9.2.1 总体取值规律的估计教学设计-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学教学设计聚焦频率分布表、频率分布直方图及用样本估计总体的核心知识。通过“阶梯式水价制度”的现实问题导入，衔接初中频数分布知识，搭建从数据整理到规律估计的学习支架。 以100户居民月均用水量为案例，通过问题引导和小组讨论，让学生经历数据分组、制表、绘图全过程，培养数学眼光（发现数据分布规律）和数学思维（逻辑分析不同组数影响）。利用频率分布图表等数学语言描述数据，提升学生数据分析能力，为教师提供直观可操作的统计教学范例。

教学设计 课题 9.2.1 总体取值规律的估计 学科 数学 年级 高一 教学目标 1.会列频率分布表，会画频率分布直方图，理解统计图的画法及应用.（直观想象） 2.能用样本估计总体的取值规律.（数据分析） 重点 频率分布表、频率分布直方图. 难点 用样本估计总体的取值规律. 教学环节 教学过程 设计意图 新课导入 问题导入：问题1 我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市政府为了减少水资源的浪费，计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价制度，即确定一户居民月均用水量标准a，用水量不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费．如果希望确定一个比较合理的标准，以使大部分居民用户的水费支出不受影响，你认为需要做哪些工作？ 通过问题，引入新课.引发学生思考，激发学生学习兴趣. 新课讲授 知识点1：频率分布表、频率分布直方图 假设通过简单随机抽样，获得了100户居民用户的月均用水量数据（单位：t）： 9.0 13.6 14.9 5.9 4.0 7.1 6.4 5.4 19.4 2.0 2.2 8.6 13.8 5.4 10.2 4.9 6.8 14.0 2.0 10.5 2.1 5.7 5.1 16.8 6.0 11.1 1.3 11.2 7.7 4.9 2.3 10.0 16.7 12.0 12.4 7.8 5.2 13.6 2.6 22.4 3.6 7.1 8.8 25.6 3.2 18.3 5.1 2.0 3.0 12.0 22.2 10.8 5.5 2.0 24.3 9.9 3.6 5.6 4.4 7.9 5.1 24.5 6.4 7.5 4.7 20.5 5.5 15.7 2.6 5.7 5.5 6.0 16.0 2.4 9.5 3.7 17.0 3.8 4.1 2.3 5.3 7.8 8.1 4.3 13.3 6.8 1.3 7.0 4.9 1.8 7.1 28.0 10.2 13.8 17.9 10.1 5.5 4.6 3.2 21.6 从这组数据我们能发现什么信息呢？ 如果将这组数据从小到大排序，容易发现，这组数据的最小值是1.3t，最大值是28.0t，其他在1.3t至28.0t之间．为了更深入地挖掘数据蕴含的信息，需要对数据作进一步的整理与分析． 为了探索一组数据的取值规律，一般先要用表格对数据进行整理，或者用图将数据直观表示出来．在初中，我们曾用频数分布表和频数分布图来整理和表示这种数值型数据，由此能使我们清楚地知道数据分布在各个小组的个数． 在这个实际问题中，因为我们更关心月均用水量在不同范围内的居民用户占全市居民用户的比例，所以选择频率分布表和频率分布直方图来整理和表示数据． 制作频率分布表、画频率分布直方图的步骤 （1）求极差：极差为一组数据中最大值与最小值的差． （2）决定组距与组数：当样本容量不超过100时，常分成5～12组，为了方便起见，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”． （3）将数据分组． （4）列频率分布表：一般分四列：分组、频数累计、频数、频率．其中频数合计应是样本容量，频率合计是1． （5）画频率分布直方图：横轴表示分组，纵轴表示. .各小长方形的面积总和等于1. 1．求极差：样本观测数据的最小值是1.3t，最大值是28.0t，极差为，这说明样本观测数据的变化范围是26.7t． 2．决定组距与组数：分组时可以先确定组距，也可以先确定组数．如果我们取所有组距为3，则，即可以将数据分为9组，这也说明这个组距是比较合适的． 数据分组可以是等距的，也可以是不等距的，要根据数据的特点而定．有时为了方便，往往按等距分组，或者除了第一和最后的两段，其他各段按等距分组． 3．将数据分组：由于组距为3，9个组距的长度超过极差，我们可以使第一组的左端点略小于数据中的最小值，最后一组的右端点略大于数据中的最大值．例如，可以取区间为，按如下方式把样本观测数据以组距3分为9组：． 4．列频率分布表：计算各小组的频率，例如第一小组的频率是．作出频率分布表（如下表）． 分组 划记 频数 频率 ［1.2，4.2） 23 0.23 ［4.2，7.2） 32 0.32 ［7.2，10.2） 13 0.13 ［10.2，13.2） 9 0.09 ［13.2，16.2） 9 0.09 ［16.2，19.2） 5 0.05 ［19.2，22.2） 3 0.03 ［22.2，25.2） 4 0.04 ［25.2，28.2］ 2 0.02 合计 100 1.00 5．画频率分布直方图：根据上表可以得到如图所示的频率分布直方图． 教师提问：频率分布直方图与频数分布直方图有什么区别？ 频率分布直方图的纵轴表示，频数分布直方图的纵轴表示频数． 知识点2：总体取值规律的估计 教师提问：观察上表和图，你觉得这组数据中蕴含了哪些有用的信息？你能从图表中发现居民用户月均用水量的哪些分布规律？你能给出适当的语言描述吗？ 学生思考、小组讨论，给出答案. 教师归纳总结：从频率分布表可以清楚地看出，样本观测数据落在各个小组的比例大小．例如，月均用水量在区间［4.2，7.2）内的居民用户最多，在区间［1.2，4.2）内的次之，而月均用水量超过16.2的各区间内数据所占比例较小，等等． 从频率分布直方图容易看出，居民用户月均用水量的样本观测数据的分布是不对称的，图形的左边高、右边低，右边有一个较长的“尾巴”．这表明大部分居民用户的月均用水量集中在一个较低值区域，尤其在区间［1.2，7.2）最为集中，少数居民用户的月均用水量偏多，而且随着月均用水量的增加，居民用户数呈现降低趋势． 有了样本观测数据的频率分布，我们可以用它估计总体的取值规律．根据100户居民用户的月均用水量的频率分布，可以推测该市全体居民用户月均用水量也会有类似的分布，即大部分居民用户月均用水量集中在较低值区域．这使我们确定用水量标准时，可以定一个合适的值，以达到既不影响大多数居民用户的水费支出，又能节水的目的．需要注意的是，由于样本的随机性，这种估计可能会存在一定误差，但这一误差一般不会影响我们对总体分布情况的大致了解． 教师提问：分别以3和27为组数，对数据进行等距分组，画出100户居民用户月均用水量的频率分布直方图（如图）．观察图形，你发现不同的组数对于直方图呈现数据分布规律有什么影响？ 学生思考、小组讨论，给出答案. 教师归纳总结：从图中可以看出，同一组数据，组数不同，得到的直方图形状也不尽相同．图（1）中直方图的组数少、组距大，从图中容易看出，数据分布的整体规律是随着月均用水量的增加，居民用户数的频率在降低，而且月均用水量在区间［1.2，10.2）内的居民用户数的频率，远大于在另两个区间［10.2，19.2）和［19.2，28.2］内的频率，这说明大部分居民用户的月均用水量都少于10.2t． 图（2）中直方图的组数多、组距小，从图中可以看出，数据主要集中在低值区，尤其在区间［5.2，6.2）内最为集中．从总体上看，随着月均用水量的增加，居民用户数的频率呈现下降趋势，但存在个别区间频率变大或者缺失的现象． 从上述分析可见，当频率分布直方图的组数少、组距大时，容易从中看出数据整体的分布特点，但由于无法看出每组内的数据分布情况，损失了较多的原始数据信息；当频率分布直方图的组数多、组距小时，保留了较多的原始数据信息，但由于小长方形较多，有时图形会变得非常不规则，不容易从中看出总体数据的分布特点． 例1 已知某市2015年全年空气质量等级如表所示． 空气质量等级（空气质量指数（AQI）） 频数 频率 优 83 良 121 轻度污染 68 中度污染 49 重度污染 30 严重污染 14 合计 365 2022年5月和6月的空气质量指数如下： 5月 33 47 61 75 77 52 36 26 32 70 43 30 26 27 28 32 58 44 73 85 81 83 71 66 29 31 43 84 45 31 51 6月 44 78 89 49 37 25 31 48 47 60 51 38 30 36 43 66 78 84 75 85 100 74 41 27 89 58 43 27 22 30 选择合适的统计图描述数据，并回答下列问题： （1）分析该市2022年6月的空气质量情况． （2）比较该市2022年5月和6月的空气质量，哪个月的空气质量较好？ （3）比较该市2022年6月与该市2015年全年的空气质量，2022年6月的空气质量是否好于2015年？ 教师归纳总结：不同统计图的特点 扇形图：直观描述各类数据占总数的比例. 条形图和直方图：直观描述不同类别或分组数据的频数和频率，条形图适用于描述离散型的数据，直方图适用描述连续型数据. 折线图：描述数据随时间的变化趋势． 跟踪训练 1.采用简单随机抽样的方法得到一个容量为20的样本数据，分组后，各组的频数如表所示： 分组 频数 2 3 x 5 y 2 已知样本数据在区间内的频率为0.35，则样本数据在区间内的频率为( ) A.0.70 B.0.50 C.0.25 D.0.20 2.某中学举行了一次“网络信息安全”知识竞赛，将参赛的100名学生成绩分为6组，绘制了如图所示的频率分布直方图，则成绩在区间内的学生有( ) A.15名 B.20名 C.25名 D.40名 从典型案例出发，通过按步骤做出频率分布直方图的过程，以问题引导学生深入思考，初步建立基本频率分布表与频率分布直方图的概念，明确作图步骤，感悟数据整理的基本方法. 进一步巩固频率分布直方图的相关概念，提高学生的概括问题的能力、解决问题的能力. 初步感受统计思维的特点，合作探究让学生亲身感受数据分析的过程，让学生更有参与感.对如何对总体的分布规律进行简单的估计，在不断分析中体会统计思想. 通过例题，让学生了解统计图的选择需根据实际问题的特点，体会合理使用统计图的重要性． 通过课堂练习，让学生反复巩固数据处理与分析的相关知识，能够灵活运用. 课堂小结 1.频率分布表与频率分布直方图 2.样本估计总体的取值规律 通过总结，进一步巩固所学. 板书设计 9.2.1 总体取值规律的估计 1.频率分布表与频率分布直方图 2.总体取值规律的估计 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $