2.2+一元二次方程的解法（第2课时）课件 2025--2026学年浙教版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的直接开平方法与配方法，通过因式分解法与开平方法对比导入，衔接平方根意义，构建从x²=a到(mx+n)²=p再到配方法的递进式学习支架，帮助学生逐步掌握解法。 其亮点在于以数学思维中的逻辑推理和数学眼光中的抽象能力为核心，通过分情况讨论开平方法（p>0、p=0、p<0）和配方法五步规范步骤（移项、配方等），结合典型例题（如(2x-3)²=7）培养运算能力。结构化小结助力学生系统梳理知识，教师可依托清晰流程提升教学效率，学生能形成有序解题思路。

2.2 一元二次方程的解法 第二课时 直接开平方法 第2章《一元二次方程》 1.理解开平方法解一元二次方程的依据是平方根的意义，会用开平方法 解一元二次方程. 2.理解配方法，会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程. 学习目标 2 1.因式分解法：先对方程 的左边因式分解， 使方程化为两个一次因式的乘积等于0的形式，再使这两个一次因式 分别等于0，从而实现降次。像这种利用因式分解解一元二次方程的 方法叫作因式分解法。 依据：若，则或 3 解下列方程: (1) x29=0. (2) (x+1)2= 16. 解：(1)将方程的左边分解因式,得(x+3)(x3)=0, 则x+3=0,或x3=0, 解得x1 =3, x2 =3. (2)移项,得(x+1)2 16=0. 将方程的左边分解因式,得(x+14)(x+1+4)=0, 即(x)(x+5)=0, 则x3=0,或x+5=0, 解得x1 =3, x2 =5. 思考：这两个方程是否 还有其它的解法？ 新知探究 4 解下列方程: (1) x29=0. (2) (x+1)2= 16. 解：(1)移项,得x2 =9, 解得x1 =3, x2 =3. (2)由原方程,得x+1=±4, 即x+1=4,或x+1=4, 解得x1 =3, x2 =5. 一般地,对于形如x2 =a(a≥0)的方程,根据平方根的定义,可得 x1 =, x2 =.这种解一元二次方程的方法叫作开平方法. 新知探究 5 知识点1 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 1. 把方程 的二次项系数化为1，可得方程 ( ) A A. B. C. D. 返回 6 3.常见的可以用因式分解法求解的方程的类型 常见类型 因式分解 方程的解 , , ,为常数 , 7 新知探究 知识点1 形如 （）的方程的解法 （3）你能利用平方根定义解求出这些方程的解吗？ 解：（1）， ∴ 或 。 做一做 （1） （2） （4） 如果 那么 或 （2）∵ ∴方程无解 ∴ 或 （4） 即; （4）形如 （）方程用因式分解法或利用平方根定义解，哪一种方法方便？ 更方便 新知探究 知识点1 形如 （）的方程的解法 议一议 利用平方根的定义来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法 直接开平方法 理论依据： 平方根的定义 如果 那么 或 解题步骤： （1）将方程转化为： （） （2）将方程两边直接开平方 或 （3）写出方程的解 ： 或 特别注意：无解情况 当a < 0时，方程 x² = a 没有实数根。 原因：任何实数的平方都不可能是负数。 开平方法解方程的基本步骤： 1. 将方程转化为x2 =p或(mx+n)2 =p (p≥0) 的形式(即平方项的系数化为1). 2.分情况求解： 当p>0时, x1 =, x2 =或mx1+n= , mx2+n=(再进一步求出 x1和x2的值). 当p=0时, x1 =x2 =或mx1,2+n=(再进一步求出 x的值). 当p<0时, 方程无实数根. 新知探究 10 例1 用开平方法解下列方程: (1) 3x248=0. (2) (2x3)2=7. 解：(1)移项,得3x2= 48, 方程的两边同时除以3,得x2= 16, 解得x1 =, x2 =4. (2)由原方程,得2x3=±， 即2x3= ,或2x3=， 解得x1 =, x2 = . 例题精讲 11 3. 已知关于的方程 通过配方可变形为 ，则 的值为( ) A A. B. 4 C. D. 8 【点拨】 , ， ， 12 （3） 。 解：移项，得 。 将方程的左边分解因式，得 , 则,或 , 解得, 。 注意：原方程两边不能同时约去 ，否则变形后的结果为,会导致漏掉这个根 13 典例分析 知识点2 形如 （）的方程的解法 例1、 利用开平方解下列方程 （3）（5x+9）2+16=0    （1） （2） （4）121-(y+3) 2 =0 将含未知数的平方式看成一个整体，直接开平方 解：， ∴ 或 解得: ， 解： ∴ 或 解得:， 解:（5x+9）2=－16＜0 原方程无解    解： ∴ 或 解得:， 新知探究 知识点2 形如 （）的方程的解法 形如（） 的方程解法 解题思路 运用整体思想，将 (mx + n) 视为整体开方，转化为两个一元一次方程求解： mx + n = ± 特别注意 当 时， 方程 没有实数根（因为任何实数的平方都非负） 议一议 即 或 一元二次方程 开平方降次 两个一元一次方程 转化 配方法解方程(二次项系数为1)的基本步骤： 1.移项：将常数项移到等号右边，含未知数的项移到等号左边. 2.配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方. 3.写成的形式. 4.用开平方法求解. 新知探究 16 例2 用配方法解下列方程: (1) x2=1. (2) x2+5x=0. 解：(1)将方程的两边同时加上9,得x2+9=1+9, 即(x+3)2=10, 则x+3=,或x+3=, 解得x1 =3+, x2 = 3. 例题精讲 17 1.开平方法：一般地，对于形如 的方程，根据平方根 的定义，可得, 。这种解一元二次方程的方法叫作 开平方法。 18 2.适用类型#3 适用类型 方程的解 ,,是常数，, ,,, 是常数， , 19 学习任务单 新知探究 知识点3 （）配方方法 如何解方程x² - 10x = -16？能否转化为 (x+a)² = b？ 议一议 解方程：x² - 10x = -16 解: x² - 10x + = -16+ (x - )² = x - = ± 两边同时开平方得： 解得: ， （） 两边加上,使左边配成完全平方式 移项 左边写成完全平方的形式 开平方 方法总结：配方法 把一元二次方程的左边配成一个完全平方式，右边为一个非负常数，即将方程转化为(x+a)² = b (b≥0)的形式，然后用开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫作配方法。 新知探究 知识点3 （）配方方法 议一议 如何解方程x² - 10x = -16？能否转化为 (x+a)² = b？ 核心思想：转化 将一般形式的一元二次方程转化为“完全平方式等于常数” 的形式。 例2 用配方法解下列方程: (1) x2=1. (2) x2+5x=0. 解：(2)移项,得x2+5x=, 方程的两边同时加上,得x2+=6+, 即(x+)2= , 即x+= ,或x+=， 解得x1 =1, x2 = . 例题精讲 22 1.方程(x3)2=0的根是(　　) A.x=3 B.x=0 C.x1=x2=3 D.x1=3，x2=3 C 随堂练习 4.用配方法解方程： . 解：方程的两边同除以3，得_______________， 把常数项移项，得____________， 方程两边同加上_____，得_______________________， 即____________. 解得_______________. , 返回 24 典例2 解下列方程： （1） ； 解：移项，得 ， 方程两边同除以2，得 ， 解得， 。 25 （1）移项:把常数项移到方程的右边； （2）配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方； （3）变形:方程左边分解因式,右边合并同类项； （4）开方：根据平方根的概念，将一元二次方程转化为 两个一元一次方程； （5）求解：解一元一次方程； （6）定解：写出原方程的解. 新知探究 知识点3 （）配方方法 利用配方法解形如（）方程的步骤： 议一议 典例分析 例2 用开平方法解下列方程： (1) ； (2) 。 (2) 两边同时开平方得： ∴ 或， 当 时 ，解得 ； 当 时， ，解得 。 解：（1） 移项，得： 方程两边同除以 3，得： 两边同时开平方得： 解得: ， ∴原方程的解：， 例3：用配方法解一元二次方程 （1）x² + 6x = 1 （2）x² + 5x - 6 = 0 典例分析 解: (1)方程两边同时加上9（一次项系数6一半的平方），得： x² + 6x + 9 = 1 + 9 左边化为完全平方式，即： (x + 3)² = 10 方程两边同时开平方，得： x + 3 = 或 x + 3 = - 解得：x₁ = -3 + ，x₂ = -3 - 课堂小结 开平方法 解方程的 基本步骤 1.将方程转化为x2 =p或(mx+n)2 =p (p≥0) 的形式(即平方 项的系数化为1). 2.分情况求解： 当p>0时，x1 =, x2 =或mx1+n=， mx2+n= (再进一步求出 x1和x2的值). 当p=0时，x1 =x2 =或mx1,2+n=(再进一步求出 x的值). 当p<0时，方程无实数根. 课堂小结 配方法解方程 (二次项系数为 1)的基本步骤 1.移项：将常数项移到等号右边，含未知数的项移到 等号左边. 2.配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方. 3.写成的形式. 4.用开平方法求解. $