2026年高考数学考前冲刺四套卷：专题狙击卷（二）

**基本信息** 本综合训练通过模考题模块整合与考法频次标注，系统提炼核心解法，构建知识逻辑链，强化数学思维与创新意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概率与统计|5题（含2考二项分布概率最大参数）|二项分布概率最大项参数求解、统计图表数字特征分析|统计图表与数字特征关联，新定义协方差的线性相关应用| |立体几何|4题（含2考平面翻折）|平面翻折构型与空间角转化、生活情境几何建模|平面翻折动态模型构建，空间几何与代数运算结合| |解析几何|3题（含4考定点定线）|定点定线证明、点差法求轨迹|二次曲线性质与代数变形技巧，存在性探究的开放思维| |函数与数列|2题（新情境/定义）|经济模型数列转化、抽象函数赋值求和|新情境信息提取，向等差/等比数列转化的数学语言表达| |跨板块综合|4题（数列+导数等）|数列导数复合放缩、三角导数极值分析|跨模块知识融会贯通，导数工具在数列/三角中的迁移应用|

参考答案 答案速查表 1 2 3 4 5 C ABD （1）;（2）1200元 （1）4人,3人,分布列见解析;（2）9或10 （1）;（2）分布列见解析,负相关 6 7 8 9 10 （1）见解析;（2） （1）见解析;（2）, A （1）见解析;（2）0,,见解析 （1）;（2）见解析 11 12 13 14 15 （1）;（2）见解析;（3）方程见解析 （1）;（2）见解析 C C （1）0;（2）见解析;（3） 16 17 18 （1）;（2）5;（3） （1）区间见解析;（2）见解析 （1）;（2）值域见解析,证见解析 一、概率与统计 1. （考法一：折线图数字特征判断，5卷2考） 选项A：第6个数据为8.8，A错误；选项B：极差为2.2，B错误；选项C：景区A平均数为7.7，景区B平均数为4，，C正确；选项D：计算方差知景区A更大，D错误.选C. 通法提炼： 解读统计折线图时，需精准把握分位数、极差、平均数、方差的概念，直接从图中读取数据进行粗算对比. 2. （考法二：直方图与四分位数，5卷2考） A正确（频率和为0.4）；B正确（利用面积和为1解得m=0.003）；C错误（求得分位数为375,1400/3,560）；D正确（计算不等式成立）.选ABD. 通法提炼： 频率分布直方图解题法门在于运用面积和为1求出未知矩形高度，再利用各组面积占比累加求得相关数字特征. 3. （设问一：二项分布概率最大项参数求解，5卷2考） （1）摸出3个球，基本事件总数20.红球不少于2个含“2红1黑”或“3红”，共有16个基本事件，获奖概率. （2）中奖次数X服从二项分布，要求最大，联立和，解得n=12.M最小值为1200元. 通法提炼： 探究二项分布概率最大项的参数，通用法则是令相邻项的概率比值分别大于等于1和小于等于1，解出不等式组. 4. （设问一：二项分布概率最大项参数求解，5卷2考） （1）（i） 特种机器人4人，表演机器人3人.（ii） 分布列概率计算得，，，. （2） ，令及相关条件，解得n=9或10. 通法提炼： 多次独立重复试验最大概率项的推导依赖于通项公式相邻项相除列不等式. 5. （新定义：协方差与相关性分析，5卷1考） （1）设事件为剪纸人去剪纸，事件为皮影人不去皮影，，，∴； （2）（i） 总分配方案数为24.，，，，写出分布列. （ii） ，求得，.负相关关系. 通法提炼： 统计学新公式应用中，核心是利用排列组合列出分布列，并运用期望与方差法则计算新特征量. 模块通法汇总： ① 解读统计折线图时，需精准把握分位数、极差、平均数、方差的概念，直接从图中读取数据进行粗算对比. ② 频率分布直方图解题法门在于运用面积和为1求出未知矩形高度，再利用各组面积占比累加求得相关数字特征. ③ 探究二项分布概率最大项的参数，通用法则是令相邻项的概率比值分别大于等于1和小于等于1，解出不等式组. ④ 多次独立重复试验最大概率项的推导依赖于通项公式相邻项相除列不等式. ⑤ 统计学新公式应用中，核心是利用排列组合列出分布列，并运用期望与方差法则计算新特征量. 二、立体几何 6. （考法一：平面图形翻折构型，5卷2考） （1）利用平面几何性质解得，再由，得，从而证明线面垂直. （2）利用体积公式解得，以P为原点建立空间直角坐标系，设，利用法向量夹角公式由面面角60度解出，最后利用线面角公式求正弦值为. 通法提炼： 平面翻折问题的核心是寻找翻折前后不变的垂直关系与长度，利用不变量建立空间直角坐标系求解线面角. 7. （考法二：翻折模型中的动点与最值，5卷2考） （1） 设DE中点O，证明且，从而平面，得出线线垂直. （2） （i） 建立空间直角坐标系，求出平面法向量，利用向量法求线面角为.（ii） 求出体积，转化为求最大值，利用换元和基本不等式求出最大体积为. 通法提炼： 动态立体图形翻折中，求法向量后需利用三角函数的代数关系，或通过换元转化为常见单变量函数求最值. 8. （新情境：几何体积比值建模，5卷2考） 解法一：不妨设大、小西瓜的半径分别为2和1，瓜皮厚度，大西瓜的性价比为；小西瓜为；比值为，故大西瓜性价比高． 通法提炼： 生活情境题的关键是建立代数几何模型，通过表达式比值构造与放缩，快速剥离无关参数. 9. （新定义：空间角转化为三角代数运算，5卷1考） （1）∵，∴. （2）以A为坐标原点建系.（i）计算得，，则，求出法向量代入夹角余弦公式得.（ii），存在锐角使得，设，必有符号相反情况，化简得，得证. 通法提炼： 几何新定义往往能转化为空间向量运算，通过建系精准定位点坐标，代入定义的角度公式中化简并分类讨论. 模块通法汇总： ① 平面翻折问题的核心是寻找翻折前后不变的垂直关系与长度，利用不变量建立空间直角坐标系求解线面角. ② 动态立体图形翻折中，求法向量后需利用三角函数的代数关系，或通过换元转化为常见单变量函数求最值. ③ 生活情境题的关键是建立代数几何模型，通过表达式比值构造与放缩，快速剥离无关参数. ④ 几何新定义往往能转化为空间向量运算，通过建系精准定位点坐标，代入定义的角度公式中化简并分类讨论. 三、解析几何 10. （考法一：定点定线证明，5卷4考） （1）根据求出（舍去），然后求出，得到双曲线方程. （2）（i）联立双曲线和直线方程，结合根的判别式和得到或；（ii）得到，表达出直线AD与直线BE的方程，联立得到，代入化简得. 通法提炼： 证明交点在定直线上，通常设出两条直线的方程，联立求出横坐标或纵坐标表达式，利用韦达定理整体代换化简为常数. 11. （考法二：点差法求轨迹方程与范围，5卷2考） （1） 设直线代入椭圆得出基本量，解得. （2） 联立直线PQ的方程，利用韦达定理化简，解得，发现定点. （3） 利用点差法得，代入定点形式斜率得轨迹方程，并结合判别式求得轨迹范围. 通法提炼： 求动弦中点轨迹，首选点差法得到斜率与中点坐标的等量代换，再利用判别式及根与系数关系严格限制轨迹范围. 12. （设问一：二次曲线存在性探究，5卷2考） （1）直接求得. （2）设方程联立椭圆，韦达定理代入斜率积化简得常数2；设圆心求出圆的半径式，发现与矛盾，证明不存在. 通法提炼： 探究二次曲线上的共圆或定值问题，通常设出目标方程，利用韦达定理化简，通过系数配比或判别式验证是否出现矛盾. 模块通法汇总： ① 证明交点在定直线上，通常设出两条直线的方程，联立求出横坐标或纵坐标表达式，利用韦达定理整体代换化简为常数. ② 求动弦中点轨迹，首选点差法得到斜率与中点坐标的等量代换，再利用判别式及根与系数关系严格限制轨迹范围. ③ 探究二次曲线上的共圆或定值问题，通常设出目标方程，利用韦达定理化简，通过系数配比或判别式验证是否出现矛盾. 四、函数与数列 13. （新情境：经济模型向数列转化，5卷2考） 显然，，解得，于是，故. 故选 C. 通法提炼： 含有新概念的题目，重点抓取其数学定义公式，将其与已知基础模型（如等差数列通项）联立代换求解. 14. （新定义：抽象函数赋值与求和，5卷2考） 令得，∵，则，令，得，故，∴，利用错位相减法求出，当时单调递增，∵，，则，最小值为8. 通法提炼： 抽象函数新定义通常采用赋值法求特殊值，再代入特定形式寻找规律并运用错位相减法求和. 模块通法汇总： ① 含有新概念的题目，重点抓取其数学定义公式，将其与已知基础模型（如等差数列通项）联立代换求解. ② 抽象函数新定义通常采用赋值法求特殊值，再代入特定形式寻找规律并运用错位相减法求和. 五、跨板块综合题 15. （组合一：数列与导数复合放缩证明，5卷2考） （1）当时，，求导分析单调性得时取最大值0. （2）利用（1）中，转化为，取对数放缩并累乘求和证明. （3）分析必要条件得，再利用导数证明充分性：构造函数证明其小于0，从而利用单调性得证. 通法提炼： 处理数列与导数复合的放缩证明题，核心是将数列递推关系转化为函数不等式，利用导数研究单调性与极值，再结合对数化放缩与累乘求和. 16. （组合一：数列与导数复合恒成立，5卷2考） （1）代入特殊值和作差解得. （2）代入x=1寻找必要条件得k<6，验证k=5时因式分解或求导证明恒成立. （3）代入写出，发现n=1时取得极小值函数，对进行因式分解求出零点. 通法提炼： 代数式系数与数列项相关的恒成立问题，关键在于代入特殊值寻找必要条件压缩参数范围，再验证充分性. 17. （组合二：导数与三角函数复合极值放缩，5卷2考） （1）求导令其为0解得分界点方程，分段分析正负得单调区间. （2）（i） 写出极值点表达式，化简极值，利用恒成立不等式完成放缩证明.（ii） 求导解出参数极值点表达式，代入化简两极值乘积.两边取对数后，构造新函数求导证明其单调递减，结合端点和极限完成上下界的证明. 通法提炼： 处理指数与三角函数乘积型极值问题，难点在于解三角方程找出极值点表达式，再利用超越函数求导放缩. 18. （组合二：奇偶性与三角复合函数多阶求导，5卷2考） （1） 求导后代入x=0得切线. （2） （i） 利用内部函数为偶函数缩小研究区间至，对内部函数连求两阶导数判断其单调递增，代入端点求得值域.（ii） 奇偶性缩小范围后，构造新函数求导证单调性，得出初步放缩结果.再构造含有的多项式连求两阶导数反推单调性完成最终不等式链证明. 通法提炼： 复合函数的单调性及不等式证明，常用策略是利用函数的奇偶性缩小研究区间，并通过多阶求导层层剥茧. 模块通法汇总： ① 处理数列与导数复合的放缩证明题，核心是将数列递推关系转化为函数不等式，利用导数研究单调性与极值，再结合对数化放缩与累乘求和. ② 代数式系数与数列项相关的恒成立问题，关键在于代入特殊值寻找必要条件压缩参数范围，再验证充分性. ③ 处理指数与三角函数乘积型极值问题，难点在于解三角方程找出极值点表达式，再利用超越函数求导放缩. ④ 复合函数的单调性及不等式证明，常用策略是利用函数的奇偶性缩小研究区间，并通过多阶求导层层剥茧. 逐题来源 本卷题号 试题来源 原卷题号 1 2026·福建泉州·5月适应性练习题库 3-3 2 2026·重庆市·南开中学·临考预测A卷 1-9 3 2026·福建泉州·5月适应性练习题库 3-16 4 2026·山西晋中·高三下学期5月三模 5-17 5 2026·黑龙江哈尔滨第三中学·第三次模拟考试 4-16 6 2026·福建泉州·5月适应性练习题库 3-17 7 2026·山西晋中·高三下学期5月三模 5-19 8 2026·福建泉州·5月适应性练习题库 3-7 9 2026·黑龙江哈尔滨第三中学·第三次模拟考试 4-18 10 2026·黑龙江哈尔滨第三中学·第三次模拟考试 4-17 11 2026·衡水金卷·5月学情调研 2-19 12 2026·福建泉州·5月适应性练习题库 3-18 13 2026·衡水金卷·5月学情调研 2-5 14 2026·重庆市·南开中学·临考预测A卷 1-8 15 2026·福建泉州·5月适应性练习题库 3-19 16 2026·黑龙江哈尔滨第三中学·第三次模拟考试 4-19 17 2026·重庆市·南开中学·临考预测A卷 1-19 18 2026·衡水金卷·5月学情调研 2-18 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 卷首导言 目的：本卷所有题目来自2026年5月全国卷地区模考、联考(参见卷末逐题来源表)，按知识模块组织.通过同一考点在不同试卷中的对比训练，强化各模块核心解法的掌握，并呈现新出现的设问方式. 编排逻辑：各模块为高中数学核心知识板块.每道题题号后标注考法类型及其在五套卷中的出现次数，直观反映命题特点.每个模块开头的“命题观察”简要说明该组题的训练重点. 方法： 1. 按模块顺序使用，先阅读命题观察，明确训练重点. 2. 逐题完成，之后对比同模块内不同考法的题目在解法、设问上的异同. 3. 总结每类考法的通用解法，记录在批注栏. 自查标准：完成本卷后，能熟练运用各模块的核心解法，并对新出现的设问方式形成基本应对思路. 一、概率与统计 命题观察：本模块在5套卷中表现出极高的稳定性，其中“求二项分布事件发生概率最大时的参数值”的设问在2套卷中连续出现.此外，结合统计图表考查数字特征和引入大学统计指标（如协方差）作为新定义，也是必须重点关注的核心考向. 1. （考法一：折线图数字特征判断，5卷2考） 某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2025年国庆期间该市A和B两个景区的日接待人数的数据(单位：万人)，绘制了如下折线图，则（ 　　） A. 景区A这7日数据的第80%分位数是8.7 B. 景区B这7日数据的极差是1.7 C. 景区A这7日数据的平均数比景区B的两倍小 D. 景区B这7日数据的方差比景区A的大 2. （考法二：直方图与四分位数，5卷2考） 某机构为了解新能源汽车的续航能力，从全国随机抽取了800辆新能源汽车，统计其续航里程（单位：km），将得到的800个数据分为5组：，并整理得到如图所示的频率分布直方图.记这800个数据的3个四分位数分别为，则（ 　　） A. 续航里程在区间内的频率为0.4 B. C. D. 3. （设问一：二项分布概率最大项参数求解，5卷2考） 某商场举行五一节优惠活动，顾客每消费满100元可抽奖一次．抽奖规则如下：箱中共有4个红球和2个黑球，这些球除颜色外完全相同，顾客每次随机摸出3个球，若摸出的红球不少于2个则中奖，否则不中奖．各次抽奖互不影响． （1）求抽奖一次中奖的概率； （2）商场规定每中奖一次，返现10元．设某顾客在活动期间消费M元，按规定返现Y元．若事件“”的概率最大，求M的最小值． 4. （设问一：二项分布概率最大项参数求解，5卷2考） “十四五”期间，我国的机器人产业大爆发，实现了从“低端制造”到“高端突破”的历史性转变. 某学校的兴趣小组在校内随机调查了100名学生，统计其关注的机器人类型，得到如下的统计表： 类型 医疗机器人 特种机器人 表演机器人 服务机器人 工业机器人 人数 10 40 30 10 10 （1） 先按比例用分层随机抽样的方法从上面100名学生中随机抽取10人. （i） 分别求抽取的10人中关注“特种机器人”和关注“表演机器人”的人数； （ii） 再从这10人中随机抽取3人，记抽到关注“特种机器人”的人数为X，关注“表演机器人”的人数为Y，设，求Z的分布列.（本小题为中档题，因第（2）问的背景依赖其题干框架，故完整入选） （2） 该兴趣小组调查某款表演机器人，得知输入动作指令后其能准确完成指令的概率为，若输入n次动作指令，其能准确完成指令的次数为W，记事件的概率为，假设每次输入指令相互独立，且，则当n为何值时，的值最大？ 5. （新定义：协方差与相关性分析，5卷1考） 为传承中华优秀传统文化，丰富校园文化生活，哈三中举办“非遗文化进校园”主题活动，现有来自剪纸、皮影、刺绣、泥塑4个非遗项目的传承人各1名，安排到剪纸、皮影、刺绣、泥塑4个非遗体验工坊进行授课，要求每个工坊安排1名传承人，每名传承人仅在一个工坊授课. （1） 求在剪纸项目的传承人在剪纸工坊授课的条件下，皮影项目的传承人不在皮影工坊授课的概率； （2） 在概率论和统计学中，常用协方差来描述两个随机变量之间的线性相关程度，给定离散型随机变量，定义协方差为. 如果协方差为正，说明两个随机变量具有正相关关系；如果协方差为负，说明两个随机变量具有负相关关系；如果协方差为零，说明两个随机变量在线性关系上不相关. 在参与授课的4名传承人中，记在对应项目工坊授课的传承人数为，不在对应项目工坊授课的传承人数为. （i） 求随机变量的分布列； （ii） 求，并说明之间的线性相关关系. 二、立体几何 命题观察：本模块中“平面沿内部垂线翻折”的动态立体几何模型在5套卷中出现了2次.同时，命题者倾向于结合生活真实情境（如西瓜性价比）或引入新定义（如投影偏差率）来增加设问的新颖性，重点考查空间几何建模与代数转化的结合能力. 6. （考法一：平面图形翻折构型，5卷2考） 如图1，在梯形ABCD中，，，，于P，．将沿BP翻折至，使得，如图2． （1）证明：平面BCDP； （2）已知四棱锥的体积为，若点Q在线段A'C上，且二面角的大小为，求直线A'D与平面QPD所成角的正弦值． 7. （考法二：翻折模型中的动点与最值，5卷2考） 如图，在直角梯形ABCD中，，E为AB的中点，连接DE，将沿DE折起到的位置，得到四棱锥. （1） 求证：. （2） 设二面角的平面角为，且. （i） 求直线BD与平面所成角的正弦值； （ii） 求四面体体积的最大值. 8. （新情境：几何体积比值建模，5卷2考） 某超市在售的西瓜均可视为实心球体，且瓜皮厚度均匀相等．已知大、小两种西瓜的售价分别为80元/个、10元/个，且半径之比约为2:1．若以西瓜瓜瓤的体积与其售价的比值作为西瓜的性价比，则（ 　　） A. 大西瓜的性价比高 B. 小西瓜的性价比高 C. 大、小西瓜的性价比一样 D. 大、小西瓜的性价比的高低不确定 9. （新定义：空间角转化为三角代数运算，5卷1考） 如图，在斜三棱柱中，，，侧棱，，，其中为锐角. （1） 当时，求证：； （2） 定义：过点作垂直底面ABC于O，且O在内部，记与、所成角分别为、，称为斜三棱柱的投影偏差率. （i） 当时，求斜三棱柱的投影偏差率（不需证明），并求此时平面与平面ABC夹角的余弦值； （ii） 关于的函数解析式记为，若存在两个不同的锐角，使得，求证：. 三、解析几何 命题观察：本次5套卷中解析几何以定点定线为绝对主流（4卷考查），但也出现了点差法求轨迹方程以及二次曲线上四点共圆的存在性探究.这反映出除了常规计算外，代数变形技巧及开放性思维也是本模块的核心拉分点. 10. （考法一：定点定线证明，5卷4考） 已知分别是双曲线的左、右顶点，点是双曲线C上的一点，且. （1） 求双曲线C的方程； （2） 已知过点的直线，交双曲线C的左、右两支于两点（异于）. （i） 求的取值范围； （ii） 设直线AD与直线BE交于点Q，求证：点Q在定直线上. 11. （考法二：点差法求轨迹方程与范围，5卷2考） 椭圆的右顶点为，过点A分别作斜率为的直线与斜率为的直线，分别与交于相异P,Q两点，且. 已知当时，. （1） 求的方程； （2） 证明：直线PQ过定点； （3） 求线段PQ中点的轨迹方程. 12. （设问一：二次曲线存在性探究，5卷2考） 已知椭圆分别与y轴正半轴、x轴正半轴交于A,B两点． （1）求直线AB的方程； （2）设为椭圆上的两个动点，在四边形AMNB中，． （i）证明：直线AM与BN的斜率之积为定值； （ii）设O为坐标原点，过O的直线交C于P,Q两点，，其中．判断是否存在直径为3的圆经过四点？若存在，求；若不存在，说明理由． 四、函数与数列 命题观察：本模块在客观题部分显著增加了新情境与新定义的考查力度，5套卷中有2卷分别引入了经济学模型和抽象函数的赋值演算法则，重点考查现场提取信息并迅速向等差/等比数列或特定求和公式转化的能力. 13. （新情境：经济模型向数列转化，5卷2考） 在简单经济模型中，当需求量为n时，对应的价格记为，若为等差数列，记其公差为d，则其在需求量为m时的点弹性为. 现在某简单经济模型中，当需求量为3时的点弹性为，则当需求量为6时的点弹性为（ 　　） A. B. C. 1 D. 2 14. （新定义：抽象函数赋值与求和，5卷2考） 已知函数的定义域为，，且，若，则正整数的最小值为（ 　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 五、跨板块综合题 命题观察：跨板块融合是本次5套卷拉开区分度的终极杀器.“数列+导数放缩恒成立”与“导数+三角复合极值”两类高难度综合分别出现了2次.这类题目要求在数列不等式证明或三角放缩中灵活借用导数和极值工具，体现了极强的融会贯通属性. 15. （组合一：数列与导数复合放缩证明，5卷2考） 已知函数，其中，数列满足，． （1）设，若，求的最大值； （2）证明：若，当时，； （3）当时，，求k的取值范围． 16. （组合一：数列与导数复合恒成立，5卷2考） 已知，，满足. （1） 求数列的通项公式； （2） 若对恒成立，求整数k的最大值； （3） 令，对于，当时，恒成立，求实数的最小值. 17. （组合二：导数与三角函数复合极值放缩，5卷2考） 已知函数. （1）当时，求的单调区间. （2）设的极值点从小到大依次为. （i）当时，记数列的前项和为，的前项和为，证明：； （ii）当时，证明：. 18. （组合二：奇偶性与三角复合函数多阶求导，5卷2考） 设函数. （1） 求曲线在处的切线方程； （2） 当时. （i） 求的值域； （ii） 证明：. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $