1.5 基本不等式的综合应用讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦基本不等式综合应用，涵盖恒成立问题、实际应用、交汇最值三大核心考点，按考向预测-题型突破-微拓展-限时训练逻辑架构，通过考点梳理、方法指导、真题讲解及跟踪训练，帮助学生系统掌握配凑换元等技巧，突破应用难点。 资料特色在于融合柯西不等式、权方和不等式拓展解题工具，设计分层限时训练，如实际应用中构建利润函数模型培养数学思维，交汇问题结合向量、数列强化数学语言表达。通过题型归类与技巧总结，助力学生高效提升逻辑运算与变形能力，为教师把控复习节奏提供精准教学支持。

第一章集合、常用逻辑用语、不等式 §1.5　基本不等式的综合应用 【高考考向预测】 近三年高考基本不等式综合应用考查频次较高，常以选择、填空小题为主，也常融入函数、数列、解析几何等题型考查最值求解、取值范围确定，重点考查一正二定三相等条件及配凑、换元等解题技巧；预测2027 年高考仍会保持高频考查趋势，命题更侧重多形式配凑、双变量最值及实际情境应用，注重与其他知识点融合设问，强化等号成立条件判断，题型灵活多变但紧扣核心用法，侧重考查学生灵活变形与逻辑运算能力。 【题型突破●明方向】 题型一　与基本不等式有关的恒(能)成立问题 例1　(1)(2025·达州模拟)已知a>0，b>0，若不等式≤恒成立，则实数m的最大值为(　　) A.64 B.25 C.13 D.12 (2)若正实数x，y满足x+y=1，且不等式+<m2+m有解，则实数m的取值范围为　　　　　　.  【跟踪训练】1　(1)(2026·遵义模拟)“a=9”是“不等式(x+y)≥8(a>0)对于任意正实数x，y恒成立”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)若两个正实数x，y满足x+2y=xy，且存在这样的x，y使不等式2x+y<m2+8m有解，则实数m的取值范围是(　　) A.(-1，9) B.(-9，1) C.(-∞，-9)∪(1，+∞) D.(-∞，-1)∪(9，+∞) 题型二　基本不等式的实际应用 例2　随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持着持续增长的趋势.某医疗公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为80台.每生产x(x∈N*)台，需另投入成本G(x)万元，且G(x)=x∈N*，由市场调研知，该产品的售价为每台200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. (1)写出年利润W(x)(万元)关于年产量x(台)的函数解析式(利润=销售收入-成本)； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 【跟踪训练】2　某村现有180户村民，且都从事海产品养殖工作，平均每户的年收入为8万元.为探索科技助农新模式，村委会决定调整产业结构，安排x(0<x<180，x∈N*)户村民只从事直播带货工作，其余的只从事海产品养殖工作，预计调整后从事直播带货工作的村民平均每户的年收入为8(a>0)万元，从事海产品养殖工作的村民平均每户的年收入相比原来提高5x%，若从事直播带货工作的村民不管有多少户，他们的总年收入都不大于从事海产品养殖工作的村民的总年收入，则a的最大值为(　　) A.12 B.14 C.22 D.60 题型三　基本不等式与其他知识交汇的最值问题 例3　(1)(2025·菏泽模拟)已知A，B，C三点不共线，点O不在平面ABC内，=+x+y(x，y>0)，若A，B，C，D四点共面，则xy的最大值为(　　) A. B. C.1 D.2 (2)(2026·苏州模拟)已知随机变量ξ~N(1，σ2)，且P(ξ≤0)=P(ξ≥a)，则+(0<x<a)的最小值为(　　) A.9 B. C.4 D.6 【跟踪训练】3　(1)(2025·绍兴模拟)原点到直线l：λx+y-λ+1=0(λ∈R)的距离的最大值为(　　) A. B. C. D. (2)(2025·海南模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+n，当取得最小值时，n=　　　　.  柯西不等式 1.二维形式的柯西不等式 (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2(a，b，c，d∈R，当且仅当ad=bc时，等号成立). 2.二维形式的柯西不等式的变式 (1)·≥|ac+bd|(a，b，c，d∈R，当且仅当ad=bc时，等号成立). (2)·≥|ac|+|bd|(a，b，c，d∈R，当且仅当ad=bc时，等号成立). (3)(a+b)(c+d)≥(a，b，c，d≥0，当且仅当ad=bc时，等号成立). 3.一般形式的柯西不等式 设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(++…+)(++…+)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2，当且仅当bi=0(i=1，2，…，n)或存在一个实数k，使得ai=kbi(i=1，2，…，n)时，等号成立. 4.二维形式的柯西不等式的向量形式 |α·β|≤|α||β|(当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α=kβ时，等号成立). 典例　(1)实数x，y满足3x2+4y2=12，则z=2x+y的最小值是(　　) A.-5 B.-6 C.3 D.4 (2)设a=(1，-2)，b=(x，y)，若x2+y2=16，则a·b的最大值为　　　　　　.  权方和不等式 1.二维权方和不等式：若a，b，x，y>0，则+≥，当且仅当=时，等号成立. 变形1：已知x，y，a，b>0，则+≥，当且仅当x∶y=∶时，等号成立. 变形2：已知x，y，a，b>0，且m>0，则+≥，当且仅当=时，等号成立. 2.多维权方和不等式： 公式1：若an>0，bn>0，n∈N*，则++…+≥，当且仅当===…=时，等号成立. 公式2：若an>0，bn>0，n∈N*，m>0，则++…+≥，当且仅当===…=时，等号成立. 权方和不等式的特征是分子的幂指数比分母的幂指数大1，用于“知和求和型”快速求最值，本质还是代数式常数化. 典例　(1)若x>0，y>0，+=2，则6x+5y的最小值为　　　　　　.  (2)已知正数x，y，z满足x+y+z=1，则++的最小值为　　　　　　.  【限时训练】 （30分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共20分) 1.(2021·新高考全国Ⅰ卷)已知F1，F2是椭圆C：+=1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为(　　) A.13 B.12 C.9 D.6 2.(2025·福州模拟)当x>0，y>0时，+≥，则实数m的最大值为(　　) A.9 B.8 C.4 D.1 3.若存在x∈(0，2]，使不等式ax2-2x+3a<0成立，则实数a的取值范围是(　　) A.a< B.0≤a≤ C.a> D.a> 4.(链接教材，人教A版必修第二册P55阅读与思考)中国南宋著名数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式S=求得，其中p为三角形周长的一半.已知△ABC的周长为12，c=4，则此三角形面积最大时，A等于(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 5.(2026·常州模拟)已知点P是△ABC的中线BD上一点(不包含端点)且=x+y，则下列说法正确的是(　　) A.x+2y=1 B.2x+y=1 C.2x+4y≥2 D.+的最小值是9 6.已知x>0，y>0，且2x+y=1，若≤x+2y恒成立，则实数m的可能取值为(　　) A. B. C.3 D. 三、填空题(每小题5分，共10分) 7.若正实数x，y满足x+y=2，且≥M恒成立，则M的最大值为　　　　.  8.已知函数f(x)=ax2+2x+b的值域为[0，+∞)，其中a>b，则的最小值为　　　　.  四、解答题(共28分) 9.(13分)(2025·武汉模拟)已知x，y都是正数，且+=1. (1)求2x+y的最小值；(6分) (2)已知不等式λ(x+2y)≤(3x+2y)2恒成立，求实数λ的取值范围.(7分) 10.(15分)(2025·曲靖模拟)某村原有一块矩形ABCD场地建有健身器材，为了满足村民对体育锻炼的需求，计划在原有矩形场地的基础上扩建成一个更大的矩形场地AEGF.为了不影响原有的锻炼环境，建造时要求点B在AE上，点D在AF上，且对角线EF经过点C，如图所示.已知AB=16 m，AD=12 m，设DF=x m，矩形AEGF的面积为y m2. (1)写出y关于x的表达式，并求出x为多少时，y有最小值；(8分) (2)要使矩形AEGF的面积大于1 024 m2，则DF的长应在什么范围内？(7分) [每小题5分，共10分] 11.(人教A版必修第一册P49习题2.2T8改编)已知矩形ABCD(AB>AD)的周长为24，将△ABC沿AC向△ADC折叠，AB折过去后与DC交于点P.设AB=x，则DP=　　　　　　　(用x表示)，当△ADP的面积最大时，x=　　　　　　　.  12.已知函数f(x)=2 026x-2 026-x，若m>0，n>1，且f+f=f(sin 2 026π)，则+的最小值为　　　　.  第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章集合、常用逻辑用语、不等式 §1.5　基本不等式的综合应用 【高考考向预测】 近三年高考基本不等式综合应用考查频次较高，常以选择、填空小题为主，也常融入函数、数列、解析几何等题型考查最值求解、取值范围确定，重点考查一正二定三相等条件及配凑、换元等解题技巧；预测2027 年高考仍会保持高频考查趋势，命题更侧重多形式配凑、双变量最值及实际情境应用，注重与其他知识点融合设问，强化等号成立条件判断，题型灵活多变但紧扣核心用法，侧重考查学生灵活变形与逻辑运算能力。 【题型突破●明方向】 题型一　与基本不等式有关的恒(能)成立问题 例1　(1)(2025·达州模拟)已知a>0，b>0，若不等式≤恒成立，则实数m的最大值为(　　) A.64 B.25 C.13 D.12 【答案】B 【解析】a>0，b>0，则a+b>0， 不等式≤恒成立，即m≤·(a+b)恒成立， ·(a+b)=(a+b)=13++≥13+2=25， 当且仅当=，即b=a时，等号成立， 所以m≤25，即实数m的最大值为25. (2)若正实数x，y满足x+y=1，且不等式+<m2+m有解，则实数m的取值范围为　　　　　　.  【答案】(-∞，-3)∪ 【解析】因为x+y=1，所以+=1，所以+==2+++≥+2=，当且仅当=时，等号成立，因为x+y=1，所以此时x=，y=，所以+的最小值为，由题可得m2+m>，解得m<-3或m>. 【思维升华】∀x∈M，使得f(x)≥a，等价于f(x)min≥a，∀x∈M，使得f(x)≤a，等价于f(x)max≤a；∃x∈M，使得f(x)≥a，等价于f(x)max≥a，∃x∈M，使得f(x)≤a，等价于f(x)min≤a. 【跟踪训练】1　(1)(2026·遵义模拟)“a=9”是“不等式(x+y)≥8(a>0)对于任意正实数x，y恒成立”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当a=9时，对于任意正实数x，y， (x+y)=10++≥10+2=16，当且仅当y=3x时取等号， 即此时不等式(x+y)≥8(a>0)对于任意正实数x，y恒成立，充分性成立； 当不等式(x+y)≥8(a>0)对于任意正实数x，y恒成立时， (x+y)=1+a++≥1+a+2=1+a+2， 当且仅当y=x时取等号， 此时需满足1+a+2≥8(a>0)，解得a≥，此时a不一定等于9，必要性不成立， 故“a=9”是“不等式(x+y)≥8(a>0)对于任意正实数x，y恒成立”的充分不必要条件. (2)若两个正实数x，y满足x+2y=xy，且存在这样的x，y使不等式2x+y<m2+8m有解，则实数m的取值范围是(　　) A.(-1，9) B.(-9，1) C.(-∞，-9)∪(1，+∞) D.(-∞，-1)∪(9，+∞) 【答案】C 【解析】由x>0，y>0，x+2y=xy得+=1， 2x+y=(2x+y)=5++≥5+2=9， 当且仅当x=y=3时，等号成立， 则要使不等式2x+y<m2+8m有解，只需满足m2+8m>9即可， 解得m<-9或m>1，即m的取值范围为(-∞，-9)∪(1，+∞). 题型二　基本不等式的实际应用 例2　随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持着持续增长的趋势.某医疗公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为80台.每生产x(x∈N*)台，需另投入成本G(x)万元，且G(x)=x∈N*，由市场调研知，该产品的售价为每台200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. (1)写出年利润W(x)(万元)关于年产量x(台)的函数解析式(利润=销售收入-成本)； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 【解析】(1)由该产品的年固定成本为300万元， 另投入成本G(x)万元， 且G(x)=x∈N*， 当0<x≤40时，W(x)=200x-300-G(x) =-2x2+120x-300， 当40<x≤80时，W(x)=200x-300-G(x)=-x-+1 720， 所以利润W(x)(万元)关于年产量x(台)的函数解析式为 W(x)=x∈N*. (2)当0<x≤40时，W(x)=-2x2+120x-300=-2(x-30)2+1 500， 故当x=30时，W(x)最大，最大值为1 500； 当40<x≤80时，W(x)=-+1 720≤1 720-2=1 600， 当且仅当x=，即x=60时等号成立， 综上可得，当年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润为1 600万元. 【思维升华】利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题设出变量，注意变量应满足实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值. 【跟踪训练】2　某村现有180户村民，且都从事海产品养殖工作，平均每户的年收入为8万元.为探索科技助农新模式，村委会决定调整产业结构，安排x(0<x<180，x∈N*)户村民只从事直播带货工作，其余的只从事海产品养殖工作，预计调整后从事直播带货工作的村民平均每户的年收入为8(a>0)万元，从事海产品养殖工作的村民平均每户的年收入相比原来提高5x%，若从事直播带货工作的村民不管有多少户，他们的总年收入都不大于从事海产品养殖工作的村民的总年收入，则a的最大值为(　　) A.12 B.14 C.22 D.60 【答案】B 【解析】由题意可得8x≤(180-x)·8·(1+5x%)，化简可得a≤++8， 因为++8≥2+8=14， 当且仅当=，即x=60时等号成立， 所以a≤14，即a的最大值为14. 题型三　基本不等式与其他知识交汇的最值问题 例3　(1)(2025·菏泽模拟)已知A，B，C三点不共线，点O不在平面ABC内，=+x+y(x，y>0)，若A，B，C，D四点共面，则xy的最大值为(　　) A. B. C.1 D.2 【答案】B 【解析】因为A，B，C，D四点共面，所以x+y+=1，则x+y=，又x>0，y>0， 所以xy≤=，当且仅当x=y=时取等号. (2)(2026·苏州模拟)已知随机变量ξ~N(1，σ2)，且P(ξ≤0)=P(ξ≥a)，则+(0<x<a)的最小值为(　　) A.9 B. C.4 D.6 【答案】B 【解析】因为随机变量ξ~N(1，σ2)，且P(ξ≤0)=P(ξ≥a)，则=1，可得a=2， 因为0<x<a，则a-x>0， 所以+=+ =[x+(2-x)] = ≥=， 当且仅当=，即x=时，等号成立， 所以+(0<x<a)的最小值为. 【思维升华】基本不等式常作为工具，与函数、导数、数列、三角、向量、复数、简易逻辑问题、立体几何、解析几何、实际问题、新定义问题等考点交汇，常常需要借助不等式来解决其中的最值问题. 【跟踪训练】3　(1)(2025·绍兴模拟)原点到直线l：λx+y-λ+1=0(λ∈R)的距离的最大值为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】方法一　设原点到直线l的距离为d，由点到直线的距离公式得 d===， 显然当λ<0时，有最大值， 此时-=， 因为(-λ)+≥2=2，当且仅当λ=-1时等号成立， 所以≤=1，所以dmax=. 方法二　直线l恒过定点(1，-1)，故原点到直线l距离的最大值为. (2)(2025·海南模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+n，当取得最小值时，n=　　　　.  【答案】3 【解析】因为Sn=n2+n， 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n， 又当n=1时，a1=S1=2，满足an=2n，故an=2n， 则==+ ≥×2+=， 当且仅当n=，即n=3时，等号成立， 所以当n=3时，取得最小值. 柯西不等式 1.二维形式的柯西不等式 (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2(a，b，c，d∈R，当且仅当ad=bc时，等号成立). 2.二维形式的柯西不等式的变式 (1)·≥|ac+bd|(a，b，c，d∈R，当且仅当ad=bc时，等号成立). (2)·≥|ac|+|bd|(a，b，c，d∈R，当且仅当ad=bc时，等号成立). (3)(a+b)(c+d)≥(a，b，c，d≥0，当且仅当ad=bc时，等号成立). 3.一般形式的柯西不等式 设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(++…+)(++…+)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2，当且仅当bi=0(i=1，2，…，n)或存在一个实数k，使得ai=kbi(i=1，2，…，n)时，等号成立. 4.二维形式的柯西不等式的向量形式 |α·β|≤|α||β|(当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α=kβ时，等号成立). 典例　(1)实数x，y满足3x2+4y2=12，则z=2x+y的最小值是(　　) A.-5 B.-6 C.3 D.4 【答案】A 【解析】∵实数x，y满足3x2+4y2=12， ∴+=1，∴(16+9)≥， 即-5≤2x+y≤5，当且仅当3x=8y， 即当时，左边取等号， 当时，右边取等号， ∴z=2x+y的最小值是-5. (2)设a=(1，-2)，b=(x，y)，若x2+y2=16，则a·b的最大值为　　　　　　.  【答案】4 【解析】∵a=(1，-2)，b=(x，y)，∴a·b=x-2y. 由柯西不等式的向量形式可得 [12+(-2)2](x2+y2)≥(x-2y)2， 即5×16≥(x-2y)2，∴-4≤x-2y≤4， (*) 当且仅当b=ka， 即时，(*)式中右边等号成立， 或时，(*)式中左边等号成立， ∴当x=，y=-时，a·b的最大值为4. 权方和不等式 1.二维权方和不等式：若a，b，x，y>0，则+≥，当且仅当=时，等号成立. 变形1：已知x，y，a，b>0，则+≥，当且仅当x∶y=∶时，等号成立. 变形2：已知x，y，a，b>0，且m>0，则+≥，当且仅当=时，等号成立. 2.多维权方和不等式： 公式1：若an>0，bn>0，n∈N*，则++…+≥，当且仅当===…=时，等号成立. 公式2：若an>0，bn>0，n∈N*，m>0，则++…+≥，当且仅当===…=时，等号成立. 权方和不等式的特征是分子的幂指数比分母的幂指数大1，用于“知和求和型”快速求最值，本质还是代数式常数化. 典例　(1)若x>0，y>0，+=2，则6x+5y的最小值为　　　　　　.  【答案】+2 【解析】+=+=+≥=，即2≥， 因为x>0，y>0， 则6x+5y≥+2，当且仅当=， 即x=，y=时取等号. (2)已知正数x，y，z满足x+y+z=1，则++的最小值为　　　　　　.  【答案】 【解析】++ ≥=， 当且仅当==， 即x=y=z=时取等号. 【限时训练】 （30分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共20分) 1.(2021·新高考全国Ⅰ卷)已知F1，F2是椭圆C：+=1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为(　　) A.13 B.12 C.9 D.6 【答案】C 【解析】由椭圆C：+=1，得|MF1|+|MF2|=2×3=6，则|MF1|·|MF2|≤=32=9，当且仅当|MF1|=|MF2|=3时等号成立. 2.(2025·福州模拟)当x>0，y>0时，+≥，则实数m的最大值为(　　) A.9 B.8 C.4 D.1 【答案】A 【解析】因为当x>0，y>0时，+≥，可得(x+y)≥m， 又因为(x+y)=++5≥2+5=9， 当且仅当=，即y=2x时，等号成立， 可得m≤9，所以实数m的最大值为9. 3.若存在x∈(0，2]，使不等式ax2-2x+3a<0成立，则实数a的取值范围是(　　) A.a< B.0≤a≤ C.a> D.a> 【答案】A 【解析】当x∈(0，2]时，由ax2-2x+3a<0， 可得a(x2+3)<2x，由题意得a<， 因为=≤=， 当且仅当x=(0<x≤2)，即x=时，等号成立， 所以当x∈(0，2]时，的最大值为， 故a<. 4.(链接教材，人教A版必修第二册P55阅读与思考)中国南宋著名数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式S=求得，其中p为三角形周长的一半.已知△ABC的周长为12，c=4，则此三角形面积最大时，A等于(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 【答案】C 【解析】由题可知a+b=8，c=4，p=6， 则S==≤×=4， 当且仅当a=b=4时取等号， 所以此时三角形为等边三角形，故A=60°. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 5.(2026·常州模拟)已知点P是△ABC的中线BD上一点(不包含端点)且=x+y，则下列说法正确的是(　　) A.x+2y=1 B.2x+y=1 C.2x+4y≥2 D.+的最小值是9 【答案】ACD 【解析】由题意可设=λ(0<λ<1)， 则=+=+λ =+λ(-)=(1-λ)+， 因为=x+y， 所以则x+2y=1，且x>0，y>0，A正确，B不正确； 2x+4y=2x+22y≥2=2， 当且仅当x=2y=时，等号成立，C正确； 又+=(x+2y) =1+4++≥5+2=9， 当且仅当=，即x=y=时，等号成立，D正确. 6.已知x>0，y>0，且2x+y=1，若≤x+2y恒成立，则实数m的可能取值为(　　) A. B. C.3 D. 【答案】ABC 【解析】由x>0，y>0，得xy>0， ≤x+2y恒成立， 即≤=+恒成立， 又+=(2x+y)=5++ ≥5+2=9， 当且仅当x=y=时，等号成立， 故≤9，即-9=≤0， 即 解得m<1或m≥. 三、填空题(每小题5分，共10分) 7.若正实数x，y满足x+y=2，且≥M恒成立，则M的最大值为　　　　.  【答案】1 【解析】∵正实数x，y满足x+y=2， ∴xy≤==1，当且仅当x=y=1时，等号成立，∴≥1， 又≥M恒成立，∴M≤1，即M的最大值为1. 8.已知函数f(x)=ax2+2x+b的值域为[0，+∞)，其中a>b，则的最小值为　　　　.  【答案】2 【解析】函数f(x)=ax2+2x+b的值域为[0，+∞)， 令ax2+2x+b=0， 则有即ab=1，且a>0，所以b>0， 又a>b，所以a-b>0， 所以==(a-b)+ ≥2=2， 当且仅当a-b=，且ab=1， 即a=，b=时等号成立， 所以的最小值为2. 四、解答题(共28分) 9.(13分)(2025·武汉模拟)已知x，y都是正数，且+=1. (1)求2x+y的最小值；(6分) (2)已知不等式λ(x+2y)≤(3x+2y)2恒成立，求实数λ的取值范围.(7分) 【解析】(1)由题意知x>0，y>0， 则2x+y=(2x+y) =4+++1≥5+2=9， 当且仅当即x=y=3时取等号， 此时2x+y的最小值为9. (2)方法一　由题意知λ≤. 因为y=，x-2>0， 所以== ==9(x-2)++12 ≥2+12=24， 当且仅当9(x-2)=，即x=，y=4时，等号成立. 所以λ≤24，即λ的取值范围为(-∞，24]. 方法二　由+=1，得x+2y=xy>0，又λ(x+2y)≤(3x+2y)2恒成立， 所以λ≤， 因为== =++12≥2+12=24， 当且仅当x+2y=xy>0，且=， 即x=，y=4时等号成立.所以λ≤24，即λ的取值范围为(-∞，24]. 10.(15分)(2025·曲靖模拟)某村原有一块矩形ABCD场地建有健身器材，为了满足村民对体育锻炼的需求，计划在原有矩形场地的基础上扩建成一个更大的矩形场地AEGF.为了不影响原有的锻炼环境，建造时要求点B在AE上，点D在AF上，且对角线EF经过点C，如图所示.已知AB=16 m，AD=12 m，设DF=x m，矩形AEGF的面积为y m2. (1)写出y关于x的表达式，并求出x为多少时，y有最小值；(8分) (2)要使矩形AEGF的面积大于1 024 m2，则DF的长应在什么范围内？(7分) 【解析】(1)由题图知CD∥AE， 所以=，即=， 解得AE=， 所以y=·(x+12)=(x>0). 因为y==16 ≥16=768，当且仅当x=12时，等号成立， 所以当x=12时，y取得最小值768. (2)因为矩形AEGF的面积大于1 024 m2， 所以>1 024， 化简得x2-40x+144>0， 即(x-4)(x-36)>0， 解得0<x<4或x>36，即DF(单位：m)的取值范围为(0，4)∪(36，+∞). [每小题5分，共10分] 11.(人教A版必修第一册P49习题2.2T8改编)已知矩形ABCD(AB>AD)的周长为24，将△ABC沿AC向△ADC折叠，AB折过去后与DC交于点P.设AB=x，则DP=　　　　　　　(用x表示)，当△ADP的面积最大时，x=　　　　　　　.  【答案】(6<x<12)　6 【解析】如图2是图1沿着AC折叠后的图形，因为AB=x，则AD=12-x， 因为矩形ABCD(AB>AD)的周长为24，则6<x<12，对折后AD=B'C=12-x，易得△ADP≌△CB'P， 设DP=B'P=y，则CP=x-y，在Rt△CB'P中，由勾股定理得(x-y)2=y2+(12-x)2， 整理得y=，即DP=(6<x<12)， △ADP的面积为S=·(12-x)·=-6+108， 因为6<x<12，则x+≥2=12，当且仅当x=，即x=6时，等号成立， 所以当x=6时，△ADP的面积最大. 12.已知函数f(x)=2 026x-2 026-x，若m>0，n>1，且f+f=f(sin 2 026π)，则+的最小值为　　　　.  【答案】2 【解析】因为f(x)=2 026x-2 026-x，x∈R， 所以f(-x)=2 026-x-2 026x =-(2 026x-2 026-x)=-f(x)， 所以f(x)是奇函数，f(0)=0， 若m>0，n>1，则f+f =f(sin 2 026π)=f(0)=0， 所以f=-f=f， 又f(x)在R上单调递增， 所以-2=-，即+=2，n+2m=2mn， 则2m=， 所以+= =3n+2m-4=3n+-4 =3(n-1)+≥2=2， 当且仅当3(n-1)=，即n=1+时，等号成立， 所以+的最小值为2. 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $