精品解析：2026年安徽省 阜阳市 颍州区多校中考模拟试题数 学(三)

数学（三） 注意事项： 1．本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卷上注意事项的要求直接把答案填写在答题卷上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 2026年的中央一号文件强调：“粮食安全这根弦必须始终绷紧”，今年确保粮食产量稳定在1.4万亿斤左右．数据“1.4万亿”用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 2. 如图，将一个圆柱体垂直切去右边一部分，左边部分的左视图是（　　） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列四个多项式中，能因式分解的是（ ） A. a2+1 B. a2-6a+9 C. x2+5y D. x2-5y 5. 如图，直线a∥b∥c，直角三角板的直角顶点落在直线b上，若∠1=38°，则∠2等于（ ） A. 38° B. 42° C. 52° D. 62° 6. 凸透镜成像的原理如图所示，．若物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为，则物体被缩小到原来的（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点A，B，C，D，E均为小正方形的顶点，先从A，B，C中任意取两点，再从D，E中任取一点画三角形，则所画三角形是等腰三角形的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，的四个顶点分别在的四条边上，，分别交、于点、，过点作，分别交、于点、，若四边形面积为，则的面积为（ ） A. B. a C. D. 9. 已知，下列结论不正确的是（ ） A. B. C. 若m，n同号，则 D. 若m，n异号，则 10. 如图1，在中，，，，点D在上，，点E，F分别在边上（不与端点重合），且设，的面积为，关于的函数图象如图所示，最高点为，且经过和两点．下列选项正确的是（ ） A. B. C. 的面积的最大值为0.96 D. 点在该函数图象上 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. _____． 12. 在平面直角坐标系中，函数与的图像交于点，已知，则值为_____． 13. 如图，的半径是的直径，的半径交于点，若，，则的长是_____． 14. 如图，在正方形中，点是边上一动点，将沿着直线翻折，得到，连接． （1）若点为的中点，连接．当时，_____； （2）的最大值是_____． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程： 16. 内接于，且点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． （1）在图1中找一个格点（点不与点重合），画出，使； （2）在图2中的圆上找一点，使得平分． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 用电脑程序控制甲、乙两种小型赛车进行比赛，已知甲型赛车的平均速度为，练习中发现，两辆车同时从起点出发，甲型赛车到达终点时，乙型赛车离终点还差． （1）求乙型赛车的平均速度； （2）如果两车重新开始比赛时，甲型赛车从起点向后退了一定距离与乙型赛车同时出发，最后也恰好同时到达终点，直接写出甲型赛车从起点后退的距离为______． 18. 广州地铁经过多年的发展，地铁出入口更加人性化和便民化．如图1是某地铁出入口，有步梯和电梯两种由地下层通往地面层的出入方式．其截面如图2所示，是由地下直通地面的电梯，，，，，是步梯，，，的倾角相同，，与地面平行．已知电梯全长30米，倾角为，米． （1）求地面层与地下层的垂直高度； （2）求步梯的倾角的正切值和步梯通道的全长．参考数据：，，． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 用同样大小的两种不同颜色的正方形纸片，按如图方式拼成长方形： 第①个图形中有2张正方形纸片； 第②个图形中有张正方形纸片； 第③个图形中有张正方形纸片； 第④个图形中有张正方形纸片． 请你观察上述图形与算式，完成下列问题： （1）第⑤个图形中有_____张正方形纸片（直接写出结果）；根据上面的发现我们可以猜想第个图形中有_____张正方形纸片； （2）由（1）可得：_____（用含的代数式表示）； （3）根据你的发现计算：_____． 20. 如图，在中，，以为直径作交于点．点在线段上，．连接并延长交于． （1）求证：； （2）连接交于点．若，，求的半径． 六、（本题满分12分） 21. 第24届冬奥会于2022年2月20日在北京胜利闭幕．某校七、八年级各有500名学生．为了解这两个年级学生对本次冬奥会的关注程度，现从这两个年级各随机抽取n名学生进行冬奥会知识测试，将测试成绩按以下六组进行整理（得分用x表示）： A：，B：，C：， D：，E：，F：， 并绘制七年级测试成绩频数直方图和八年级测试成绩扇形统计图，部分信息如下： 已知八年级测试成绩D组的全部数据如下：86，85，87，86，85，89，88 请根据以上信息，完成下列问题： （1）n＝______，a＝______； （2）八年级测试成绩的中位数是______﹔ （3）若测试成绩不低于90分，则认定该学生对冬奥会关注程度高．请估计该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有多少人，并说明理由． 七、（本题满分12分） 22. 跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度为，基准点K到起跳台的水平距离为，高度为（h为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度与水平距离之间的函数关系为． （1）c的值为__________； （2）①若运动员落地点恰好到达K点，且此时，求基准点K的高度h； ②若时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为__________； （3）若运动员飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由． 八、（本题满分14分） 23. 正方形中，是边上的一个动点，已知，且，连接． （1）如图1，求证：； （2）连接，交于点，交于点． ①如图2，连接，求证：； ②如图3，交于点，若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学（三） 注意事项： 1．本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卷上注意事项的要求直接把答案填写在答题卷上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 2026年的中央一号文件强调：“粮食安全这根弦必须始终绷紧”，今年确保粮食产量稳定在1.4万亿斤左右．数据“1.4万亿”用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：1.4万亿． 2. 如图，将一个圆柱体垂直切去右边一部分，左边部分的左视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图示确定几何体的三视图即可得到答案． 【详解】由几何体可知，该几何体的左视图为： 故选：C． 【点睛】本题考查三视图的画法；用到的知识点为：三视图分别是从物体正面，左面，上面看得到的平面图形；注意实际存在又没有被其他棱所挡，在所在方向看不到的棱应用虚线表示． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的除法法则判断A；根据同底数幂的乘法法则判断B；根据完全平方公式判断C；根据积的乘方法则判断D． 【详解】解：A、原式，故本选项计算错误，不符合题意； B、原式，故本选项计算错误，不符合题意； C、原式，故本选项计算错误，不符合题意； D、原式，故本选项计算正确，符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查了完全平方公式，同底数幂的乘除法，积的乘方，掌握运算法则及公式是解题的关键． 4. 下列四个多项式中，能因式分解的是（ ） A. a2+1 B. a2-6a+9 C. x2+5y D. x2-5y 【答案】B 【解析】 【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 【详解】A、C、D都不能把一个多项式转化成几个整式积的形式，故A、C、D不能因式分解； B是完全平方公式的形式，故B能分解因式； 故选B． 5. 如图，直线a∥b∥c，直角三角板的直角顶点落在直线b上，若∠1=38°，则∠2等于（ ） A. 38° B. 42° C. 52° D. 62° 【答案】C 【解析】 【详解】∵a∥b， ∴∠3=∠1=38°， ∴∠4=90°﹣∠3=90°﹣38°=52°． ∵b∥c， ∴∠2=∠4=52°． 故选C． 6. 凸透镜成像的原理如图所示，．若物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为，则物体被缩小到原来的（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先证出四边形为矩形，得到，再根据，求出，从而得到物体被缩小到原来的几分之几． 【详解】解：∵， ， ， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即 ∴物体被缩小到原来的． 故选：A． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，从实际问题中找到相似三角形并利用相似三角形的性质进行解答是解题的关键． 7. 如图，点A，B，C，D，E均为小正方形的顶点，先从A，B，C中任意取两点，再从D，E中任取一点画三角形，则所画三角形是等腰三角形的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了树状图法与列表法求概率．列表得出所有等可能结果，从中找到所画三角形是等腰三角形的情况，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：列表如下： 由表知，共有6种等可能结果，其中所画三角形是等腰三角形的有、这2种情况， 所以所画三角形是等腰三角形的概率是， 故选：A． 8. 如图，的四个顶点分别在的四条边上，，分别交、于点、，过点作，分别交、于点、，若四边形面积为，则的面积为（ ） A. B. a C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题重点考查平行四边形的判定与性质、三角形的面积公式与平行四边形的面积公式等知识正确地添加辅助线是解题的关键． 连接，，根据平行四边形的性质可得的面积的面积，再利用平行四边形的性质可得作，从而可得，进而可得的面积的面积，然后再根据作，可证四边形是平行四边形，从而可得的面积的面积，进而可得的面积的面积，即可解答． 【详解】解：连接，， 四边形是平行四边形， 的面积的面积， 四边形是平行四边形， ， ， ， 的面积的面积， ， 四边形是平行四边形， 的面积的面积， 的面积的面积， ∵四边形面积为， 的面积为， 故选：B． 9. 已知，下列结论不正确的是（ ） A. B. C. 若m，n同号，则 D. 若m，n异号，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了分式加法，整式的混合运算，根的判别式等知识点由已知条件，结合代数运算和不等式性质，逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：、．显然成立，故该选项不符合题意； 、展开得：，故该选项不符合题意； 、∵，又m，n同号， ∴， ∴m，n是一元二次方程的两个同号根， ∴， ∴， 又∵ ∴，故该选项不符合题意； 、∵，又m，n异号， ∴， ∴m，n是一元二次方程的两个异号根， ∴， ∴，则或, 又∵ 综上可，故该选项符合题意； 故选：D． 10. 如图1，在中，，，，点D在上，，点E，F分别在边上（不与端点重合），且设，的面积为，关于的函数图象如图所示，最高点为，且经过和两点．下列选项正确的是（ ） A. B. C. 的面积的最大值为0.96 D. 点在该函数图象上 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的实际应用，勾股定理，矩形的判定与性质等知识点，难度大，解题的关键是正确求出函数解析式． 过点分别作，，垂足为，可得四边形是矩形，，求出，然后证明，则得到，再由勾股定理求解表示出，然后建立二次函数关系式，再根据二次函数的图象与性质求解即可． 【详解】解：过点分别作，，垂足为， ∵，即， ∴，四边形是矩形， ∴， ∵ ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当时，， ∴顶点为，即，故A、C错误； 当时，， ∴点不在该函数图象上，故D错误； 当时，则， 解得或，结合函数图象可得，故B正确， 故选：B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. _____． 【答案】2 【解析】 【详解】解：． 12. 在平面直角坐标系中，函数与的图像交于点，已知，则值为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】利用整体思想求解，先根据交点坐标满足函数解析式得到相关关系式，再结合已知条件变形代入计算即可． 【详解】解：点是函数与图像的交点 将分别代入两个函数解析式， 得， 整理得 又 ∴ 将，代入得 解得， 经检验，是原分式方程的解． 13. 如图，的半径是的直径，的半径交于点，若，，则的长是_____． 【答案】 【解析】 【详解】连接， ， ， ， ， ． 14. 如图，在正方形中，点是边上一动点，将沿着直线翻折，得到，连接． （1）若点为的中点，连接．当时，_____； （2）的最大值是_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质及折叠的性质证明，则，而，即可求解； （2）过点A作于点M，过点C作于点N，证明，则，而，故． 【详解】解∶（1）连接， ∵正方形， ∴，， ∵，G为中点， ∴， ∵沿着直线翻折，得到， ∴，，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 又， ∴； （2）过点A作于点M，过点C作于点N， ∴ ，， ∴， ∴， 由（1）得， 又， ∴， ∴， 而， ∴，即最大值为2． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程： 【答案】 【解析】 【详解】解： 或 ∴． 16. 内接于，且点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． （1）在图1中找一个格点（点不与点重合），画出，使； （2）在图2中的圆上找一点，使得平分． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）取格点，连接，由勾股定理及其逆定理可知； （2）取格点，连接，此时交于一点I，作直线，交于点F，连接，此时点F为优弧的中点，则，则，可得到平分． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，点F即为所求： 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 用电脑程序控制甲、乙两种小型赛车进行比赛，已知甲型赛车的平均速度为，练习中发现，两辆车同时从起点出发，甲型赛车到达终点时，乙型赛车离终点还差． （1）求乙型赛车的平均速度； （2）如果两车重新开始比赛时，甲型赛车从起点向后退了一定距离与乙型赛车同时出发，最后也恰好同时到达终点，直接写出甲型赛车从起点后退的距离为______． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设乙型赛车的平均速度为，根据甲型赛车从起点到达终点时，两辆车所用时间相等，列出分式方程，解方程即可求解； （2）设甲型赛车从起点后退的距离为，根据题意，列出一元一次方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：设乙型赛车的平均速度为 由题意，得 解得． 检验：当时，， 所以原方程的解为，且符合题意． 答：乙型赛车的平均速度为． 【小问2详解】 设甲型赛车从起点后退的距离为，根据题意得， ， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 18. 广州地铁经过多年的发展，地铁出入口更加人性化和便民化．如图1是某地铁出入口，有步梯和电梯两种由地下层通往地面层的出入方式．其截面如图2所示，是由地下直通地面的电梯，，，，，是步梯，，，的倾角相同，，与地面平行．已知电梯全长30米，倾角为，米． （1）求地面层与地下层的垂直高度； （2）求步梯的倾角的正切值和步梯通道的全长．参考数据：，，． 【答案】（1）18米 （2）1，米 【解析】 【分析】（1）根据，代入解答即可； （2）延长交于点M，延长交于点N，利用平行四边形的判定和性质，解直角三角形，解答即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得（米）， 答：地面层与地下层的垂直高度约为18米． 【小问2详解】 解：延长交于点M，延长交于点N， ∵，，的倾角相同，，与地面平行． ∴， ∴， ∵， ∴四边形，四边形都是平行四边形， ∴， ∵电梯全长30米，倾角为，米． ∴（米）， （米）， （米）， ∴（米）， ∴， ∴， ∴， ∴（米）， ∴步梯通道的全长为（米）． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，解直角三角形，特殊角的三角函数值，倾角相同的意义，熟练掌握判定和性质，解直角三角形是解题的关键． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 用同样大小的两种不同颜色的正方形纸片，按如图方式拼成长方形： 第①个图形中有2张正方形纸片； 第②个图形中有张正方形纸片； 第③个图形中有张正方形纸片； 第④个图形中有张正方形纸片． 请你观察上述图形与算式，完成下列问题： （1）第⑤个图形中有_____张正方形纸片（直接写出结果）；根据上面的发现我们可以猜想第个图形中有_____张正方形纸片； （2）由（1）可得：_____（用含的代数式表示）； （3）根据你的发现计算：_____． 【答案】（1）30， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知的规律即可得答案； （2）根据（1）的计算等式，利用等式的性质计算即可得到答案； （3）将各数都减去1000，再根据（2）的规律计算即可． 【小问1详解】 解：第⑤个图形中有张正方形纸片； 第个图形中有张正方形纸片； 【小问2详解】 解：∵ ∴； 【小问3详解】 解： ． 20. 如图，在中，，以为直径作交于点．点在线段上，．连接并延长交于． （1）求证：； （2）连接交于点．若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据直径所对的圆周角是直角，易得垂直平分，再根据等腰三角形三线合一的性质，得到，再根据同角的余角相等，得到，即可证明结论； （2）先根据等边对等角的性质和等角的余角相等，得出，由垂径定理可知，进而得到，再证明，得到从而求出，设的半径为，利用勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接， 是的直径， ，即， ， 是线段的垂直平分线， ， ∴， ， ∵， ， 是的半径， 是的切线， 由弦切角定理可得：， ； 【小问2详解】 解：交于点，， 设，则，， ， ， ， 在中，， ， ， 是的直径， ， ， ， 在中，， ， 由垂径定理可得：， ， ， ， 在和中， ，， ， ， ， 解得，（不合题意，舍去）， ，，， 在中，，， 由勾股定理可得，， 设的半径为， ， ， 在中，由勾股定理可得，， ， 解得． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，垂径定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握圆的相关性质是解题关键． 六、（本题满分12分） 21. 第24届冬奥会于2022年2月20日在北京胜利闭幕．某校七、八年级各有500名学生．为了解这两个年级学生对本次冬奥会的关注程度，现从这两个年级各随机抽取n名学生进行冬奥会知识测试，将测试成绩按以下六组进行整理（得分用x表示）： A：，B：，C：， D：，E：，F：， 并绘制七年级测试成绩频数直方图和八年级测试成绩扇形统计图，部分信息如下： 已知八年级测试成绩D组的全部数据如下：86，85，87，86，85，89，88 请根据以上信息，完成下列问题： （1）n＝______，a＝______； （2）八年级测试成绩的中位数是______﹔ （3）若测试成绩不低于90分，则认定该学生对冬奥会关注程度高．请估计该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有多少人，并说明理由． 【答案】（1）20；4 （2）86.5 （3）该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有人． 【解析】 【分析】（1）八年级D组：的频数为7÷D组占35%求出n，再利用样本容量减去其他四组人数÷2求即可； （2）根据中位数定义求解即可； （3）先求出七八年级不低于90分的人数，求出占样本的比，用两个年级总数×计算即可． 【小问1详解】 解：八年级测试成绩D组：的频数为7，由扇形统计图知D组占35%， ∴进行冬奥会知识测试学生数为n=7÷35%=20， ∴， 故答案为：20；4； 【小问2详解】 解：A、B、C三组的频率之和为5%+5%+20%=30%＜50%， A、B、C、D四组的频率之和为30%+35%=65%＞50%， ∴中位数在D组，将D组数据从小到大排序为85，85，86，86，87， 88 ，89， ∵20×30%=6，第10与第11两个数据为86，87， ∴中位数为， 故答案为：86.5； 【小问3详解】 解：八年级E：，F：两组占1-65%=35%， 共有20×35%=7人 七年级E：，F：两组人数为3+1=4人， 两年级共有4+7=11人， 占样本， ∴该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有（人）． 【点睛】本题考查从频率直方图和扇形统计图获取信息与处理信息，样本的容量，频数，中位数，用样本的百分比含量估计总体中的数量，掌握样本的容量，频数，中位数，用样本的百分比含量估计总体中的数量是解题关键． 七、（本题满分12分） 22. 跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度为，基准点K到起跳台的水平距离为，高度为（h为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度与水平距离之间的函数关系为． （1）c的值为__________； （2）①若运动员落地点恰好到达K点，且此时，求基准点K的高度h； ②若时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为__________； （3）若运动员飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由． 【答案】（1）66 （2）①基准点K的高度h为21m；②b＞； （3）他的落地点能超过K点，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）根据起跳台的高度OA为66m，即可得c＝66； （2）①由a＝﹣ ，b＝，知y＝﹣x2+x+66，根据基准点K到起跳台的水平距离为75m，即得基准点K的高度h为21m； ②运动员落地点要超过K点，即是x＝75时，y＞21，故﹣×752+75b+66＞21，即可解得答案； （3）运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，即是抛物线的顶点为（25，76），设抛物线解析式为y＝a（x﹣25）2+76，可得抛物线解析式为y＝﹣（x﹣25）2+76，当x＝75时，y＝36，从而可知他的落地点能超过K点． 【小问1详解】 解：∵起跳台的高度OA为66m， ∴A（0，66）， 把A（0，66）代入y＝ax2+bx+c得： c＝66， 故答案为：66； 【小问2详解】 解：①∵a＝﹣，b＝， ∴y＝﹣x2+x+66， ∵基准点K到起跳台的水平距离为75m， ∴y＝﹣×752+×75+66＝21， ∴基准点K的高度h为21m； ②∵a＝﹣， ∴y＝﹣x2+bx+66， ∵运动员落地点要超过K点， ∴当x＝75时，y＞21， 即﹣×752+75b+66＞21， 解得b＞， 故答案为：b＞； 【小问3详解】 解：他的落地点能超过K点，理由如下： ∵运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m， ∴抛物线的顶点为（25，76）， 设抛物线解析式为y＝a（x﹣25）2+76， 把（0，66）代入得： 66＝a（0﹣25）2+76， 解得a＝﹣， ∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣25）2+76， 当x＝75时，y＝﹣×（75﹣25）2+76＝36， ∵36＞21， ∴他的落地点能超过K点． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能根据题意把实际问题转化为数学问题． 八、（本题满分14分） 23. 正方形中，是边上的一个动点，已知，且，连接． （1）如图1，求证：； （2）连接，交于点，交于点． ①如图2，连接，求证：； ②如图3，交于点，若，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析 ② 【解析】 【分析】（1）证明和为等腰直角三角形，可得，即可求证； （2）①证明， 可得，再证明，可得，即可求证；②连接，根据题意可设，则，可得，，，再由，可得，由①得：，可得，，根据，可得，从而得到，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵，且， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵四边形为正方形， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①由（1）得：， 又∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， 又 ∵， ∴， ∴， 又 ∵， ∴； ②如图，连接， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴可设，则， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由①得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $