第四章 三角形 期末复习讲义 2025--2026学年北师大版七年级数学下册

第四章 三角形 一、 三角形相关概念 1.三角形定义：由三条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形。 2.三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 · 判定：最短两边之和＞最长边即可构成三角形 3.三角形分类 · 按角：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 · 按边：等腰三角形、等边三角形、不等边三角形 4.三角形内角和：内角和=180° 5.直角三角形性质：两锐角互余；有两个角互余的三角形是直角三角形 二、三角形外角 1.外角=不相邻两个内角和 (外角＞任意一个不相邻内角) 2. 三角形三条重要线段 · 高：从顶点向对边作垂线，顶点与垂足间线段 锐角△三高在内部；直角△两条高为直角边；钝角△两条高在外部 · 中线：顶点到对边中点连线 性质：平分三角形面积，三条中线交于重心 · 角平分线：平分三角形内角的线段 角平分线上的点到角两边距离相等 三、全等三角形基础 1.全等定义：能够完全重合的两个三角形 2.全等性质 · 对应边相等、对应角相等 · 周长相等、面积相等、对应中线/高/角平分线相等 四、三角形全等判定定理（必考） 1.SSS：三边对应相等 2.SAS：两边及其夹角对应相等 3.ASA：两角及其夹边对应相等 4.AAS：两角及其中一角对边对应相等 5.HL（仅限直角三角形）：斜边+一条直角边对应相等 五、尺规作图 1.作一条线段等于已知线段 2.作一个角等于已知角 3.已知三边/两边夹角/两角夹边作三角形 1.三边关系易错:只算和不算差，忽略取值范围 2.内角和计算 · 等腰三角形求角度不分类讨论（顶角/底角） · 外角性质乱用，分不清相邻与不相邻内角 3.全等判定最大易错 · SSA当成判定定理（最常考错题） · SAS分不清夹角，误用非夹角 · 证明全等找错对应边、对应角 4.审题易错 · 直角三角形忘记优先用HL · 隐含条件忽略：公共边、公共角、对顶角相等 5.书写格式错误 · 全等三角形字母不对应 · 证明过程逻辑混乱，缺少条件 1. 三边关系解题技巧：已知a、b，第三边c范围：∣a−b∣<c<a+b 2. 角度计算技巧 · 遇等腰三角形：设未知数+内角和180°列方程 · 遇平行线+三角形：用内错角+内角和转化角度 · 飞镖模型、八字模型直接用外角结论秒算角度 3. 全等证明万能步骤 · 找已知相等条件（边/角） · 挖隐藏条件：公共边、公共角、对顶角、平行线角相等 · 匹配5种判定定理（优先SSS→SAS→ASA→AAS→HL） · 规范书写：条件罗列→得出全等→推出边角相等 4. 证线段/角相等思路 · 证线段相等：优先证所在三角形全等 · 证角相等：全等性质、平行线性质、外角性质、同角余角相等 5. 面积题型技巧 · 中线分三角形面积二等分 · 同高三角形面积比=底边长之比 · 同底三角形面积比=高之比 6. 填空选择秒杀技巧 · 判断能否组成三角形：两短边之和＞最长边 · 直角三角形求锐角：直接用90° 减另一个锐角 · 全等选择题直接排除AAA、SSA选项 · 求角度优先用方程思想最快 题型一 三角形个数问题 【例1】（25-26八年级上·河南安阳·期末）图中共有（   ）个三角形． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查三角形的定义，熟练掌握相关知识是关键． 不在同一直线上的三个点可以确定一个三角形，使用列举法即可． 【详解】解：如图， 图中三角形为、、、、、共个． 故选：B． 【变式1-1】（2026七年级下·全国·专题练习）如图，图中三角形的个数为________；以为边的三角形是_________________，以为一个内角的三角形是____________________． 【答案】 ． 【分析】本题考查了三角形的定义，根据三角形的定义数出三角形的个数，找出以为边的三角形以及以为一个内角的三角形，即可求解． 【详解】解：图中的三角形有、、、、、，共个； 以为边的三角形有、、， 以为一个内角的三角形是、、． 故答案为：；；． 【变式1-2】（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）仔细观察如图所示的“五角星”，数一数，图中一共有________个三角形． 【答案】35 【分析】按照一定的规律，寻找三角形，可以找全不遗漏． 【详解】解：如图， 图中有共5个， 有共5个， 有共5个， 有共5个， 有共5个， 有共5个， 有共5个， 共计有个三角形． 【变式1-3】（25-26七年级下·安徽宿州·期中）如图，第①个图形中有1个三角形，第②个图形中有3个三角形，第③个图形中有6个三角形，…，按此规律变化，第⑧个图形中三角形的个数是（   ） A．36 B．37 C．38 D．39 【答案】A 【分析】根据各图形三角形的个数即可找到规律，根据规律即可解答． 【详解】解：第①个图中三角形的个数为1； 第②个图中三角形的个数为； 第③个图中三角形的个数为； …， 故第n个图中三角形的个数为， 故第⑧个图形中三角形的个数为：． 题型二 三角形的分类 【例2】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）在中，，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 【答案】B 【分析】本题考查三角形的内角和定理及三角形的分类．根据三角形内角和为，求出的度数，再根据角的大小判断三角形形状． 【详解】解：在中，三角形内角和为，已知，， 则， 所以是钝角三角形． 故选：B． 【变式2-1】（25-26八年级下·浙江金华·阶段检测）若为的三边长，且，则一定是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 【答案】A 【分析】根据乘积为0的性质得到边的关系，即可判断三角形类型. 【详解】解：∵， ∴或， 即或， ∴至少有两条边相等， ∴一定是等腰三角形. 【变式2-2】（25-26七年级下·全国·课后作业）若的三边长a，b，c满足，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．无法确定 【答案】C 【分析】首先根据平方和绝对值的非负性得到，，求出，即可得结论． 【详解】解：∵， ，， ， ∴是等边三角形． 【变式2-3】（25-26七年级下·广东佛山·月考）已知的三边长分别为a，b，c． (1)若a，b，c满足，试判断的形状； (2)若，，且c为整数，求的周长； (3)直接写出化简结果：________． 【答案】(1)等边三角形 (2)11或12或13 (3) 【分析】（1）根据非负数的性质即可得出结论； （2）根据三角形的三边关系结合c是整数即可求解； （3）根据三角形的三边关系得出，，，然后化简绝对值，再去括号合并同类项即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． （2）解：∵，， ∴，即， ∵c为整数， ∴， ∴当时，的周长， 当时，的周长， 当时，的周长， ∴的周长是11或12或13． （3）解：∵的三边长分别为a，b，c， ∴，，， ∴，，， ∴原式 ． 题型三 判断是否能构成三角形 【例3】（25-26七年级下·上海闵行·期中）以下列长度的各组线段为边，能够组成三角形的是（    ） A．2，4，6 B．3，4，6 C．10，4，6 D．5，2，2 【答案】B 【分析】根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，只需比较较短两条边的和与最长边的大小，即可判断能否组成三角形； 【详解】解：A：最长边为6，∵，不满足两边之和大于第三边，∴不能组成三角形； B：最长边为6，∵，满足三角形三边关系，∴能组成三角形； C：最长边为10，∵，不满足两边之和大于第三边，∴不能组成三角形； D：最长边为5，∵，不满足两边之和大于第三边，∴不能组成三角形． 【变式3-1】（25-26七年级下·陕西西安·期中）下列每组数分别是三根小木棒的长度（单位），用它们能摆成三角形的是（   ） A．3，4，5 B．8，7，15 C．13，6，20 D．5，5，11 【答案】A 【详解】解：A、，能摆成三角形，该选项符合题意； B、，不能摆成三角形，该选项不符合题意； C、，不能摆成三角形，该选项不符合题意； D、，不能摆成三角形，该选项不符合题意． 【变式3-2】（25-26七年级下·福建宁德·期中）把一根长的铁丝按下列各选项中的长度剪成三段，首尾顺次相接可以围成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，只需验证较小两边之和是否大于最大边，即可判断能否围成三角形． 【详解】解：根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，判断时只需比较较小两边的和与最大边的大小： A选项，三边长为，，，最大边为， ， 能围成三角形，该选项符合题意； B选项，最大边为， ， 不能围成三角形，该选项不符合题意； C选项，最大边为， ， 不能围成三角形，该选项不符合题意； D选项，最大边为， ， 不能围成三角形，该选项不符合题意， 故选：A． 题型四 确定第三边的取值范围 【例4】（25-26七年级下·上海杨浦·期中）设三角形三边长分别为、、，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据三角形三边关系，即任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，列出不等式，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为、、， ， 整理得： ， ∴． 【变式4-1】（25-26七年级下·上海崇明·期中）一个三角形有两边长分别为1与2，若它的第三边的长为整数，则它的第三边长为_______________． 【答案】2 【分析】根据三角形三边关系，先求出第三边的取值范围，再结合第三边长为整数的条件，即可确定． 【详解】解：设第三边长为， 根据三角形三边关系可得，，即， ∵第三边的长为整数， ∴． 【变式4-2】（25-26七年级下·河南周口·期中）三角形的两边长分别为3和6，第三边长为整数，则第三边最长为______． 【答案】8 【分析】根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，求得第三边的取值范围，再结合第三边长为整数的条件，即可求出第三边的最长值 【详解】解：设第三边长为，根据三角形的三边关系，得：， 即 ， 第三边长为整数， 第三边的最长值为 题型五 三角形三边关系的应用 【例5】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，为了估计池塘岸边两点A，B之间的距离，小万同学在池塘的一侧选择一点，测得，，则A，B两点之间的距离可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的三边关系得出，根据的取值范围判断即可． 【详解】解： 根据三角形的三边关系定理得： ， 即：， ∴A、B的距离在和之间， ∴A、B之间的距离可能是． 【变式5-1】（25-26七年级下·宁夏银川·期中）已知m，n是等腰三角形的两边，且，则等腰三角形的周长为（    ） A．13 B．13或20 C．20 D．13或19 【答案】C 【分析】利用绝对值和平方的非负性先求出m，n的值，再结合等腰三角形性质和三角形三边关系，分情况讨论计算周长，排除不成立的情况得到结果． 【详解】解：∵， ∴，， 解得，， 分两种情况讨论等腰三角形的边长： 情况1：若腰长为2，底边长为9，则三边长为2， 2， 9， ∵，不满足三角形两边之和大于第三边，此情况不成立； 情况2：若腰长为9，底边长为2，则三边长为9， 9， 2， ∵，满足三角形三边关系． ∴周长为． 【变式5-2】（25-26七年级下·河南郑州·期中）小芳手中握有两根长度分别为和的木条，她想钉一个三角形木框（三根木条恰好能围成三角形），桌上有下列长度的几根木条，如果要求新选择的木条是三边中的最长边，那么这根木条的长度可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据所选木条为最长边确定不等关系，结合三角形三边关系求出第三边的取值范围，再匹配选项得到结果． 【详解】解：设所选木条长度为 ∵是三角形的最长边，已有两边长为和 ∴ 根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，可得 ， 即 因此的取值范围为 结合选项可知，只有满足该范围． 【变式5-3】（2026·河北邯郸·二模）如图，某校实践小组在A点测得池塘两端的距离米，米．则池塘两端B、C之间的距离可能是（   ） A．2米 B．3米 C．10米 D．14米 【答案】C 【分析】根据三角形中，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边解答即可； 【详解】解：∵在中，米，米， 根据三边关系可得： ， 则，即， 对比选项，只有10米符合该范围． 题型六 与三角形高有关系的计算问题 【例6】（25-26七年级下·河南新乡·期中）如图，，则点到的距离为（   ） A． B．4 C． D．6 【答案】C 【分析】利用直角三角形的两种面积表示方法，通过列等式求出点到的距离． 【详解】解：设点到的距离为 ， ． ， ． ． ． 【变式6-1】（25-26七年级下·广东深圳·期中）已知一个等腰三角形两腰上的高所在直线的夹角是，那么这个等腰三角形的顶角的度数是___________． 【答案】或 【分析】本题需分两种情况讨论，分别为等腰三角形的顶角是锐角和顶角是钝角，结合四边形内角和性质计算顶角的度数． 【详解】解：①当这个等腰三角形的顶角是钝角时，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②当这个等腰三角形的顶角是锐角时，如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 综上所述，这个等腰三角形的顶角为或． 【变式6-2】（25-26七年级下·广东广州·期中）如图，于点C，于点D，，，，则点C到的距离是（   ） A．4.8 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，则点C到的距离是． 【变式6-3】（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在三角形中，分别是这个三角形的两条高，，，则三角形的面积等于（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】利用等面积法，求出之间的关系，并设值，再利用已知求出的长度，套用三角形的面积公式求解． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴，即， 设，则， ∵， ∴，解得，， ． 题型七 全等三角形的性质 【例7】（25-26七年级下·上海·期中）如图，点、、在同一直线上，若，顶点、、分别与顶点、、对应．若，，则______． 【答案】4 【分析】根据全等三角形的性质得到，，再根据线段的和差即可求解． 【详解】解：∵顶点、、分别与顶点、、对应，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【变式7-1】（25-26七年级下·福建宁德·期中）如图，，若，，则的长是（   ） A．3 B． C．4 D．6 【答案】A 【分析】利用全等三角形的性质以及线段的和差求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 【变式7-2】（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）如图，若，且点，分别在，边上，，，则的长为（   ）． A．5 B． C．4 D．3 【答案】D 【分析】由全等三角形的性质可得，再利用线段的和差求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 【变式7-3】（25-26七年级下·上海闵行·期中）如图，在中，点是边上一点，点是线段上一点，且；其中点与点、点与点、点与点分别是对应顶点，下列结论中正确的是（    ） ①；②；③；④． A．①②③ B．①② C．①③④ D．③④ 【答案】C 【分析】根据，得到两组三角形中的边角的关系，得到、为等腰直角三角形，逐个判断各结论的正确性即可． 【详解】解：， ，，，， ， ， ，， ，， ， ，即①正确； 根据现有条件，无法判断②，故②不正确； ，， ， 设延长线交于点H，延长线交交于点M，则， ，即③正确； ，， ， ，即④正确； 综上所述，结论中正确的是①③④． 题型八 全等三角形的判定 【例8】（2026·云南昭通·一模）如图，已知点A、B、E、D在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据“”直接证明全等即可． 【详解】解：， ， 即． 在和中， ， ． 【变式8-1】（2026·云南文山·一模）如图，点，都在线段上，，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据角边角的证明方法证明即可． 【详解】证明：∵， ∴，即． 在和中， ∵， ∴． 【变式8-2】（25-26七年级下·上海·期中）如图，在中，，，，三点在同一直线上，， (1)求证：； (2)猜想线段，，之间的数量关系并证明． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用可证； （2）根据全等三角形的性质可证，，根据可知． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中，， ； （2）解：， ，， ， ． 【变式8-3】（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，已知点是的边上一点，且，在上方作，满足，，连接． (1)求证：． (2)当，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）要证明，已经有两组边对应相等，不难发现，，同角的补角相等，由可证得； （2）由可知，再计算的长． 【详解】（1）证明：∵，, ∴， 在与中， ， ∴． （2）解：由（1）可知， ∴， ∵， ∴． 题型九 灵活应用判定方法证全等 【例9】（25-26七年级下·上海·期中）给定三角形的三个元素，所画出的三角形的形状和大小不能完全确定的是（） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】根据全等三角形的判定定理，若给出条件符合全等三角形判定，则三角形形状大小可完全确定，反之无法确定，其中（两边及其中一边的对角）无法确定唯一三角形． 【详解】解：全等三角形可唯一确定三角形的形状和大小，全等判定定理包括，，，，，但不能判定三角形全等，无法确定唯一三角形， 、选项给出，，，符合判定，可确定唯一三角形，不符合题意； 、选项给出，，，属于，可画出两个形状不同的三角形，不能完全确定三角形的形状和大小，符合题意； 、选项给出，，，符合判定，可确定唯一三角形，不符合题意； 、选项给出，，，符合判定，可确定唯一三角形，不符合题意． 【变式9-1】（25-26七年级下·上海金山·期末）下列判定两个等腰三角形全等的方法中，一定正确的是（    ） A．两角对应相等 B．两腰对应相等 C．一边一角对应相等 D．一腰和底边对应相等 【答案】D 【分析】依据全等三角形的判定定理回答即可，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理． 【详解】解：A、两角对应相等，没有边的参与，不符合全等的条件，故不能判定两三角形全等，故本选项错误，不符合题意； B、两腰对应相等，第三边不一定对应相等，不符合全等的条件，故不能判定两三角形全等，故本选项错误； C、一边一角对应相等，此条件未明确边角关系而不能保证全等。例如，若一个等腰三角形的腰与另一个等腰三角形的底边对应相等，顶角与另一个的底角对应相等，则无法判定两个等腰三角形全等，故本选项错误； D、一腰和底边对应相等，相当于两腰和底边对应相等，利用可以证得两个等腰三角形全等，故本选项正确． 【变式9-2】（25-26八年级上·河南许昌·期中）下列条件中，不能满足两个直角三角形全等的是（    ） A．两直角边对应相等 B．斜边、一条直角边对应相等 C．一锐角、一条直角边对应相等 D．两锐角对应相等 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．注意：、不能判定两个三角形全等．结合全等三角形的判定定理逐一分析即可． 【详解】解：A选项：两直角边对应相等，且直角为两边夹角，符合判定定理，能判定两个直角三角形全等． B选项：斜边、一条直角边对应相等，符合判定定理，能判定两个直角三角形全等． C选项：一锐角、一条直角边对应相等，结合直角相等，符合或判定定理，能判定两个直角三角形全等． D选项：两锐角对应相等，无对应边相等的条件，不能判定两个直角三角形全等． 故选：D． 【变式9-3】（25-26八年级上·河南信阳·期末）根据下列已知条件，能唯一画出的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．利用三角形三边关系与全等三角形的判定方法，逐一分析各选项能否画出唯一三角形即可． 【详解】解：A选项中，不满足三角形三边关系“两边之和大于第三边”，∴不能构成三角形，故A不符合题意； B选项中，符合全等三角形判定定理，∴能画出唯一，故B符合题意； C选项中，属于的情况，无法确定唯一三角形，故C不符合题意； D选项中仅知道直角与斜边，可画出无数个直角三角形，∴不能确定唯一，故D不符合题意． 故选：B． 题型十 尺规作图 【例10】（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图a，b和，用尺规作，使，，．用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法． 【答案】见详解 【分析】先作出，然后在边上截取得到点，在边上截取得到点，连接，即可得到符合要求的图形． 【详解】解：如图所示，即为所求． 【变式10-1】（25-26七年级下·广东佛山·月考）一个缺角三角形残片如图，不恢复这个缺角，请你利用尺规作一个和原三角形全等的三角形，不写作法但保留作图痕迹，并说出证明两个三角形全等的依据：________． 【答案】图见解析， 【分析】根据角边角的证明方法，使用尺规作相同的三角形即可． 【详解】解：记点A，点B如图， 画射线，以点C为圆心，长为半径，画弧，交射线于点D， 则有， 再以点A为圆心，任意长为半径画弧，交于点E与点F， 以点C为圆心，相同长度为半径画弧，交于点P， 再以点P为圆心，长度为半径，交圆于点Q，连接， 则有， 再以相同的方法作，两条射线相交于点E， 则即为所求，如图， 则是和原三角形全等的三角形，依据是：． 【变式10-2】（25-26七年级下·广东佛山·月考）一个缺角三角形残片如图，不恢复这个缺角，请你利用尺规作一个和原三（25-26七年级上·陕西榆林·月考）如图，已知的两角分别为，．求作这个三角形，使，，(不写作法，保留作图痕迹)． 【答案】作图见解析 【分析】先作出定长的边，再在该边的同侧准确作出与已知角相等的角，使两角的另一边相交得到三角形的第三个顶点． 【详解】解：如图，任意作射线，以点为圆心，线段的长为半径画弧，交射线于点，再作，在的同侧作，交射线于点， 则即为所求． 【变式10-3】（25-26七年级下·广东佛山·月考）一个缺角三角形残片如图，不恢复这个缺角，请你利用尺规作一个和原三（25-26七年级上·河南洛阳·期末）用直尺和圆规，按照下面要求作出． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了尺规作图，掌握运用尺规作角和线段的方法是解题的关键． 先作与相等的，在、上分别截取，确定点A、点C，然后顺次连接即可解答． 【详解】解：如图：即为所求． 题型十一 三角形的稳定性与四边形的不稳定性 【例11】（25-26八年级下·河南新乡·期中）下列生活实例中，运用到“四边形的不稳定性”的是（   ） A． B．C． D． 【答案】C 【详解】解：A、B、D选项都含有三角形，故利用了三角形的稳定性，不符合题意； C选项伸缩门是用到了四边形的不稳定性，符合题意． 【变式11-1】（25-26七年级下·广东佛山·月考）一个缺角三角形残片如图，不恢复这个缺角，请你利用尺规作一个和原三（25-26七年级下·全国·单元测试）下列物体的结构中，没有运用到三角形稳定性的是（ ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形具有稳定性求解即可． 【详解】解：对于A、B、D选项，都含有三角形，故利用了三角形的稳定性； 而C选项中，用到了四边形的不稳定性． 【变式11-2】（25-26七年级下·四川成都·期中）小明做了一个长方形框架，发现很容易变形，请在下列选项中选择一个最好的加固方案（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据三角形具有稳定性可知最好的加固方案是： ． 【变式11-3】（25-26八年级下·北京·期中）下列图形不具有稳定性的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】三角形具有稳定性，其他多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变． 【详解】解：根据三角形的稳定性可得B、C、D都具有稳定性，不具有稳定性的是A选项． 题型十二 结合尺规作图的全等问题 【例12】（25-26八年级上·山东德州·月考）如图，根据作图痕迹，可以判定的依据是__________（填全等理由） 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和作一个角等于已知角，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法：、、、、（仅用于直角三角形全等的判定）．据此判断即可． 【详解】解：由作图知：，， 在和中， ， ∴， ∴判定的依据是． 故答案为：． 【变式12-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知点P在直线l外，按以下步骤作图：①在直线l上任取一点A，以点A为圆心，以AP的长为半径作弧，交直线l于点B，连接PB；②以点P为圆心，以PA的长为半径作弧；③以点A为圆心，以PB的长为半径作弧，交前弧于点C，作直线PC．若，则的度数为________． 【答案】 【分析】通过作图步骤得到线段相等关系，可以证明三角形全等，进而利用全等三角形对应角相等以及三角形内角和定理求解的度数即可； 本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】如图，连接AC，由作图可得，， ∴在和中 ∴ ∴， ∵． ∴， ． 【变式12-2】（25-26八年级上·吉林白城·期末）如图，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点．分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线．这个作图是在作（    ） A．一个角等于已知角 B．线段的垂线 C．线段垂直平分线 D．平分已知角 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图以及全等三角形的性质与判定，利用全等三角形的判定定理证明，则，可得射线是角平分线． 【详解】证明：由作图过程可得， 在和中， ， ， ， 射线是角平分线． 故选：D． 【变式12-3】（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，已知与，分别以点，为圆心，以同样长为半径画弧，分别交，于点，，交，于点，，以点为圆心，以长为半径画弧，在的内部交弧于点．下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定与性质是解题的关键．连接和，根据全等三角形的判定及性质即可求解． 【详解】解：连接和， 由作图过程可知， ，，， 在和中， ， 所以， 所以． 故选：D． 题型十三 添加条件使三角形全等 【例13】（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，在和中，，，请添加一个条件___________，使． 【答案】，，（答案不唯一） 【分析】已知，，可根据、、三种判定定理补充条件，分别为边，角，角． 【详解】解：已知，， 若添加条件，在和中， ． 若添加条件，在和中， ． 若添加条件，在和中， ． 故答案为：或或（答案不唯一）． 【变式13-1】（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，点、在上，，添加__________条件，能够使得（只能用题目已有的字母表示）． 【答案】（或或） 【分析】由利用等式的性质可得，已知，根据全等三角形的判定定理，若利用需添加夹角的另一边相等，若利用需添加另一组角相等，若利用需添加夹边的另一组角相等． 【详解】 即 若添加条件 在和中 ． 若添加条件 在和中 ． 若添加条件 在和中 ． 【变式13-2】（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，点D在边的延长线上，且．以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交边，于点M，N；再以点D为圆心，以长为半径画弧，交于点；再以点为圆心，以长为半径画弧交前弧于点，作射线．已知点E为射线上一点，连接，请你添加一个条件______，使．（写出一个条件即可） 【答案】（或或） 【分析】根据全等三角形的判定条件求解即可． 【详解】解：（或或），理由如下： ①选， 由作图可得， ∵，， ∴． ②选， 由作图可得， ∵，， ∴． ③选， 由作图可得， ∵，， ∴． 【变式13-3】（2026·湖北恩施·一模）如图，，相交于点，，若添加一个条件使得，可添加的条件是（填写序号即可）______．①，②，③．    【答案】③ 【分析】观察图中，得出，又因为，以及结合全等三角形的判定方法进行分析，即可作答． 【详解】解：观察图中，得出， 当添加一个条件为时 ∵，， ∴不能证明； 当添加一个条件为时 ∵，， ∴不能证明； 当添加一个条件为时 ∵，， ∴ 题型十四 倍长中线模型 【例14】（25-26八年级上·安徽滁州·期中）阅读并写出正确的证明过程． 如图，已知：为的中线，求证：． 证明：延长至使得，连接，则， 为的中线（已知）， ， 在和中， ， ∴（_______）， （______）， 在中，根据三角形的三边关系有： （_______________________________）， 而_____， 这种辅助线方法，我们称为“倍长中线法”， 【答案】；；；；；；三角形的两边之和大于第三边； 【分析】本题考查三角形中线的性质，全等三角形的判定和性质，掌握好全等三角形的判定定理和性质是解题关键． 将中线倍长后，用“”易证．根据全等三角形的性质，将转化为，此时．在中，运用三角形的基本性质来证明题干的不等式． 【详解】证明：延长至使得，连接，则， ∵为的中线已知， ， 在和中， ， ∴， ， 在中，根据三角形的三边关系有： （三角形的两边之和大于第三边）， 而，， ， 故答案为：；；；；；；三角形的两边之和大于第三边；． 【变式14-1】（25-26八年级上·河南三门峡·期末）如图，在中，是的中线，，，则的取值范围是______． 【答案】/ 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系． 延长至点，使，连接，证明，进而得到，根据三角形的三边关系求出的范围即可． 【详解】解：延长至点，使，连接，则：， ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴； 故答案为：． 【变式14-2】（25-26八年级上·江西南昌·期末）如图，在中，是边上的中线，，，的长度为偶数，则的所有可能值为___________． 【答案】8，10，12 【分析】本题考查三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． 延长至，使，连接，证明，得到，在中根据三角形的三边关系求出的取值范围，从而得到的取值范围，即可解答． 【详解】解：如图，延长至，使，连接， 为边上的中线， ， ∵在和中， ， ， ， ， ∴． 为偶数， ∴，10，12． 故答案为：8，10，12 【变式14-3】（25-26八年级上·甘肃陇南·期末）综合与实践 【问题情境】 补短法在解决线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用，具体的做法是将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题． 例：如图①，在四边形中，，是的中点，平分，试判断，，之间的等量关系． 小颖的方法：如图②，延长，相交于点，构造和等腰三角形即可判断． 【问题解决】 （1）按照小颖的方法，判断，，之间的等量关系，并说明理由； 【自主探究】 （2）如图③，在中，是的中点，点在上，连接交于点，，试说明． 【答案】（1），见解析；（2）见解析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质． （1）延长、相交于点F，证明和全等得，再根据平分得，则，由此可得出，，之间的等量关系； （2）延长至点H，使，连接，证明和全等得，，再根据，得，进而得，由此即可得出结论； 【详解】解：（1），，之间的等量关系是：，理由如下： 如图，延长，相交于点， ， ，． 是的中点， ． 在和中，， ， ． 平分， ． ， ， ， ； （2）证明：如图，延长至点，使，连接， 是的中点， ， 在和中，， ， ，． ， ， ． （对顶角相等）， ． ， ． 题型十五 旋转模型 【例15】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，四边形中，，则四边形的面积为（   ） A．6 B．7 C．12 D．20 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确添加辅助线构造“三垂直”全等模型． 过点分别作，交直线于点，证明，则设，，则，则，求出，再由四边形的面积，然后整体代入求解即可． 【详解】解：过点分别作，交直线于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形的面积， ∴四边形的面积 ， 故选：C． 【变式15-1】（24-25七年级下·山东济南·期末） 和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板， 【问题初探】 （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形． （1）由判定，推出； （2）过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O，判定，推出，，由三角形内角和定理推出，推出． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，，理由如下： 如图，过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【变式15-2】（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在中，，，D，E分别为，边上的点，连接，交于点F，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，以为边作，，，连接，G为中点，连接，求证：； (3)如图3，P为上一点，连接，H为中点，连接，M，N分别为，上的点，连接，交于点O，若，，，，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明即可得出结论； （2）延长至点，使得，连接，则，证明，得到．由得到，从而证明，得到，因此．证明，得出，因此，进而即可得出结论； （3）延长至点K，使得，连接，则，证明，得到，，得出，因此．延长至点L，使得，连接，根据，，得到，从而证明，得到，，证明，得到，求出，得到． 【详解】（1）证明：∵在与中， ∴ ． （2）证明：延长至点，使得，连接， ， 为中点， ， ∵在与中， ， ， ， ， ，即． ∵在与中， 由（1）得， ∴， ， ， ， ，即， ，即， ∴． ∵在与中， ． （3）解：延长至点K，使得，连接，则 ∵点H是的中点， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 延长至点L，使得，连接， ∵，， ∴在四边形中，， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型十六 垂线模型 【例16】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知：中，，点为直线上一点，过点作直线于点，过点作直线于点． （1）如图1，若，则___________； （2）当点在直线上运动时，，，则___________． 【答案】 5 16或4/4或16 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形“三垂直模型”． （1）证明，则，可得； （2）分三种情况讨论，证明，再根据线段和差求解即可． 【详解】解：（1）∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）当点线段延长线上时， ∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，； 当点线段上时， ∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，； 当点线段延长线上时， ∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，， 过点作平行线，再过点作平行线的垂线，垂足为， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故点线段延长线上不成立，舍， 综上：或， 故答案为：16或4． 【变式16-1】（25-26八年级上·山东日照·月考）（1）如图1，C、A、E在一条直线上，于点C，于点E．求证：． （2）如图2，且且，计算图中实线所围成的图形的面积． （3）如图3，，连接、，且于点F，与交于点G，若，求的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）50；（3） 【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键． （1）证明，根据全等三角形的对应边相等得到； （2）根据全等三角形的性质得到，，，，根据梯形和三角形的面积公式计算，得到答案； （3）过点作于，过点作交的延长线于，推导出， ，即可证明，得到，再根据全等三角形的性质推导出进而求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】证明：（1）证明：∵ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：由（1）中模型可知，，， ∴，，，， 则； （3）解：过点作于，过点作交的延长线于， 由（1）中模型可知，，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式16-2】（25-26八年级上·湖北随州·期末）数学教材中有这样一道习题：“如图1，，垂足分别为，若，，求的长．”在计算时，我们通过证明，得到一些线段之间的数量关系，然后进行求解． 【类比探究】 （1）如图2，在等腰三角形中，，，为过点的直线，于，于，求证：； 【拓展应用】 （2）如图3，在中，，分别以和为直角边作等腰和等腰，连交延长线于点．猜想与的数量关系，并说明理由； 【知识迁移】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图4所示，以的，边向外作等腰和等腰，其中，是边上的高．延长交于点，若，直接写出的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2） (或)；见解析；（3）60 【分析】（1）因为于D，，所以，因为，即可通过证明作答； （2）过点D作于点T，连接．证明，推出，，再证明，即可得结论； （3）作辅助线，过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，利用角度等量变换，得到，进而推导证明，同样证得，得到，最后的面积为、面积之和，最后利用三角形的面积公式完成求解． 【详解】（1）证明：∵于D，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：结论：．理由如下： 如图，过点D作于点T，连接． ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证明：， ∴， ∴， ∵， ∴的面积等于60． 【点睛】本题重点考查了三角形全等的判定和性质，一线三垂直模型，当一条直线上存在三个垂直关系（即三个直角）时，若模型中有一组对应边长相等，则必定存在全等三角形‌‌，还考查了等腰三角形的性质，会作辅助线，掌握全等三角形的判定方法和等腰三角形性质定理是解题的关键． 题型十七 全等三角形综合 【例17】（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，在四边形中，，与互补，点E、F分别在射线、上，且．当，，时，的周长等于__________． 【答案】17 【分析】在上截取，先证，再证，可得，再由的周长即可解答． 【详解】解：在上取点G，使， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． ∴ ∴的周长等于， ∵，，， ∴的周长等于． 【变式17-1】（25-26七年级下·山东济南·期中）已知，其中．点以每秒2个单位长度的速度，沿着路径运动．同时，点以每秒个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为秒． ①若，则点运动路程始终是点运动路程的2倍； ②当两点同时到达点时，； ③若时，与垂直； ④若运动过程中存在与全等，则或． 以上说法正确的选项为（   ） A．①③ B．①② C．①②④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】根据路程等于速度乘时间求出点和点的路程，即可判断①；先求出点到达点时的时间，然后根据题意列出算式求解即可判断②；先画出图形，根据题意求出，，，，然后得到和不全等，进而证明出，即可判断③；根据全等三角形边角的对应关系，分种情况求出的值即可判断④． 【详解】解：对于①，点以每秒个单位长度的速度，运动时间为秒， 点运动路程为． 若，则点运动路程为， 点运动路程始终是点运动路程的倍，故①符合题意； 对于②，当点到达点时，秒， ，故②符合题意； 对于③，如图所示， 当，时， 点运动的路程为，点运动的路程为． ，， ，． ， ， ， 和不全等， ． ， ， ， 与不垂直，故③不符合题意； 对于④，当时，则，． ， ， ， ， ， ； 当时，则，． ， ， ． ， ， ， 若与全等，则或，故④不符合题意． 综上所述，符合题意的结论为①②． 【点睛】本题是一道动点问题，考查了全等三角形的性质和判定．解题的关键是能充分把握运动过程，找出符合条件时点的位置及满足的数量关系，分类时做到不重不漏． 【变式17-2】（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，在长方形中，为边上一点，其中，，．动点从开始，以的速度沿路线运动到点停止，从点开始运动的同一时刻动点以的速度从点出发沿边运动，到点停止．当为_____时，在某一时刻与全等． 【答案】 2 【分析】本题考查了全等三角形判定与动点问题，解题关键是分情况讨论时，同时验证点的运动边界条件． 【详解】解：设运动时间为秒，则：，，，且，． ， 与均为直角三角形，全等需两组直角边对应相等，分两种情况：   情况一：且， 解得， 此时，点超出边界，舍去． 情况二：且， 解得，． 此时，，符合运动范围，有效． 综上，唯一符合条件的解为． 故答案为：． 【变式17-3】（25-26八年级下·云南曲靖·开学考试）八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【初步探索】 如图1，在中，若，求边上的中线的取值范围． 以下是小聪同学思考的解决方法：先延长至点，使，然后连接，利用三角形全等将边转化到，最后在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． （1）在这个过程中，小聪同学证明三角形全等用到的判定方法是_____；若线段的长度为整数，则_____； 【灵活应用】 （2）如图2，是的中线，延长到点，连接，使，求证：； 【拓展提升】 （3）如图3，在中，分别以作等腰直角三角形和，其中，连接，点是的中点，连接，延长与相交于点，，．试判断与的数量关系，并求出的面积． 【答案】（1），2；（2）见解析；（3）,的面积为12 【分析】（1）如图1：先延长至点，使，连接，易证可得，，再在中利用三角形的三边关系可得，进而得到，再结合已知条件即可解答； （2）如图：延长到点F，使，连接．易证可得，进而得到，再根据等边对等角可得，最后根据等量代换即可解答； （3）如图3：延长到点E，使，连接．易证可得、，再证明可得、，即；再说明，最后运用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：（1）如图1：先延长至点，使，连接， ∵是边上的中线， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， ∴， ∵线段的长度为整数， ∴． 故答案为：，2． （2）证明：如图：延长到点F，使，连接． ∵是的中线， ∴， 在和中， ∴． ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴． （3）如图3：延长到点E，使，连接． ∵点D是的中点， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，， ∴． ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 【点睛】灵活运用“倍长中线法”构造全等三角形是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 三角形 一、 三角形相关概念 1.三角形定义：由 的线段 组成的封闭图形。 2.三角形三边关系：两边之和 第三边，两边之差 第三边 · 判定：最短两边之和＞最长边即可构成三角形 3.三角形分类 · 按角：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 · 按边：等腰三角形、等边三角形、不等边三角形 4.三角形内角和：内角和= 5.直角三角形性质：两锐角 ；有两个角互余的三角形是直角三角形 二、三角形外角 1.外角= (外角＞任意一个不相邻内角) 2. 三角形三条重要线段 · 高：从顶点向对边作垂线，顶点与垂足间线段 锐角△三高在内部；直角△两条高为直角边；钝角△两条高在外部 · 中线：顶点到对边中点连线 性质：平分三角形面积，三条中线交于重心 · 角平分线：平分三角形内角的线段 角平分线上的点到角两边 三、全等三角形基础 1.全等定义：能够 的两个三角形 2.全等性质 · 对应边相等、对应角相等 · 周长相等、面积相等、对应中线/高/角平分线相等 四、三角形全等判定定理（必考） 1.SSS：三边对应相等 2.SAS：两边及其 对应相等 3.ASA：两角及其 对应相等 4.AAS：两角及 对应相等 5.HL（仅限直角三角形）： + 五、尺规作图 1.作一条线段等于已知线段 2.作一个角等于已知角 3.已知三边/两边夹角/两角夹边作三角形 1.三边关系易错:只算和不算差，忽略取值范围 2.内角和计算 · 等腰三角形求角度不分类讨论（顶角/底角） · 外角性质乱用，分不清相邻与不相邻内角 3.全等判定最大易错 · SSA当成判定定理（最常考错题） · SAS分不清夹角，误用非夹角 · 证明全等找错对应边、对应角 4.审题易错 · 直角三角形忘记优先用HL · 隐含条件忽略：公共边、公共角、对顶角相等 5.书写格式错误 · 全等三角形字母不对应 · 证明过程逻辑混乱，缺少条件 1. 三边关系解题技巧：已知a、b，第三边c范围：∣a−b∣<c<a+b 2. 角度计算技巧 · 遇等腰三角形：设未知数+内角和180°列方程 · 遇平行线+三角形：用内错角+内角和转化角度 · 飞镖模型、八字模型直接用外角结论秒算角度 3. 全等证明万能步骤 · 找已知相等条件（边/角） · 挖隐藏条件：公共边、公共角、对顶角、平行线角相等 · 匹配5种判定定理（优先SSS→SAS→ASA→AAS→HL） · 规范书写：条件罗列→得出全等→推出边角相等 4. 证线段/角相等思路 · 证线段相等：优先证所在三角形全等 · 证角相等：全等性质、平行线性质、外角性质、同角余角相等 5. 面积题型技巧 · 中线分三角形面积二等分 · 同高三角形面积比=底边长之比 · 同底三角形面积比=高之比 6. 填空选择秒杀技巧 · 判断能否组成三角形：两短边之和＞最长边 · 直角三角形求锐角：直接用90° 减另一个锐角 · 全等选择题直接排除AAA、SSA选项 · 求角度优先用方程思想最快 题型一 三角形个数问题 【例1】（25-26八年级上·河南安阳·期末）图中共有（   ）个三角形． A．5 B．6 C．7 D．8 【变式1-1】（2026七年级下·全国·专题练习）如图，图中三角形的个数为________；以为边的三角形是_________________，以为一个内角的三角形是____________________． 【变式1-2】（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）仔细观察如图所示的“五角星”，数一数，图中一共有________个三角形． 【变式1-3】（25-26七年级下·安徽宿州·期中）如图，第①个图形中有1个三角形，第②个图形中有3个三角形，第③个图形中有6个三角形，…，按此规律变化，第⑧个图形中三角形的个数是（   ） A．36 B．37 C．38 D．39 题型二 三角形的分类 【例2】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）在△ABC中，，，则△ABC的形状是（    ） A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 【变式2-1】（25-26八年级下·浙江金华·阶段检测）若为△ABC的三边长，且，则△ABC一定是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 【变式2-2】（25-26七年级下·全国·课后作业）若△ABC的三边长a，b，c满足，则△ABC的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．无法确定 【变式2-3】（25-26七年级下·广东佛山·月考）已知△ABC的三边长分别为a，b，c． (1)若a，b，c满足，试判断△ABC的形状； (2)若，，且c为整数，求△ABC的周长； (3)直接写出化简结果：________． 题型三 判断是否能构成三角形 【例3】（25-26七年级下·上海闵行·期中）以下列长度的各组线段为边，能够组成三角形的是（    ） A．2，4，6 B．3，4，6 C．10，4，6 D．5，2，2 【变式3-1】（25-26七年级下·陕西西安·期中）下列每组数分别是三根小木棒的长度（单位），用它们能摆成三角形的是（   ） A．3，4，5 B．8，7，15 C．13，6，20 D．5，5，11 【变式3-2】（25-26七年级下·福建宁德·期中）把一根长的铁丝按下列各选项中的长度剪成三段，首尾顺次相接可以围成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 题型四 确定第三边的取值范围 【例4】（25-26七年级下·上海杨浦·期中）设三角形三边长分别为、、，则的取值范围是______． 【变式4-1】（25-26七年级下·上海崇明·期中）一个三角形有两边长分别为1与2，若它的第三边的长为整数，则它的第三边长为_______________． 【变式4-2】（25-26七年级下·河南周口·期中）三角形的两边长分别为3和6，第三边长为整数，则第三边最长为______． 题型五 三角形三边关系的应用 【例5】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，为了估计池塘岸边两点A，B之间的距离，小万同学在池塘的一侧选择一点，测得，，则A，B两点之间的距离可能是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26七年级下·宁夏银川·期中）已知m，n是等腰三角形的两边，且，则等腰三角形的周长为（    ） A．13 B．13或20 C．20 D．13或19 【变式5-2】（25-26七年级下·河南郑州·期中）小芳手中握有两根长度分别为和的木条，她想钉一个三角形木框（三根木条恰好能围成三角形），桌上有下列长度的几根木条，如果要求新选择的木条是三边中的最长边，那么这根木条的长度可以为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2026·河北邯郸·二模）如图，某校实践小组在A点测得池塘两端的距离米，米．则池塘两端B、C之间的距离可能是（   ） A．2米 B．3米 C．10米 D．14米 题型六 与三角形高有关系的计算问题 【例6】（25-26七年级下·河南新乡·期中）如图，，则点到的距离为（   ） A． B．4 C． D．6 【变式6-1】（25-26七年级下·广东深圳·期中）已知一个等腰三角形两腰上的高所在直线的夹角是，那么这个等腰三角形的顶角的度数是___________． 【变式6-2】（25-26七年级下·广东广州·期中）如图，于点C，于点D，，，，则点C到的距离是（   ） A．4.8 B．5 C．6 D．8 【变式6-3】（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在三角形中，分别是这个三角形的两条高，，，则三角形的面积等于（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 题型七 全等三角形的性质 【例7】（25-26七年级下·上海·期中）如图，点、、在同一直线上，若，顶点、、分别与顶点、、对应．若，，则______． 【变式7-1】（25-26七年级下·福建宁德·期中）如图，，若，，则的长是（   ） A．3 B． C．4 D．6 【变式7-2】（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）如图，若，且点，分别在，边上，，，则的长为（   ）． A．5 B． C．4 D．3 【变式7-3】（25-26七年级下·上海闵行·期中）如图，在△ABC中，点是边上一点，点是线段上一点，且；其中点与点、点与点、点与点分别是对应顶点，下列结论中正确的是（    ） ①；②；③；④． A．①②③ B．①② C．①③④ D．③④ 题型八 全等三角形的判定 【例8】（2026·云南昭通·一模）如图，已知点A、B、E、D在同一条直线上，，，．求证：． 【变式8-1】（2026·云南文山·一模）如图，点，都在线段上，，，．求证：． 【变式8-2】（25-26七年级下·上海·期中）如图，在△ABC中，，，，三点在同一直线上，， (1)求证：； (2)猜想线段，，之间的数量关系并证明． 【变式8-3】（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，已知点是△ABC的边上一点，且，在上方作，满足，，连接． (1)求证：． (2)当，求的长． 题型九 灵活应用判定方法证全等 【例9】（25-26七年级下·上海·期中）给定三角形的三个元素，所画出的三角形的形状和大小不能完全确定的是（） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式9-1】（25-26七年级下·上海金山·期末）下列判定两个等腰三角形全等的方法中，一定正确的是（    ） A．两角对应相等 B．两腰对应相等 C．一边一角对应相等 D．一腰和底边对应相等 【变式9-2】（25-26八年级上·河南许昌·期中）下列条件中，不能满足两个直角三角形全等的是（    ） A．两直角边对应相等 B．斜边、一条直角边对应相等 C．一锐角、一条直角边对应相等 D．两锐角对应相等 【变式9-3】（25-26八年级上·河南信阳·期末）根据下列已知条件，能唯一画出的是（　　） A． B． C． D． 【例10】（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图a，b和，用尺规作，使，，．用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法． 【变式10-1】（25-26七年级下·广东佛山·月考）一个缺角三角形残片如图，不恢复这个缺角，请你利用尺规作一个和原三角形全等的三角形，不写作法但保留作图痕迹，并说出证明两个三角形全等的依据：________． 【变式10-2】（25-26七年级下·广东佛山·月考）一个缺角三角形残片如图，不恢复这个缺角，请你利用尺规作一个和原三（25-26七年级上·陕西榆林·月考）如图，已知的两角分别为，．求作这个三角形，使，，(不写作法，保留作图痕迹)． 【变式10-3】（25-26七年级下·广东佛山·月考）一个缺角三角形残片如图，不恢复这个缺角，请你利用尺规作一个和原三（25-26七年级上·河南洛阳·期末）用直尺和圆规，按照下面要求作出△ABC． 题型十一 三角形的稳定性与四边形的不稳定性 【例11】（25-26八年级下·河南新乡·期中）下列生活实例中，运用到“四边形的不稳定性”的是（   ） A． B． C． D． 【变式11-1】（25-26七年级下·广东佛山·月考）一个缺角三角形残片如图，不恢复这个缺角，请你利用尺规作一个和原三（25-26七年级下·全国·单元测试）下列物体的结构中，没有运用到三角形稳定性的是（ ） A． B． C． D． 【变式11-2】（25-26七年级下·四川成都·期中）小明做了一个长方形框架，发现很容易变形，请在下列选项中选择一个最好的加固方案（   ） A． B． C． D． 【变式11-3】（25-26八年级下·北京·期中）下列图形不具有稳定性的是（    ） A． B． C． D． 题型十二 结合尺规作图的全等问题 【例12】（25-26八年级上·山东德州·月考）如图，根据作图痕迹，可以判定的依据是__________（填全等理由） 【变式12-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知点P在直线l外，按以下步骤作图：①在直线l上任取一点A，以点A为圆心，以AP的长为半径作弧，交直线l于点B，连接PB；②以点P为圆心，以PA的长为半径作弧；③以点A为圆心，以PB的长为半径作弧，交前弧于点C，作直线PC．若，则的度数为________． 【变式12-2】（25-26八年级上·吉林白城·期末）如图，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点．分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线．这个作图是在作（    ） A．一个角等于已知角 B．线段的垂线 C．线段垂直平分线 D．平分已知角 【变式12-3】（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，已知与，分别以点，为圆心，以同样长为半径画弧，分别交，于点，，交，于点，，以点为圆心，以长为半径画弧，在的内部交弧于点．下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 题型十三 添加条件使三角形全等 【例13】（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，在△ABC和中，，，请添加一个条件___________，使． 【变式13-1】（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，点、在上，，添加__________条件，能够使得（只能用题目已有的字母表示）． 【变式13-2】（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，点D在△ABC边的延长线上，且．以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交△ABC边，于点M，N；再以点D为圆心，以长为半径画弧，交于点；再以点为圆心，以长为半径画弧交前弧于点，作射线．已知点E为射线上一点，连接，请你添加一个条件______，使．（写出一个条件即可） 【变式13-3】（2026·湖北恩施·一模）如图，，相交于点，，若添加一个条件使得，可添加的条件是（填写序号即可）______．①，②，③．    题型十四 倍长中线模型 【例14】（25-26八年级上·安徽滁州·期中）阅读并写出正确的证明过程． 如图，已知：为的中线，求证：． 证明：延长至使得，连接，则， 为的中线（已知）， ， 在和中， ， ∴（_______）， （______）， 在中，根据三角形的三边关系有： （_______________________________）， 而_____， 这种辅助线方法，我们称为“倍长中线法”， 【变式14-1】（25-26八年级上·河南三门峡·期末）如图，在△ABC中，是△ABC的中线，，，则的取值范围是______． 【变式14-2】（25-26八年级上·江西南昌·期末）如图，在△ABC中，是边上的中线，，，的长度为偶数，则的所有可能值为___________． 【变式14-3】（25-26八年级上·甘肃陇南·期末）综合与实践 【问题情境】 补短法在解决线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用，具体的做法是将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题． 例：如图①，在四边形中，，是的中点，平分，试判断，，之间的等量关系． 小颖的方法：如图②，延长，相交于点，构造和等腰三角形即可判断． 【问题解决】 （1）按照小颖的方法，判断，，之间的等量关系，并说明理由； 【自主探究】 （2）如图③，在中，是的中点，点在上，连接交于点，，试说明． 题型十五 旋转模型 【例15】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，四边形中，，则四边形的面积为（   ） A．6 B．7 C．12 D．20 【变式15-1】（24-25七年级下·山东济南·期末） 和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板， 【问题初探】 （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【变式15-2】（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在中，，，D，E分别为，边上的点，连接，交于点F，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，以为边作，，，连接，G为中点，连接，求证：； (3)如图3，P为上一点，连接，H为中点，连接，M，N分别为，上的点，连接，交于点O，若，，，，直接写出的长． 题型十六 垂线模型 【例16】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知：中，，点为直线上一点，过点作直线于点，过点作直线于点． （1）如图1，若，则___________； （2）当点在直线上运动时，，，则___________． 【变式16-1】（25-26八年级上·山东日照·月考）（1）如图1，C、A、E在一条直线上，于点C，于点E．求证：． （2）如图2，且且，计算图中实线所围成的图形的面积． （3）如图3，，连接、，且于点F，与交于点G，若，求的面积． 【变式16-2】（25-26八年级上·湖北随州·期末）数学教材中有这样一道习题：“如图1，，垂足分别为，若，，求的长．”在计算时，我们通过证明，得到一些线段之间的数量关系，然后进行求解． 【类比探究】 （1）如图2，在等腰三角形中，，，为过点的直线，于，于，求证：； 【拓展应用】 （2）如图3，在中，，分别以和为直角边作等腰和等腰，连交延长线于点．猜想与的数量关系，并说明理由； 【知识迁移】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图4所示，以△ABC的，边向外作等腰和等腰，其中，是边上的高．延长交于点，若，直接写出的面积． 题型十七 全等三角形综合 【例17】（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，在四边形中，，与互补，点E、F分别在射线、上，且．当，，时，的周长等于__________． 【变式17-1】（25-26七年级下·山东济南·期中）已知，其中．点以每秒2个单位长度的速度，沿着路径运动．同时，点以每秒个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为秒． ①若，则点运动路程始终是点运动路程的2倍； ②当两点同时到达点时，； ③若时，与垂直； ④若运动过程中存在与全等，则或． 以上说法正确的选项为（   ） A．①③ B．①② C．①②④ D．①②③④ 【变式17-2】（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，在长方形中，为边上一点，其中，，．动点从开始，以的速度沿路线运动到点停止，从点开始运动的同一时刻动点以的速度从点出发沿边运动，到点停止．当为_____时，在某一时刻与全等． 【变式17-3】（25-26八年级下·云南曲靖·开学考试）八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【初步探索】 如图1，在△ABC中，若，求边上的中线的取值范围． 以下是小聪同学思考的解决方法：先延长至点，使，然后连接，利用三角形全等将边转化到，最后在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． （1）在这个过程中，小聪同学证明三角形全等用到的判定方法是_____；若线段的长度为整数，则_____； 【灵活应用】 （2）如图2，是△ABC的中线，延长到点，连接，使，求证：； 【拓展提升】 （3）如图3，在△ABC中，分别以作等腰直角三角形和，其中，连接，点是的中点，连接，延长与相交于点，，．试判断与的数量关系，并求出△ABC的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $