精品解析：山东青岛市莱西市2025-2026学年高一下学期学业水平阶段性检测（三）数学试题

高一学业水平阶段性检测（三） 数学试题 本试卷共19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码粘贴在答题卡指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 圆锥的底面半径为1，高为，则该圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出母线长，再根据圆锥表面积公式求解即可 【详解】圆锥母线长，表面积 2. 已知向量，，若与垂直，则实数t的值为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示，列式求值. 【详解】，且， 由题意可知，，得. 故选：D 3. 如图所示，在三棱台中，沿平面截去三棱锥，则剩余的部分是（ ） A. 三棱锥 B. 四棱锥 C. 三棱柱 D. 三棱台 【答案】B 【解析】 【分析】根据图形和棱锥的定义及结构特征，即可得出结论． 【详解】三棱台中，沿平面截去三棱锥，剩余的部分是以为顶点，四边形为底面的四棱锥． 故选：B． 4. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则（ ） A. 1 B. C. 3 D. 1或3 【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦定理求解即可. 【详解】由余弦定理，，即，，解得. 故选：C 5. 下列条件中,能判断两个平面平行的是 A. 一个平面内的一条直线平行于另一个平面; B. 一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C. 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D. 一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 【答案】D 【解析】 【详解】设所以A错误；所以B错误；内有无数条与平行的平行直线，则这无数条直线平行所以C错误； D正确．是线面平行的概念．故选D 6. 在矩形中，，分别为，的中点，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】在矩形中，由分别为的中点，得， 解得，因此， 而，且向量不共线，则， 所以. 7. 在中，CD为角C的平分线，若，，则等于（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由为角的平分线，，可得，设，，然后在中利用正弦定理可得，化简计算可得答案 【详解】因为为角的平分线，所以 因为，所以 所以不妨设， 因为在中，， 所以 因为在中，， 所以 所以. 故选：C 8. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，中点为，化简可得，再根据余弦定理结合余弦函数的范围可得，进而可得的取值范围. 【详解】不妨设，中点为，则即，故，即，. 故 ，因为，故，则，故，故的取值范围为. 故选：D 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 向量，能作为平面内所有向量的一组基底 B. 已知中，点P为边AB的中点，则必有 C. 若，则P是的垂心 D. 若G是的重心，则点G满足条件 【答案】BC 【解析】 【分析】对A，根据基底向量不共线判断即可；对B，根据基底向量的运用判断即可；对C，化简可得，进而根据垂心的性质判断即可；对D，由重心可得，即可判断 【详解】对A，，故共线，不能作为平面内所有向量的一组基底，故A错误； 对B，根据平面向量基本定理可得中，点P为边AB的中点，则必有，故B正确； 对C，由可得，即，故，同理，，故P是的垂心，故C正确； 对D，若G是的重心，则点G满足条件，则，故D错误； 故选：BC 10. 在中，内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，则为等腰或直角三角形 C. 若为锐角三角形，则 D. 若，，，则有两解 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A，由题意可得或，即可判断；对于B，由正弦定理可得，所以，即可判断；对于C，根据即，结合正弦函数的单调性即可判断；对于D，根据即可判断. 【详解】对于A，因为，， 所以或， 当时，即，此时为等腰三角形， 当时，即，此时为直角三角形， 故为等腰或直角三角形，故A错误； 对于B，由正弦定理可化为， 即，又， 故，所以为等腰三角形，故B错误； 对于C，因为为锐角三角形，所以，即， 又，正弦函数在上单调递增， 所以，即，故C正确； 对于D，因为，，，所以， 所以有两解，故D正确. 11. 已知函数在上单调，且的图象关于点对称，则（ ） A. 的周期为 B. 若，则 C. 将的图象向右平移个单位长度后对应的函数为奇函数 D. 函数在上有1个零点 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，根据题意确定周期范围，再根据图象关于点对称，结合正弦函数的对称中心求解即可；对于B，由A，结合余弦函数的最值与周期性质判断即可；对于C，根据三角函数平移性质判断即可；对于D，根据余弦函数值直接求解即可. 【详解】对于A，因为函数在上单调，所以的最小正周期T满足，即，所以， 因为的图象关于点对称，所以，得， 所以当时，，所以，故A错误； 对于B，，， 则分别为，则为半周期，即，故B正确； 对于C，将的图象向右平移个单位长度后得的图象，为奇函数，故C正确； 对于D，，即， 令，当时，，故仅有，故D正确． 故选：BCD. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图所示，等腰直角三角形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，则原图形的周长为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据斜二测画法可得原图形三边长，进而可得周长. 【详解】由题意，，则，故原图形中，，，周长为. 故答案为： 13. __________． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角恒等变换先化简，结合诱导公式即可求解. 【详解】由题意得： . 故答案为：. 14. 某公园有一个人工湖，若要测量如图所示的人工湖的口径A、B两点间的距离，现在人工湖岸边取C、D两点，测得m，，，，则A、B两点的距离为__________m. 【答案】 【解析】 【分析】在中根据角度关系易得，再在中，由正弦定理得到BD，然后在中，利用余弦定理求解. 【详解】在中，因为，故，， 所以，则． 在中，因为， 所以由正弦定理， 得． 在中，因为， 所以由余弦定理得， 故m． 故答案为： 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知，都是锐角，， . （1）求和的值； （2）求的值. 【答案】（1）, （2） 【解析】 【分析】（1）由同角三角函数的基本关系及二倍角的正余弦公式求解； （2）根据角的变换，利用两角差的正弦公式求解. 【小问1详解】 是锐角，， ， ， ， ， . 【小问2详解】 ，都是锐角， ， 又， ， . 16. 已知半圆圆心为O，直径，C为半圆弧上靠近点A的三等分点，若P为半径OC上的动点，以O点为坐标原点，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示. （1）求在上投影向量的坐标； （2）若，当y取得最小值时，求点P的坐标及y的最小值. 【答案】（1） （2）最小值为，此时点的坐标为 【解析】 【分析】（1）先求解在上投影向量大小，进而可得投影向量坐标； （2）设，即可表示出、，再结合平面向量数量积的坐标运算及二次函数的性质计算可得． 【小问1详解】 因为半圆的直径，所以，， 又，，则，即． 故，，在上投影为，故在上投影向量的坐标为 【小问2详解】 设，                         由（1）知，， 故，    ∴， 又∵，∴当时，有最小值为，       此时点的坐标为 17. 在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答. 问题：在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且__________. （1）求角C； （2）若的内切圆半径，，求的外接圆半径R. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）选择①根据两角和的正切公式化简可得角，选择②根据余弦定理化简，再根据正弦定理边化角，结合三角恒等变换求解即可，选择③由正弦定理统一为边，再由余弦定理求解； （2）由余弦定理及三角形面积公式联立求解可得，进而根据正弦定理求解即可. 【小问1详解】 选择①：由已知得， 所以， 在中，，所以． 选择②：由题意，故，由正弦定理，即，又，故，因为，故 选择③：由已知及正弦定理得， 所以，所以， 因为，所以． 【小问2详解】 由余弦定理得，① 由等面积公式得． 即． 整理得，② 联立①②，解得，由正弦定理，即 18. 已知向量，，记函数. （1）将化为形式，并求最小正周期T； （2）求函数在区间上的值域； （3）将函数图象向右平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图象，若在区间上至少有100个最大值，求a的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用数量积坐标公式及三角恒等变换化简即可得解； （2）根据自变量的范围求出的范围，利用正弦函数求解； （3）根据三角函数图象变换求出,利用三角函数的性质可得. 【小问1详解】 , 【小问2详解】 当时，， ， ， 即函数在区间上的值域为. 【小问3详解】 将函数图象向右平移个单位，得到， 再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图象, 令， 要使在区间上至少有100个最大值， 由正弦函数的性质可得， . 19. 如图，在四棱锥中，，，，，，设，其中. （1）求证：平面平面； （2）若，求二面角的余弦的取值范围； （3）当时，求三棱锥的外接球体积的最小值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直去证明面面垂直即可； （2）找到二面角的平面角，由余弦定理可求解； （3）由于是不规则四面体的外接球，转化为过三角形外接圆圆心作该面的垂线必过球心，来研究外接球半径即可. 【小问1详解】 （1）因为，所以，则 且平面平面， 所以平面， 又因为平面，所以平面平面. 【小问2详解】 由，知二面角的平面角即为. 在中，,，则由余弦定理得 ， 在中，由且，结合，可得， 故， 所以，所以， 所以的范围是， 即二面角的余弦的取值范围是. 【小问3详解】 设和的外接圆圆心分别为和， 则球心为过点和且分别垂直于平面、平面的两直线的交点， 在中，因为，由余弦定理得， 再由正弦定理得的外接圆半径. 在中，由余弦定理得， 再由正弦定理得的外接圆半径. 过点作于，连接，设，显然四边形为矩形， 所以.所以， 即， 所以， 故当时，取得最小值，即， 此时三棱锥外接球的体积最小值为，此时 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一学业水平阶段性检测（三） 数学试题 本试卷共19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码粘贴在答题卡指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 圆锥的底面半径为1，高为，则该圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，若与垂直，则实数t的值为（ ） A. 0 B. C. D. 3. 如图所示，在三棱台中，沿平面截去三棱锥，则剩余的部分是（ ） A. 三棱锥 B. 四棱锥 C. 三棱柱 D. 三棱台 4. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则（ ） A. 1 B. C. 3 D. 1或3 5. 下列条件中,能判断两个平面平行的是 A. 一个平面内的一条直线平行于另一个平面; B. 一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C. 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D. 一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 6. 在矩形中，，分别为，的中点，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 7. 在中，CD为角C的平分线，若，，则等于（ ） A. 0 B. C. D. 8. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 向量，能作为平面内所有向量的一组基底 B. 已知中，点P为边AB的中点，则必有 C. 若，则P是的垂心 D. 若G是的重心，则点G满足条件 10. 在中，内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，则为等腰或直角三角形 C. 若为锐角三角形，则 D. 若，，，则有两解 11. 已知函数在上单调，且的图象关于点对称，则（ ） A. 的周期为 B. 若，则 C. 将的图象向右平移个单位长度后对应的函数为奇函数 D. 函数在上有1个零点 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图所示，等腰直角三角形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，则原图形的周长为__________. 13. __________． 14. 某公园有一个人工湖，若要测量如图所示的人工湖的口径A、B两点间的距离，现在人工湖岸边取C、D两点，测得m，，，，则A、B两点的距离为__________m. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知，都是锐角，， . （1）求和的值； （2）求的值. 16. 已知半圆圆心为O，直径，C为半圆弧上靠近点A的三等分点，若P为半径OC上的动点，以O点为坐标原点，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示. （1）求在上投影向量的坐标； （2）若，当y取得最小值时，求点P的坐标及y的最小值. 17. 在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答. 问题：在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且__________. （1）求角C； （2）若的内切圆半径，，求的外接圆半径R. 18. 已知向量，，记函数. （1）将化为形式，并求最小正周期T； （2）求函数在区间上的值域； （3）将函数图象向右平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图象，若在区间上至少有100个最大值，求a的取值范围. 19. 如图，在四棱锥中，，，，，，设，其中. （1）求证：平面平面； （2）若，求二面角的余弦的取值范围； （3）当时，求三棱锥的外接球体积的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $