2026年内蒙古初中学业水平考试中考考前冲刺卷（一）

**基本信息** 以中考模拟为载体，整合代数、几何、统计等跨章节知识，通过真实情境与问题探究，发展抽象能力、推理意识和模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |代数基础|选择1-3、填空9|概念辨析与运算|从正负数概念到幂运算，构建数与式的运算体系| |空间几何|选择2、4、5，填空10-11|性质应用与作图|结合平行线、轴对称、圆与多边形性质，体现从直观到推理| |统计应用|解答14|数据分析与推断|通过平均数、方差分析，培养数据意识与实际应用能力| |函数综合|选择7-8、填空12、解答17|图像性质与建模|反比例函数与二次函数结合，构建“概念-图像-应用”逻辑链| |实践探究|解答15-16、18|问题解决与拓展|以采购方案、圆证明、动态几何为载体，发展模型意识与创新思维|

2026 年 内 蒙 古 自 治 区 初 中 学 业 水 平 考 试 数学学科全真模拟试卷（十） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.刘徽在九章算术注中提到“今两算得失相反，要令正负以名之”，首次提出了正数和负数的概念若商品涨价元记作元，则商品降价元记作(     ) A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】D  【解析】解：若商品涨价元记作元， 则商品降价元记作元， 故选：． 用正负数表示两种具有相反意义的量，据此即可得出答案． 本题考查正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键． 2.如图，直线，点在上，射线与交于点若，则的度数为(     ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：， ， ， 故选：． 3.下列计算正确的是(     ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】A、与不是同类项，无法合并，故 A错误； B、，故 B错误； C、，故 C正确； D、，故 D错误； 故选：． 4.下列图形中，不是轴对称图形的是(     ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】根据轴对称图形的特征，逐项判断即可． 【详解】解：、是轴对称图形，故选项不符合题意； B、是轴对称图形，故选项不符合题意； C、是轴对称图形，故选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故选项符合题意． 5.如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点；分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点；作射线，交于点则(     ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】由等边对等角并结合三角形内角和定理可得，再由角平分线的定义计算即可得出结果． 【详解】解：在中，，， ， 由作图可得：平分， ． 6.某停车场的平面示意图如图所示，停车场的长为米，宽为米，停车场内车道的宽度都相等，停车位的占地面积为平方米．设停车场内车道的宽度为米，根据题意列方程为(     ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】本题考查了与图形有关的问题一元二次方程的应用等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 所有停车位合在一起，可得到一个矩形，用表示出这个矩形的长与宽，即可根据停车位的面积列出方程． 【详解】解：设停车场内车道的宽度为米， 停车场的长为米，宽为米， 所有停车位合在一起，可得到一个矩形，这个矩形的长为米，宽为米， 可列方程为， 故选：． 7.点在反比例函数的图象上．以下结论正确的是(     ) A. 函数图象分别位于第一、三象限． B. 函数图象经过点． C. 若，在图象上，则． D. 若在图象上，则也在图象上． 【答案】D  【解析】由于点在函数的图象上，则，图象位于二、四象限，根据反比例函数的性质即可判断． 【详解】解：点在函数的图象上， ， 函数位于第二、四象限，在每个象限内，的值随的增大而增大， 故A错误， 当时，的值随的增大而增大， ， 故C错误， ， 该函数的图象不经过点， 故B错误， 在图象上， ， 也在图象上， 故D正确． 故选：． 8.已知二次函数的图象经过，两点，有下列结论： 二次函数的图象开口向上，对称轴为直线；当时，二次函数的图象与轴有两个交点；若，则；当时，二次函数的图象与的图象有两个交点，则． 其中，正确的结论有(     ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C  【解析】点拨：正确的结论有，共个．故选： 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.某乒乓球厂加工了个乒乓球，质检员从中随机抽取个乒乓球检测球的直径单位：，得到的数据如下： 第个 第个 第个 第个 第个 第个 第个 第个 第个 第个 当一个乒乓球的直径是时，该乒乓球合格根据以上数据，估计这个乒乓球合格的个数是            ． 【答案】  【解析】解：由题意得乒乓球合格直径的范围为，  则个乒乓球中合格的数量为个，  那么个，  即这个乒乓球合格的个数是，  故答案为：． 根据题意求得乒乓球合格直径的范围，然后列式计算即可． 本题考查有理数的混合运算，正数和负数，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． 10.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周四尺，高三尺，问积及为米几何”译文：屋内墙角处的米堆为一个圆锥的四分之一如图，米堆底部的弧长为尺，米堆的高为尺，那么这个米堆遮挡的墙面面积是          平方尺．结果保留 【答案】  【解析】本题主要考查了圆锥的计算、弧长的计算等知识点，从实际问题中抽象出圆锥的知识是解题的关键． 设米堆底部的扇形半径为尺，、求出，由这个米堆遮挡的墙面面积为两个三角形的面积的和，据此解答即可． 【详解】解：设圆锥的底面半径为尺， ， ， 这个米堆遮挡的墙面面积是平方尺 故答案为：． 11.如图，在正五边形内，以为边作等边，再以点为圆心，长为半径画弧．若，则图中阴影部分的面积是          ． 【答案】  【解析】本题考查正多边形的内角问题，等边三角形的性质，求扇形的面积，熟练掌握相关公式是解题的关键．先求出正五边形的一个内角的度数，根据等边三角形的性质，结合角的和差关系，求出的度数，再根据扇形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：正五边形， ， 为等边三角形，， ， ，， 阴影部分的面积即为扇形的面积：； 故答案为：． 12.如图，一次函数的图象与坐标轴分别交于点、，反比例函数的图象经过点，是等腰直角三角形，，，则的值为          ． 【答案】  【解析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，坐标与图形，先分别求出点和点的坐标，过点作轴于点，并延长交直线于点，证明，由全等三角形的性质得出，，进而求出点的坐标，把点的坐标代入反比例函数即可求出的值． 【详解】解：一次函数中， 令，得， 令，则， 解得， 点坐标为，点坐标为， 过点作轴于点，并延长交直线于点，如图所示 ， ， ，， ， 在和中 ， ，， ，， ， 点坐标为， 将代入反比例函数 解得， 故答案为：． 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分计算或化简： 计算：； 化简：． 【解析】解：原式    ；  原式    ． 根据实数的运算法则运算即可；  根据分式的运算法则运算即可． 本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是关键． 14.本小题7分 为了增强学生的环保意识，普及环保知识，某校在“世界环境日”当天采取自愿报名的方式组织了环保知识竞赛．竞赛结束后，从七、八年级参赛学生的成绩单位：分，满分分中各随机抽取了名学生的成绩，并进行整理，绘制了如下统计图表： 平均数 中位数 方差 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题： 表格中的           ，           ，            填“ ”“ ”或“ ”； 根据以上数据，你认为该校七、八年级哪个年级的学生环保知识掌握较好？请说明理由； 该校七年级名学生和八年级名学生参加了本次环保知识竞赛，得分分及以上为“优秀”等级，请估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数． 【答案】(1)93.2;96.5;  (2)解：我认为该校七年级学生环保知识掌握较好，理由是七年级这10名学生成绩的平均数较高，且方差较小；（答案不唯一，言之有理即可）  (3)解：依题意，， 估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数为256人．   【解析】  本题考查了求平均数，中位数，运用平均数作决策，运用方差作决策，样本估计总体，即可作答． 根据求平均数的公式进行列式计算，再结合中位数的定义进行分析，即可作答． 解：依题意， ， 把八年级的成绩从大到小排序： ， 位于中间位置的数分别为 ， 观察七、八年级的成绩统计图得出七年级成绩波动不大，稳定性较好，八年级成绩波动较大，稳定性较差，  ；  运用平均数作决策，运用方差作决策，即可作答．  运用样本估计总体，进行列式计算，即可作答． 15.本小题10分 请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 为响应“全民健身”号召，落实“双减”政策，某校计划采购智能计数跳绳和标准实心球两种体育器材，用于丰富学生课后体育锻炼与体能训练． 素材一 若购买根智能计数跳绳和个标准实心球共需元；若购买根智能计数跳绳和个标准实心球共需元． 素材二 学校需要购买这两种器材共件两种器材均需购买，且购买智能计数跳绳的数量不超过购买标准实心球数量的 ． 请完成下列任务： 求每根智能计数跳绳和每个标准实心球的价格． 给出最节省费用的采购方案，并计算最低费用． 【答案】(1)解：设每根智能计数跳绳的价格为 元，每个标准实心球的价格为 元． 根据题意得 ， 解方程组得 ， 答：每根智能计数跳绳的价格为20元，每个标准实心球的价格为50元. (2)解：设学校购买智能计数跳绳 根，则购买标准实心球 个，购买总费用为 元．  ，  购买智能计数跳绳的数量不超过购买标准实心球数量的 ，  ，  ，  智能计数跳绳和标准实心球均需购买，  ，且 为正整数．  ，  随 的增大而减小．  当 时， 取最小值． 此时， ． 即购买智能计数跳绳12根，购买标准实心球18个，购买总费用最少，购买总费用为1140元． 答：最节省费用的采购方案为购买智能计数跳绳12根，购买标准实心球18个，购买总费用最少，购买总费用为1140元. 【解析】 设每根智能计数跳绳的价格为 元，每个标准实心球的价格为 元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得出结果；  设学校购买智能计数跳绳 根，则购买标准实心球 个，购买总费用为 元，求出 ，再结合题意列出一元一次不等式得出 的取值范围，最后由一次函数的性质计算即可得出结果． 16.本小题分如图，为的直径，为圆弧上一点，为的中点，过点作的切线交射线于点，连接， D. 求证：； 若，，求长． 【答案】(1)证明：如图，连接， ∵是的切线，为切点， ∴，即， ∵为的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即． (2)解：如图，连接， ∵为的中点， ∴． 由（1）知， 在中，由勾股定理得． ∵为的直径， ∴， ∴． ∵四边形内接于， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴，即，解得， ∴． 【解析】  连接，得到，再结合弧中点所对圆周角相等及等腰三角形底角相等的性质推导出内错角相等，进而证明与平行，最终由垂直的传递性得到；  连接，利用弧中点的性质得到，结合的结论用勾股定理求出的长度，再通过圆内接四边形的外角等于内对角及同角的余角相等证明与相似，借助相似三角形的比例关系求出的长度，最后通过线段的差计算出的长度． 17.本小题12分 如图是古代的一种远程投石机，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分．据范蠡兵法记载：“飞石重二十斤，为机发，行三百步”，其原理蕴含了物理中的“杠杆原理”． 在如图所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡的底部原点处，石块从投石机竖直方向上的点处被投出，在斜坡上的点处建有垂直于水平面的城墙已知，石块运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是，，，，． 求抛物线的表达式； 通过计算说明石块能否飞越城墙； 分别求出和时，石块与斜坡在竖直方向上的最大距离． 【答案】解：设石块的运动轨迹所在抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得． ； 石块不能飞越防御墙，理由如下： 把代入； 得， ， 石块不能飞越防御墙； 设直线的解析式为， 把代入得，， 直线的解析式为， 过抛物线上的点作轴交于， 设，则， ，对称轴为， ，在对称轴的左侧随的增大而增大， 时，时，最大为， 时，时，最大为． 答：时，石块与斜坡在竖直方向上的最大距离为； 时，石块与斜坡在竖直方向上的最大距离为．  【解析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 设石块运行的函数关系式为，用待定系数法求得的值即可求得答案； 把代入，求得的值，与作比较即可； 用待定系数法求得的解析式为，设出点和的坐标，再用含的代数式表示出，最后根据二次函数的性质求解即可． 18.本小题分 如图，在菱形中，，点为线段上一动点，点为射线上的一点点与点不重合． 【问题解决】如图，若点与线段的中点重合，则           度，线段与线段的位置关系是          ； 【问题探究】如图，在点运动过程中，点在线段上，且，，探究线段与线段的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】在点运动过程中，将线段绕点逆时针旋转得到，射线交射线于点，若，，求的长． 【答案】(1)  ;​​​​​​​  (2)， 理由：如图，把绕B顺时针旋转得到， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵点E在线段上，且， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴；   (3)如图，当P在线段上，记与交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， 如图，当P在线段上时，延长交于， 同理可得：，， ∴， 设，而，则， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， 综上：的长为2或．   【解析】  根据菱形的性质证明为等边三角形，再结合等边三角形的性质可得答案； 【详解】解：在菱形中， ， ， 为等边三角形， 点与线段的中点重合， ，； 故答案为：，；   如图，把绕顺时针旋转得到，证明为等边三角形，可得，，求解，，，可得，进一步可得结论；   如图，当在线段上，记与交于点，证明，可得，设，则，可得，证明，再进一步解答即可；如图，当在线段上时，延长交于，同理可得：，设，而，则，可得，证明，再进一步可得答案 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026 年 内 蒙 古 自 治 区 初 中 学 业 水 平 模 拟 考 试 数 学 学 科 （一） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.刘徽在九章算术注中提到“今两算得失相反，要令正负以名之”，首次提出了正数和负数的概念若商品涨价元记作元，则商品降价元记作(    ) A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 2.如图，直线，点在上，射线与交于点若，则的度数为(     ) A. B. C. D. 3.下列计算正确的是(     ) A. B. C. D. 4.下列图形中，不是轴对称图形的是(     ) A. B. C. D. 5.如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点；分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点；作射线，交于点则(    ) A. B. C. D. 6.某停车场的平面示意图如图所示，停车场的长为米，宽为米，停车场内车道的宽度都相等，停车位的占地面积为平方米．设停车场内车道的宽度为米，根据题意列方程为(    ) A. B. C. D. 7.点在反比例函数的图象上．以下结论正确的是(    ) A. 函数图象分别位于第一、三象限． B. 函数图象经过点． C. 若，在图象上，则． D. 若在图象上，则也在图象上． 8.已知二次函数的图象经过，两点，有下列结论： 二次函数的图象开口向上，对称轴为直线；当时，二次函数的图象与轴有两个交点；若，则；当时，二次函数的图象与的图象有两个交点，则． 其中，正确的结论有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.某乒乓球厂加工了个乒乓球，质检员从中随机抽取个乒乓球检测球的直径单位：，得到的数据如下： 第个 第个 第个 第个 第个 第个 第个 第个 第个 第个 当一个乒乓球的直径是时，该乒乓球合格根据以上数据，估计这个乒乓球合格的个数是            ． 10.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周四尺，高三尺，问积及为米几何”译文：屋内墙角处的米堆为一个圆锥的四分之一如图，米堆底部的弧长为尺，米堆的高为尺，那么这个米堆遮挡的墙面面积是          平方尺．结果保留 11.如图，在正五边形内，以为边作等边，再以点为圆心，长为半径画弧．若，则图中阴影部分的面积是          ． 12.如图，一次函数的图象与坐标轴分别交于点、，反比例函数的图象经过点，是等腰直角三角形，，，则的值为          ． 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分计算或化简： 计算：； 化简：． 14.本小题分为了增强学生的环保意识，普及环保知识，某校在“世界环境日”当天采取自愿报名的方式组织了环保知识竞赛．竞赛结束后，从七、八年级参赛学生的成绩单位：分，满分分中各随机抽取了名学生的成绩，并进行整理，绘制了如下统计图表： 平均数 中位数 方差 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题： 表格中的           ，           ，            填“ ”“ ”或“ ”； 根据以上数据，你认为该校七、八年级哪个年级的学生环保知识掌握较好？请说明理由； 该校七年级名学生和八年级名学生参加了本次环保知识竞赛，得分分及以上为“优秀”等级，请估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数． 15.本小题分请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 为响应“全民健身”号召，落实“双减”政策，某校计划采购智能计数跳绳和标准实心球两种体育器材，用于丰富学生课后体育锻炼与体能训练． 素材一 若购买根智能计数跳绳和个标准实心球共需元；若购买根智能计数跳绳和个标准实心球共需元． 素材二 学校需要购买这两种器材共件两种器材均需购买，且购买智能计数跳绳的数量不超过购买标准实心球数量的 ． 请完成下列任务： 求每根智能计数跳绳和每个标准实心球的价格． 给出最节省费用的采购方案，并计算最低费用． 16.本小题分如图，为的直径，为圆弧上一点，为的中点，过点作的切线交射线于点，连接， D. 求证：； 若，，求长． 17. 本小题分 如图是古代的一种远程投石机，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分．据范蠡兵法记载：“飞石重二十斤，为机发，行三百步”，其原理蕴含了物理中的“杠杆原理”． 在如图所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡的底部原点处，石块从投石机竖直方向上的点处被投出，在斜坡上的点处建有垂直于水平面的城墙已知，石块运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是，，，，． 求抛物线的表达式； 通过计算说明石块能否飞越城墙； 分别求出和时，石块与斜坡在竖直方向上的最大距离． 18.本小题3分 如图，在菱形中，，点为线段上一动点，点为射线上的一点点与点不重合． 【问题解决】如图，若点与线段的中点重合，则           度，线段与线段的位置关系是          ； 【问题探究】如图，在点运动过程中，点在线段上，且，，探究线段与线段的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】在点运动过程中，将线段绕点逆时针旋转得到，射线交射线于点，若，，求的长． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $2026年内蒙古自治区初中学业水平考试 数学学科全真模拟试卷（十） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.刘徽在《九章算术注》中提到今两算得失相反，要令正负以名之”，首次提出了正数和负数的概念 若商品涨价5元记作+5元，则商品降价6元记作() A.+1元 B.+6元 C.-1元 D.-6元 【答案】D 【解析】解：若商品涨价5元记作+5元， 则商品降价6元记作-6元， 故选：D 用正负数表示两种具有相反意义的量，据此即可得出答案， 本题考查正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键 2.如图，直线AB/CD,点E在AB上，射线EF与CD交于点H若∠BEF=115°，则LC亚的度数为 A.115 B.105 C.75° D.65 【答案】D 第1页，共18页 【解析】解：AB//CD, ∠DHF=BEF=115°， ∠CHF=180°-∠DHF=180°-115°=65°， 故选：D. 3.下列计算正确的是( ) A.3x+2y=5xy B.(x-y)2=x2-y2 C.4x2·x3=4x5 D.(-x3)2=x 【答案】C 【解析】A、3x与2y不是同类项，无法合并，故A错误； B、(&-y)2=x2-2y+y2,故B错误： C、4x2·x3=4x,故C正确； D、(-x3)2=x,故D错误； 故选：C 4下列图形中，不是轴对称图形的是( 以 D 【答案】D 【解析】根据轴对称图形的特征，逐项判断即可， 【详解】解：A、是轴对称图形，故选项不符合题意； B、是轴对称图形，故选项不符合题意： C、是轴对称图形，故选项不符合题意： D、不是轴对称图形，故选项符合题意. 5.如图，在△ABC中，BA=BC,∠ABC=40°.以点A为圆心，适当长为半径作弧，交AB于点M, 交AC于点N;分别以M,N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部相交于点P; 第2页，共18页 作射线AP,交BC于点D.则∠BAD=() B A.35° B.40 C.105° D.115° 【答案】A 【解析】由等边对等角并结合三角形内角和定理可得∠BAC=70°，再由角平分线的定义计算即可得 出结果 【详解】解：在△ABC中，BA=BC,∠ABC=40°， ∠BAC=180-LABC=70, 2 由作图可得：AP平分∠BAC, ..BAD=BAC=35. 6某停车场的平面示意图如图所示，停车场的长为40米，宽为19米，停车场内车道的宽度都相等， 停车位的占地面积为352平方米.设停车场内车道的宽度为x米，根据题意列方程为( 40米 ☑ 19米 ☑ A.(40-x)(19-x)=352 B.(40-2x)(19-x)=352 C.(40-2x)(19-2x)=352 D.(40-x)(19-2x)=352 【答案】A 【解析】本题考查了与图形有关的问题（一元二次方程的应用）等知识点，解题关键是掌握上述知识点 并能熟练运用求解。 所有停车位合在一起，可得到一个矩形，用x表示出这个矩形的长与宽，即可根据停车位的面积列出 方程。 【详解】解：设停车场内车道的宽度为x米， 停车场的长为40米，宽为19米， 所有停车位合在一起，可得到一个矩形，这个矩形的长为(40-)米，宽为(19-)米， 第3页，共18页 ∴可列方程为(40-x)(19-x)=352, 故选：A. 7点(2，-4)在反比例函数y=的图象上.以下结论正确的是( A.函数图象分别位于第一、三象限. B.函数图象经过点(-1，-8) C.若A(3,h),B(4,k)在图象上，则h>k. D.若P(m,n)在图象上，则Qn,m)也在图象上 【答案】D 【解析】由于点(2，-4)在函数y=的图象上，则k=一8，图象位于二、四象限，根据反比例函数的 性质即可判断 【详解】解：点(2，-4)在函数y=的图象上， k=2×(-4)=-8, 函数y=位于第二、四象限，在每个象限内，y的值随x的增大而增大， 故A错误， 当x>0时，y的值随x的增大而增大， .h<k, 故C错误， (-1)×(-8)≠-8， 该函数的图象不经过点(-1，一8)， 故B错误， Pm,n)在图象上， .n=k, ∴Q(n,m)也在图象上， 故D正确. 故选：D. 第4页，共18页 8.已知二次函数y=x2+4x+m的图象经过A&1,y1),B(x2,y2)两点，有下列结论： ①二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x=-2;②当m<4时，二次函数的图象与x轴有两个交 点；③若y1<y2,则x1+2>k2+2引：④当x≥-2时，二次函数的图象与y=2x-1的图象有两个 交点，则-1≤m<0. 其中，正确的结论有( A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【解析】点拨：正确的结论有①②④，共3个.故选：C 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.某乒乓球厂加工了200个乒乓球，质检员从中随机抽取10个乒乓球检测球的直径（单位：m),得 到的数据如下： 第1个第2个第3个第4个第5个第6个第7个第8个第9个第10个 40.0140.08 40.0039.9739.9241.0040.0239.99 40.0340.00 当一个乒乓球的直径是(40±0.05)m时，该乒乓球合格.根据以上数据，估计这200个乒乓球合格的 个数是 【答案】140 【解析】解：由题意得乒乓球合格直径的范围为39.95mm~40.05mm, 则10个乒乓球中合格的数量为7个， 那么7÷10×200=140（个）， 即这200个乒乓球合格的个数是140， 故答案为：140. 根据题意求得乒乓球合格直径的范围，然后列式计算即可. 本题考查有理数的混合运算，正数和负数，理解题意并列得正确的算式是解题的关键. 第5页，共18页 10.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周 四尺，高三尺，问积及为米几何？译文：屋内墙角处的米堆为一个圆锥的四分之一（如图），米堆底部 的弧长为4尺，米堆的高为3尺，那么这个米堆遮挡的墙面面积是平方尺.（结果保留m 【答案】兰 【解析】本题主要考查了圆锥的计算、弧长的计算等知识点，从实际问题中抽象出圆锥的知识是解题 的关键 设米堆底部的扇形半径为r尺，、求出一氵由这个米堆遮挡的墙面面积为两个三角形的面积的和， 据此解答即可. 【详解】解：设圆锥的底面半径为r尺， ∴牙×2m=4, r- 这个米堆遮挡的墙面面积是2×××3=兰（平方尺） 故答案为：4 11.如图，在正五边形ABCDE内，以AB为边作等边△ABF,再以点A为圆心，AE长为半径画 弧.若AB=3,则图中阴影部分的面积是 【答案】9 【解析】本题考查正多边形的内角问题，等边三角形的性质，求扇形的面积，熟练掌握相关公式是解 题的关键.先求出正五边形的一个内角的度数，根据等边三角形的性质，结合角的和差关系，求出 ∠EAF的度数，再根据扇形的面积公式进行计算即可 第6页，共18页 【详解】解：正五边形ABCDE, ÷AE=AB,∠EAB=5-2X180°=108°， 5 .△ABF为等边三角形，AB=3, ∴.∠BAF=60°，AF=AB=3, ·∠EAF=∠BAE-∠BAF=108°-60°=48°，AE=AF=3, ·阴影部分的面积即为扇形卫AF的面积：密×32-等 故答案为：警 12如图，一次函数y=3x+3的图象与坐标轴分别交于点B、C,反比例函数y=的图象经过点A, △ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC,则k的值为· 【答案】-12 【解析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，坐标与图形，先分别求出点B和点C的坐标， 过点A作ADIy轴于点D,并延长交直线于点E,证明△ACD兰△CBO(AAS),由全等三角形的性 质得出AD=OC=3,CD=OB=1,进而求出点A的坐标，把点A的坐标代入反比例函数y=即可 求出k的值. 【详解】解：一次函数y=3x+3中， 令x=0,得y=3, 令y=0,则0=3x+3, 解得x=-1, ·B点坐标为(-1,0)，C点坐标为(0,3)， 过点A作ADIy轴于点D,并延长交直线于点E,如图所示： 第7页，共18页 B ∠ACB=90, ∴.∠ACD+∠DCE=90°， .·∠BCO+∠CBO=90°，∠DCE=∠BCO, .∠ACD=∠CBO, 在△ACD和△CBO中 ADC=∠COB=90° {∠ACD=LCBO AC=BC ·△ACD≌△CBO(AAS), ∴AD=OC=3,CD=OB=1, C(0,3),CD=1, ..OD=OC+CD=4, ·A点坐标为(-3,4)， 将A(-3,4)代入反比例函数y=专 解得k=-12, 故答案为：-12. 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.(本小题10分)计算或化简： (1)计算：V4-4sin30°+|-√3： ②化简：（品+）器 【解析】解：(1)原式2-4×号+√3 =2-2+V3 =V3: (2)原式=a+3+3.a-3)a+3) a+3 a+6 第8页，共18页 =a+6.(a-3)(a+3) a+3 a+6 =a-3. (1)根据实数的运算法则运算即可； (2)根据分式的运算法则运算即可. 本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是关键. 14.(本小题7分) 为了增强学生的环保意识，普及环保知识，某校在“世界环境日”当天采取自愿报名的方式组织了环保 知识竞赛.竞赛结束后，从七、八年级参赛学生的成绩（单位：分，满分100分）中各随机抽取了10名 学生的成绩，并进行整理，绘制了如下统计图表： 七年级10名学生成绩统计图 八年级10名学生成绩统计图 成绩/分 成绩/分 1001959628 95 95 -98 105-98-98100 -97-9 95- 95 90 090 88-87 90 -.-89 85 85 82 84-83 80 80 02 12345678910 0 12345678910 平均数 中位数 方差 七年级 95 si 八年级 92.5 6 s号 根据以上信息，解答下列问题： (1)表格中的a=,b=, S12S22慎>w<”或=")月 (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级哪个年级的学生环保知识掌握较好？请说明理由： (3)该校七年级200名学生和八年级160名学生参加了本次环保知识竞赛，得分90分及以上为优秀” 等级，请估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数. 【答案】(1)93.2：96.5；< (②)解：我认为该校七年级学生环保知识掌握较好，理由是七年级这10名学生成绩的平均数较高，且 方差较小；（答案不唯一，言之有理即可） (3)解：依题意，200×音+160×品-256， 估计七、八年级参赛学生中达到“优秀等级的总人数为256人. 第9页，共18页 【解析】 1.本题考查了求平均数，中位数，运用平均数作决策，运用方差作决策，样本估计总体，即可作答. 根据求平均数的公式进行列式计算，再结合中位数的定义进行分析，即可作答， 解：依腿意，95x3+98×2+96+90x2+8+87=93.2, 10 把八年级的成绩从大到小排序：100,99,98,97,97,96,89,84,83,82， 位于中间位置的数分别为49=96.5， 观察七、八年级的成绩统计图得出七年级成绩波动不大，稳定性较好，八年级成绩波动较大，稳定性 较差， S12<S22; 2.运用平均数作决策，运用方差作决策，即可作答. 3.运用样本估计总体，进行列式计算，即可作答. 15.(本小题10分) 请你根据下列素材，完成有关任务， 为响应“全民健身”号召，落实“双减政策，某校计划采购智能计数跳绳和标准实心球两种 背景 体育器材，用于丰富学生课后体育锻炼与体能训练。 素材若购买2根智能计数跳绳和4个标准实心球共需240元；若购买3根智能计数跳绳和1个 标准实心球共需110元. 素材 学校需要购买这两种器材共30件（两种器材均需购买），且购买智能计数跳绳的数量不超过 购买标准实心球数量的写 请完成下列任务： ()求每根智能计数跳绳和每个标准实心球的价格： (2)给出最节省费用的采购方案，并计算最低费用. 【答案】(I)解：设每根智能计数跳绳的价格为x元，每个标准实心球的价格为y元 表积超应符食+打治0， 解方程组每6=0 答：每根智能计数跳绳的价格为20元，每个标准实心球的价格为50元. (2)解：设学校购买智能计数跳绳m根，则购买标准实心球(30-)个，购买总费用为W元. ∴W=20m+50(30-1m)=-30m+1500, 第10页，共18页 ·购买智能计数跳绳的数量不超过购买标准实心球数量的 m≤(30-m, m≤12， ~智能计数跳绳和标准实心球均需购买， ∴0<m≤12，且m为正整数. .k=-30<0, .W随m的增大而减小 当m=12时，W取最小值， 此时，(30-m)=30-12=18,W=-30×12+1500=1140, 即购买智能计数跳绳12根，购买标准实心球18个，购买总费用最少，购买总费用为1140元. 答：最节省费用的采购方案为购买智能计数跳绳12根，购买标准实心球18个，购买总费用最少，购 买总费用为1140元. 【解析】1.设每根智能计数跳绳的价格为×元，每个标准实心球的价格为y元，根据题意列出二元一 次方程组，解方程组即可得出结果： 2.设学校购买智能计数跳绳m根，则购买标准实心球(30-)个，购买总费用为W元，求出W=- 30m+1500,再结合题意列出一元一次不等式得出m的取值范围，最后由一次函数的性质计算即可 得出结果 16.(本小题12分)如图，AB为⊙O的直径，C为圆弧上一点，D为BC的中点，过D点作⊙O的切线 交射线AC于点E,连接AD,BD. (1)求证：AE1DE: (2)若DE=4,BD=5,求AC长. 【答案】(I)证明：如图，连接OD, 第11页，共18页 D DE是⊙O的切线，D为切点， '.OD⊥DE,即∠ODE=90°， ,D为BC的中点， ∴.BD=DC, ∴.∠BAD=LCAD, 又，OA=OD, ∴，∠BAD=∠ODA, ∴.∠CAD=LODA, ∴.OD//AE, ∴.∠E=∠ODE=90°，即AE1DE. (2)解：如图，连接CD, D为BC的中点， .'.CD=BD=5. 由(1)知∠E=90°， 在Rt A CDE中，由勾股定理得CE=VCD2-DE=V52-4=3 ,AB为⊙O的直径， ∴.∠ADB=90°， ∴.∠DAB+∠B=90°. ,四边形ACDB内接于⊙O, 第12页，共18页 .∠ECD=∠B. 又，∠E=90°， .∠EDC+∠ECD=90°， ∴.∠EDC=∠DAB. ,'∠DAB=∠EAD, .LEDC=∠EAD, ∴.ECDEDA. 器器即会子解得A马 AC=AE-CE=-3- 3 【解析】 1.连接OD,得到OD1DE,再结合弧中点所对圆周角相等及等腰三角形底角相等的性质推导出内错 角相等，进而证明OD与AE平行，最终由垂直的传递性得到AE 1 DE: 2.连接CD,利用弧中点的性质得到CD=BD,结合(1)的结论用勾股定理求出CE的长度，再通过圆 内接四边形的外角等于内对角及同角的余角相等证明△ECD与△DEA相似，借助相似三角形的比例关 系求出AE的长度，最后通过线段的差计算出AC的长度. 17.(本小题12分) 如图①是古代的一种远程投石机，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分.据《范蠡兵法》记 载：“飞石重二十斤，为机发，行三百步”，其原理蕴含了物理中的“杠杆原理” 在如图②所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡OA的底部（原点O处），石块从投石机竖直方 向上的点C处被投出，在斜坡上的点A处建有垂直于水平面的城墙AB己知，石块运动轨迹所在抛物 线的顶点坐标是(50,25)，OC=5,OD=75,AD=12,AB=9. (1)求抛物线的表达式： (2)通过计算说明石块能否飞越城墙AB; (3)分别求出0≤x≤37.5和37.5<x≤75时，石块与斜坡OA在竖直方向上的最大距离. y 图① 图② 第13页，共18页 【答案】解：(1)设石块的运动轨迹所在抛物线的解析式为y=a(区-50)2+25， 把(0,5)代入，得2500a+25=5, 解得a=-5, 1 y=高k-502+25=-高×2+号x+5: (2)石块不能飞越防御墙AB,理由如下： 把x=75代入y=-高8-502+25： 得y=20, 20<12+9, 石块不能飞越防御墙AB; (3)设直线OA的解析式为y=kx, 把(75,12代入得，k=云 直线OA的解析式为y=云x, 过抛物线上的点M作MNIx轴交OA于N, 25 0 50 图② 设Mm一这m2+专m+5).则Nm言m, ·MN=- 六m2+瓷m+5,对称轴为x=一 号=40， 125 ~a<0,在对称轴的左侧N随x的增大而增大， 0≤X≤375时，a=37.5时，MN最大为 37.5<x≤75时，a=40时，MN最大为鳄 答：0≤×≤37.5时，石块与斜坡OA在竖直方向上的最大距离为 375<x≤75时，石块与斜坡OA在竖直方向上的最大距离为鳄 第14页，共18页 【解析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质 是解题的关键 (1)设石块运行的函数关系式为y=a(x-50)2+25,用待定系数法求得a的值即可求得答案； (2②)把x=75代入y=-六x2+x+5,求得y的值，与21作比较即可： (3)用待定系数法求得OA的解析式为y=x,设出点M和N的坐标，再用含a的代数式表示出 MN,最后根据二次函数的性质求解即可. 18.(本小题13分) 如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点P为线段AC上一动点，点E为射线BP上的一点（点E与 点B不重合). D E P(O 图① 图② 备用图 (I)【问题解决】如图①，若点P与线段AC的中点O重合，则∠PBC=_度，线段BP与线段AC 的位置关系是； (2)【问题探究】如图②，在点P运动过程中，点E在线段BP上，且∠AEP=30°，∠PEC=60°，探 究线段BE与线段EC的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】在点P运动过程中，将线段BE绕点E逆时针旋转120°得到EF,射线EF交射线BC 于点G,若BE=2FG,AB=5,求AP的长. 【答案】(1)30 ;BP 1AC (2)CE=2BE, 理由：如图，把△ABE绕B顺时针旋转60°得到△CBQ, 第15页，共18页 .BE=BQ,∠EBQ=60°，∠AEB=∠BQC, ∴.。BEQ为等边三角形， .∠BEQ=60°=∠BQE,BE=EQ, 点E在线段BP上，且∠AEP=30°，∠PEC=60°， ∴.∠AEB=150°，∠BEC=360°-150°-30°-60°=120°， .∠BEQ=∠CEQ=60°，∠AEB=∠BQC=150°， .∠EQC=150°-60°=90°， ..∠EC0=90°-60°=30°， ∴.CE=2EQ=2BE; (3)如图，当P在线段OA上，记BP与AD交于点H, H D F B G .AH/BC, .∠AB=∠CBH, ,∠ABC=60, ..∠BAD=120°=∠BEG, ∴.HABBEG, 型=E AB EG 设FG=x,则EF=BE=2x, .'.EG=3x, “爱 ∴AH=9 .'AD//BC, .△APH CPB, 第16页，共18页 提 ,△ABC为等边三角形， .'.AC=AB=5, ·AP=5X=2, 如图，当P在线段OC上时，延长AD交BP于H, D E G 同理可得：∠H=∠PBC,∠BAH=∠BEG=120°， .'.BAHGEB 设BE=EF=2m,而BE=2FG,则GF=EG=m, 岩器品 BE ∴.AH=10: 同理：△APH CPB, 等二-2 AP=5X号9 综上：AP的长为2或号 【解析】1. 根据菱形的性质证明△ABC为等边三角形，再结合等边三角形的性质可得答案； 【详解】解：在菱形ABCD中， ∴.AB=BC=CD=AD ∠ABC=60°， ··ABC为等边三角形， 点P与线段AC的中点O重合， 第17页，共18页 ∠PBC=号∠ABC=30,BP1AC: 故答案为：30，BP1AC; 2 如图，把△ABE绕B顺时针旋转60°得到△CBQ,证明△BEQ为等边三角形，可得∠BEQ=60°= ∠BQE,BE=EQ,求解∠BEQ=∠CEQ=60°，∠AEB=∠BQC=150°，∠EQC=150°-60°=90°， 可得∠ECQ=90°-60°=30°，进一步可得结论； 3. 如图，当P在线段OA上，记BP与AD交于点H,证明△HAB~△BEG,可得g=5,设FG=X, AB一EG' 则EF=BE=2x,可得AH=9,证明APH~△CPB,再进一步解答即可；如图，当P在线段OC上 时，延长AD交BP于H,同理可得：△BAH△GEB,设BE=EF=2,而BE=2FG,则GF= EG=m,可得AH=10,证明△APH△CPB,再进一步可得答案. 第18页，共18页2026年内蒙古自治区初中学业水平模拟考试 数学学科（一) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无 效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1.刘徽在《九章算术注》中提到“今两算得失相反，要令正负以名之”，首次提出了正数和负数 的概念.若商品涨价5元记作+5元，则商品降价6元记作() A.+1元 B.+6元 C.-1元 D.-6元 2.如图，直线AB/CD,点E在AB上，射线EF与CD交于点H若∠BEF=115°，则∠CH亚的度数 为( A.115 B.105 C.75 D.65 3.下列计算正确的是() A.3x+2y =5xy B.(x-y)2=x2-y2 C.4x2x3=4x5 D.(-x)2=-x5 4.下列图形中，不是轴对称图形的是( ) B D 第1页，共8页 5.如图，在△ABC中，BA=BC,∠ABC=40°.以点A为圆心，适当长为半径作弧，交AB于点 M,交AC于点N;分别以M,N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧在BAC的内部相交 于点P;作射线AP,交BC于点D.则∠BAD=() A.35° B.40° C.105° D.115° 6.某停车场的平面示意图如图所示，停车场的长为40米，宽为19米，停车场内车道的宽度都相 等，停车位的占地面积为352平方米.设停车场内车道的宽度为x米，根据题意列方程为() 40米 停 车 19米 停车位 A.(40-x)(19-x)=352 B.(40-2x)(19-x)=352 C.(40-2x)(19-2x)=352 D.(40-x(19-2x)=352 7.点(2，-4)在反比例函数y=的图象上.以下结论正确的是() A.函数图象分别位于第一、三象限！ B.函数图象经过点(-1，-8). C.若A(3,h),B(4,k)在图象上，则h>k. D.若P(m,n)在图象上，则Q(n,m)也在图象上. 8.已知二次函数y=x2+4x+m的图象经过A(&1,y1),B(x,y2)两点，有下列结论： ①二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x=一2；②当m<4时，二次函数的图象与x轴有两 个交点；③若y1<y2,则x1+2>x3+2;④当x≥-2时，二次函数的图象与y=2x-1的图象 有两个交点，则-1≤m<0: 其中，正确的结论有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 第2页，共8页 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.某乒乓球厂加工了200个乒乓球，质检员从中随机抽取10个乒乓球检测球的直径（单位：mm), 得到的数据如下： 第1个第2个第3个第4个第5个第6个第7个第8个第9个第10个 40.01 40.08 40.00 39.97 39.92 41.00 40.02 39.99 40.03 40.00 当一个乒乓球的直径是(40士0.05)m时，该乒乓球合格.根据以上数据，估计这200个乒乓球合格 的个数是一 10.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角， 下周四尺，高三尺，问积及为米几何？”译文：屋内墙角处的米堆为一个圆锥的四分之一（如图）： 米堆底部的弧长为4尺，米堆的高为3尺，那么这个米堆遮挡的墙面面积是平方尺.（结果 保留π) 11.如图，在正五边形ABCDE内，以AB为边作等边△ABF,再以点A为圆心，AE长为半径画 弧.若AB=3,则图中阴影部分的面积是· 12.如图，一次函数y=3x+3的图象与坐标轴分别交于点B、C,反比例函数y=的图象经过点 A,△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC,则k的值为· 第3页，共8页 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步 骤。 13.(本小题10分)计算或化简： (1)计算：V4-4sin30°+|-V3: 2化简：（品+1） 14.(本小题7分)为了增强学生的环保意识，普及环保知识，某校在“世界环境日”当天采取自愿 报名的方式组织了环保知识竞赛.竞赛结束后，从七、八年级参赛学生的成绩（单位：分，满分 100分)中各随机抽取了10名学生的成绩，并进行整理，绘制了如下统计图表： 七年级10名学生成绩统计图 八年级10名学生成绩统计图 成绩/分 成绩/分 10L959698 95 95 -98 100196-98 9800 -979 954 95 90 88-87 90.90 90 --89 85 85 82 .84-83 b 80 0 12345678910 O 12345678910 平均数 中位数 方差 七年级 a 95 s 八年级 92.5 b s号 根据以上信息，解答下列问题： (1)表格中的a=,b=, S12S22(填“>”“<”或“=”) (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级哪个年级的学生环保知识掌握较好？请说明理由： (3)该校七年级200名学生和八年级160名学生参加了本次环保知识竞赛，得分90分及以上为“优 秀”等级，请估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数 第4页，共8页 15.(本小题10分)请你根据下列素材，完成有关任务， 为响应“全民健身”号召，落实“双减”政策，某校计划采购智能计数跳绳和标准实 背景 心球两种体育器材，用于丰富学生课后体育锻炼与体能训练 素材若购买2根智能计数跳绳和4个标准实心球共需240元：若购买3根智能计数跳绳和1 个标准实心球共需110元. 素材学校需要购买这两种器材共30件（两种器材均需购买），且购买智能计数跳绳的数量不 超过购买标准实心球数量的 请完成下列任务： (1)求每根智能计数跳绳和每个标准实心球的价格， (2)给出最节省费用的采购方案，并计算最低费用。 第5页，共8页 16.(本小题12分)如图，AB为⊙O的直径，C为圆弧上一点，D为BC的中点，过D点作⊙0的切 线交射线AC于点E,连接AD,BD. E D (1)求证：AE1DE: (2)若DE=4,BD=5,求AC长. 第6页，共8页 17.(本小题12分) 如图①是古代的一种远程投石机，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分.据《范蠡兵法》 记载：“飞石重二十斤，为机发，行三百步”，其原理蕴含了物理中的“杠杆原理”， 在如图②所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡OA的底部（原点O处），石块从投石机竖 直方向上的点C处被投出，在斜坡上的点A处建有垂直于水平面的城墙AB.已知，石块运动轨迹 所在抛物线的顶点坐标是(50,25)，OC=5,OD=75,AD=12,AB=9. (1)求抛物线的表达式： (2)通过计算说明石块能否飞越城墙AB; (3)分别求出0≤x≤37.5和37.5<x≤75时，石块与斜坡OA在竖直方向上的最大距离. y↑ 25 50 图① 图② 第7页，共8页 18.(本小题13分) 如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点P为线段AC上一动点，点E为射线BP上的一点（点E 与点B不重合) E P(O 图① 图② 备用图 (I)【问题解决】如图①，若点P与线段AC的中点O重合，则∠PBC=度，线段BP与线段 AC的位置关系是_： (2)【问题探究】如图②，在点P运动过程中，点E在线段BP上，且∠AEP=30°，∠PEC=60°， 探究线段BE与线段EC的数量关系，并说明理由： (3)【拓展延伸】在点P运动过程中，将线段BE绕点E逆时针旋转120°得到EF,射线EF交射线 BC于点G,若BE=2FG,AB=5,求AP的长 第8页，共8页