广东东莞市第十三高级中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学模拟卷（四）

**基本信息** 涵盖高二数学核心知识，注重基础巩固与能力提升，解答题融合导数、概率、立体几何及创新情境，体现数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|分层抽样、二项式系数、空间向量等|基础概念与运算结合，如第4题考查平均数方差性质（数学思维）| |多选题|3|期望方差、二项式定理、空间平面方程|多选项设计考查知识辨析，如第11题空间平面垂直与距离（数学眼光）| |填空题|3|回归直线、独立事件概率、渐降数计数|实际应用与逻辑计数结合，如第12题回归预测（数学语言）| |解答题|6|导数极值、摸球概率、二项分布、二面角、折叠空间距离|综合性强，如第19题折叠空间距离与椭圆综合，体现创新应用（数学眼光与思维）|

东莞市第十三高级中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学模拟卷（四） 一、单选题 1．从4名女生、6名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取5名学生组成课外小组，则不同的抽取方法种数为（    ） A．1440 B．120 C．60 D．24 2．的展开式中含x2项的系数是 A．240 B． C．192 D． 3．如图所示，在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则（   ） A． B． C． D． 4．如果数据…，的平均数为2，方差为3，则数据…，的平均数和方差分别为 A．11, 25 B．11, 27 C．8, 27 D．11, 8 5．下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．在四面体中，点满足，若四点共面，则（    ） A． B． C． D． 7．若过点作曲线的切线，则这样的切线共有（   ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 8．已知函数，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．关于随机变量的期望与方差，下列说法正确的是（ ） A． B．若，则 C．若，则的值与无关 D．若是两点分布，则当时，最大 10．已知二项式，则其展开式中（   ） A．的系数为84 B．各项系数之和为 C．二项式系数之和为 D．二项式系数最大项是第4或5项 11．空间中，平面上的动点满足方程，则称为平面的方程，同时也称平面的方程为，并称为平面的一个法向量.已知方程分别为的平面的交线为l，则下列结论正确的是（    ） A．经过点的平面的方程为 B．方程为的平面与平面垂直 C．若平面的方程为，则坐标原点O到平面的距离为 D．l与方程为的平面所成角的正弦值为 三、填空题 12．某单位为了了解用电量千瓦时与气温之间的关系,随机统计了某天的用电量与当天气温,并制作了对照表: 气温 用电量/千瓦时 由表中数据得回归直线方程中,预测当气温为时,用电量的度数约为__________. 13．甲、乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.7，被甲或乙解出的概率为0.94，则该题被乙独立解出的概率为______． 14．“渐降数”是指每一位数字都比其左边的数字小的正整数（例如：987），那么在三位的“渐降数”中，比821小，比678大的共有____个. 四、解答题 15．已知函数，. (1)若在处的切线斜率为，求的值； (2)若在处取得极值，求在上的最大值. 16．设袋中有5个黄球，3个红球，2个绿球，试按： (1)有放回摸球三次，每次摸一球，求第三次才摸到绿球的概率； (2)不放回摸球三次，每次摸一球，求第三次才摸到绿球的概率． 17．一项比赛的预选赛由n道题目组成，小李同学答对每道题目的概率都是，且各题是否答对相互独立． (1)若n道题目全部作答，记X为小李同学答对的题目个数，若X的数学期望，求n的值； (2)若比赛要求参赛队员按题目顺序逐一作答，并且只要答对一个题目，就可以获得参加复赛的资格；否则继续作答，直到将所有题目全部答完，预选赛结束．记Y为小李同学答错的题目数，若Y的数学期望为，求证：． 18．正三棱柱的所有棱长均为2，是侧棱上任意一点． （1）判断直线与平面是否垂直，请证明你的结论； （2）当时，求二面角的余弦值． 19．在平面直角坐标系中，点，若以轴为折痕将直角坐标平面的上半部分折起，形成互相垂直的两个半平面（如图），则称此时点在三维空间中的距离为“点关于轴的折叠空间距离”，记为. (1)在平面直角坐标系中，，试求的值； (2)在平面直角坐标系中，，试求满足的点在平面直角坐标系中的轨迹长度； (3)在平面直角坐标系中，是椭圆上的点，若过点的两条直线分别交椭圆于两点（异于点），且其斜率满足，求的最大值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D D B C C C D ACD ABD 题号 11 答案 BCD 1．B 【分析】先根据分层抽样的特点确定抽取的男女人数，利用组合数公式可得答案. 【详解】从4名女生、6名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取5名学生， 所以抽取的女生人数为2，男生人数为3，共有抽取方法为：. 故选：B 2．D 【详解】二项式的展开式的通项公式为， ∴当k=1时x2项的系数是﹣192， 故选D． 3．D 【分析】由向量的线性运算可得结果. 【详解】. 故选：D. 4．B 【详解】试题分析：由平均数和方差的性质得数据3x1+5，3x2+5，3x3+5，…，3xn+5的平均数为，方差为32•σ2．∵x1，x2，x3，…，xn的平均数为2， ∴数据3x1+5，3x2+5…，3xn+5的平均数是：3×2+5=11， ∵x1，x2，x3，…，xn的方差为3， ∴3x1+5，3x2+5，3x3+5，…，3xn+5的方差是32×3=27． 故选B． 考点：极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数． 5．C 【分析】根据导数的运算法则即可得到答案. 【详解】对A，，错误； 对B，，错误； C正确； 对D，，错误. 故选：C. 6．C 【分析】根据空间向量基本定理列出方程，解之即得. 【详解】因四点共面，且， 由空间向量基本定理，可得，解得. 故选：C. 7．C 【分析】设切点为，利用导数的几何意义及点斜式直线方程求出切线方程，根据过点建立方程，求得切点的个数即为切线的条数. 【详解】设切点为，由，所以，得， 所以切线方程为，即． 因为切线过点，所以，解得或， 所以过点作曲线的切线可以作2条. 故选：C 8．D 【分析】先求出的表达式，得出，进而推得.将不等式转化为.求导得出，结合基本不等式得出恒成立，得出函数的单调性，列出不等式，求解即可得出答案. 【详解】由已知可得， ， 所以，. 所以，， 即，所以. 则由不等式可得， . 又恒成立， 当且仅当，即时等号成立， 所以，在R上单调递增. 则由可得，，解得. 所以，满足的的取值范围是. 故选：D. 9．ACD 【分析】由随机变量期望的线性运算可知A正确；由正态分布的意义可知可判断B；由二项分布期望与方差公式可判断C；由两点分布的方差公式，结合二次函数的最值可判断D. 【详解】根据期望的线性运算，，故A正确； 由，，故B错误； 由，，则，故C正确； 因为是两点分布，所以， 则当时，最大，故D正确； 故选：ACD. 10．ABD 【分析】根据二项展开式的通项公式计算后可判断ACD的正误，利用赋值法可求各项系数之和，故可判断B的正误. 【详解】的展开式的通项为， 对于A，取，则，故的系数为，故A正确； 对于B，因为，令，则各项系数之和为，故B正确； 对于C，二项式系数之和为，故C错误； 对于D，二项式展开后共有8项，所以二项式系数最大项是是第4或5项，D正确； 故选：ABD. 11．BCD 【分析】对于,验证法排除；对于，利用两平面法向量垂直即可判定；对于，利用空间向量点面距计算公式进行计算即可；对于，利用空间向量线面角计算公式进行计算即可. 【详解】对于,把点代入平面方程，不满足，故错误； 对于,平面其法向量为， 平面的法向量为， 则， 即，故面与平面垂直， 则正确； 对于,平面的一个法向量为,显然不全为0，不妨令， 点为平面内一点，则, 故点O到平面的距离为, 故正确； 对于,， 可知一组解为，另一组解为， 为平面的交线，则经过上述两个点， 则直线的一个方向向量为, 又平面的一个法向量为， 设直线与平面的夹角为， 则， 故正确， 故选： 12． 【解析】求出样本点的中心坐标，进一步求得，得到线性回归方程，取求得值即可． 【详解】解：，， 样本点的中心为， 代入，得， 则线性回归方程为． 取，得． 故答案为：． 【点睛】本题考查线性回归方程的求法，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，属于基础题． 13．/ 【分析】记“该题被甲独立解出”为事件A，“该题被乙独立解出”为事件B，根据已知得出，，代入数据即可得出答案. 【详解】记“该题被甲独立解出”为事件A，“该题被乙独立解出”为事件B， 由题意可知，，. 因为事件，相互独立，所以. 又， 所以. 故答案为：. 14．23 【详解】依题意，比821小，比678大的三位“渐降数”有： 百位数字为8的有820，810共2个； 百位数字为7，十位数字为6的有765，764，…，760共6个； 百位数字为7，十位数字为5的有754，753，…，750共5个； 百位数字为7，十位数字为4的有743，742，741，740共4个； 百位数字为7，十位数字为3的有732，731，730共3个； 百位数字为7，十位数字为2的有721，720共2个； 百位数字为7，十位数字为1的只有710. 百位数字为6，比678大的“渐降数”没有. 所以满足条件的“渐降数”共有个. 15．(1)或 (2) 【分析】（1）由已知可得出，即可解得实数的值； （2）由已知可得，求得实数的值，然后利用导数分析函数在区间上的单调性，即可求得函数在区间上的最大值. 【详解】（1）解：因为，则， 因为在处的切线斜率为，所以， 整理得，解得或. （2）解：因为在处取得极值，即，解得， 所以，则， 令，解得，， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减，. 16．(1) (2) 【分析】（1）（2）根据条件概率和相互独立事件的概率公式计算可得. 【详解】（1）设，，， 则事件“第三次才摸到绿球”可表示为ABC． 有放回时，，，， 则． （2）不放回时，，，， 则 17．(1)8 (2)证明见解析 【分析】（1）由题意知，，然后根据二项分布的期望公式列方程求解即可， （2）由题意知，Y的可能取值有0，1，2，3，…，n，然后求出对应的概率，从而可表示出，再利用错位相减法可求出，利用放缩法可证得结论 【详解】（1）由题意知，， 则， 解得n＝8． （2）证明：由题意知，Y的可能取值有0，1，2，3，…，n． 则， ， ， … ， ， 所以， ， 两式相减，得 所以， 所以． 因为，所以，即． 18．（1）见解析（2） 【分析】(1）建立如图所示的空间直角坐标系，设，得到，即不垂直，即可的到结论； （2）由（1）可得平面，得到是平面的法向量，再求得平面的法向量为，利用向量的夹角公式，即可求解． 【详解】(1）建立如图所示的空间直角坐标系，设， 则的坐标分别为．， ，， 不垂直. 直线不可能与平面垂直． （2）由（1）可知，由，得. 即， .又， 平面. 是平面的法向量． 设平面的法向量为，由 则．设二面角的大小为 ，则. 二面角的余弦值的大小为. 【点睛】本题主要考查了空间向量在立体几何中的应用，其中解答中建立适当的空间直角坐标系，熟记向量在线面位置关系的判定与证明中的应用，及利用向量的夹角公式求解空间角的方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）通过将平面折叠后的问题转化为三维空间问题，直接利用空间中两点间的距离公式计算折叠空间距离，建立坐标系后代入坐标即可求解； （2）依据点相对于轴的位置（上半平面或下半平面）分类讨论折叠后的空间坐标，代入折叠空间距离的方程化简得到轨迹方程，并计算其长度； （3）利用直线与椭圆相交的方程联立以及韦达定理，结合斜率之积的条件建立关于参数的表达式，再根据椭圆上点的坐标范围及函数性质求最值. 【详解】（1）如图建立空间直角坐标系，则， ； （2）点在空间中的坐标为，下面讨论点的位置： 当点在轴的上半部分（含轴）时，点在空间中的坐标为 ，即， 当点在轴的下半部分时，点在空间中的坐标为， 则，化简得， 故点的轨迹长度为； （3）易知直线与轴不垂直，设直线的方程为， 则，则，① 联立方程，化简得， ， 代入①式并化简得，即， 即或， 当时，直线过点，舍去，故， 则当点在轴同侧时，即，则， ， 当点在轴异侧时，即，则， ， 综上可知，的最大值为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $