值是，最小值是. 【详解】（1）因为，所以， 因为时取得极大值； 所以，，. ①当时，， 由解得或；由解得； 所以在，上单调递增，在上单调递减； 时取得极小值，不符合题意，所以舍去. ②当时， 由解得或；由解得； 所以在，上单调递增，在上单调递减； 时取得极大值，符合题意. 综上可得：. （2）由（1）可知，，， 在，上单调递增，在上单调递减； 所以在上极大值为，极小值为； 又由于， 函数在上的最大值是，最小值是. 15．（24-25高二上·宁夏石嘴山·期末）已知函数在处取得极值. (1)求函数的解析式及单调区间； (2)求函数在区间的最大值与最小值. 【答案】(1)，单调递增区间为，单调递减区间为； (2)最大值为2，最小值为. 【详解】（1）， 由题意得，即，解得， 故解析式为，定义域为R， 令，令得或， 令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 显然为极小值点，故， 单调递增区间为，单调递减区间为， （2）由（1）知，在上单调递增，在上单调递减， 表格如下： 1 + 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 又， 故的最大值为2，最小值为. 16．（24-25高三上·北京·期中）已知函数（）在处取得极小值. (1)求a的值，并求函数的单调区间； (2)求在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)，单调递增区间为，单调递减区间为 (2)最大值为，最小值为1. 【详解】（1）， 由题意得，解得， ，定义域为R， ， 令得或，令得， 故单调递增区间为，单调递减区间为， 此时函数在处取得极小值，满足题意； （2）由（1）知，故在上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极大值，也是最大值，， 又，其中， 故在区间上的最小值为1， 综上，在区间上的最大值为，最小值为1. 考点三 导数与函数的最值 【知识点解析】 一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值． 步骤1：确定函数的定义域. 步骤2：求导，令导数，求根. 步骤3：根据的根将定义域分为多个区间，分别讨论每个子区间导数的正负. 步骤4：根据导数的正负写出单调区间. 步骤5：根据单调区间确定极值点和极值. 步骤6：比较极值点与、的大小，确定最值. 【例题分析】 1．（24-25高三上·江苏·期末）已知函数，则在区间上的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以函数的导函数为， 令，可得或， 当时，，函数在上单调递增， 当时，。函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 又，， 所以在区间上的最大值为. 故选：B. 2．（24-25高三下·吉林长春·开学考试）函数在区间上的最大值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【详解】， 令，解得：， 令，解得： ， ∴函数在上递增，在上递减， ∴的极大值为 ， 又，， 故所求最大值为． 故选：C. 3．（24-25高三上·山东济南·阶段练习）函数在上的最小值为（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】B 【详解】由，求导可得，令，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以. 故选：B. 4．（24-25高一上·安徽阜阳·期末）已知函数在处取得最小值，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】函数，求导得， 依题意，，解得， 当时，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 因此函数在处取得最小值， 所以，则. 故选：A 5．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知函数，当时，函数取得最大值，则（    ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【详解】由题设，故，且， 所以，故，即， 此时，且， 所以，时，在上单调递增； 时，在上单调递减； 故处为极大值，也是最大值，满足题设； 所以. 故选：D 6．（2024·湖北荆州·模拟预测）函数的最小值为 . 【答案】 【详解】根据题意可知函数的定义域为， 可得， 令，可得或； 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增； 可知在时取得极大值，在时取得极小值， 又时，，易知，且时，； 且，且时，，时，； 其图象如下图所示： 显然为最小值， 故答案为： 7．（24-25高二下·江苏无锡·期中）已知函数，，则的最小值为 . 【答案】 【详解】因为，令，可得，而，， 所以，，函数单调递减；，，函数单调递增， 所以时函数最小为值， 所以函数在的最小值分别为. 故答案为：. 8．（24-25高三下·河南新乡·阶段练习）函数的最大值是 ． 【答案】 【详解】由求导可得：，令，解得， 当时，，当时，， 所以函数在上递减，在上递增， 由于当时，，当时，， 所以可知函数最大值为， 故答案为：. 9．（2025·广东广州·模拟预测）若函数在上的最大值为4，则 . 【答案】4 【详解】由题， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 又. 因为，所以在上，，所以. 故答案为：. 10．（2025·福建厦门·模拟预测）若函数在上的最小值为4，则 ． 【答案】/ 【详解】，， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以为在上的极小值，也是最小值， 故，解得. 故答案为： 11．（24-25高二上·山西·期末）已知函数. (1)若在上不单调，求实数的取值范围； (2)若，求在上的值域. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以. 因为在上不单调，所以方程有两个不同的根， 则，解得或， 即实数的取值范围是. （2）因为，所以. 由，得或，由，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 因为，，， 所以在上的值域为. 12．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知函数，且满足 (1)求实数的值； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1) (2)函数在区间上的最大值为，最小值为 【详解】（1）因为， 所以， 令，即方程， 解得 （2）由（1）知，，所以， 令，即， 解得． 列表如下： 2 3 + 0 - 0 + 当时，单调递增： 当时，单调递减： 当时，单调递增． 所以有极大值；有极小值 又． 所以函数在区间上的最大值为，最小值为． 13．（24-25高二上·宁夏石嘴山·期末）已知函数在处取得极值. (1)求函数的解析式及单调区间； (2)求函数在区间的最大值与最小值. 【答案】(1)，单调递增区间为，单调递减区间为； (2)最大值为2，最小值为. 【详解】（1）， 由题意得，即，解得， 故解析式为，定义域为R， 令，令得或， 令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 显然为极小值点，故， 单调递增区间为，单调递减区间为， （2）由（1）知，在上单调递增，在上单调递减， 表格如下： 1 + 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 又， 故的最大值为2，最小值为. 14．（2025·广东茂名·一模）已知函数. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若函数的最大值为0，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，则，， 所以，所以切线方程为，即； （2）函数的定义域为，且， 当时，恒成立，所以函数在上单调递增，则无最大值，故舍去； 当时，令，解得，， 所以当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 所以在处取得极大值，即最大值，即， 所以， 即，即，所以. 15．（23-24高二下·辽宁葫芦岛·期末）设函数. (1)求曲线的单调区间； (2)已知在区间上的最大值为13，求的值. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）已知的定义域为，所以， 当时，解得，当时，解得， 所以，的递增区间为，递减区间为. （2）由（1）可知在上，在上单调递增，上单调递减， 所以在处取得极大值，也为最大值， 所以，解得. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$函数与导数：导数与函数的单调性、极值、最值 函数与导数：导数与函数的单调性、极值、最值 考点一 导数与函数的单调性 【知识点解析】 1. 导数与函数的单调性 在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减． 注意：在某个区间内，（）是函数在此区间内单调递增（减）的充分条件，而不是必要条件．函数在内单调递增（减）的充要条件是（）在内恒成立，且在的任意子区间内都不恒等于0． 2.解题步骤 步骤1：确定函数的定义域. 步骤2：求导，令导数，求根. 步骤3：根据的根将定义域分为多个区间，分别讨论每个子区间导数的正负. 步骤4：根据导数的正负写出单调区间. 【例题分析】 1．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知定义在区间上的函数，则的单调递增区间为（    ） A． B． C．， D． 2．（2024·黑龙江佳木斯·模拟预测）若函数，则函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·云南曲靖·阶段练习）设函数  ，的单调递减区间为（    ） A． B． C．和 D． 4．（24-25高二上·江苏淮安·期末）已知函数，则的单调递增区间为 . 5．（2024·河南·模拟预测）若函数的减区间为，则的值为 . 6．（2025·四川·一模）函数的单调递减区间为 ． 7．（23-24高二下·广东广州·阶段练习）求下列函数的单调区间： (1)； (2)； (3). 8．（24-25高二上·北京朝阳·期末）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间. 考点二 导数与函数的极值 【知识点解析】 1. 导数与函数的极值 若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，；而且在点附近的左侧，右侧，就把点叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值． 若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，；而且在点附近的左侧，右侧，就把点叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值． 极大值点和极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 2.解题步骤 步骤1：确定函数的定义域. 步骤2：求导，令导数，求根. 步骤3：根据的根将定义域分为多个区间，分别讨论每个子区间导数的正负. 步骤4：根据导数的正负写出单调区间. 步骤5：根据单调区间确定极值点和极值. 【例题分析】 1．（24-25高二上·江苏连云港·期末）函数的极小值为（    ） A． B． C．15 D．17 2．（24-25高二上·湖南怀化·期末）函数的极值为（   ） A． B． C． D．3 3．（24-25高三下·四川乐山·期末）若函数无极值，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三下·江苏南通·开学考试）已知函数的极大值为，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·河南商丘·开学考试）已知函数在处取得极小值，则的极大值为（   ） A．4 B．2 C． D． 6．（2025·新疆·模拟预测）已知函数在处有极小值，则极大值为（    ） A．32 B．1 C． D．0 7．（24-25高二上·贵州黔西·期末）已知函数在处有极大值，则c的值为（    ） A．2 B．6 C．2或6 D．-2 8．（24-25高二下·河南郑州·阶段练习）函数的极小值为 ． 9．（2025·陕西宝鸡·二模）若函数的极大值点为，则 ． 10．（24-25高三上·吉林松原·期末）函数的极小值为 ． 11．（24-25高三下·广东深圳·阶段练习）已知函数． (1)求函数的极小值； (2)求不等式的解集． 12．（24-25高三上·北京·期中）已知函数在处有极值-1. (1)求实数a，b的值; (2)求函数的单调区间. 13．（24-25高三下·辽宁·开学考试）已知函数 (1)若的图象在点处的切线方程为，求a与b的值； (2)若在处有极值，求a与b的值. 14．（24-25高二上·湖南·期末）已知函数，当时取得极大值. (1)求的值； (2)求函数在上的最大值与最小值. 15．（24-25高二上·宁夏石嘴山·期末）已知函数在处取得极值. (1)求函数的解析式及单调区间； (2)求函数在区间的最大值与最小值. 16．（24-25高三上·北京·期中）已知函数（）在处取得极小值. (1)求a的值，并求函数的单调区间； (2)求在区间上的最大值和最小值. 考点三 导数与函数的最值 【知识点解析】 一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值． 步骤1：确定函数的定义域. 步骤2：求导，令导数，求根. 步骤3：根据的根将定义域分为多个区间，分别讨论每个子区间导数的正负. 步骤4：根据导数的正负写出单调区间. 步骤5：根据单调区间确定极值点和极值. 步骤6：比较极值点与、的大小，确定最值. 【例题分析】 1．（24-25高三上·江苏·期末）已知函数，则在区间上的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·吉林长春·开学考试）函数在区间上的最大值为（    ） A． B．2 C． D． 3．（24-25高三上·山东济南·阶段练习）函数在上的最小值为（    ） A．0 B．1 C． D． 4．（24-25高一上·安徽阜阳·期末）已知函数在处取得最小值，则（    ） A． B．1 C． D． 5．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知函数，当时，函数取得最大值，则（    ） A． B．或 C． D． 6．（2024·湖北荆州·模拟预测）函数的最小值为 . 7．（24-25高二下·江苏无锡·期中）已知函数，，则的最小值为 . 8．（24-25高三下·河南新乡·阶段练习）函数的最大值是 ． 9．（2025·广东广州·模拟预测）若函数在上的最大值为4，则 . 10．（2025·福建厦门·模拟预测）若函数在上的最小值为4，则 ． 11．（24-25高二上·山西·期末）已知函数. (1)若在上不单调，求实数的取值范围； (2)若，求在上的值域. 12．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知函数，且满足 (1)求实数的值； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 13．（24-25高二上·宁夏石嘴山·期末）已知函数在处取得极值. (1)求函数的解析式及单调区间； (2)求函数在区间的最大值与最小值. 14．（2025·广东茂名·一模）已知函数. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若函数的最大值为0，求实数的值. 15．（23-24高二下·辽宁葫芦岛·期末）设函数. (1)求曲线的单调区间； (2)已知在区间上的最大值为13，求的值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$