云南曲靖市第一中学2026届高三考前教学质量检测数学试题

**基本信息** 曲靖一中2026届高三数学质检卷，以环境监测、生活包装等真实情境为载体，通过梯度化问题设计考查数学抽象、逻辑推理与数据建模能力，适配高考模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、抛物线、函数图像等|第6题结合周期考查星期推算，体现应用意识| |多选题|3/18|概率统计、复数、立体几何|第11题八面体体积与外接球，综合空间想象| |填空题|3/15|等差数列、向量投影、双曲线离心率|第14题双曲线与向量结合，考查运算求解| |解答题|5/77|统计与概率（环境数据）、解析几何、导数、立体几何（月饼盒）、解三角形|第15题环境监测数据处理，第18题月饼盒捆扎问题，突出数学建模与实际应用|

曲靖一中2026届高三年级教学质量检测（七） 数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C C B B C D A C AD ABC ABD 1．C【详解】由 ，解得 ，即 ， 又，因此 . 2．C【详解】因为抛物线过点，所以，即. 所以其焦点到准线的距离为. 3．B【详解】∵ E为线段AD的中点 ∴ ，又， ∴ ， 4．B【详解】由函数的解析式可知该函数的定义域为全体非零实数， 因为， 所以该函数是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除选项AC； 当时，，所以排除选项D，所以选项B中的图象有可能是该函数的图象. 5．C【详解】必要性：若直线和平行，则有，解得或， 当时，，不成立，无意义，舍去， 故两直线平行必有，必要性成立； 充分性：时，直线为，直线为， 因为，且，所以两直线平行，充分性成立； 综上所述，“”是“直线和平行”的充分必要条件． 6．D【详解】因为， 由能被整除，则上式前项都能被整除，只需看最后一项除以的余数， 由， 则除以的余数为， 所以今天是星期一，再过天，是星期五. 7．A【详解】由题. 在一个周期内，所过5个特殊点对应表格为： 1 0 -1 0 据此可在同一坐标系中画出大致图像如下，由图可得共8个交点. 故选：A 8．C【详解】因为， 当时，；当时，， 所以， 因为满足上式，所以， 所以， 所以，又， 所以，所以.又， 故当对任意的恒成立时，可得， 所以整数的最小值为4. 9．AD【详解】对于A，因随机变量，则，由正态曲线的对称性可得，故A正确； 对于B，由事件，相互独立可知，对于随机事件，， 都有， 故仅当，互斥时，才有，故结论不成立，即B错误； 对于C，由题意，， 对于数据，，，， 其均值为， 其方差为，故C错误； 对于D，相关指数越接近1，值越大，残差平方和接近0，值越小，则该回归模型的拟合效果越好，故D正确. 10．ABC【详解】设，则复数在复平面内对应点，设， 则，同理， ∴，即点的轨迹为椭圆，且椭圆长半轴，焦半径， ∴短半轴，∴点的轨迹方程为：， A选项：，A选项正确； B选项：，B选项正确； C选项：若，即，令，则，∴，C选项正确； D选项：，若，则或，当时，，此时；当时，，此时，D选项错误. 11．ABD【详解】在该八面体中，点，，，共面. 因为该八面体的棱长均相等，所以四边形是菱形，所以，平面.同理，平面. 因为平面，所以平面平面，A正确. 如图，记正六边形的中心为，，的中点分别为，，连接，， 则点，在平面上的投影，分别在直线，上，连接， 则，. 在正六边形中，直线与直线，的夹角均为30°，即，所以， ，，，，. 又因为，所以平面，，所以四边形是正方形，B正确. 连接，，（图略），，，. 同理，可得，所以点到该八面体的顶点的距离均为2，即该八面体外接球的半径为2，该八面体外接球的体积为，D正确. 记点在平面上的投影为（图略）. 该八面体可看成由3个与三棱柱全等的三棱柱，3个与三棱锥全等的三棱锥，及三棱柱构成. 其体积为，C错误. 12．【详解】因为在公差不为0的等差数列中，是与的等差中项， 所以，所以， 因此， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为． 13．【详解】在方向上的数量投影为， ，，. 14．【详解】如图，设，则，,根据可得: ,故， 因点均为双曲线上的点，则 由① 因为，所以②，又③， 将②，③两式代入①式得：．故双曲线的离心率． 15．(1)25% (2)0.030 (3) 【详解】（1）根据表格数据，16条河流中污染物浓度的有4条，比重为. （2）水鸟数量的平均数， 所以样本中心点为，代入回归方程得，解得， 即回归方程为，当观测到33只水鸟即时， 根据解得，即预测的污染物浓度为. （3）由表格可知，在这16条河流中，水鸟数量“不少于30只”的共有11条， 设“至少有2张照片中出现不少于30只水鸟”为事件， 则包含两种情况：恰好有2张照片中的水鸟不少于30只，有种情况； 3张照片中的水鸟均不少于30只，有种情况， 根据古典概型的概率计算公式有. 16．(1) (2)证明见解析 【详解】（1）设，，因为B为A在x轴上的射影，所以． 已知，则，可得，即． 又因为在圆上，将代入圆方程得， 即，所以E的方程为． （2）设直线l的方程为，，设，． 将代入得：，化简得． 即，由韦达定理得，． 根据两点间距离公式，， ． 所以． 把，代入得：． 所以为定值5． 17．(1) (2) 【详解】（1）当时，，则，即， 令，则，令，得，令，得， 所以，故有且仅有，，此时，所以曲线的斜率为1的切线方程为在处的切线方程，该切线方程为． （2）由得，即， 所以没有整数解， 设，， 设，，所以单调递增，且，， 所以存在唯一的，使，即， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 又，所以当时，， 所以当时，没有整数解，即没有整数解． 18．(1)证明见解析 (2)（ⅰ）（ⅰⅰ）. 【详解】（1）证明：连接,则. 由平行线的传递性，得，所以四点共面. （2）（ⅰ）如图，以为原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，                     ，， 设平面的法向量为 则有，取得                     点H到平面的距离                 ，线段的长为                             （ⅱ）设为的中点，则且 ，                                                  由（ⅰ）知，                                                      又为平面ABCD的法向量，                                  直线与平面ABCD所成角的正弦值为.          19．(1) (2)①；② 【详解】（1）利用正弦定理可化简为， 因为，则，即，则； （2）①过点作，垂足为，则，则， 在中利用正弦定理， 有，得， 则 ， 等号成立时，， 故面积的最小值为； ②由①可知，， 令， 则， 令，则， 则得，即；得，即， 则在上单调递减，上单调递增， 则， 故的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ ( 密 封 线 内 不 要 答 题 ) ( 贴 条 形 码 区 ) ( 考 场 号 密 封 线 内 不 要 答 题 [ 0 ] [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 0 ] [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] 座 位 号 [ 0 ] [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 0 ] [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] 学校： 年级： 班级： 姓名： ) 曲靖一中2026届高三年级教学质量检测（七） 答题卡【数学】 考 生须知 1． 考生务必在每张答题卡上将自己的学校、班级、姓名等信息填写清楚，在指定位置粘贴条形码。 2． 选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题要书写工整、字迹清楚；切勿在答题区右上角打分框内作答。 正确填涂： 缺考： 违纪： 【教师填涂！】 一、选择题（共58分.1-8题为单选题，每小题5分，9-11为多选题，每小题6分，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 1 ( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 2 ( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 3 ( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 4 ( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 5 ( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 6 ( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 7 ( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 8 ( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 9 ( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 10 ( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 11 ( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 二、填空题（共3小题，每小题5分，共,15分） 12. 13.__________ __14._______ _____ 3、 解答题（共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15（13分） 16（15分） 17（15分） 18（17分） 19（17分） ( 版权所有：北京达美嘉教育科技有限公司 © 2012-2013 www.do-mega.com . All Rights Reserved . )数学 第 2 页 / 共 2 页 ( 版权所有：北京达美嘉教育科技有限公司 © 2012-2013 www.do - meg a .c o m . All Rights Reserved . )数学 第 1 页 / 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 曲靖一中2026届高三年级教学质量检测（七） 数 学 试 卷 命题人：董善清 审题人：李东林 终审人：张琳 注意事项： 1．考生务必用黑色笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答在试卷上无效。 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案。 4．本试卷共4页，共19小题，满分150分。考试用时120分钟。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知抛物线经过点，则其焦点到准线的距离为（   ） A． B． C．2 D．4 3．在中，，点E是线段AD的中点，则（    ） A． B． C． D． 4．函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 5．“”是“直线：和直线：平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．如果今天是星期一，那么再过天是星期几（    ） A．星期二 B．星期三 C．星期四 D．星期五 7．函数与图象的交点个数为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 8．已知数列的前项和，数列的前项和为，若对任意的恒成立，则整数的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2、 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 9．下列说法正确的是（   ） A．若随机变量，则 B．若事件，相互独立，则 C．若样本数据，，，的方差为2，则数据，，，的方差为5 D．用相关指数刻画回归效果，越接近1，说明回归模型的拟合效果越好 10．已知复数满足，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 11．如图，该八面体的棱长均为2，且六边形ABCDEF为正六边形，则（    ） A．平面平面ABCDEF B．四边形ABHG是正方形 C．该八面体的体积为 D．该八面体外接球的体积为 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在公差不为0的等差数列中，若是与的等差中项，则的最小值为______． 13．已知向量，，且，在方向上的投影向量为，则的取值范围为___________. 14．已知过原点的直线与双曲线交于M，N两点，点M在第一象限且与点Q关于x轴对称，，直线NE与双曲线的右支交于点P，若，则双曲线的离心率为______． 4、 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）某地环境部门监测了16条河流的污染物（主要指磷和氨氮）浓度（单位：）和下游湿地某种水鸟的观测数量（单位：只）. 监测数据如下： 污染物浓度 0.012 0.015 0.018 0.020 0.021 0.023 0.025 0.026 水鸟数量 52 48 45 43 40 42 37 39 污染物浓度 0.028 0.030 0.031 0.032 0.035 0.037 0.038 0.040 水鸟数量 36 32 30 29 28 27 26 22 (1)已知III类河流的标准是污染物浓度不高于，估计这16条河流中III类河流的比重（用百分数表示，结果保留两位有效数字）； (2)已知关于的线性回归方程为，污染物浓度平均数，预测在下游湿地观测到33只水鸟时河流的污染物浓度（结果精确到）； (3)某摄影师在这16条河流中随机选取3条不同的河流，前往下游湿地拍摄水鸟照片，每次拍摄1张，求至少有2张照片中出现不少于30只水鸟的概率. 16．（15分）已知点A是圆上的动点，点A在x轴上的射影为B，点P满足，记动点P的轨迹为E． (1)求E的方程； (2)若斜率为2的直线l与y轴交于点D，与E交于M，N两点，证明：为定值． 17．（15分）已知函数，． (1)若，求曲线的斜率为1的切线方程； (2)若不等式没有整数解，求实数的取值范围． 18．（17分）日常生活中，较多产品的包装盒呈正四棱柱状，比如月饼盒.烘焙店在售卖月饼时，为美观起见，通常会用彩绳对月饼盒做一个捆扎，如图所示，并配上花结.    图中，正四棱柱的底面是正方形，且，. 已知. （1）证明：四点共面. （2）记点关于平面的对称点为，点关于直线的对称点为. （ⅰ）求线段的长； （ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值. 19．（17分）在中，分别是角的对边，，且. (1)求. (2)设是线段的中点，在线段上，且. （ⅰ）求面积的最小值； （ⅱ）求线段的长度的最小值. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $