精品解析：广东省河源市正德中学2025-2026学年九年级下学期第一次段考数学试题

河源市正德中学2026年春九年级诊断性考试试题 九年级数学试卷 时间：120分钟 满分120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 实数的绝对值是（ ） A. 2 B. C. D. 2. 144的平方根是的数学表达式是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是　　 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，著名的《周髀算经》中记载了这一定理．下列各组数能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. 4，5，6 B. 5，7，8 C. 3，4，5 D. 5，10，13 5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 从电动伸缩门可以抽象出如图所示几何图形，若平分，交于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 2025年10月31日23时44分，神舟二十一号载人飞船成功发射，飞船历时约3．5小时成功对接空间站天和核心舱前向端口，创造了神舟飞船与空间站交会对接的最快纪录．我国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设从甲、乙、丙三名航天员中选两人进入问天实验舱开展科学实验，则甲、乙两人被同时选中的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点A为反比例函数（x＞0）的图象上的一点，AB⊥x轴，AC⊥y轴，垂足分别为B、C，则四边形OCAB的面积为( ) A. 1 B. 2 C. 4 D. 随着A点位置的变化而变化 9. 小王的妈妈即将出国旅行．出发前，小王帮妈妈查询了当地的气温，抵达目的地当日气温是华氏度（）我国常用的摄氏温标．和华氏温标满足一次函数关系：，那么小王应建议妈妈抵达目的地时穿（ ） A. 春季服装 B. 夏季服装 C. 秋季服装 D. 冬季服装 10. 如图，是正五边形的内切圆，点M，N，F分别是边与的切点，则的度数为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 因式分解：__________． 12. 如果，那么代数式的值为 ______． 13. 如图，与位似，位似中心为O，，的面积为18，则的面积为________． 14. 体质指数（）是衡量人体胖瘦程度的标准：，其中w为体重（单位：kg），h为身高（单位：m），成年人的正常范围是．有一位成年人体重为，根据公式计算得出他的值为，属于超重范围．若想要值不超过，他至少应减重_____kg． 15. 如图是小明借助工具设计的抛物线型帐篷．在抛物线上取，，，四点，且线段，都与地面平行，抛物线最高点到的距离为，，，则点到的距离为______． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：． 17. 如图，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD=∠A． （1）作∠BDC的平分线DE，交BC于点E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系（不要求证明）． 18. 如图，内接于，为的直径，点D在的延长线上，连接，，求证：是的切线． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 大数据监测显示，我国中学生的总体近视率达．为了了解学生的视力健康情况，某校从八、九年级各随机抽取20名学生进行视力检查，并对其视力情况的数据进行整理和分析．视力情况共分4组：A．视力，视力正常；B．视力，轻度视力不良；C．视力，中度视力不良；D．视力，重度视力不良．下面给出了部分信息： 抽取的八年级学生的视力在C组的数据是：； 抽取的九年级学生的视力在C组的数据是； 被抽取的八、九年级学生视力的平均数、中位数、众数如下表： 平均数 中位数 众数 八年级 4.82 4.9 九年级 4.82 4.8 4.7 （1）填空：______，______． （2）根据以上数据分析，你认为该校八年级和九年级学生的视力情况谁更健康，请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校八年级共有学生500人，请估计八年级学生视力正常的人数． 20. 2026年央视春晚上，宇树科技机器人方阵震撼亮相，灵动威武的表演惊艳全国．一台台智能机器人以科技之美展现中国力量，让我们真切感受到国家科技发展日新月异、民族复兴步履铿锵！节目组为演出准备了型和型两种机器人，已知2台型机器人和1台型机器人一次共可完成65个标准动作；3台型机器人比2台型机器人一次可多完成10个标准动作． （1）求1台型、1台型机器人一次分别可完成多少个标准动作？ （2）若排练中完成360个相同动作，型机器人比型机器人少用3分钟，且型每分钟完成的动作数量是型的倍，求型机器人每分钟完成多少个动作？ 21. 综合与实践． 物理课上，小明和小亮用如图1所示的实验装置，研究物体从斜面上滑下过程中速度的变化． 以下为两人的对话： 小明：“经过测量，斜面木板的长为，木块高的长为．” 小亮：“我刚刚测量了一下，木块高的长没有错，而用测倾仪测得木板的倾斜角约为，我用计算器计算了一下，发现，可以推断出斜面木板的长的测量数据有误．” 小明：“我检查了一下，果然斜面木板的长测量出错了．” （1）请根据以上信息，求出斜面木板的长； （2）测得的长为，点B为的中点，小车从点A出发，用位置传感器进行实验，得到的图象如图2所示，由图象可知小车从A点运动到B点的时间为，小车在B点时的速度为，在C点时的速度为．根据以上数据，求段的平均速度比段的平均速度大约快了多少（结果保留小数点后两位）． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： ［观察与猜想］ （1）如图①，在正方形中，点、分别是、上的两点，连接、、，则的值为__________． （2）如图②，在矩形中，，，点是上的一点，连接、，且，则的值为__________________． [类比探案] （3）如图③，在四边形中，，点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，求证：． 23. 如图1，已知抛物线y=﹣x2+mx+m﹣2的顶点为A，且经过点B（3，﹣3）． （1）求顶点A的坐标 （2）若P是抛物线上且位于直线OB上方的一个动点，求△OPB的面积的最大值及比时点P的坐标； （3）如图2，将原抛物线沿射线OA方向进行平移得到新的抛物线，新抛物线与射线OA交于C，D两点，请问：在抛物线平移的过程中，线段CD的长度是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河源市正德中学2026年春九年级诊断性考试试题 九年级数学试卷 时间：120分钟 满分120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 实数的绝对值是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了绝对值的概念，掌握“负数的绝对值是它的相反数”是解题的关键． 直接根据绝对值的定义求解即可． 【详解】解：∵表示的绝对值， ∴． 故选：A． 2. 144的平方根是的数学表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平方根定义，如果一个数平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根． 【详解】， 故选C． 【点睛】本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解题的关键． 3. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是　　 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据点在各象限的坐标特点即可解答． 【详解】解：，点的横坐标-2＜0，纵坐标-3＜0， ∴这个点在第三象限． 故选C． 【点睛】解决本题的关键是记住平面直角坐标系中各个象限内点的坐标的符号：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）． 4. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，著名的《周髀算经》中记载了这一定理．下列各组数能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. 4，5，6 B. 5，7，8 C. 3，4，5 D. 5，10，13 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理，若三角形三边满足较短两边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意； B、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意； C、，是“勾股数”，故本选项符合题意； D、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意； 5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：不等式在数轴上表示为：在的位置用实心圆点标注且向右画折线， 不等式在数轴上表示为：在的位置用空心圆点标注且向左画折线， ∴不等式组的解集在数轴上表示正确的是选项A． 6. 从电动伸缩门可以抽象出如图所示几何图形，若平分，交于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，先结合两直线平行，同位角相等得，结合平分，故，因为则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵ ∴， 故选：B 7. 2025年10月31日23时44分，神舟二十一号载人飞船成功发射，飞船历时约3．5小时成功对接空间站天和核心舱前向端口，创造了神舟飞船与空间站交会对接的最快纪录．我国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设从甲、乙、丙三名航天员中选两人进入问天实验舱开展科学实验，则甲、乙两人被同时选中的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用列举法得到所有等可能结果，再找出符合条件的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：∵从甲、乙、丙三名航天员中选2人，所有等可能的结果为：甲乙，甲丙，乙丙，共3种， 其中甲、乙两人同时被选中的结果只有1种， ∴所求概率为． 8. 如图，点A为反比例函数（x＞0）的图象上的一点，AB⊥x轴，AC⊥y轴，垂足分别为B、C，则四边形OCAB的面积为( ) A. 1 B. 2 C. 4 D. 随着A点位置的变化而变化 【答案】B 【解析】 【分析】设A点坐标为（x，y），求得S△AOB＝×OB×AB＝｜xy｜，由xy＝﹣2，得S△AOB＝×2＝1，即可得到答案． 【详解】解：设A点坐标为（x，y）， ∵AB⊥x轴， ∴OB＝x，AB＝｜y｜， ∴S△AOB＝×OB×AB＝｜xy｜， ∵， ∴xy＝﹣2， ∴S△AOB＝×2＝1， 故四边形OCAB的面积＝2S△AOB＝2， 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义，掌握这一点是本题关键． 9. 小王的妈妈即将出国旅行．出发前，小王帮妈妈查询了当地的气温，抵达目的地当日气温是华氏度（）我国常用的摄氏温标．和华氏温标满足一次函数关系：，那么小王应建议妈妈抵达目的地时穿（ ） A. 春季服装 B. 夏季服装 C. 秋季服装 D. 冬季服装 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，代入，，求得抵达目的地时的摄氏温度范围是解题的关键． 【详解】解：当时，，解得：， 当时，，解得：， 即：抵达目的地时的摄氏温度范围是. 这个温度范围比较低，属于冬季的温度范围，所以小王应建议妈妈抵达目的地时穿冬季服装， 故选：D． 10. 如图，是正五边形的内切圆，点M，N，F分别是边与的切点，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，正多边形的内角，圆周角定理，连接，求出的度数，根据四边形的内角和为360度求出的度数，圆周角定理求出的度数即可． 【详解】解：∵正五边形， ∴， 连接， 由题意，得：， ∴， ∴； 故选B． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查利用平方差公式进行因式分解，掌握平方差公式的结构特点是解题的关键，原式符合平方差公式的形式，可直接利用平方差公式分解． 【详解】解： ． 12. 如果，那么代数式的值为 ______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，运用整体思想是解题的关键． 根据已知条件将要求代数式变形，然后整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴当时，原式． 故答案为：7． 13. 如图，与位似，位似中心为O，，的面积为18，则的面积为________． 【答案】32 【解析】 【分析】先结合与位似得到，由得出，最后由相似三角形的面积比等于相似三角形的相似比的平方，即可得到答案． 【详解】解：与位似， ∴，， ∵， ∴， ， 的面积为18， ， 14. 体质指数（）是衡量人体胖瘦程度的标准：，其中w为体重（单位：kg），h为身高（单位：m），成年人的正常范围是．有一位成年人体重为，根据公式计算得出他的值为，属于超重范围．若想要值不超过，他至少应减重_____kg． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查的是对代数式的理解与应用，解题的关键在于理解各个值的含义，先根据已知条件求出身高，再根据此计算出对应的体重，最后得出减重数值． 【详解】解：体重为78，值为，则． 当不超过时： ． 则需要减重： ． 故答案为：． 15. 如图是小明借助工具设计的抛物线型帐篷．在抛物线上取，，，四点，且线段，都与地面平行，抛物线最高点到的距离为，，，则点到的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际问题，建立恰当坐标系得出抛物线解析式是解决问题的关键；建立平面直角坐标系，求出解析式，然后代入的横坐标即可． 【详解】解：如图建立坐标系： ∵抛物线最高点到的距离为，，， ∴，， 设，将代入得，， 解得，即， 当时，， 即点到的距离为， 故答案为：． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先运算负整数指数幂，算术平方根，特殊角的三角函数值以及化简绝对值，再运算乘法，最后运算加减法，即可作答． 【详解】解： ． 17. 如图，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD=∠A． （1）作∠BDC的平分线DE，交BC于点E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系（不要求证明）． 【答案】（1）作图见解析； （2）DE∥AC． 【解析】 【分析】(1)根据角平分线的画法画出角平分线； (2)根据角平分线的性质和三角形外角的性质得出DE和AC平行． 【详解】解：(1)如图所示： （2）DE∥AC ∵DE平分∠BDC， ∴∠BDE=∠BDC， ∵∠ACD=∠A，∠ACD+∠A=∠BDC， ∴∠A=∠BDC， ∴∠A=∠BDE， ∴DE∥AC． 【点睛】此题主要考查了基本作图，以及平行线的判定，关键是正确画出图形，掌握同位角相等两直线平行． 18. 如图，内接于，为的直径，点D在的延长线上，连接，，求证：是的切线． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】连接，根据直径所对的圆的圆周角是直角得，再根据等腰三角形的性质可得，进而得出，则此题可证． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的直径， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 大数据监测显示，我国中学生的总体近视率达．为了了解学生的视力健康情况，某校从八、九年级各随机抽取20名学生进行视力检查，并对其视力情况的数据进行整理和分析．视力情况共分4组：A．视力，视力正常；B．视力，轻度视力不良；C．视力，中度视力不良；D．视力，重度视力不良．下面给出了部分信息： 抽取的八年级学生的视力在C组的数据是：； 抽取的九年级学生的视力在C组的数据是； 被抽取的八、九年级学生视力的平均数、中位数、众数如下表： 平均数 中位数 众数 八年级 4.82 4.9 九年级 4.82 4.8 4.7 （1）填空：______，______． （2）根据以上数据分析，你认为该校八年级和九年级学生的视力情况谁更健康，请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校八年级共有学生500人，请估计八年级学生视力正常的人数． 【答案】（1）；25 （2）八年级学生的视力健康情况总体更好一些，理由见解析 （3）150人 【解析】 【分析】本题考查了平均数、中位数的意义以及频数分布表，样本估计总体： （1）根据中位数的定义解答即可； （2）从平均数、中位数、众数各个方面分析即可； （3）用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：抽取的八年级学生的视力位于正中间的两个数均在B组， ∴； ， ∴； 故答案为：；25 【小问2详解】 解：八年级学生的视力健康情况总体更好一些，理由如下： 从平均数来看，两个班一样； 从众数和中位数来看，八年级学生的视力健康情况总体更好一些； 综上，八年级学生的视力健康情况总体更好一些； 【小问3详解】 解：， 即八年级学生视力正常的人数为150人． 20. 2026年央视春晚上，宇树科技机器人方阵震撼亮相，灵动威武的表演惊艳全国．一台台智能机器人以科技之美展现中国力量，让我们真切感受到国家科技发展日新月异、民族复兴步履铿锵！节目组为演出准备了型和型两种机器人，已知2台型机器人和1台型机器人一次共可完成65个标准动作；3台型机器人比2台型机器人一次可多完成10个标准动作． （1）求1台型、1台型机器人一次分别可完成多少个标准动作？ （2）若排练中完成360个相同动作，型机器人比型机器人少用3分钟，且型每分钟完成的动作数量是型的倍，求型机器人每分钟完成多少个动作？ 【答案】（1）1台型机器人一次可完成20个标准动作，1台型机器人一次可完成25个标准动作 （2）型机器人每分钟完成40个动作 【解析】 【分析】（1）根据题干给出的两个动作数量的等量关系，设未知数后列出二元一次方程组求解即可； （2）根据完成总动作的时间差等量关系，设未知数后列出分式方程，求解并检验得到结果. 【小问1详解】 解：设1台型机器人一次可完成个标准动作，1台型机器人一次可完成个标准动作， 根据题意得 ， 解得  答：1台型机器人一次可完成20个标准动作，1台型机器人一次可完成25个标准动作； 【小问2详解】 解：设型机器人每分钟完成个动作，则型机器人每分钟完成个动作， 根据题意得  ， 方程两边同乘得 ， 解得， 检验：当时， ， ∴是原方程的解. 答：型机器人每分钟完成40个动作． 21. 综合与实践． 物理课上，小明和小亮用如图1所示的实验装置，研究物体从斜面上滑下过程中速度的变化． 以下为两人的对话： 小明：“经过测量，斜面木板的长为，木块高的长为．” 小亮：“我刚刚测量了一下，木块高的长没有错，而用测倾仪测得木板的倾斜角约为，我用计算器计算了一下，发现，可以推断出斜面木板的长的测量数据有误．” 小明：“我检查了一下，果然斜面木板的长测量出错了．” （1）请根据以上信息，求出斜面木板的长； （2）测得的长为，点B为的中点，小车从点A出发，用位置传感器进行实验，得到的图象如图2所示，由图象可知小车从A点运动到B点的时间为，小车在B点时的速度为，在C点时的速度为．根据以上数据，求段的平均速度比段的平均速度大约快了多少（结果保留小数点后两位）． 【答案】（1）斜面木板的长约为； （2）段的平均速度比段的平均速度大约快了． 【解析】 【分析】本题考查动点问题的函数图象．用待定系数法求得v与t的函数解析式是解决本题的关键． （1）根据的长和的正弦值可得的长； （2）v与t是正比例函数关系，设，把代入可得k的值，即可求得v与t的函数关系式，进而分别取段的路程，段的路程除以相应的时间即可判断出速度，相减即为所求． 【小问1详解】 解：由题意得：， ∴， ∵，， ∴． 答：斜面木板的长约为； 【小问2详解】 由题意得：， ∵点B为的中点， ∴， ∵小车从A点运动到B点的时间为， ∴， 设v与t的函数关系式为：， ∵过点， ∴， 解得：， ∴， 当时，， ∴， ∴． 答：段的平均速度比段的平均速度大约快了． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： ［观察与猜想］ （1）如图①，在正方形中，点、分别是、上的两点，连接、、，则的值为__________． （2）如图②，在矩形中，，，点是上的一点，连接、，且，则的值为__________________． [类比探案] （3）如图③，在四边形中，，点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，求证：． 【答案】（1） （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）先根据正方形的性质得到，，再根据直角三角形的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得，得到答案． （2）先根据矩形的性质得到，再根据直角三角形的性质得到，然后根据相似三角形的判定与性质得到． （3）先根据矩形的判定与性质可得，，再根据直角三角形的性质得到，从而证明三角形相似，得到证明． 【小问1详解】 解：如图， 设与的交点为， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 故答案为． 【小问2详解】 如图， 设与交于点， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为． 【小问3详解】 证明：如图，过点作交的延长线于点， ，， 四边形为矩形， ， ， ， 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，直角三角形的性质，三角形全等的判定与性质，相似三角形的判定与定理，利用相似三角形的判定与性质，得到相应线段的比例关系是解答本题的关键． 23. 如图1，已知抛物线y=﹣x2+mx+m﹣2的顶点为A，且经过点B（3，﹣3）． （1）求顶点A的坐标 （2）若P是抛物线上且位于直线OB上方的一个动点，求△OPB的面积的最大值及比时点P的坐标； （3）如图2，将原抛物线沿射线OA方向进行平移得到新的抛物线，新抛物线与射线OA交于C，D两点，请问：在抛物线平移的过程中，线段CD的长度是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）（1，1）；（2）P（，）；（3）. 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得顶点坐标； （2）过点P作y轴的平行线交OB与点Q，求出直线BP的解析式，表示出点Q的坐标，根据三角形的面积公式列出函数关系式，利用二次函数的最值可得P点坐标； （3）根据平移规律，可得新抛物线，根据联立抛物线与OA的解析式，可得C、D点的横坐标，根据勾股定理，可得答案． 【详解】解：（1）把B（3，﹣3）代入y=﹣x2+mx+m2得：﹣3=﹣32+3m+m2， 解得m=2， ∴y=﹣x2+2x=﹣（x-1）2+1， ∴顶点A的坐标是（1，1）； （2）过点P作y轴的平行线交OB与点Q. ∵直线OB的解析式为y=﹣x， 故设P（n，﹣n2+2n），Q（n，﹣n）， ∴PQ=﹣n2+2n﹣（﹣n）=﹣n2+3n， ∴S△OPB=（﹣n2+3n）=﹣（n﹣）+， 当n=时，S△OPB的最大值为． 此时y=﹣n2+2n=， ∴P（，）； （3）∵直线OA的解析式为y=x， ∴可设新的抛物线解析式为y=﹣（x﹣a）2+a， 联立， ∴﹣（x﹣a）2+a=x， ∴x1=a，x2=a﹣1， 即C、D两点间的横坐标的差为1， ∴CD=． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积公式，利用二次函数求最值，勾股定理二次函数与一次函数的交点问题，难度适中，是常见题型. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $