2026届高考数学冲刺卷

**基本信息** 试卷以科技情境（如AI算力增长）和文化素材（如苏仙岭测量）为载体，融合函数、几何、概率等核心知识，通过分层设问强化数学建模与逻辑推理，适配高考三轮冲刺需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数、集合、概率等|第8题以等比数列模型解决算力增长问题，体现数学应用| |多选|3/18|统计、解析几何|第11题结合动圆切线与距离公式，考查直观想象| |填空|3/15|解三角形、抛物线、立体几何|第14题四棱锥内切球与距离最值，综合空间想象| |解答|5/77|解三角形、立体几何、概率统计等|第15题文化情境解三角形，第18题二维随机变量与数列结合，凸显综合性与创新性|

2026高考冲刺卷 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，且，则（ ） A. 1 B. C. D. 2. 已知全集均为的子集，且，则（ ） A. B. C. D. 3. “事件相互独立”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数是奇函数，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 6. 已知为坐标原点，为圆的一条弦，弦绕点旋转一周扫过的区域为.若点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为，，若，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 函数是奇函数 D. 函数是偶函数 8. 某科技公司研发人工智能大模型， 训练该模型每月消耗的算力 (单位:千 PFLOPS・天)是前一个月的固定倍数，且始终保持增长. 观测到第4个月消耗的算力为4， 第3个月与第5个月消耗的算力之和为10 . 则（ ） A. 第3个月消耗的算力为1 B. 前5个月消耗的总算力为16 C. 第7个月消耗的算力比第4个月增长300% D. 前8个月消耗的总算力与第4个月消耗的算力比值为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机变量，则（ ） A. B. 是增函数 C. D. 10. 一组数据，记其中位数为k，均值为m，标准差为，由其得到新数据的标准差为，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 在平面直角坐标系中，已知，，动圆：，过点，分别作斜率为，的两条直线与动圆相切，两切线交于第一象限的点，设点到直线的距离为，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，，，若满足上述条件的恰有一解，则边长的取值范围是_____ 13. 抛物线的焦点为，准线与轴交于点，为抛物线上一点，若为锐角，，则________. 14. 已知四棱锥的底面为矩形，，，侧面PAB为正三角形且垂直于底面ABCD，M为四棱锥内切球表面上的一点，则点M到直线CD距离的最小值为_____ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分） 苏仙岭又称“天下第十八福地”，小明在苏仙岭山脚下的正西方的处，此时他测得山顶的仰角为.他沿着东偏南的方向前行200米后到达点处，此时他测得山顶点的仰角为.假设山顶在水平面上的投影为点，且点位于点的南偏西方向，测量仪器的高度忽略不计. （1）求山高； （2）已知景区内点处有一缆车，缆车从山脚出发，上山分为两段：平缓上升阶段倾斜角为，在行至山高的一半处，缆车会转变为陡峭上升阶段，倾斜角为.求山脚下缆车上车点到点的距离. 16. （15分）如图所示，该几何体是由一个直三棱柱和一个正四棱锥组合而成，，． （Ⅰ）证明：平面平面； （Ⅱ）求正四棱锥的高，使得二面角的余弦值是． 17. （15分）已知圆外有一点. （1）当时，过点作直线，当直线与圆相切时，求直线的方程； （2）自点发出的光线经过轴反射后与相切，记与相切的两条反射光线所在直线的斜率之积为，数列的前项和为，求证：. 18.(17分) 已知是二维离散型随机变量，其中、是两个离散型随机变量，的分布列如下表： 0 2 4 1 3 (1)求和； (2)“”表示在条件下随机变量的分布情况． ①求“”的分布列； ②为的数学期望，为“”的数学期望，证明：． 19. 在平面直角坐标系xOy中，M是一个动点，MA与直线垂直，垂足A位于第一象限，MB与直线垂直，垂足B位于第四象限，若四边形OAMB的面积为2． （1）求动点M的轨迹C的方程； （2）直线与曲线C交于点，（在的上方），过点，分别作，的平行线，交于点，过点且斜率为2的直线与曲线C交于点，（在的上方），再过点，分别作，的平行线，交于点，这样一直操作下去，可以得到一列点，，． 证明：①共线； ②为定值，，． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026高考冲刺卷 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，且，则（ ） A. 1 B. C. D. 1.B 【解析】设复数，则，因为，所以， 因为，所以，即，所以. 2. 已知全集均为的子集，且，则（ ） A. B. C. D. 2. A 【解析】根据图，阴影部分为，显然集合与无公共部分，所以． 3. “事件相互独立”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.D 【解析】由，结合公式，可得，即事件互斥。 事件相互独立的定义为. 充分性：若相互独立，无法推出，即无法推出. 必要性：若，即互斥，无法推出相互独立. 综上，“事件相互独立”是“”的既不充分也不必要条件. 4. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 4.D 【解析】因为，所以，即， 又， 即，，故. 5. 已知函数是奇函数，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 5.B 【解析】因为是定义在上的奇函数，所以， 即，解得或， 因为，即，所以，可得， 则， 显然为奇函数，满足题意， 当时，取得最大值. 6. 已知为坐标原点，为圆的一条弦，弦绕点旋转一周扫过的区域为.若点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6.A 【解析】设圆心到弦的距离为，圆半径， 弦绕点旋转一周时，上所有点到点的距离范围是， 所以扫过的区域是内半径为，外半径为的圆环区域， 又点，其到原点的距离为，则， 所以， 又. 7. 已知函数的定义域为，，若，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 函数是奇函数 D. 函数是偶函数 7. C 【解析】对于A，令，则，故，故A错误； 对于B，令，则，所以，故为等差数列，首项为零，公差为，故，故B错误； 对于C，因为，，故，故，同理， 在中令，则，由B的分析可得，所以，所以，所以，所以，所以函数是奇函数，故C正确； 对于D，由C的分析可得即，故函数是奇函数，故D错误. 8. 某科技公司研发人工智能大模型， 训练该模型每月消耗的算力 (单位:千 PFLOPS・天)是前一个月的固定倍数，且始终保持增长. 观测到第4个月消耗的算力为4， 第3个月与第5个月消耗的算力之和为10 . 则（ ） A. 第3个月消耗的算力为1 B. 前5个月消耗的总算力为16 C. 第7个月消耗的算力比第4个月增长300% D. 前8个月消耗的总算力与第4个月消耗的算力比值为 8.D 【解析】对于A，因为每月消耗的算力是前一个月的固定倍数，且始终保持增长，说明每月消耗的算力构成了一个公比的等比数列，设第个月消耗的算力为，则；已知，，得：，即，解得或，又因为，所以，，故A错误； 对于B，已知，，所以，，，， 前个月消耗的总算力为，故B错误； 对于C，，增长率，故C错误； 对于D，，，故D正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机变量，则（ ） A. B. 是增函数 C. D. 9.ABC 【解析】因为随机变量，则正态分布的对称轴， 选项A：，故A正确； 选项B：随着x逐渐增大，逐渐增大且连续，所以是增函数，故B正确； 选项C：根据对称性可得， 又，所以，故C正确； 选项D： ，故D错误； 10. 一组数据，记其中位数为k，均值为m，标准差为，由其得到新数据的标准差为，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10.AD 【解析】对于A选项，因， 样本数据最中间的项为， 由中位数的定义可知，，A正确； 对于B，不妨令， 则，B错误； 对于C，不妨令， 则，C错误； 对于D，数据的均值为： ， 其方差为，D对. 故选：AD 11. 在平面直角坐标系中，已知，，动圆：，过点，分别作斜率为，的两条直线与动圆相切，两切线交于第一象限的点，设点到直线的距离为，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 11. ABD 【解析】设圆与线段交于点，圆与线段交于点，圆与线段交于点， 动圆：，圆心为，半径为，，，，，为圆切线， 为圆的切线，， ，，，点是以，为焦点的双曲线，且，，，点的轨迹方程为. 对于A，在上，为焦点，，故A正确； 对于B，的渐近线方程为，，故B正确； 对于C， 直线的倾斜角可以是钝角，故错误，故C错误； 对于D，设过点的切线方程为，即，，点到直线的距离为，，，，，，，，，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，，，若满足上述条件的恰有一解，则边长的取值范围是_____ 12. 【解析】若满足条件的恰有一解，如图 则，或， 当时，， 当时，， 所以AC的取值范围是. 13. 抛物线的焦点为，准线与轴交于点，为抛物线上一点，若为锐角，，则________. 13. 【解析】由抛物线可得准线方程为，故，由抛物线的对称性不妨设在第一象限.过作抛物线准线的垂线，垂足为，则.在中，由正弦定理可得即，故，故，所以，而为锐角，故，所以, 由可得或者.因为锐角，故，故. 14. 已知四棱锥的底面为矩形，，，侧面PAB为正三角形且垂直于底面ABCD，M为四棱锥内切球表面上的一点，则点M到直线CD距离的最小值为_____ 14. 【解析】如图，设四棱锥的内切球的半径为，取的中点为，的中点为，连接，，，    球O为四棱锥的内切球， 底面为矩形，侧面为正三角形且垂直于底面， 则平面截四棱锥的内切球O所得的截面为大圆， 此圆为的内切圆，半径为r，与分别相切于点E，F， 平面平面，交线为平面， 为正三角形，有，平面， 平面，， ，，则有，，， 则中，，解得. 所以，四棱锥内切球半径为2，连接. 平面，平面，， 又，平面，， 平面，平面，可得， 所以内切球表面上一点M到直线的距离的最小值即为线段的长减去球的半径， 所以， 又. 所以四棱锥内切球表面上的一点M到直线的距离的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分） 苏仙岭又称“天下第十八福地”，小明在苏仙岭山脚下的正西方的处，此时他测得山顶的仰角为.他沿着东偏南的方向前行200米后到达点处，此时他测得山顶点的仰角为.假设山顶在水平面上的投影为点，且点位于点的南偏西方向，测量仪器的高度忽略不计. （1）求山高； （2）已知景区内点处有一缆车，缆车从山脚出发，上山分为两段：平缓上升阶段倾斜角为，在行至山高的一半处，缆车会转变为陡峭上升阶段，倾斜角为.求山脚下缆车上车点到点的距离. 【解】（1）如图，在中，设， 由题意知，且, 由余弦定理， 代入得： 化简得：，即 解得或 由“点位于点的南偏西方向”可知，必在的东北方向，从而的横坐标应大于的横坐标.由点向东位移为米，可得，即. 故只能取，所以山高米 （2）由第（1）问知，山高米. 因为缆车在点处转换坡度，故两段缆车各上升100米. 设第一段（倾斜角）的水平距离为，即， 第二段（倾斜角）的水平距离为，即 则有：，，所以，； 因此，山脚下缆车上车点到点的距离为： 利用常用三角函数值：， 得 故山脚下缆车上车点到点的距离为米 16. （15分）如图所示，该几何体是由一个直三棱柱和一个正四棱锥组合而成，，． （Ⅰ）证明：平面平面； （Ⅱ）求正四棱锥的高，使得二面角的余弦值是． 【解】（Ⅰ）直三棱柱中，平面， 所以，又，， 所以平面，平面， 所以平面平面．　 （Ⅱ）由（Ⅰ）知平面，以为原点，，，方向为，，轴建立空间直角坐标系， 如图 设正四棱锥的高为，，则，，，，，，． 设平面的一个法向量， 则取，则，所以． 设平面的一个法向量，则 取，则，，所以． 二面角的余弦值是， 所以， 解得． 17. （15分）已知圆外有一点. （1）当时，过点作直线，当直线与圆相切时，求直线的方程； （2）自点发出的光线经过轴反射后与相切，记与相切的两条反射光线所在直线的斜率之积为，数列的前项和为，求证：. 【解】（1）圆，圆心，半径. 由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，即 由于直线与圆相切，所以，解得或， 所以直线的方程为或； （2）记点关于轴的对称点为，则. 由于反射光线所在直线经过点，且斜率存在， 设反射光线所在直线，即 又圆的圆心为，半径，直线与圆相切，则， 整理得，则两条切线的斜率之积 所以 18.(17分) 已知是二维离散型随机变量，其中、是两个离散型随机变量，的分布列如下表： 0 2 4 1 3 (1)求和； (2)“”表示在条件下随机变量的分布情况． ①求“”的分布列； ②为的数学期望，为“”的数学期望，证明：． 【解】（1）由已知． （2）① “”可取的值为， 因为， 所以， ， ， 所以“”分布列为 0 2 4 ②证明： ． 19. 在平面直角坐标系xOy中，M是一个动点，MA与直线垂直，垂足A位于第一象限，MB与直线垂直，垂足B位于第四象限，若四边形OAMB的面积为2． （1）求动点M的轨迹C的方程； （2）直线与曲线C交于点，（在的上方），过点，分别作，的平行线，交于点，过点且斜率为2的直线与曲线C交于点，（在的上方），再过点，分别作，的平行线，交于点，这样一直操作下去，可以得到一列点，，． 证明：①共线； ②为定值，，． 【解】(1)设，由与垂直，得四边形OAMB是矩形，故，即，整理得， 因为A，B两点分别在第一、四象限，所以动点M的轨迹C的方程是：. (2)证明①：设斜率为2，与曲线C相交于，两点的直线方程为，其中，， 联立方程，消去y可得， 因为该方程有两个正根，所以，解得， 根据韦达定理：，， 直线的方程为，又，故， 直线的方程为，又，故， 联立方程，两式相加得， 代回方程组得， 于是， ， 故都在直线上，所以共线． 证明②：设坐标为，则直线方程为，故①中， 所以，， 又，于是，， ， 所以． 故为定值，， 学科网（北京）股份有限公司 $