上海市宝山中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

2026年宝山中学高二下期中考试数学试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1．双曲线的实轴长为___________． 2．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为，则．___________． 3．一个圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的侧面积是___________． 4．小明为了解自己每天花在体育锻炼上的时间（单位：min），连续记录了7天的数据并绘制成如图所示的茎叶图，则这组数据的第60百分位数是___________ 5．设等差数列的前项和为，已知，则___________． 6．在的展开式中项的系数为___________． 7．某学校要从6名男生和4名女生中选出3人担任进博会志愿者，则所选3人中男女生都有的选法有___________种（用数字作答）． 8．事件互斥，它们都不发生的概率为，且，则___________． 9．已知椭圆，点是椭圆上位于第一象限的一点，为椭圆的右焦点，若为等边三角形，则椭圆的离心率为___________． 10．将一个边长为24的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒，则方盒的最大容积为___________． 11．两人下棋，每局两人获胜的可能性一样．某一天两人要进行一场五局三胜的比赛，最终胜者赢得100元奖金．第一局比赛胜，后因为有其他要事中止比赛．为求公平，则应该分得___________元奖金． 12．无穷等比数列满足首项，记，若对任意正整数，集合是闭区间，则的取值范围是___________． 二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分） 13．“”是“方程表示椭圆”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 14.8个人排成一排照相，其中甲乙丙三人都不相邻的排法种数是（　　） A． B． C． D． 15．现有一批产品共9件，已知其中5件正品和4件次品，现从中选4件产品进行检测，则下列事件中互斥而不对立事件的是（　　） A．至少一件正品与至少一件次品 B．至少三件正品与全部正品 C．至少一件正品与全部次品 D．恰好两件正品与恰好四件正品 16．若满足，则称为延展函数．已知延展函数和，满足当时，．给定以下两个命题： ①存在函数与有无穷多个交点； ②存在函数与有无穷多个交点． 则正确的选项是（　　） A．①是假命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是假命题 D．①是真命题，②是真命题 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17．（本题满分14分，共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分） 如图所示正四棱锥为侧棱的中点． （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求点到平面的距离． 18．（本题满分14分，共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分） （1）已知函数．求的极值； （2）已知函数在上是严格减函数，则实数的取值范围． 19．（本题满分16分，共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分） 法国著名的数学家笛卡尔曾经说过：“阅读优秀的书籍，就是和过去时代中最杰出的人们（书籍的作者）一一进行交谈，也就是和他们传播的优秀思想进行交流，阅读会让精神世界闪光”．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示： （1）求； （2）根据频率分布直方图，估计该地年轻人每天阅读时间的平均数（单位：分钟）： （3）为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组和的年轻人中抽取5人，再从中任选3人进行调查，求其中恰好有2人每天阅读时间位于[80，90）的概率． 20．（本题满分16分，共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分） 已知是椭圆的左右焦点，且经过点，离心率为 （1）求椭圆的方程； （2）若直线过右焦点与椭圆交于两点，且，求直线的方程． （3）若直线过点，且与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为，直线的纵截距为，证明：为定值． 21．（本题满分18分，共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 已知函数． （1）求曲线在处的切线方程： （2）函数在区间上有零点，求的值； （3）记函数，设是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的取值范围． 2026年宝山中学高二下期中考试数学试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1.【解析】6 2．【解析】-4 3．【解析】 4．【解析】58 5．【解析】210 6．【解析】40 7．【解析】96 8．【解析】 9． 10．1024 11．75 12．【解析】 设，则的最大值和最小值分别为，所以 当时，，故，此时为闭区间，当时，不妨设，若，则．若，，则，所以． 若，则， 所以，即 对任意的恒成立，则对任意的恒成立，即对任意的恒成立．若，则存在使，不符合题意．若，则，满足条件，故的取值范围是． 二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分） 13．B 14．A 15．D 16．A【解析】 所以当时，． 因为当时，，， 所以当时，，， 当时，，， 当时，，所以是以1为周期的周期函数，值域为（1，e）． 同理，因为为延展函数，所以当时，． 因为当时，，，所以 当时，，， 当时，，， 当时，，当时，，当时，． 对于①：如图1，直线与曲线有有限个交点，故①为假命题； 对于②：如图2，存在直线，即， 此时直线与函数在（9，10）上的图像重合，所以有无穷个交点，故②为真命题． 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17．【解析】 （1）设底面中心为，连接，．因为正四棱锥， 所以平面． 故为直线与平面所成的角． 在正方形中，，则对角线． ．在Rt中，． 即直线与平面所成角的正弦值为 （2）求点到平面的距离建立空间直角坐标系：以为原点， 方向分别为轴． 由（1）知． 则． 为中点，故． 向量． 设平面的法向量为． 令，得．故． 点到平面的距离： 18．【解析】 （1）函数的定义域为． 求导得，令，即， 因式分解得，解得或． 当时，单调递增： 当时，单调递减； 当时，单调递增． 故当时，取得极大值，； 当时，取得极小值，． （2）函数的定义域为，求导得． 因为在上是严格减函数，所以在上恒成立，即， 由于，不等式两边同乘得， 即，要使恒成立，需，故实数的取值范围是． 19．【解析】 （1）由频率分布直方图可知，各组频率之和为1，组距为10． ，解得 答：的值为0.02． （2）由（1）知，各组频率分别为： 估计平均数为： 答：估计该地年轻人每天阅读时间的平均数为74分钟． （3）由题意，和三组的频率之比为 采用分层抽样的方法抽取5人，则： 从中抽取1人； 从中抽取2人； 从中抽取2人． 设“从这5人中任选3人进行调查，其中恰好有2人每天阅读时间位于[80，90）”为事件．则事件的概率为： 答：其中恰好有2人每天阅读时间位于[80，90）的概率为． 20．【解析】 （1）由题意可得，解得 所以椭圆的方程为． （2）由（1）可知，设直线的方程为． 将直线方程代入椭圆方程，得到． 所以． 因为，所以，即． 将代入，可得， 那么． 再将代入， 可得，解得． 所以直线的方程为，即． （3）设直线的方程为，则． 将直线方程代入椭圆方程，得到． 所以 直线的方程为． 令，可得． 将代入上式，可 得． 把代入上式，可得． 所以，即为定值3． 21．【解析】 （1）已知，将代入可得：，所以切点坐标为（1，-1）．对求导，可得． 将代入可得切线斜率． 可得切线方程为，即． 因此，曲线在处的切线方程为． （2）由（1）知． 令，即，因为，所以，解得； 令，即，因为，所以，解得． 所以在（0，1）上单调递减，在上单调递增． 因为 ． 根据零点存在定理，函数在区间（3，4）上有零点， 又因为函数在区间上有零点，所以．因此，的值为3． （3）已知1），其定义域为． 对求导可得． 因为是函数的两个极值点，所以是方程1）的两个根，根据韦达定理可得． 令，因为， 所以，即，， 则，即， 解得．令， 对求导可得， 所以在上单调递减，则． 因为恒成立，所以， 即实数的取值范围是． 因此，实数的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $