广东东莞市第十三高级中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学模拟卷（二）

**基本信息** 立足高二数学核心内容，融合云计算、农家乐经营等现实情境，梯度设计突出数学思维与应用能力，适配期末综合考查需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|集合、正态分布、二项式定理|基础概念辨析，如第7题结合科技公司数据考查回归分析| |多选题|3|不等式、立体几何|综合能力考查，如第11题正方体中空间角与对称问题| |填空题|3|排列组合、逻辑命题|创新情境设计，如第12题五位数数字特征计数| |解答题|5|函数单调性、概率分布、椭圆方程|真实问题解决，如第16题农家乐销售额优化与回归建模|

东莞市第十三高级中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学模拟卷（二） 一、单选题 1．已知集合，与之间的关系是（    ） A． B． C． D． 2．已知随机变量服从正态分布，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．下列命题中为真命题的是（    ） A． B． C． D． 4．已知，，则取最小值时的值是（    ） A． B． C． D． 5．在的展开式中，含的项的系数为（    ） A．-120 B．-40 C．-30 D．200 6．某学校高一、高二、高三的学生人数之比为，这三个年级分别有20%，30%，20%的学生获得过奖学金，现随机选取一名学生，此学生恰好获得过奖学金，则该学生是高二年级学生的概率为（    ） A． B． C． D． 7．云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长.已知某科技公司年至年云计算市场规模数据，且市场规模与年份代码的关系可以用模型（其中e为自然对数的底数）拟合，设，得到数据统计表如下： 年份 2018年 2019年 2020年 2021年 2022年 年份代码 1 2 3 4 5 云计算市场规模千万元 7.4 11 20 36.6 55 2 2.4 3.0 3.6 4.0 由上表可得经验回归方程，则年该科技公司云计算市场规模的估计值为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数是上的偶函数，且的图象关于点对称，当时，，则的值为（    ） A．-2 B．-1 C．0 D．1 二、多选题 9．已知二项式的展开式中各项的系数和为64，则下列说法正确的是（    ） A．展开式中的常数项为1 B． C．展开式中二项式系数最大的项是第四项 D．展开式中的指数均为偶数 10．设正实数，满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．的最小值为2 C．的最小值为2 D．的最小值为4 11．在正方体中，O为面的中心.记直线为，直线BO为，直线与所成角为γ，平面OBD与平面ABCD所成锐二面角为δ，则（    ） A． B． C．与点A关于对称的点在正方体内 D．与点C关于对称的点在正方体外 三、填空题 12．若五位数满足，，，，则这样的五位数的个数是________． 13．下列说法中不正确的是________．(填序号) ①若，则“”是“”的必要不充分条件； ②“为真命题”是“为真命题”的必要不充分条件； ③若命题，则是真命题； ④命题“”的否定是“”． 14．设常数的二项展开式中的系数为，则_____ 四、解答题 15．已知函数的图象关于原点对称. （1）求实数的值； （2）用定义法判断函数在上的单调性； （3）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 16．某创业者计划在南山旅游景区附近租赁一套农房发展成特色“农家乐”，为了确定未来发展方向，此创业者对该景区附近五家“农家乐”跟踪调查了100天，这五家“农家乐”的收费标准互不相同，得到的统计数据如下表，x为收费标准（单位：元/日），t为入住天数（单位：天），以入住天数的频率作为各自的“入住率”，收费标准x与入住率y的散点图如图． x 100 150 200 300 450 y 90 65 45 30 20 （1）若从以上五家“农家乐”中随机抽取两家深入调查，记为“入住率”超过的农家乐的个数，求的分布列； （2）令，由散点图判断与哪个更合适于此模型（给出判断即可，不必说明理由）？并根据你的判断结果求回归方程；（，的结果精确到） （3）根据第（2）问所求的回归方程，试估计收费标准为多少时，100天销售额Q最大？（100天销售额入住率收费标准x） 参考数据：，，，，，，，，，． 17．已知三点恰好被面积最小的圆所覆盖. (1)试求圆C的方程； (2)若斜率为1的直线与圆交于不同两点.若，求直线的方程. 18．某地举行猜灯谜比赛，以个人形式参赛，每轮猜一个灯谜，猜中得10分，猜错得分，参赛者初始积分为0分.若某轮比赛后总积分为0分或低于0分，则被淘汰，不能继续参加后面轮次的猜灯谜活动.已知参赛者甲每个灯谜猜中的概率都是，记其参加了轮比赛后的总积分为. (1)求的概率； (2)求的概率； (3)证明：甲在参加了轮比赛后被淘汰的概率是. 19．已知椭圆的上顶点为，直线与椭圆交于两点，且直线与的斜率之积为． (1)求椭圆的方程； (2)若直线，直线与椭圆交于两点，且直线与的斜率之和为1，求与之间距离的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C D D C B B D BCD CD 题号 11 答案 ABD 1．C 【分析】根据集合描述法可知A中元素为3的整数倍，B中元素为6的整数倍，即可由子集概念求解. 【详解】, A是所有3的整数倍构成的集合，B是所有6的整数倍构成的集合 B中元素都属于集合A， ， 故选：C 【点睛】本题主要考查了集合的描述法，子集的概念，属于容易题. 2．C 【分析】根据正态曲线的性质即可求解. 【详解】由随机变量服从正态分布，， 由正态曲线的对称性知，对称轴为， 所以. 故选：C. 3．D 【分析】利用不等式的性质和反例可知ABC错误；采用作差法或不等式性质可证得D正确. 【详解】对于A，若，则，，即，A错误； 对于B，当，时，，此时无法得到，B错误； 对于C，当时，，C错误； 对于D，方法一：当时，，，D正确； 方法二：当时，；当时，；当时，； 综上所述：当时，，D正确. 故选：D. 4．D 【分析】根据空间向量的坐标运算先求出，再根据向量模的计算公式和二次函数的性质即可求解. 【详解】因为，， 所以， 则， 由二次函数的图象和性质可知：当时，取最小值， 故选：. 5．C 【分析】将整理为，根据二项展开式分析可得，对每种情况再根据二项展开式理解运算. 【详解】，其展开式为： 根据题意可得： 当时，则，展开式为： ∴，则的项的系数为 当时，则，展开式为： ∴，则的项的系数为 当时，则，展开式为： ∴，则的项的系数为 综上所述：含的项的系数为 故选：C． 6．B 【分析】根据条件概率公式计算． 【详解】设事件A为被选到的学生获得过奖学金，事件B为该学生是高二年级学生，则． 故选：B 7．B 【分析】求出、的值，代入回归方程求出的值，可得出关于的回归方程，然后在回归方程中令可得出的值，即可求得的值，即可得解. 【详解】由题意可得，， 将代入回归方程可得， 所以，关于的回归方程为， 当时，，此时，. 故选：B. 8．D 【分析】由函数是上的偶函数与的图象关于点对称可得出函数的周期，根据时的表达式可求解出一个周期的函数值，从而解出本题. 【详解】解：因为函数是上的偶函数， 所以， 因为的图象关于点对称， 所以，即， 所以， 所以， 所以函数是上周期为4的函数， 当时，， 所以，， 又，， 所以， 所以. 故选：D. 9．BCD 【分析】利用赋值法计算的值，再利用展开的通项公式对选项进行分析获得答案. 【详解】令代入二项式可得各项的系数和为，即可得正确； 对于，设展开式的通项为， 当为常数项时，则有，则可得. 代入二项式，可得展开式的常数项为，故错误； 对于，因为，可得展开式中二项式系数最大的项仅有一项为第四项，故正确； 对于，该展开式的通项为，可得展开式中的指数均为偶数.故D成立. 故选：BCD. 10．CD 【分析】将变形为，利用基本不等式求解，即可判断；先求解，然后即可判断；将变形为，利用基本不等式即可判断；直接利用基本不等式即可判断. 【详解】因为，，，，， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立，故不正确； 因为， ， 所以， 当且仅当时，等号成立， 的最大值为2，故不正确； ， 当且仅当时，等号成立，故正确； 因为，， 所以，， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故正确. 故选：. 11．ABD 【分析】建立空间直角坐标系，由向量的坐标运算先求出，即可求得，即可判断A；先求出平面的一个法向量，平面的一个法向量，利用坐标运算得到，即可判断B；利用向量坐标运算求出点A到的距离，即得到与点A关于对称的点到的距离，由正方体的结构特点，即可判断C；类似判断C，即可判断D. 【详解】    建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则 ， 则，， 所以， 所以，故A正确； 设平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 由， 令，则， 所以，故B正确； 因为， 则点A到的距离为， 而到正方体的对角面的距离为，即到的距离， 点A关于对称的点在正方体的对角面的另一侧的最远距离即为， 因为，所以点A关于对称的点在正方体外，故C错误； 因为， 则点C到的距离为， 则点C关于对称的点到的距离为， 由对称性可得，点C关于对称的点一侧正方体内的点到的距离小于， 而，所以点C关于对称的点在正方体外，故D正确. 故选：ABD. 12．12825 【分析】由数的特点，先确定位置上的数，再安排位置上的数，进行计算即可. 【详解】由数的特点，先确定位置上的数，再安排位置上的数，列表如下： 其中第一列是取的数，第一行是取的数，中间是满足条件的组合的数量 则满足条件的五位数的个数为： 故答案为：12825. 13．②④ 【分析】根据充分、必要条件、逻辑连接词、全称量词命题与存在量词命题的知识确定正确答案. 【详解】①，或， 所以“”是“”的必要不充分条件，①正确. ②，“为真命题”则均为真命题；“为真命题”则至少有一个真命题， 所以“为真命题”是“为真命题”的充分不必要条件，②错误. ③，，所以是真命题，③正确. ④，“”的否定是“”，④错误. 故答案为：②④ 14．2 【分析】利用二项展开式通项公式，整理后，令的次数等于3从而解得，再结合等比数列的求和公式以及数列的极限即可得到结论． 【详解】由二项展开式通项公式， 整理得， 令时，有， ∴， ∵，∴． ∴，故答案为2． 【点睛】本题主要考查二项式展开式特定项的系数的求法以及等比数列求和公式及极限的运算，需要熟记展开式的通项公式，属于中档题． 15．（1）；（2）单调递增；（3）. 【详解】试题分析：（1）因为的图象关于原点对称且，所以是上的奇函数，由，即可求解实数的值；（2）利用函数单调性的定义，即可证明函数为单调递增函数；（3）由函数是奇函数，得，又由为增函数，得, 转化为“存在，使得不等式成立.” 即可求解实数的取值范围. 试题解析：（1）因为的图象关于原点对称且， 所以是上的奇函数，由，得，解得. 经检验，当时，是奇函数，故. （2）任取，则, 所以, 所以 ,所以，故函数在上单调递增. （3）由,可得. 又因为是奇函数，所以. 又因为在上单调递增,所以, 即, 所以“存在，使得不等式成立.” 即“存在，使得不等式成立.” 令, 则, 所以. 考点：函数性质的判定及综合应用. 【方法点晴】本题主要考查了函数的基本性质的判定及应用问题，其中解答中涉及到函数的单调性的判定与证明、函数的奇偶性的应用、函数的最值问题等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，本题的解答中熟记函数单调性的定义和灵活应用函数的基本性质是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题. 16．（1）分布列见解析；（2）更适合于此模型，回归方程为；（3）150（元/日）． 【分析】（1）的所有可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列． （2）由散点图可知更适合于此模型，求出，，，由此能求出回归方程． （3）依题意，，则，利用导数性质能求出当收费标准约为150（元日）时，100天销售额最大． 【详解】解：（1）的所有可能取值为0，1，2， 则，， ∴的分布列是 0 1 2 （2）由散点图可知更适合于此模型． 依题意，， 则， ， 所求的回归方程为．        （3）依题意，， 则， 由，得，，由，得，， ∴在上递增，在上递减， ∴当时，取到最大值． ∴当收费标准约为150（元/日）时，100天销售额L最大． 17．(1) (2) 【分析】（1）由题知所求圆为直角的外接圆，进而求解. （2）由，知圆心到直线的距离是, 利用点到线的距离公式即可求解. 【详解】（1）由题意知三点构成的是以为斜边的直角三角形, 所以覆盖它且面积最小的圆是的外接圆， 故圆心是的中点(2,1)，半径, 所以圆的方程是 （2）设直线的方程是：. 因为，所以圆心到直线的距离是, 即 解得:. 所以直线的方程是: 18．(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由题意列出满足的所有可能情况，再求概率即可； （2）由题意列出满足的所有可能情况，再求概率即可； （3）利用间接法求甲在参加了轮比赛后被淘汰的概率. 第一项是1，最后一项是，中间项是由个1，个组成的数列，共有个.而由个1，个组成，且存在使得的数列的个数为，所以中间项符合条件的数列个数是. 【详解】（1）用1表示某轮猜中，用表示某轮猜错. 由，则前5轮猜灯谜的情况可以用数列表示为： 1，1，1，1，或1，1，1，，1或1，1，，1，1， 故的概率. （2）由，则前7轮猜谜语的情况可以用数列表示为： 1，1，1，1，，，或1，1，1，，1，，或1，1，，1，1，，或1，1，，1，，1，或1，1，1，，，1，， 故的概率. （3）甲在参加了轮比赛后被淘汰，其比赛情况用1，表示得到的数列，第一项是1，最后一项是，中间项是由个1，个组成的数列，观察中间项组成的新数列，记其前项和为，则对恒成立. 由个1，个组成的数列，共有个. 现在考虑，由个1，个组成，且存在使得的数列的个数. 不妨设满足的的最小值为，则一定有，且为奇数，这个数列的前项有个1和个，将此数列的前项中的1改成，改成1，其他项不变，这样就得到了由个1，个组成的数列； 反过来，由个1，个组成的数列，因为其前项和为2，所以一定存在，使得其前项和大于0，找到这样的的最小值，则前项和为1，且为奇数，前项中有个和个1，将其前项中的改成1，1改成，其他项不变，则得到的数列是由个1，个组成的数列，且. 因此，由个1，个组成，且存在使得的数列的个数，等于由个1，个组成的数列的个数，为. 所以中间项符合条件的数列个数是. 因此，甲在参加了轮比赛后被淘汰的概率. 【点睛】本题为概率与数列的综合问题，前两问较简单，用列举法列出所有可能再求概率即可.第（3）问难度系数高，解题关键是利用间接法求甲在参加了轮比赛后被淘汰的概率.因为中间项是由个1，个组成的数列，共有个，而由个1，个组成，且存在使得的数列的个数为，所以中间项符合条件的数列个数是. 19．(1) (2) 【分析】（1）联立方程组，根据，利用韦达定理可求，从而得解； （2）设直线，联立方程组，根据，利用韦达定理可得，由两平行直线间的距离公式，并利用导数求最值. 【详解】（1）设 由题意，可知，则椭圆， 联立方程组，得， 显然，且， 因为，即， 化简得 所以解得， 所以椭圆 （2）由直线，设直线， ， 联立方程组，得， 则 得       ① 且， 又因为，即， 化简得， 则， 化简得， 因为，所以，结合①可知， 与之间距离， 设，则， 当时，， 则当，，则单调递减， 当，，则单调递增， 所以， 又，所以， 所以. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为，； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为的形式； （5）代入韦达定理求解. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $