甘肃省天水市第一中学2025-2026学年高考适应性考试数学试卷

**基本信息** 2025-2026年甘肃省天水市一中高考数学适应性周测试卷，涵盖集合、复数、函数、概率等核心知识，解答题融合航天科技情境（如第19题发射试验）与生活应用（如第14题汤圆半球碗相切），注重数学思维推理与空间观念培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、复数、向量等基础|梯度设计，巩固数学抽象能力| |多选题|3/18|数列性质、函数奇偶性|多选项辨析，发展推理意识| |填空题|3/15|切线方程、二项式系数、立体几何应用|生活情境（汤圆相切），培养几何直观| |解答题|5/77|解三角形、立体几何、椭圆、函数零点、概率统计|航天科技情境（发射试验），强化数据意识与应用能力|

参考答案 题号 1 2 4 5 6 8 9 10 答案 C B c A D 力 B ABD ABD 题号 11 答案 AC 12.3 13.-120 14.1+ 3 15.(1)由bsinA=acosAcosC+ccos2A及正弦定理， sinAsinB sinAcosAcosC+sinCcos24 cosA(sinAcosC sinCcosA)=cosAsin(A+C)=cosAsinB, 因为sinB≠0，所以sinA=cosA,所以tanA=1. 因为0<4<，所以4=普： (2)2tanB tand+tanC,2tanB=tand-tan(4+B)=1-1+tanB 1-tanB 解待an8=2,从面anC=3,所以8，Cc0引 sinB=2 所以sinA=↓ 5,sinC=3 10 则由正弦定理0=6 sindsinb’可设a=V5,b=22k(k>01, 故SaBc=。absinC=3k2=24,解得k=2√2， 2 所以a+b=√5k+2V2k=210+8. 16.(1)在△PAD中，E、F分别是PD、AD的中点， 所以EF IIPA,因为EF平面PAB,PAC平面PAB,所以EF∥平面PAB, 因为四边形ABCD是直角梯形，且AB⊥AD,所以BC∥AD, 又AD=2BC,F是AD的中点，所以BCIIAF,BC=AF, 所以四边形ABCF是矩形，所以ABI/CF, 因为CF平面PAB,ABC平面PAB,所以CF∥平面PAB, 因为EF∩CF=F,EFc平面CEF,CFc平面CEF, 所以平面CEF∥平面PAB: 答案第1页，共2页 (2)以AB,AD,AP为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系， 则P(0,0,2√2)，B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,4,0),E(0,2,√2)， 所以CE=(-2,0,V2),BC=(0,2,0),CD=(-2,2,0), BC=0 设平面BCE的一个法向量为=(xy,z),则 CE=0 2y=0 所以 -2x+52=0'取：=E,则x=1,=0, 所以=L,0,√2)，设直线CD与平面BCE所成的角为O, 所以sin0=cosCD,= 1CD.n1-2V6 CD122×√56 所以直线CD与平面BCE所成角的正弦值为y6 6 17.(1)由椭圆C的左、右焦点分别为F(-1,0),F1,0),则c=1, 3, 3 又椭圆C过点 所以3+4=1' a2b2 a2=4 又a2=b2+1,故 所以的方程为女+上-1. 43 1 (2)因为直线1：y=。x+m与椭圆交于M、N两点，设M、N两点坐标分别为x,), 2 x2,y2, 联立43，消去》，整理得x+mx+m-3=0, 1 =2x+m 答案第1页，共2页 则△=m2-4×m2-3>0,解得-2<m<2, 则x1+x2=-m,xx2=m2-3, 又ME=(-1-x,-y),ME=(1-x,-y), 刘证丽=-1*+听-景即+听- 41 又因为点M在椭圆上，即艾+上=1， 43 「x=1「x=1x=-1「x=-1 联立方程组，解得 3， 3， 3， 3, =24= 2 = 2 4=2 1 由于点M在直线方程y=。x+m上， 解得m=1,m=-2,m=-1,m=2, 又因为-2<m<2,所以m=±1. 18.(1)若a=2,则fy=x-1-2n,fy=1+2 x2 x 可得f1=0,f'1=0, 所以曲线y=∫(x)在点(1，f(1)处的切线方程y=0. 2)由图可：函数四的定义度为0，+，且广八=1+是名一+， 对于方程x2-ax+1=0,则△=a2-4, 因为x>0,若a≤0，则x2-ar+1≥0；若△≤0，即-2≤a≤2，则x2-ax+1≥0； 当a≤2时，则x2-+1≥0，即f'(x)≥0， 可知函数f(x)在定义域(0，+o)内单调递增， 且f(1=0,所以函数f(x)有且仅有1个零点； 当a>2时，则△>0，可知x2-ar+1=0有2个不相等的实数根m=4-v-4, m=a+a2-4 2 且mn=1,则m<1<n, 若m<x<n,则x2-ax+1<0,即f'(x)<0; 答案第1页，共2页 若0<x<m或x>n,则x2-ar+1>0,即f'(x>0; 可知函数f(x在(0，m),（n,+o)内单调递增，在(m,n)内单调递减， 则f(m>f(1>f(n,且f(1=0,即f(m)>0>f(n, 令8a-7-a+2maa>2.则e1al +2_2-a.3 <0, aaa 可知81回在2+a内单调噬减，则8回<82到=+2n2<0,可得f得}-esa<0: 限为e=s--ame…信e+2a小-go>0. 所以函数f(x)有3个零点： 综上所述：当a≤2时，函数f(x)有且仅有1个零点： 当a>2时，函数f(x)有3个零点 (3)若f(x有3个零点，x,xx<x2<x), 由(2)可知：x2=1,0<x1<1<x, 因为)x-o-ahx-, 又因为=0，则--0，且01，>1，则5号 1 所以x+x2+x三x+二+1>2历一+1=3 19.(1)由题知，X的所有可能取值分别为1,2,3,4， i-l ×5(i=1,2,3, 3 所以X的分布列为 X 1 2 3 2 8 3 27 27 答案第1页，共2页 E(X)=1×+2×2+3x4+4x 865 3 9 27 2727 (2)①记第次发射成功为事件A,第次发射失败后修复成功为事件B, 则PA利-号Pa-P)- 记至少发射3次为事件C,则C=A,A2+A,A2B2+AB,A2, 所以PC)=P(A)P(A)+P(A)PA)P(B,)+PA)P(B,)P(A =2x2+2x1×31x327 333343439 ②第n+2次发射成功有2种情形：第n+1次、第n+2次发射成功， 或第次发射成功，第n+1次发射失败且发射失败后修复成功，第n+2次发射成功， 所以=R+e号+名。 2 6 设Pn2-tP1=sPn1-Pn),则Pn+2=（s+)P1-stPn, 2 2+V10 S+t= t= =2-0 3 6 所以 解得 或 6 1’ st=- 。2-V10 2+V10 S=- 6 S= 因为=子A×. 6 6 3^334318 所以1=2±0时B-B≠0， 6 {Pn1-P}是等比数列， 所以t=2±V0 6 答案第1页，共2页 2025-2026年甘肃省天水市第一中学高考数学适应性考试数学试卷 一、单选题（每题5分，共40分） 1．设集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 2．已知复数z满足，则（    ） A．1 B． C．2 D． 3．已知平面向量，，且，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．已知数列且满足，令，则数列的前项和为（　　） A． B． C． D． 5．已知，则（   ） A．-4 B． C． D． 6．已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为、，过点作倾斜角为的直线与双曲线的右支交于点，线段的中点在以为直径的圆上，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 7．已知函数的定义域为，，且在上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 8．若函数有奇数个零点，则的最小值是（   ） A．6 B．8 C．16 D．18 二、多选题（每题6分，共18分） 9．已知数列的前项和，则（   ） A． B．数列是等差数列 C．的最小值为 D． 10．已知函数，则（    ） A．是奇函数 B．在上单调递减 C．的值域为 D．的最小正周期为 11．已知点是圆上的动点，点，为坐标原点，则下列结论正确的有（    ） A．过点的直线被圆截得的最短弦长为4 B．的最大值为7 C． D．对任意实数的最小值为2 三、填空题（每题5分，共15分） 12．已知函数在处的切线方程为，则的值为______． 13．的展开式中的系数为__________． 14．如图所示，有一只内壁呈半球面的小碗，半径为，碗内放了三颗汤圆（视为半径均为的球）．三颗汤圆两两相切，且汤圆与碗的内壁均相切．若汤圆与碗口等高，则______． 四、解答题（5个小题，共77分） 15．（13分）15．已知的内角，，所对的边分别是，，，且满足. (1)求角的大小； (2)若，且的面积为24，求的值. 16．（15分）如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，且，，平面ABCD，、分别是PD、AD的中点. (1)求证：平面平面PAB； (2)若二面角的大小为：求直线CD与平面BCE所成角的正弦值. 17．（15分）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在上． (1)求的方程； (2)设直线：与交于、两点．若，求的值； 18．（17分）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的零点个数； (3)若有3个零点，，，证明：. 19．（17分）某中学航天科技小组利用假期进行一项新型火箭模型的发射试验，根据以往数据可知，单次发射成功的概率为，失败的概率为，发射结果相互独立．计划发射多次． (1)若某次发射失败，则整个试验终止；若发射成功，则继续发射且至多发射4次．记发射的次数为，求的分布列与期望； (2)若在一次发射中发射失败，能够成功进行现场修复并确保后续发射不受此次失败影响的概率为（即修复后，系统恢复到正常发射状态）．修复失败的概率为．考虑一个简化的连续发射模型，从第1次发射开始．若发射成功，则继续进行下一次发射；若发射失败但成功修复．则继续进行下一次发射；若发射失败且修复失败，则试验终止；此外，若连续2次发射失败，试验也终止． ①求至少发射3次的概率； ②定义为第次发射成功的概率，是否存在实数使得数列为等比数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $