（期末专项复习）专题15长方体和正方体解决问题拔高版二-2025-2026学年五年级数学下册期末高频易错题思维综合练（苏教版）

**基本信息** 聚焦长方体和正方体的体积、表面积及棱长综合应用，通过排水法、无盖表面积计算等12类方法，系统构建从概念到实际问题的解题逻辑链，培养空间观念与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |体积计算|7题（1/2/7/12/14/25）|排水法（上升/下降水体积）、体积不变原理|从规则体积公式到不规则物体体积转换| |表面积计算|8题（4/5/10/19/20/22/24）|无盖/无底表面积、露在外面面积计算|从完整表面积到实际场景中的部分表面积应用| |棱长应用|3题（6/15/22）|棱长总和不变转换、彩带包扎棱长计算|棱长与立体图形框架的关联应用| |切割拼接|4题（13/21/23/25）|切割后表面积变化、展开图还原|立体图形与平面展开图的转化及体积守恒|

（期末专项复习）专题15长方体和正方体解决问题拔高版二 一、解答题 1．看图计算，水缸中的石头的体积是多少立方厘米？ 2．把一个不规则的铁块完全浸没在一个长5分米，宽4分米，高3分米的长方体容器中，放入铁块前水面的高度是2.3分米，放入铁块后水面上升到2.7分米，这个铁块的体积是多少立方分米？ 3．一个长方体木箱长、宽都是6分米，把它放在墙角，露在外面的面积是144平方分米，这个木箱的体积是多少立方分米？ 4．博物馆里有许多保护文物的透明展示罩（无底），下图所示：这是其中一个，长是2米，宽0.6米，高0.8米，制作一个这样透明展示罩需要多少平方米的材料？ 5．一个房间长8米，宽5米，高3米，现在要为这个房间的四壁和顶面刷涂料。如果每平方米需用涂料3千克，一共要用涂料多少千克？ 6．用一根铁丝正好能焊接成一个棱长为8厘米的正方体，王叔叔打算用它焊接成一个长12厘米、宽7厘米的长方体，这个长方体的高是多少厘米？（焊接损耗不计） 7．在一个长16厘米，宽10厘米，高20厘米的长方体玻璃缸中放一个棱长为8厘米的正方体铅块，然后往缸中注满水，如果取出铅块，缸中的水会下降多少厘米？（不计玻璃缸的厚度） 8．如下图是一个无盖长方体纸盒展开图，其中①，⑤为正方形。每平方米纸50元，做这个纸盒至少需要多少元？ 9．把一块棱长是9分米的正方体钢材，锻造成横截面面积是9平方分米的长方体钢材（如图）。这个长方体钢材的体积有多大？有多长？ 10．潜艇小组制作出一款潜艇模型，需要定制一款长方体展示盒将潜艇模型展示出来（如图），展示盒的长为40厘米，宽为10厘米，高为14厘米，制作一个这样的展示盒（四周和上面是玻璃），需要多少平方厘米的玻璃？ 11．一块如图所示的长方形地，已知甲地比乙地高50厘米，现在想把这块地推平整，要从甲地推下多少厘米厚的土填在乙地上？ 12．给一个底面长和宽都是3分米的长方体鱼缸中倒入10升，再将一块观赏石浸没在水中，水无溢出。此时水深1.4分米。这块观赏石的体积有多大？（玻璃厚度忽略不计） 13．有一块长方体木料，锯成相等的3段，可以得到3个完全一样的正方体。已知原木料的表面积是350平方厘米，那么原木料的体积是多少立方厘米？ 14．有一个棱长5分米的正方体玻璃鱼缸。在这个鱼缸中放入一块高32厘米，体积是5.6立方分米的假山石。至少需要注入多少升水才能将假山石完全浸没？ 15．小刚给奶奶买了一份礼物。营业员用一个长35厘米，宽20厘米，高8厘米的长方体盒子装好并用彩绳进行包扎，打结处需用40厘米，像这样包扎共用彩绳多少厘米？ 16．操场上有一个长8米、宽3.5米、深0.4米的长方体沙坑，沙坑内沙面离坑口有0.06米。这个沙坑的占地面积是多少？如果把这个沙坑填满，还需要多少立方米沙子？ 17．爸爸买回一个长12分米、宽5分米、高8分米的鱼缸，往鱼缸里倒入360升水，水面距离缸口多少分米？此时水和鱼缸的接触面积是多少平方分米？（玻璃厚度忽略不计） 18．小宁把一个带刻度的杯子放到缓缓滴水的水龙头下，他发现水龙头每3秒滴两滴水；1分钟后，杯子里的水正好是8毫升。根据这些信息，你能知道这个水龙头滴下的几滴水大约是1毫升吗？这个水龙头1小时大约会滴下多少毫升的水？ 19．一间长方体形状的教室，长8米，宽6米，高3米，门窗面积共14平方米。要粉刷教室的四壁和天花板，如果每平方米用涂料0.25千克，共需要涂料多少千克？ 20．有4盒卡片，每盒卡片长10厘米、宽7厘米、高2厘米。请你设计一种合适的包装方式，使得包装更省纸（重叠处忽略不计），并算出按这样包装一共需要多少平方厘米包装纸？ 21．如图是一个长方体玻璃水箱，小明给空着的水箱中慢慢地注入水，水在长方体水箱中也形成了长方体。当小明注入多少毫升水时，水形成的长方体会出现正方形的面？ 22．第24届冬季奥林匹克运动会纪念钞每张面额为20元，每张票面长145毫米，宽70毫米。刘老师将买来的冬奥会纪念钞装在如图所示的长方体收藏盒内；彩带打结部分长12厘米，包装这个冬奥会纪念钞收藏盒至少需要多长的彩带？ 23．一个长方体的木块，正好截成两个完全相同的正方体。表面积比原来增加了200平方厘米，原来长方体的表面积是多少平方厘米？ 24．李大伯在自己家院里砌了一个水池。从里面测量的深度是7分米，池壁的厚度是12厘米。 （1）这个水池能盛1立方米的水吗？ （2）李大伯要把水池里面的侧壁和底面抹上水泥。如果每平方米用6千克水泥，那么一共需要多少千克水泥？ 25．在外婆家的院子里，乐乐看见舅舅制作的节水蓄水缸，将生活用水二次利用。制作方法：在长为2米，宽为1.8米的铁皮四个角上各裁剪掉一个边长60厘米的正方形，然后焊接而成（如图）。 （1）这个蓄水缸的占地面积是多少平方米？ （2）这个蓄水缸能蓄水多少升？ （3）乐乐想测量一块假山石的体积，先把假山石放在蓄水缸里，再往里面注入30厘米深的水，让假山石完全浸没。然后把假山石取出，发现水面下降了2厘米。这块假山石的体积是多大？ 参考答案 1．1000立方厘米 【分析】通过观察可知，石头放入水缸后，水面上升，上升的这部分水的体积就是石头的体积。放入石头前水面高度为10厘米，放入石头后水面高度为12厘米，那么水面上升的高度为：12－10＝2（厘米），再根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算，可求出石头的体积。 【详解】25×20×（12－10） ＝25×20×2 ＝1000（立方厘米） 答：水缸中的石头的体积是1000立方厘米。 2．8立方分米 【分析】根据题意，这个铁块的体积等于上升的水的体积，而上升的水的形状是长5分米，宽4分米，高（2.7－2.3）分米的长方体，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可解答。 【详解】5×4×（2.7－2.3） ＝5×4×0.4 ＝8（立方分米） 答：这个铁块的体积是8立方分米。 3．324立方分米 【分析】根据题意，长方体木箱长、宽都是6分米，即这个长方体的上、下面都是“6×6”的正方形，露在外面的2个侧面都是以长方体的高为长、6分米为宽的长方形； 已知露在外面的面积是144平方分米，露在外面的面积包括长方体的上面和2个侧面，先用露在外面的面积减去上面的面积，求出2个侧面的面积，再除以2，求出一个长方形的面积，再除以6，即是这个长方体的高； 根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算，求出这个木箱的体积。 【详解】2个侧面的面积： 144－6×6 ＝144－36 ＝108（平方分米） 1个侧面的面积：108÷2＝54（平方分米） 高：54÷6＝9（分米） 体积：6×6×9 ＝36×9 ＝324（立方分米） 答：这个木箱的体积是324立方分米。 4．5.36平方米 【分析】求展示罩的面积相当于求长方体表面积，因为无底，展示罩的面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，据此列式解答。 【详解】 （平方米） 答：制作一个这样透明展示罩需要5.36平方米的材料。 5．354千克 【分析】根据题意得：房间为长方体，刷涂料的面积＝长×高×2＋宽×高×2＋长×宽，用乘法列式计算一共要用涂料多少千克。 【详解】8×3×2＋5×3×2＋8×5 ＝48＋30＋40 ＝118（平方米） 所用涂料质量为：118×3＝354（千克） 答：一共要用涂料354千克。 6．5厘米 【分析】根据正方体棱长总和公式：棱长总和＝棱长×12，代入数据，求出正方体的棱长总和；由于正方体棱长总和等于长方体棱长总和；根据长方体棱长总和公式：棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，高＝棱长总和÷4－长－宽，代入数据，即可解答。 【详解】8×12÷4－12－7 ＝96÷4－12－7 ＝24－12－7 ＝12－7 ＝5（厘米） 答：这个长方体的高是5厘米。 7．3.2厘米 【分析】水面下降的体积就是正方体体积，根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，再根据水面下降的高度＝正方体体积÷长÷宽，列式解答即可。 【详解】8×8×8÷16÷10 ＝512÷16÷10 ＝3.2（厘米） 答：缸中的水会下降3.2厘米。 8．0.63元 【分析】由于⑤和①是正方形，当一个长方体有两个面是正方形，其他四个侧面是一样的长方形，通过图可知，长是6厘米，那么宽也是6厘米，高是3厘米，通过图可知，缺少了一个长是6厘米，宽是3厘米的长方形的面；根据正方形的面积公式：边长×边长，求出一个正方形的面积再乘2，长方形的面积：长×宽，求出一个长方形的面积再乘3，把这两部分相加即可求出这个无盖纸盒的表面积，根据1平方米＝10000平方厘米，转换单位，再用表面积乘每平方米的价钱，即可求出需要的总钱数。 【详解】6×6×2＋6×3×3 ＝72＋54 ＝126（平方厘米） 126平方厘米＝0.0126平方米 0.0126×50＝0.63（元） 答：做这个纸盒至少需要0.63元。 9．729立方分米；81分米 【分析】由于把正方体钢材锻造成长方体钢材，那么体积不变，根据正方体的体积公式：棱长×棱长×棱长，代入数据即可求出钢材的体积，由于横截面的面积是9平方分米的长方体钢材，根据长方体的体积公式：底面积×高，把横截面的面积看作底面积，长方体的长看作高，据此即可求解。 【详解】9×9×9＝729（立方分米） 729÷9＝81（分米） 答：这个长方体的体积是729立方分米；长是81分米。 10．1800平方厘米 【分析】需要玻璃的平方数，就是求这个长方体的5个面的面积和即可以用长方体的表面积再减去一个底面积即可解答。长方体的表面积（长宽长高宽高）。 【详解】 （平方厘米） 答：需要1800平方厘米的玻璃。 11．20厘米 【分析】观察上图可知，把长为60米、宽30米、高50厘米土堆平铺到长为100米、宽为30米的长方形地上面，50厘米减去铺的厚度即等于甲地推下的厚度，据此即可解答。 【详解】50厘米＝0.5米 60×30×0.5÷（100×30） ＝900÷3000 ＝0.3（米） 0.5－0.3＝0.2（米）＝20厘米 答：要从甲地推下20厘米厚的土填在乙地上。 12．2.6立方分米 【分析】求石头的体积就是上升水的体积，可以利用长方体的体积＝长×宽×高，先求出放入石头后水的体积，再减去原有水的体积，即可求出上升部分水的体积，也就是石头的体积，由此即可列式解答，注意升要换算成立方分米。 【详解】10升＝10立方分米 （立方分米） （立方分米） 答：这块观赏石的体积是2.6立方分米。 13．375立方厘米 【分析】根据题意，锯成相等的3段，表面积增加了4个小正方形面，现在一共有（6×3）个小正方形面，据此可知原来有几个小正方形面，进而用除法求出小正方体一个面的面积，再推断出小正方体的棱长，然后根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出1个小正方体的体积，再求出3个小正方体的体积，也就是原来木料的体积。 【详解】小正方体一个面的面积是： （平方厘米） 小正方体的棱长： 因为，所以小正方体的棱长是5厘米； 长方体体积为： （立方厘米） 答：原木料的体积是375立方厘米。 【点睛】此题解答的关键是先求出小正方体一个面的面积，进而求出小正方体的棱长，从而解决问题。 14．74.4升 【分析】根据题意可知，因为假山石的高是32厘米，当鱼缸内水面高度是32厘米时，能把假山石淹没，因此只要求出鱼缸内32厘米高的水的体积，再减去假山石的体积即可求出至少需要注入水的体积，最后根据1立方分米＝1升，把立方分米化成升即可。 【详解】32厘米＝3.2分米 5×5×3.2－5.6 ＝25×3.2－5.6 ＝80－5.6 ＝74.4（立方分米） 74.4立方分米＝74.4升 答：至少需要注入74.4升水才能将假山石完全浸没。 15．238厘米 【分析】根据题意和图形可知，所需彩绳的长度等于2条长＋4条宽＋6条高＋打结处用的40厘米，由此列式解答即可。 【详解】35×2＋20×4＋8×6＋40 ＝70＋80＋48＋40 ＝238（厘米） 答：像这样包扎共用彩绳238厘米。 【点睛】本题考查了长方体的特征，首先分清是如何捆扎的，然后根据棱长总和的计算方法解答即可。 16．28平方米；1.68立方米 【分析】这个沙坑占地面积就是它的底面积，根据长方形的面积＝长×宽解答。求还需要多少沙子把这个沙坑填满，根据长方体的体积＝长×宽×高，求出长是8米，款是3.5米，高是0.06米处的体积即可，据此解答。 【详解】8×3.5＝28（平方米） 8×3.5×0.06＝1.68（立方米） 答：这个沙坑的占地面积是28平方米，还需要1.68立方米沙子。 17．2分米；264平方分米 【分析】根据1升＝1立方分米，把360升转化为以立方分米为单位； 先根据公式h＝V÷S，用水的体积除以鱼缸的底面积，求出水的深度；再用鱼缸的高度减去水的深度，即可求出水面距离缸口的距离； 求水和鱼缸的接触面积就是把水看成一个长12分米、宽5分米、高等于水的深度的长方体，计算这个长方体的下面、前后面、左右面共5个面的面积之和。据此解答。 【详解】升立方分米 （分米） （分米） （平方分米） 答：水面距离缸口2分米；此时水和鱼缸的接触面积是264平方分米。 18．5滴；480毫升 【分析】1分＝60秒，60秒里面有几个3秒，水龙头就滴几个2滴水，水龙头1分钟滴水的滴数除以8，即可算出这个水龙头滴下的几滴水大约是1毫升。 1小时＝60分，这个水龙头1分钟滴水量乘60，即可算出这个水龙头1小时大约会滴下多少毫升的水。 【详解】1分＝60秒 60÷3×2 ＝20×2 ＝40（滴） 40÷8＝5（滴） 8×60＝480（毫升） 答：个水龙头滴下的5滴水大约是1毫升，这个水龙头1小时大约会滴下480毫升的水。 19．29.5千克 【分析】粉刷面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2－门窗面积，粉刷面积×每平方米用的涂料质量＝需要的涂料总质量，据此列式解答。 【详解】8×6＋8×3×2＋6×3×2－14 ＝48＋48＋36－14 ＝118（平方米） 118×0.25＝29.5（千克） 答：共需要涂料29.5千克。 20．412平方厘米 【分析】根据题意要使包装更省纸，也就是把卡片盒的最大面重合，卡片盒最大的面是底面（长10厘米、宽7厘米），所以4盒卡纸拼成一个长10厘米，宽7厘米，高8厘米的长方体最省包装纸，根据长方体的表面积公式解答。 【详解】4盒卡片拼成如下长方体最省纸：长：10厘米，宽：7厘米，高：2×4＝8（厘米） （10×7＋10×8＋7×8）×2 ＝（70＋80＋56）×2 ＝206×2 ＝412（平方厘米） 答：按这样包装一共需要412平方厘米包装纸。 21．1500毫升或2250毫升 【分析】已知长方体水箱的长是15厘米、宽是10厘米、高是20厘米，10＜15＜20，在注入水时，水的高度是在变化的。 情况一：当注水高度为10厘米时，水形成的长方体的左面和右面会出现边长为10厘米的正方形； 情况二：当注水高度为15厘米时，水形成的长方体的前面和后面会出现边长为15厘米的正方形； 根据长方体的体积公式V＝abh，分别代入数据计算，求出这两种情况时注入水的体积。注意单位的换算：1立方厘米＝1毫升。 【详解】情况一：当注水高度为10厘米时，会出现边长为10厘米的正方形的面，此时注入水的体积： 10×10×15＝1500（立方厘米） 1500立方厘米＝1500毫升 情况二：当注水高度为15厘米时，会出现边长为15厘米的正方形的面，此时注入水的体积： 15×15×10＝2250（立方厘米） 2250立方厘米＝2250毫升 答：当小明注入1500毫升或2250毫升水时，水形成的长方体会出现正方形的面。 22．74厘米 【分析】观察图形可知，包装这个冬奥会纪念钞收藏盒至少需要彩带的长度＝2条长＋2条宽＋4条高＋彩带打结部分的长度，代入数据计算解答。 【详解】15×2＋8×2＋4×4＋12 ＝30＋16＋16＋12 ＝74（厘米） 答：包装这个冬奥会纪念钞收藏盒至少需要74厘米的彩带。 23．1000平方厘米 【分析】长方体切分成两个正方体，增加的表面积为正方体两个面的面积之和，所以正方体一个面的面积是200÷2＝100（平方厘米）。由图可知，原来长方体的左面和右面为正方形，面积均为100平方厘米，长方体的上、下、左、右四个面均为两个正方形的面积之和，是200平方厘米，最后将六个面的面积相加即可。据此解答。 【详解】200÷2＝100（平方厘米） 100×2＋200×4 ＝200＋800 ＝1000（平方厘米） 答：原来长方体的表面积是1000平方厘米。 24．（1）能 （2）30千克 【分析】（1）根据题意，12厘米＝1.2分米，用17.4分米减去两边的宽度，即为水池内部的长，用12.4分米减去两边的宽度，即为水池内部的宽，再结合长方体的体积公式：长×宽×高，代入数据计算求出这个水池的体积，再比较即可； （2）根据题意，结合长方体的表面积公式，分别求出各个面的面积相加，再换算单位，乘上6即可。 【详解】（1）12厘米＝1.2分米 （17.4－1.2×2）×（12.4－1.2×2）×7 ＝（17.4－2.4）×（12.4－2.4）×7 ＝15×10×7 ＝150×7 ＝1050（立方分米） 1050立方分米＝1.05立方米 1.05立方米＞1立方米 答：这个水池能盛1立方米的水。 （2）（17.4－1.2×2）×7×2 ＝（17.4－2.4）×7×2 ＝15×7×2 ＝105×2 ＝210（平方分米） （12.4－1.2×2）×7×2 ＝（12.4－2.4）×7×2 ＝10×7×2 ＝70×2 ＝140（平方分米） （17.4－1.2×2）×（12.4－1.2×2） ＝（17.4－2.4）×（12.4－2.4） ＝15×10 ＝150（平方分米） 210＋140＋150 ＝350＋150 ＝500（平方分米） 500平方分米＝5平方米 5×6＝30（千克） 答：一个需要30千克水泥。 25．（1）0.48平方米 （2）288升 （3）9.6立方分米 【分析】根据题意，在长为2米，宽为1.8米的铁皮四个角上各裁剪掉一个边长60厘米即0.6米的正方形，然后焊接而成一个长方体蓄水缸，那么这个长方体蓄水缸的长是2－0.6－0.6＝0.8米，宽是1.8－0.6－0.6＝0.6米，高是0.6米。 （1）这个蓄水缸的占地面积是一个长0.8米、宽0.6米的长方形，根据长方形的面积＝长×宽，求出它的占地面积。 （2）根据长方体的体积（容积）＝底面积×高，求出它能蓄水的体积，并根据进率“1立方米＝1000升”换算单位。 （3）根据题意，先把一块假山石放在蓄水缸里，再注入水把假山石完全浸没，取出假山石后，发现水面下降了2厘米即0.02米；那么水面下降部分的体积就是这块假山石的体积；根据长方体的体积＝底面积×高，求出这块假山石的体积，并根据进率“1立方米＝1000立方分米”换算单位。 【详解】（1）60厘米＝0.6米 长：2－0.6－0.6＝0.8（米） 宽：1.8－0.6－0.6＝0.6（米） 占地面积：0.8×0.6＝0.48（平方米） 答：这个蓄水缸的占地面积是0.48平方米。 （2）0.48×0.6＝0.288（立方米） 0.288立方米＝288升 答：这个蓄水缸能蓄水288升。 （3）2厘米＝0.02米 0.48×0.02＝0.0096（立方米） 0.0096立方米＝9.6立方分米 答：这块假山石的体积是9.6立方分米。 学科网（北京）股份有限公司 $