第23章 一次函数 章节小测 2025--2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 人教版八年级下学期数学一次函数单元卷，120分钟150分，覆盖函数概念、图像性质及应用，融合文化传承与跨学科情境，适配单元复习，培养抽象能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|12/36|正比例函数、图像平移、性质判断|结合漏壶计时（文化）、物理浮力实验（跨学科），考查几何直观| |填空题|4/16|象限分布、参数取值、行程问题|设置开放题（如13题b值），考查分类讨论思维| |解答题|9/98|解析式求解、实际应用（书画套盒/公交购车）、综合探究（绝对值函数/几何结合）|分层设计，基础题（17-20）巩固概念，能力题（21-23）强化模型意识，创新题（24-25）发展推理能力与创新意识|

人教版2025-2026学年度八年级下学期数学一次函数章节小测 考试时间：120分钟；试卷分值：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（共36分） 1．（本题3分）下列函数中，为正比例函数的是（  ） A． B． C． D． 2．（本题3分）已知点在一次函数的图象上，则m的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（本题3分）将一次函数的图象向上平移4个单位后经过点，则（   ） A．10 B．4 C．2 D．0 4．（本题3分）已知一次函数，下列说法不正确的是（    ） A．图象与x轴的交点坐标是 B．图象经过第一、二、四象限 C．y随x的增大而增大 D．图象与两坐标轴围成的三角形面积为2 5．（本题3分）已知一次函数，随的增大而减小，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 6．（本题3分）正比例函数经过第二、四象限，则下列函数图象正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（本题3分）“漏壶”是一种古代计时器，壶内壁有刻度，在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔匀速漏出，人们根据壶中水面的位置计算时间．用表示漏水时间，表示壶底到水面的高度（不考虑水量变化对压力的影响），下列图象中适合表示与的对应关系的是（    ） A． B． C． D． 8．（本题3分）为了探究浮力的大小与哪些因素有关，物理实验小组进行了相关实验．如图1，先将一个长方体铁块放在玻璃烧杯上方，再向下缓缓移动，移动过程中记录弹簧测力计的示数（单位：N）与铁块下降的高度x（单位：）之间的关系如图2所示．下列说法正确的是（    ） A．铁块入水之前，烧杯内水的高度为 B．铁块的高度为 C．当弹簧测力计的示数为时，此时铁块距离烧杯底 D．当铁块下降的高度为时，该铁块所受到的浮力为 9．（本题3分）如图，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 10．（本题3分）阻力会对物体的运动产生影响，是物理学中的重要概念．如图，兴趣小组通过实验研究发现，一辆静止的小车从斜坡滑下后，在水平木板上的运动速度与运动时间之间满足我们学过的某种函数关系．下表是一组实验数据，根据表中数据，与之间的函数关系式为（   ） 运动时间 1 2 3 4 … 运动速度 11 10 9 8 … A． B． C． D． 11．（本题3分）若点，，在函数的图象上，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 12．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象直线与轴交于点，以为一边作正方形，使得点在轴正半轴上，延长交直线于点，按同样方法依次作正方形、正方形、、正方形，使得点，，，，均在直线上，点，，在轴正半轴上，则点的横坐标是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（共16分） 13．（本题4分）请写出一个b的值，使一次函数的图象经过第一、三、四象限，__________． 14．（本题4分）若一次函数的图象经过点，则的值为______． 15．（本题4分）直线不经过第二象限，则的取值范围是____________. 16．（本题4分）、两地相距4000米，甲货车从地匀速开往地，乙货车在甲货车出发10分钟后，从地沿同一公路出发匀速开往地，到达地后停止，而甲继续开往地，到达地后才停止．两车之间的距离（米）与甲货车出发的时间（分钟）之间的函数关系如图中的折线所示：①甲的速度为100米/分钟；②乙的速度为140米/分钟；③乙货车从地到地用的时间为分钟；④当乙到达地时，甲离地的距离为米．上述说法正确的是_____． 三、解答题（共98分） 17．（本题10分）已知一次函数，当时，；当时，． (1)求该一次函数的解析式； (2)求该直线与x轴的交点坐标． 18．（本题10分）如图，根据函数的图象，回答下列问题： （1）y的值随x值的增大而______（选填“增大”或“减小”）； （2）图象与x轴的交点坐标是______，图象与y轴的交点坐标是______； （3）当x______时，． 19．（本题10分）已知是一次函数． (1)求这个一次函数的解析式； (2)试判断点是否在这个一次函数的图象上； (3)求此函数与x轴、y轴围成的三角形的面积． 20．（本题10分）已知正比例函数的图象经过点． (1)求这个函数的解析式； (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； (3)判断点，是否在这个函数的图象上． 21．（本题10分）中国书法是独具民族特色的传统艺术，中国绘画更是起源最早的传统艺术形式之一，二者合称为书画．为弘扬中华优秀传统文化，某校拟购买书法工具套盒和绘画工具套盒共80套，已知书法工具套盒的售价为70元套，绘画工具套盒的售价为60元套．若该校购买的书法工具套盒为套，购买这80套工具套盒所需的总费用为元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若学校本次购买这80套工具套盒的总费用为5300元，则可购买多少套书法工具套盒？ 22．（本题12分）清明假期期间，小刚从家出发，自驾匀速前往某景区游玩，途中经过服务区休息一段时间后，继续以另一速度匀速行驶前往目的地，小刚离家的距离（千米）与离开家的时间（小时）之间的函数关系如图所示． (1)小刚在服务区休息了_____小时； (2)求所在直线对应的函数表达式； (3)当小刚离家的距离恰好为200千米时，小刚离开家_____小时． 23．（本题12分）某公交公司计划购买型纯电动公交车与型氢能源公交车共10辆．已知购买1辆型公交车和1辆型公交车共需85万元；购买2辆型公交车和3辆型公交车共需215万元． (1)求购买1辆型纯电动公交车、1辆型氢能源公交车各需要多少万元？ (2)若购买这批公交车的总费用不超过420万元，且两种车型都要购买，设购买型公交车辆，总费用为万元． ①求总费用关于的函数关系式； ②请你求出最省钱的购买方案及最低总费用． 24．（本题12分）探索函数， (1)根据绝对值定义，当时， ______；当时，______； (2)在如图平面直角坐标系中画出该函数图象； (3)根据图象，直接写出不等式的解集． 25．（本题12分）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的全等模型． 【模型学习】如图1，已知在中，，直线EF经过点A，于点E，于点F．易证：． （1）如图2，平面直角坐标系中，点B的坐标为，求直线的函数关系式； 【类比探究】 （2）如图3，一次函数的图象分别交x轴和y轴于M、N两点，点D坐标为． ①连接，则_____； ②点P在直线上，连接，当与直线的夹角为时，求出点P的坐标； 【拓展探究】 （3）在（2）的条件下，若一次函数的图象与直线相交所夹锐角大于，请直接写出k的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版2025-2026学年度八年级下学期数学一次函数章节小测答案解析 考试时间：120分钟；试卷分值：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（共36分） 1．（本题3分）下列函数中，为正比例函数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是正比例函数，逐一判断选项即可． 【详解】解：A中，含有常数项，不符合正比例函数的形式； B中，的最高次数为2，不符合正比例函数的形式； C中，分母中含自变量，不符合正比例函数的形式； D中，符合（为常数且）的形式，是正比例函数． 2．（本题3分）已知点在一次函数的图象上，则m的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】点在函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，将点的横坐标代入解析式即可求出的值． 【详解】解：∵点在一次函数的图象上， ∴将代入得：． 3．（本题3分）将一次函数的图象向上平移4个单位后经过点，则（   ） A．10 B．4 C．2 D．0 【答案】C 【分析】按照一次函数的平移规律：左加右减，上加下减，得出新函数解析式，然后将点代入其中，解出即可求得的值． 【详解】解：∵一次函数的图象向上平移4个单位， ∴函数表达式为， ∵直线经过点， ∴， ∴． 4．（本题3分）已知一次函数，下列说法不正确的是（    ） A．图象与x轴的交点坐标是 B．图象经过第一、二、四象限 C．y随x的增大而增大 D．图象与两坐标轴围成的三角形面积为2 【答案】B 【分析】根据一次函数的性质，交点坐标的求解方法和三角形面积公式，逐个判断各选项的说法，即可找出不正确的结论． 【详解】解：对于一次函数，可得，． ∵当时，，解得， ∴图象与轴的交点坐标是，A说法正确，不符合题意． ∵ ，， ∴一次函数图象经过第一、二、三象限，B说法错误，符合题意. ∵ ， ∴ 随的增大而增大，C说法正确，不符合题意． 当时，，即图象与轴交点为，结合与轴交点， ∴图象与两坐标轴围成的三角形面积为 ，D说法正确，不符合题意． 5．（本题3分）已知一次函数，随的增大而减小，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一次函数()中，当时，随的增大而减小，据此列不等式求解即可． 【详解】解：一次函数中，随的增大而减小 一次项系数满足 解不等式得． 6．（本题3分）正比例函数经过第二、四象限，则下列函数图象正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据经过的象限，可以判断的符号，从而判断出中和的正负性，最后便能判断该函数所经过的象限． 【详解】解：经过第二、四象限， ， ，， 经过二、三、四象限， A正确． 7．（本题3分）“漏壶”是一种古代计时器，壶内壁有刻度，在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔匀速漏出，人们根据壶中水面的位置计算时间．用表示漏水时间，表示壶底到水面的高度（不考虑水量变化对压力的影响），下列图象中适合表示与的对应关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，可知随的增大而减小，且变化均匀，据此可判断对应的函数图象． 【详解】解：∵不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，表示漏水时间，表示壶底到水面的高度， ∴随的增大而匀速地减小，选项B图象适合表示与的对应关系． 8．（本题3分）为了探究浮力的大小与哪些因素有关，物理实验小组进行了相关实验．如图1，先将一个长方体铁块放在玻璃烧杯上方，再向下缓缓移动，移动过程中记录弹簧测力计的示数（单位：N）与铁块下降的高度x（单位：）之间的关系如图2所示．下列说法正确的是（    ） A．铁块入水之前，烧杯内水的高度为 B．铁块的高度为 C．当弹簧测力计的示数为时，此时铁块距离烧杯底 D．当铁块下降的高度为时，该铁块所受到的浮力为 【答案】C 【分析】由图象即可判断A，B；利用待定系数法求出段的解析式为，然后判断C，D选项． 【详解】解：∵烧杯高度为，铁块从烧杯口到下表面接触水时移动了， ∴烧杯内水的高度为，故A错误，不符合题意； ∵烧杯有出水口， ∴水平面在铁块下移过程中保持不变． ∴铁块的高度为段铁块移动的距离，为，故B错误，不符合题意； 设段的解析式为 将，代入得， 解得 ∴段的解析式为 ∴当时， 解得 ∴ ∴此时铁块距离烧杯底，故C正确； ∵当铁块下降高度为时， ∴拉力的大小为， ∵铁块的重力为， ∴铁块所受到的浮力为，故D错误，符合题意． 9．（本题3分）如图，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用一次函数图象解不等式的知识，数形结合是解答本题的关键． 先将点A的坐标代入直线的解析式求出m的值，不等式在坐标系中的含义为：直线在直线上方时，自变量的取值范围，即数形结合即可作答． 【详解】解：将代入直线的解析式，有：， 解得：， ∵不等式的解，在坐标系中的含义为：直线在直线上方时，自变量的取值范围， ∴数形结合有：． 10．（本题3分）阻力会对物体的运动产生影响，是物理学中的重要概念．如图，兴趣小组通过实验研究发现，一辆静止的小车从斜坡滑下后，在水平木板上的运动速度与运动时间之间满足我们学过的某种函数关系．下表是一组实验数据，根据表中数据，与之间的函数关系式为（   ） 运动时间 1 2 3 4 … 运动速度 11 10 9 8 … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一组数据中自变量每增加，对应因变量的值减小，可得与之间存在一次函数关系，再进一步利用待定系数法求解解析式即可. 【详解】解：由题表中数据可知，运动时间每增加，运动速度减小，满足一次函数关系， 设与之间的函数关系式为，代入，， 得， 解得， 与之间的函数关系式为． 11．（本题3分）若点，，在函数的图象上，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据一次函数解析式判断函数增减性，再比较三点横坐标大小，即可得到对应纵坐标的大小关系． 【详解】解：∵一次函数解析式为，其中一次项系数， ∴随的增大而增大． ∵点的横坐标分别为, 满足 ， ∴对应纵坐标满足，即 ． 12．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象直线与轴交于点，以为一边作正方形，使得点在轴正半轴上，延长交直线于点，按同样方法依次作正方形、正方形、、正方形，使得点，，，，均在直线上，点，，在轴正半轴上，则点的横坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质，可得出点、、的坐标，同理可得出、、、…的坐标，进而得到、、、、……的横坐标，根据点的坐标变化可找出变化规律，依此规律即可得出结论． 【详解】解：当时，有， 解得， ∴点的坐标为． ∵四边形为正方形， ∴点的坐标为． 当时，有， 解得， ． 同理，可得出：，，，……， 的横坐标为2，的横坐标为4，的横坐标为8，的横坐标为16，…， 的横坐标为（为正整数）， ∴点的横坐标是． 二、填空题（共16分） 13．（本题4分）请写出一个b的值，使一次函数的图象经过第一、三、四象限，__________． 【答案】（答案不唯一，小于0即可） 【分析】根据一次函数的图象经过第一、三、四象限，判断出的取值范围，写出符合范围的任意一个的值即可． 【详解】解：一次函数的图象经过第一、三、四象限，， ， 可以取（答案不唯一）． 14．（本题4分）若一次函数的图象经过点，则的值为______． 【答案】3 【分析】将点代入一次函数解析式，得到与的关系式，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：一次函数的图象经过点， 将，代入解析式得， 整理得 ． 15．（本题4分）直线不经过第二象限，则的取值范围是____________. 【答案】 【分析】根据直线不经过第二象限，可得函数表达式当中一次项系数大于等于零，常数项小于等于零，进而得到m取值范围． 【详解】解：∵直线不经过第二象限， ， 解得：． 16．（本题4分）、两地相距4000米，甲货车从地匀速开往地，乙货车在甲货车出发10分钟后，从地沿同一公路出发匀速开往地，到达地后停止，而甲继续开往地，到达地后才停止．两车之间的距离（米）与甲货车出发的时间（分钟）之间的函数关系如图中的折线所示：①甲的速度为100米/分钟；②乙的速度为140米/分钟；③乙货车从地到地用的时间为分钟；④当乙到达地时，甲离地的距离为米．上述说法正确的是_____． 【答案】①③④ 【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以计算出甲乙两货车的速度，然后即可计算出乙货车从B地到A地用的时间，再根据函数图象中的数据，即可计算出当乙到达A地时，甲离B地的距离． 【详解】解：由题意可得， 甲货车的速度为：（米/分钟），故①正确； 由甲乙两车在22分钟相遇可得乙货车的速度为：（米/分钟），故②错误； 乙货车从B地到A地用的时间为：（分钟），故③正确； 当乙到达A地时，甲行驶时间为分钟，此时离B地的距离为（米），故④正确； 正确的有①③④． 三、解答题（共98分） 17．（本题10分）已知一次函数，当时，；当时，． (1)求该一次函数的解析式； (2)求该直线与x轴的交点坐标． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：一次函数，当时，；当时， ∴ 解得：， 解析式： （2）令，即 解得： ∴该直线与x轴的交点坐标为 18．（本题10分）如图，根据函数的图象，回答下列问题： （1）y的值随x值的增大而______（选填“增大”或“减小”）； （2）图象与x轴的交点坐标是______，图象与y轴的交点坐标是______； （3）当x______时，． 【答案】（1）减小 （2）； （3） 【分析】本题考查一次函数图象与性质，（1）由一次函数图象求解即可； （2）由一次函数图象求解即可； （3）由一次函数图象求解即可． 【详解】解：（1）由图可得，y的值随x值的增大而减小, 故答案为：减小． （2）由图象得，图象与x轴的交点坐标是，图象与y轴的交点坐标是， 故答案为：，． （3）由图象得，当时，． 19．（本题10分）已知是一次函数． (1)求这个一次函数的解析式； (2)试判断点是否在这个一次函数的图象上； (3)求此函数与x轴、y轴围成的三角形的面积． 【答案】(1) (2)不在 (3) 【分析】（1）利用一次函数定义列出方程，解出方程得到，进而可求解； （2）将代入函数解析式求出此时的值，进而可判断； （3）先求出一次函数与x轴、y轴的交点坐标，进而可求出三角形的面积． 【详解】（1）解：∵是一次函数， ∴， ∴， ∴这个一次函数的解析式为：； （2）解：当时，， ∴点不在这个一次函数的图象上； （3）解：当时，， 当时，，解得， ∴函数与x轴、y轴的交点分别为：和， ∴此函数与x轴、y轴围成的三角形的面积为：． 20．（本题10分）已知正比例函数的图象经过点． (1)求这个函数的解析式； (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； (3)判断点，是否在这个函数的图象上． 【答案】(1) (2)见解析 (3)不在 【分析】（1）直接把点代入正比例函数，求出k的值即可； （2）利用描点法画出函数图象即可； （3）把点的横坐标代入正比例函数的解析式求出y的值，进一步比较得出答案即可． 【详解】（1）解：∵正比例函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴这个函数的解析式； （2）解：当时，， 当时，， ∴经过点，，描点画出图象如下： （3）解：∵正比例函数的解析式为， ∴当时，， ∴点不在这个函数的图象上． 21．（本题10分）中国书法是独具民族特色的传统艺术，中国绘画更是起源最早的传统艺术形式之一，二者合称为书画．为弘扬中华优秀传统文化，某校拟购买书法工具套盒和绘画工具套盒共80套，已知书法工具套盒的售价为70元套，绘画工具套盒的售价为60元套．若该校购买的书法工具套盒为套，购买这80套工具套盒所需的总费用为元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若学校本次购买这80套工具套盒的总费用为5300元，则可购买多少套书法工具套盒？ 【答案】(1) (2)可购买50套书法工具套盒 【分析】（1）利用购买的书法工具套盒的总费用与购买的绘画工具套盒的总费用等于这80套工具套盒所需的总费用列出解析式即可； （2）令得到关于x的一元一次方程，再求解即可． 【详解】（1）根据题意可得，， 与之间的函数关系式为； （2）令，得， 解得， 可购买50套书法工具套盒． 22．（本题12分）清明假期期间，小刚从家出发，自驾匀速前往某景区游玩，途中经过服务区休息一段时间后，继续以另一速度匀速行驶前往目的地，小刚离家的距离（千米）与离开家的时间（小时）之间的函数关系如图所示． (1)小刚在服务区休息了_____小时； (2)求所在直线对应的函数表达式； (3)当小刚离家的距离恰好为200千米时，小刚离开家_____小时． 【答案】(1)1 (2) (3)3.2 【分析】（1）根据函数图象，可得两点之间的函数值无变化，即可求解； （2）待定系数法求解析式，即可求解； （3）将代入解析式，即可求解． 【详解】（1）解： 根据函数图象可得小刚在服务区休息了1小时； （2）解：设所在直线对应的函数表达式为， 把代入， 得， 解得， 所以线段所在直线对应的函数表达式为． （3）解：当时， 解得：， ∴小刚离开家3.2小时． 23．（本题12分）某公交公司计划购买型纯电动公交车与型氢能源公交车共10辆．已知购买1辆型公交车和1辆型公交车共需85万元；购买2辆型公交车和3辆型公交车共需215万元． (1)求购买1辆型纯电动公交车、1辆型氢能源公交车各需要多少万元？ (2)若购买这批公交车的总费用不超过420万元，且两种车型都要购买，设购买型公交车辆，总费用为万元． ①求总费用关于的函数关系式； ②请你求出最省钱的购买方案及最低总费用． 【答案】(1)购买1辆型纯电动公交车需要40万元，1辆型氢能源公交车需要45万元 (2)①；②购买型纯电动公交车9辆，型氢能源公交车1辆时最省钱，最低总费用为405万元 【分析】（1）设购买1辆型纯电动公交车需要万元，1辆型氢能源公交车需要万元，根据“购买1辆型公交车和1辆型公交车共需85万元；购买2辆型公交车和3辆型公交车共需215万元”列方程组求解即可； （2）①购买型公交车辆，则购买型公交车辆，进而根据价格列函数关系式即可； ②根据“计划购买型纯电动公交车与型氢能源公交车共10辆”“购买这批公交车的总费用不超过420万元，且两种车型都要购买”求出a的取值范围，进而根据一次函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：设购买1辆型纯电动公交车需要万元，1辆型氢能源公交车需要万元， 根据题意．得， 解得：． 答：购买1辆型纯电动公交车需要40万元，1辆型氢能源公交车需要45万元； （2）解：①由题意，购买型公交车辆，则购买型公交车辆， 则：， 即：； ②由题意可得 解得：， ∵两种车型都要购买， ∴， ，且为整数， 在中， 随的增大而减小． 当取最大值9时，最小，（万元）． 答：购买型纯电动公交车9辆，型氢能源公交车1辆时最省钱，最低总费用为405万元． 24．（本题12分）探索函数， (1)根据绝对值定义，当时， ______；当时，______； (2)在如图平面直角坐标系中画出该函数图象； (3)根据图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)； (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据所给的x的取值范围去绝对值即可得到答案； （2）先列表，再描点和连线画出函数图象即可； （3）根据函数图象找到函数值小于或等于4时自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； （2）解：列表如下： … 0 1 2 3 4 … … 3 2 1 2 3 … 函数图象如下所示： （3）解：由函数图象可知，不等式的解集为． 25．（本题12分）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的全等模型． 【模型学习】如图1，已知在中，，直线EF经过点A，于点E，于点F．易证：． （1）如图2，平面直角坐标系中，点B的坐标为，求直线的函数关系式； 【类比探究】 （2）如图3，一次函数的图象分别交x轴和y轴于M、N两点，点D坐标为． ①连接，则_____； ②点P在直线上，连接，当与直线的夹角为时，求出点P的坐标； 【拓展探究】 （3）在（2）的条件下，若一次函数的图象与直线相交所夹锐角大于，请直接写出k的取值范围． 【答案】（1）；（2）①90，②或；（3）且 【分析】本题考查一次函数与几何的综合，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． (1)过点A作轴于D，过点B作轴于E，推导出，得到，求出，设直线的函数关系式为，求出直线的函数关系式为，即可解答； (2)①推导出，，在x轴上取点过点F作轴，交于E，求出，得到，继而证明，得到推导出，则即可解答； ②先证明，连接，推导出是等腰直角三角形，得到，则点P与点E重合时，与直线的夹角为，得到；当点P在x轴下方时，过点P作轴于G，推导出是等腰直角三角形，得到进而证明，得到，则得到，即可解答； (3)先求出直线的函数关系式为，直线的函数关系式为，推导出直线必定经过点，过点Q分别作和的平行线，交y轴于，求出或，由一次函数的图象与直线相交所夹锐角大于，得到，求出直线的解析式为，得到，则且，，即可解答． 【详解】解：(1)过点A作轴于D，过点B作轴于E，如图， 则， ， ， ， ， ， ， 点B的坐标为， ， ， ， 设直线的函数关系式为，则 解得： 直线的函数关系式为； (2)①当时， ， 解得：， ， 当时， ， ， ∴在x轴上取点过点F作轴，交于E，如图， 则， 当时， ， ∴， ∴， ∵D坐标为， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴ ∵， ∴，即 故答案为：90； ②由①知， ∴， 连接，如图， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴点P与点E重合时，与直线的夹角为，则； 当点P在x轴下方时，过点P作轴于G， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴ ∴，且点P在直线上； 综上所述，点P的坐标为或； (3)由(2)知， 同理可得，直线的函数关系式为，直线的函数关系式为， ∵，且 ∴当时， ， ∴直线必定经过点，如图， 过点Q分别作和的平行线，交y轴于， ∴或， ∵一次函数的图象与直线相交所夹锐角大于， ∴． 设直线的解析式为， 将分别代入，得 ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，一次函数的图象与直线平行，此时一次函数的图象与直线垂直，不符合题意， ∴， 综上所述，且，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 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