精品解析：广东省深圳市龙华区民治中学教育集团2025-2026学年八年级下学期教学效果阶段性诊断练习数学试题

2025—2026学年第二学期教学效果阶段性诊断练习 八年级数学 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 下列四个图形中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若成立，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，将三角形平移一定的距离得到三角形，则下列结论中不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 景区正殿梁架（如图1），其顶部可近似地看成一个等腰三角形，记为等腰三角形（如图2），若，于点，，则的长为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 5. 下列命题中，是假命题的是（ ） A. 三边长为，，的三角形为直角三角形 B. 说明命题“如果，则”是假命题的一个反例是：， C. 角平分线上的点到角的两边距离相等 D. 三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角的和 6. 用三角尺可以画角平分线：如图所示，在已知的两边上分别取点M，N，使，再过点M画的垂线，过点N画的垂线，两垂线交于点P，画射线 ，可以得到，所以．那么射线就是的平分线．的依据是( )． A. B. C. D. 7. 如图，在中，，将绕点B逆时针旋转得到，点A，C的对应点分别为D，E，连接，若点C，A，D在一条直线上，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 有甲、乙、丙三个村庄分别位于等边的顶点，在城中村改造时，为保护环境，改善居民的生活条件，政府决定铺设能够连接这三个村庄的天然气管道．设计人员给出了如图四个设计方案（点为边的中点，点为的中心，实线表示天然气管道，其中天然气管道总长最短的是（ ） A. 方案1 B. 方案2 C. 方案3 D. 方案4 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 9. 分解因式：_____． 10. 完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．展示了数学与艺术的完美结合，它不仅是数学领域中的一个重要发现，还在建筑设计、艺术创作等领域中具有重要的美学价值．如图，五边形是人类发现的第15种完美五边形的示意图，其中，则等于___________． 11. 某次数学竞赛中，共有20道题，评分标准是：答对一题得5分，答错或不答1题扣一分，某同学想要超过72分，他至少要答对______道题． 12. 如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧，与交于点E，分别以点E，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D．若，，，则的长度为_________． 13. 如图，在等腰直角三角形中，，，将边绕点A逆时针旋转至，连接，，若，，则线段的长度为____． 三、解答题（共7题，合计61分） 14. 因式分解： （1）； （2）． 15. 解不等式（组） （1）解不等式 （2）解不等式组．并把不等式组的解集在数轴上表示出来． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为、、，点是内一个点． （1）将先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到，请在原直角坐标系中画出，点的坐标为______，平移距离为______； （2）若与关于原点成中心对称，请在原直角坐标系中画出．若点是内一个点，则的在对应点的坐标为______ （3）点在线段上，线段把分成两个面积相等的三角形，请作出线段（要求：尺规作图，保留画图痕迹．） 17. 已知：如图，在中，，点、分别在边、上，且，与相交于点． 求证： （1）； （2）连接直线，证明直线垂直平分． 18. 某校对寒假社会实践表现突出的同学进行表彰，准备购买一批精装硬皮笔记本作为奖品，经市场调研发现，这种笔记本的单价均为10元； 学校选定了甲、乙两家学习用品商店准备购买，这两家商店均有优惠活动： 甲商店：购买超过30本，超过部分打九折出售； 乙商店：购买超过50本，超过部分打八折出售； 设学校购买本笔记本，所花费用为元，其函数图象如图所示． （1）若，则去______商店购买，所花费用最少 （2）当时，甲商店的应付总价与数量之间的函数关系式为______； 当时，乙商店的应付总价与数量之间的函数关系式为______； （3）学生会的同学在坐标系中画出了、与数量之间的函数图象，请结合问题中的知识，求点坐标； （4）当时，根据图象直接写出如何购买笔记本才能更优惠． 19. 问题探究：数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．例如：我们可以通过表示几何图形面积的方法来快速的对多项式进行因式分解 如图1所示边长为的大正方形是由1张边长为的正方形卡片A，1个边长为的正方形卡片B（），2个边长为的长方形卡片C组成，这个图形的面积可以表示成：或从而验证多项式因式分解为 （1）如图2，用1张正方形片A，2张长方形卡片C拼成一个长方形，可以验证多项式的因式分解为______； （2）某数学兴趣小组的同学用若干张卡片A、B、C，开展对多项式因式分解的几何验证活动： ①他们利用若干张A、B、C卡片，拼成图3中的长方形，你认为他们想验证多项式的因式分解为______； ②请你类比上述方法对多项式进行因式分解，要求画出因式分解的图形，标出各边的长度，根据图形可知因式分解______； ③问题②中，某同学发现他们所拼成的长方形面积为45，并且、均为正整数，请分别求出、的长． 20. 在中，，，点，点分别为，延长线上一点且，连接． （1）如图1，当时， ①求的长； ②尺规作图：作的角平分线，将线段绕点顺时针旋转大小得到线段（要求：保留画图痕迹，不写作法） ③问题②中，若射线与射线交于点，则线段的长为______； （2）过点作交于点（不需要尺规作图），当为直角三角形时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期教学效果阶段性诊断练习 八年级数学 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 下列四个图形中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 2. 若成立，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质，逐一分析判断即可． 【详解】解：A、由，设，，则，， ∵， ∴，故选项不符合题意； B、∵， ∴， ∴，故选项符合题意； C、∵， ∴，故选项不符合题意； D、∵， ∴，故选项不符合题意． 3. 如图，将三角形平移一定的距离得到三角形，则下列结论中不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵将三角形平移一定的距离得到三角形， ∴，，，， 故A，B，D选项正确，不符合题意；C选项错误，符合题意． 4. 景区正殿梁架（如图1），其顶部可近似地看成一个等腰三角形，记为等腰三角形（如图2），若，于点，，则的长为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵，， ∴． 5. 下列命题中，是假命题的是（ ） A. 三边长为，，的三角形为直角三角形 B. 说明命题“如果，则”是假命题的一个反例是：， C. 角平分线上的点到角的两边距离相等 D. 三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角的和 【答案】A 【解析】 【详解】解：选项A：∵，，， ∴，不满足勾股定理的逆定理，该三角形不是直角三角形，故A是假命题； 选项B：当，时，，但，符合反例要求，故B是真命题； 选项C：角平分线上的点到角两边的距离相等是角平分线的基本性质，故C是真命题； 选项D：三角形外角的基本性质为三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角和，故D是真命题． 6. 用三角尺可以画角平分线：如图所示，在已知的两边上分别取点M，N，使，再过点M画的垂线，过点N画的垂线，两垂线交于点P，画射线 ，可以得到，所以．那么射线就是的平分线．的依据是( )． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 根据作图过程可以证明，进而可得结论． 【详解】∵， 在Rt和Rt中， ， ∴， ∴， ∴射线就是的平分线． 故选：C． 7. 如图，在中，，将绕点B逆时针旋转得到，点A，C的对应点分别为D，E，连接，若点C，A，D在一条直线上，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由旋转可得，，，，，则是等边三角形，由即可判断B；由求出的度数，即可判断A；然后求解，即可判断C；再由求解的度数即可判断D． 【详解】解：由旋转可得，，， ∴是等边三角形， ∴ ∴，故B错误； ∵， ∴， ∴，故A错误； ∵ ∴， ∴， ∴，故C正确； 由旋转可得，， ∵ ∴，故D错误． 8. 有甲、乙、丙三个村庄分别位于等边的顶点，在城中村改造时，为保护环境，改善居民的生活条件，政府决定铺设能够连接这三个村庄的天然气管道．设计人员给出了如图四个设计方案（点为边的中点，点为的中心，实线表示天然气管道，其中天然气管道总长最短的是（ ） A. 方案1 B. 方案2 C. 方案3 D. 方案4 【答案】D 【解析】 【详解】解：设等边的边长为， 方案1：管道总长为； 方案2：∵点为边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴管道总长为； 方案3：管道总长为； 方案4：如图，延长，交于点M， ∵点为的中心， ∴，平分， ∴， ∴， ∴，即， 解得，则， ∴管道总长为； ∵， ∴方案4管道总长最短． 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 9. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式. 10. 完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．展示了数学与艺术的完美结合，它不仅是数学领域中的一个重要发现，还在建筑设计、艺术创作等领域中具有重要的美学价值．如图，五边形是人类发现的第15种完美五边形的示意图，其中，则等于___________． 【答案】##240度 【解析】 【分析】直接利用多边形的外角和为即可得出答案． 【详解】解：多边形的外角和为， ∴， ∵， ∴． 11. 某次数学竞赛中，共有20道题，评分标准是：答对一题得5分，答错或不答1题扣一分，某同学想要超过72分，他至少要答对______道题． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题的关键是设出未知数，找到不等关系． 设他答对x道题，则答错和不答共道，根据该生成绩要超过72分，可得出不等式，解出即可． 【详解】解：设他答对x道题，则答错或不答共道， 由题意，得：， 解得：， 则他至少要答对16道题． 故答案为：16 12. 如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧，与交于点E，分别以点E，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D．若，，，则的长度为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由作图痕迹可知，根据勾股定理即可求出的值，利用确定是等腰直角三角形，再利用勾股定理求出长即可． 【详解】解：由作法得， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了尺规作图，勾股定理，三角形内角和，等腰直角三角形，得出是解题的关键． 13. 如图，在等腰直角三角形中，，，将边绕点A逆时针旋转至，连接，，若，，则线段的长度为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形成为解题的关键． 如图：过点A作于H，由“”可证可得，可求，最后运用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：过点A作于H， ∵将边绕点A逆时针旋转至， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或（舍去）， ∴． 故选：C． 三、解答题（共7题，合计61分） 14. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 15. 解不等式（组） （1）解不等式 （2）解不等式组．并把不等式组的解集在数轴上表示出来． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： 解不等式①得， 解不等式②得， 不等式组的解集， 用数轴表示为 16. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为、、，点是内一个点． （1）将先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到，请在原直角坐标系中画出，点的坐标为______，平移距离为______； （2）若与关于原点成中心对称，请在原直角坐标系中画出．若点是内一个点，则的在对应点的坐标为______ （3）点在线段上，线段把分成两个面积相等的三角形，请作出线段（要求：尺规作图，保留画图痕迹．） 【答案】（1）；5 （2） （3）见详解 【解析】 【分析】（1）向右平移3个单位，横坐标增加3，再向上平移4个单位，纵坐标增加4；利用勾股定理，计算对应点的平移距离，也就是的平移距离； （2）关于原点对称的点，横坐标、纵坐标都是原坐标的相反数； （3）边上一点M，把分成两个三角形，因为高相等，底边平分，就能实现面积相等；运用尺规作图，在线段上做垂直平分线，与的交点，就是所求的点M． 【小问1详解】 解：将、、，三点坐标做相同变换，向右平移3个单位，横坐标增加3，再向上平移4个单位，纵坐标增加4；得到点的坐标为，即，同理得到点、点，连接三点得到，如下图所示 对应点的移动距离，就是整个三角形的移动距离， 平移距离． 【小问2详解】 解：关于原点对称的点，横、纵坐标互为相反数， 的对应点，的对应点，的对应点， 在对应点的坐标为， 关于原点对称的，如下图所示 【小问3详解】 解：边上一点M，把分成两个三角形，因为高相等，如果面积相等，则底边长度也相等，即边的中点，就是点M，运用尺规作图，作的垂直平分线，与的交点就是点M，如下图所示 17. 已知：如图，在中，，点、分别在边、上，且，与相交于点． 求证： （1）； （2）连接直线，证明直线垂直平分． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据等边对等角得到，证明，推出，即可证明结论； （2）根据，可得点在的垂直平分线上，由（1）知，可得点在的垂直平分线上，即可证明结论． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：连接， ∵， ∴点在的垂直平分线上， 由（1）知， ∴点在的垂直平分线上， ∴直线垂直平分． 18. 某校对寒假社会实践表现突出的同学进行表彰，准备购买一批精装硬皮笔记本作为奖品，经市场调研发现，这种笔记本的单价均为10元； 学校选定了甲、乙两家学习用品商店准备购买，这两家商店均有优惠活动： 甲商店：购买超过30本，超过部分打九折出售； 乙商店：购买超过50本，超过部分打八折出售； 设学校购买本笔记本，所花费用为元，其函数图象如图所示． （1）若，则去______商店购买，所花费用最少 （2）当时，甲商店的应付总价与数量之间的函数关系式为______； 当时，乙商店的应付总价与数量之间的函数关系式为______； （3）学生会的同学在坐标系中画出了、与数量之间的函数图象，请结合问题中的知识，求点坐标； （4）当时，根据图象直接写出如何购买笔记本才能更优惠． 【答案】（1）甲 （2）； （3）点M的坐标为 （4）当时，在甲、乙两家商店所付的钱数相同；当时，选择甲商店更合算；当时，选择乙商店更合算． 【解析】 【分析】（1）根据两家商店的优惠方案，分别求出时，所需费用比较即可解答； （2）根据甲商店：购买超过30本，超过部分打九折出售，即可求出关系式；根据乙商店：购买超过50本，超过部分打八折出售，即可求出关系式； （3）由点M是两个函数图象的交点，此时这两个图象的横、纵坐标分别相等，建立方程求解即可； （4）直接观察图象结合，即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得，当时， 在甲商店所需费用 ， 在乙商店所需费用 ， ， ∴去甲商店购买，所花费用最少； 【小问2详解】 解：由题意得，； ； 【小问3详解】 解：由图象可知，点M是两个函数图象的交点，此时这两个图象的横、纵坐标分别相等， 则， 解得， 此时， ∴点M的坐标为； 【小问4详解】 解：观察图象可知：当时，则 ，故在甲、乙两家商店所付的钱数相同； 当时，则 ，故选择甲商店更合算； 当时，则 ，故选择乙商店更合算． 答：当时，在甲、乙两家商店所付的钱数相同；当时，选择甲商店更合算；当时，选择乙商店更合算． 19. 问题探究：数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．例如：我们可以通过表示几何图形面积的方法来快速的对多项式进行因式分解 如图1所示边长为的大正方形是由1张边长为的正方形卡片A，1个边长为的正方形卡片B（），2个边长为的长方形卡片C组成，这个图形的面积可以表示成：或从而验证多项式因式分解为 （1）如图2，用1张正方形片A，2张长方形卡片C拼成一个长方形，可以验证多项式的因式分解为______； （2）某数学兴趣小组的同学用若干张卡片A、B、C，开展对多项式因式分解的几何验证活动： ①他们利用若干张A、B、C卡片，拼成图3中的长方形，你认为他们想验证多项式的因式分解为______； ②请你类比上述方法对多项式进行因式分解，要求画出因式分解的图形，标出各边的长度，根据图形可知因式分解______； ③问题②中，某同学发现他们所拼成的长方形面积为45，并且、均为正整数，请分别求出、的长． 【答案】（1） （2）①；②因式分解的图形见解析，；③ 【解析】 【分析】（1）根据图形整体面积等于各部分面积之和即可解答； （2）①根据这个图形的面积可以表示成：或，即可解答；②根据确定三种材料的张数，画出图形，写成结果即可；③由题意可得 ，根据、均为正整数且，得到或，求解方程组，选择符合题意得解即可． 【小问1详解】 解：这个图形的面积可以表示成：或， 从而验证多项式因式分解为； 【小问2详解】 解：①这个图形的面积可以表示成：或， 从而验证多项式因式分解为； ②∵多项式由3张正方形卡片A，1张正方形卡片C，4张长方形卡片C拼成一个长方形， 画出因式分解的图形如下： ∴； ③由题意得 ， ∵、均为正整数且， ∴和都为正整数，且 ， ∴或 解得（舍去）或， ∴． 20. 在中，，，点，点分别为，延长线上一点且，连接． （1）如图1，当时， ①求的长； ②尺规作图：作的角平分线，将线段绕点顺时针旋转大小得到线段（要求：保留画图痕迹，不写作法） ③问题②中，若射线与射线交于点，则线段的长为______； （2）过点作交于点（不需要尺规作图），当为直角三角形时，求的长． 【答案】（1）①；②见解析；③ （2）或 【解析】 【分析】（1）①根据直角三角形的性质可得，，得到，利用勾股定理求出，易证是等边三角形，推出即可求解；②根据角平分线的作法及作一个角等于已知角即可作图；③由①知，，，求出，由②作图可得 ，易证，推出，再根据等边三角形的性质可得，，勾股定理求出，由 即可得到结果； （2）根据题意，分和，两种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：①∵在中，，， ∴ ，， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴； ②如图所示为所求： ③由①知，，， ∴， 由②作图得 ， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形，平分， ∴，， ∴ ， ∴； 【小问2详解】 解：设 ，则， 当时，如图，过点作于点， ∵，即， ∴， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 在中，， ∴， ∴ ，即 ， ∴，即， 解得或 （舍去）， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，即， ∴ ，即 ， ∴， ∵ ， ∴平分， ∵ ， ∴； 当时，如图， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵ ， ∴ ， ∴； 综上，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $