专题16 排列组合与二项式定理（5年汇编）（全国通用）2022-2026年高考数学真题分类汇编

**基本信息** 汇编2022-2026年高考真题，聚焦排列组合与二项式定理，含全国卷及北京、天津、上海等多省市典型题 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择+填空|35题|排列组合（相邻/不相邻、分配问题、分层抽样）；二项式定理（特定项系数、赋值法求系数和）|排列组合结合实际场景（如志愿者安排），二项式定理注重通项公式应用，体现逻辑推理与运算能力，贴合近五年高考命题规律|

可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题16排列组合与二项式定理 5年考情·探规律 考点分类 五年考情(2022-2026) 命题规律 2026全国二卷、2026上海卷 2025上海卷 考查有限制条件的排列，题目常通 2024年新课标IⅡ卷、2024上海卷 过相邻、不相邻、特殊元素优 2023年新课标I卷、2023年新课 先、位置限制等经典模型设置，侧 考点01排列组合 重逻辑推理和分类讨论思想的应 标IⅡ卷、2023年全国甲卷、2023 用。组合问题则多与实际场景结 年全国乙卷、2023上海卷 合，如分配问题、选组问题，强调 2022年新高考全国Ⅱ卷、2022上 对无序性本质的理解。 海卷 2026北京卷、2026天津卷、2026 考查二项式定理特定项与系数计 上海卷 算，核心是利用通项公式求解，需 2025北京卷、2025天津卷、2025 考点02二项式定 注意符号、系数与二项式系数的区 理 上海卷 别。还有系数和问题，利用赋值法 2024年全国甲卷、2024北京卷、 求各项系数和、奇数项、偶数项系 数和。 2024天津卷、2024上海卷 115 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2023北京卷、2023天津卷、2023 上海卷 2022年新高考全国I卷、2022北 京卷、2022天津卷、2022上海 卷、2022浙江卷 5年真题·精准练 考点01排列组合 1.(2026全国二卷高考真题)把甲、乙、丙、丁等8位员工分为A、B两个技术公关组，要求每组4人， 其中甲、乙同组，丙、丁不同组，则分组方案共有() A.10种 B.12种 C.16种 D.24种 2.(2023全国甲卷高考真题)现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天， 每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有() A.120 B.60 C.30 D.20 3.(2023·全国乙卷高考真题)甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物 中恰有1种相同的选法共有() A.30种 B.60种 C.120种 D.240种 4.(2023新课标1卷·高考真题)某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方 法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200 名学生，则不同的抽样结果共有()· CC种 C0C种 B c.Cc种 C”C种 D. 5.(2022新高考全国川卷高考真题)有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站 215 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有() A.12种 B.24种 C.36种 D.48种 6.(2026上海高考真题)在5个人中选3个人去演讲，若甲一定去，则一共有 种选法， 7.(2025上海高考真题)4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均 是家长，则不同的排列个数有种 8.(2024:上海高考真题)设集合A中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为 偶数，求集合中元素个数的最大值为」 9.(2024·新课标卷·高考真题)在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格 被选中，则共有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是 11 21 31 40 12 22 33 42 13 22 33 43 15 24 34 44 10. (2023:上海高考真题)空间内存在三点A、B、C,满足AB=AC=BC=1,在空间内取不同两点 (不计顺序)，使得这两点与A、B、C可以组成正四棱锥，求方案数为一： 11.(2023新课标1卷高考真题)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门 课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有种（用数字作 答). 12.(2022·上海高考真题)已知有1、2、3、4四个数字组成无重复数字，则比2134大的四位数的个数 为 品 考点02二项式定理 1. (2026北京高考真题)已知（a-v) 的展开式中的×的系数是280，则a=() A.2 B.-2 C.1 D.-1 2.(2024北京高考真题)在x-可的展开式中，r的系数为() 315 品学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.6 B.-6 C.12 D.-12 1)5 2x- 3.(2023北京高考真题) x 的展开式中x的系数为() A.-80 B.-40 c.40 D.80 4.《202北京高考真题》若2r-广=a+a,+a,r+ar+,则，+a+a,=（) A.40 B.41 C.-40 D.-41 x2+x) 5.(2026:上海高考真题)己知 ,则辰开式中”的系数为 6.(2026天津·高考真题) (x+2y)4 展开式中 的系数为」 7.(2026:上海高考真题) (1+3x 1 的二项展开式中，x的系数为 (1-2x)4=a-2ax+4a2x2-8ax3+16a4x4 8.(2025北京高考真题)己知 则4 a1+a2十a3+a4= 9.(2025天津高考真题)在K-1少的辰开式中，项的系数为 10.(2025上海高考真题)在二项式2r-1 的展开式中，的系数为 m ）6 x+ 11.(2025·上海高考真题)己知 x的展开式中常数项为20，则实数m的值为一 12.(2024上海高考真题)在K+1川的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为 13.(2024上海·高考真题) (x-19° 展开式中x的系数为一 10 14.(2024全国甲卷高考真题) 3+x 的展开式中，各项系数中的最大值为一· x2,3 15.(2024天津高考真题)在3+x 的展开式中，常数项为一 415 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 16,(2023上海高考真题)已知1+2023)m+(2023-刘=4，+a+a,++am”,其中 a0,a,a2,,a100∈R ,若存在 k∈{0,1,2，.，100 ,使得<0成立，则k的最大值是 17.(2023·天津·高考真题)在 2x31） x的展开式中，x2的系数为 (1-2x)=ao+ax+ax+ax'+agx* a0+a4= 18.(2023·上海高考真题)设 ,则 3 x+ 19.(2022天津·高考真题)在 x的展开式中，常数项是 20.(202上海高考真题)二项式3+ 的展开式中，x项的系数是常数项的5倍，则”= x+2)(x-1)4=a+ax+a2x2+ax3+a4x4+ax3 21.(2022浙江高考真题)已知多项式 41+a2+a3+a4+a5= 1-(x+y) 22.(2022新高考全国1卷·高考真题) 的展开式中xy的系数为 (用数 字作答)· )2 x2+ 23.(2022上海高考真题)在x的展开式中，含x4项的系数为- 5/5 专题16 排列组合与二项式定理 考点分类 五年考情（2022-2026） 命题规律 考点01 排列组合 2026全国二卷、2026上海卷 2025上海卷 2024年新课标Ⅱ卷、2024上海卷 2023年新课标Ⅰ卷、2023年新课标Ⅱ卷、2023年全国甲卷、2023年全国乙卷、2023上海卷 2022年新高考全国Ⅱ卷、2022上海卷 考查有限制条件的排列，题目常通过 相邻、不相邻、特殊元素优先、位置限制等经典模型设置，侧重逻辑推理和分类讨论思想的应用。组合问题则多与实际场景结合，如分配问题、选组问题，强调对无序性本质的理解。 考点02 二项式定理 2026北京卷、2026天津卷、2026上海卷 2025北京卷、2025天津卷、2025上海卷 2024年全国甲卷、2024北京卷、2024天津卷、2024上海卷 2023北京卷、2023天津卷、2023上海卷 2022年新高考全国Ⅰ卷、2022北京卷、2022天津卷、2022上海卷、2022浙江卷 考查二项式定理特定项与系数计算，核心是利用通项公式求解，需注意符号、系数与二项式系数的区别。还有系数和问题，利用赋值法求各项系数和、奇数项、偶数项系数和。 考点01 排列组合 1．（2026·全国二卷·高考真题）把甲、乙、丙、丁等8位员工分为A、B两个技术公关组，要求每组4人，其中甲、乙同组，丙、丁不同组，则分组方案共有（     ） A．10种 B．12种 C．16种 D．24种 【答案】C 【分析】对甲、乙两人都在A小组和B小组进行分类，结合计数原理求解即可. 【详解】情况1：甲、乙两人都在A小组， 安排丙、丁：丙、丁中必须有一个在A组，另一个在 B 组. 若丙在A组，丁在B组：此时A组已有 {甲, 乙, 丙}，还差1人； B组已有{丁}，还差3人， 则从剩余4人中选1人进A组，方案数为. 若丁在A组，丙在 B 组：同理，方案数为. 所以当甲、乙在A组时，方案数为种. 情况2：甲、乙两人都在 B 小组， 甲、乙在B组的情况与在A组的情况完全一致， 安排丙、丁：同样是丙在A组或丁在A组两种情况，方案数各为 ， 所以当甲、乙在B组时，方案数为 种. 故所有分配方案共有种. 2．（2023·全国甲卷·高考真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（    ） A．120 B．60 C．30 D．20 【答案】B 【分析】利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天公益活动的情况，即可得解. 【详解】不妨记五名志愿者为， 假设连续参加了两天公益活动，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的公益活动，共有种方法， 同理：连续参加了两天公益活动，也各有种方法， 所以恰有1人连续参加了两天公益活动的选择种数有种. 故选：B. 3．（2023·全国乙卷·高考真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（    ） A．30种 B．60种 C．120种 D．240种 【答案】C 【分析】相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案. 【详解】首先确定相同得读物，共有种情况， 然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有种， 根据分步乘法公式则共有种， 故选：C. 4．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（    ）． A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【分析】利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案. 【详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取人，高中部共抽取， 根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有种. 故选：D. 5．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（    ） A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 【答案】B 【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解 【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式， 故选：B 6．（2026·上海·高考真题）在5个人中选3个人去演讲，若甲一定去，则一共有____________种选法. 【答案】6 【分析】结合组合知识求解即可. 【详解】由题意，甲一定去，则从剩下的4人中任选2人即可， 则一共有种选法. 故答案为：6. 7．（2025·上海·高考真题）4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有_________种． 【答案】288 【分析】先选家长作队尾和队首，再排中间四人即可. 【详解】先选两位家长排在首尾有种排法；再排对中的四人有种排法， 故有种排法. 故答案为：288 8．（2024·上海·高考真题）设集合A中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值为__________． 【答案】329 【分析】确定奇数最多1个，再分个位数为0和不为0，结合排列、组合求解即可. 【详解】由题意可知，集合中每个元素都互异，且元素中最多有一个奇数，（若有2个以上奇数，则不满足任意两者之积皆为偶数），剩余全是偶数. 先研究集合中无重复数字的三位偶数； （1）若个位为0，这样的偶数有个； （2）若个位不为0，这样的偶数有个； 所以集合元素个数最大值为个． 故答案为：329 9．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有________种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是________． 【答案】 24 112 【分析】由题意可知第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选；利用列举法写出所有的可能结果，即可求解. 【详解】由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中， 则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选， 第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选， 所以共有种选法； 每种选法可标记为，分别表示第一、二、三、四列的数字， 则所有的可能结果为： ， ， ， ， 所以选中的方格中，的4个数之和最大，为. 故答案为：24；112 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是确定第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选，利用列举法写出所有的可能结果. 10．（2023·上海·高考真题）空间内存在三点A、B、C，满足，在空间内取不同两点（不计顺序），使得这两点与A、B、C可以组成正四棱锥，求方案数为______． 【答案】9 【分析】根据题意，先考虑正四棱锥中三个点构成等边三角形的情况，分类讨论为正四棱锥的侧面或对角面两种情况，再结合三边的轮换对称性即可得解. 【详解】因为空间中有三个点，且， 不妨先考虑在一个正四棱锥中，哪三个点可以构成等边三角形，同时考虑三边的轮换对称性，可先分为两种大情况，即以下两种： 第一种：为正四棱锥的侧面，如图1， 此时分别充当为底面正方形的一边时，对应的情况数显然是相同的; 不妨以为例，此时符合要求的另两个点如图1所示，显然有两种情况， 考虑到三边的轮换对称性，故而总情况有6种；    第二种：为正四棱锥的对角面，如图2， 此时分别充当底面正方形的一对角线时，对应的情况数显然也是相同的; 不好以为例，此时符合要求的另两个点图2所示，显然只有一种情况， 考虑到三边的轮换对称性，故而总情况有3种； 综上所述：总共有9种情况. 故答案为：9. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是注意到为正三角形，从而考虑正四棱锥中三个点构成等边三角形的情况，结合三边的轮换对称性即可得解. 11．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）． 【答案】64 【分析】分类讨论选修2门或3门课，对选修3门，再讨论具体选修课的分配，结合组合数运算求解. 【详解】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有种； （2）当从8门课中选修3门， ①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有种； ②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有种； 综上所述：不同的选课方案共有种. 故答案为：64. 12．（2022·上海·高考真题）已知有1、2、3、4四个数字组成无重复数字，则比2134大的四位数的个数为________ 【答案】17 【分析】先分类再分步，按千位为3,4,2分为三类，再逐次安排百位和十位，即可计算出满足条件的四位数个数. 【详解】千位为和时，组成的四位数都比2134大，有个， 千位为2时，百位为3或4的四位数都比2134大，有个， 千位为2时，百位为1，只有2143比2134大，有1个， 则组成的四位数比2134大的一共有17个. 故答案为：17. 考点02 二项式定理 1．（2026·北京·高考真题）已知的展开式中的的系数是280，则（     ） A．2 B．-2 C．1 D．-1 【答案】A 【详解】二项式的展开式的通项为，其中. 令，解得，则项的系数为. ∵ ，，且已知的系数为， ∴ ，即，解得. 2．（2024·北京·高考真题）在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】写出二项展开式，令，解出然后回代入二项展开式系数即可得解. 【详解】的二项展开式为， 令，解得， 故所求即为. 故选：A. 3．（2023·北京·高考真题）的展开式中的系数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可. 【详解】对于，由二项展开式的通项得， 令解得， 则所求系数为， 故选：D 4．（2022·北京·高考真题）若，则（    ） A．40 B．41 C． D． 【答案】B 【分析】利用赋值法可求的值. 【详解】令，则， 令，则， 故， 故选：B. 5．（2026·上海·高考真题）已知，则展开式中的系数为__________． 【答案】 【分析】写出二项式的通项，令的次数为，即可求出展开式中的系数. 【详解】由题意， 在中，通项， 当即时，， ∴展开式中的系数为. 6．（2026·天津·高考真题）展开式中的系数为__________． 【答案】 【分析】根据二项式定理得到展开式的通项公式即可求解. 【详解】根据二项式定理，展开式的通项公式为， 当时，，因此的系数为. 7．（2026·上海·高考真题）的二项展开式中，的系数为____________. 【答案】 【分析】写出二项展开式的通项公式，令，解出，代入即可得到答案. 【详解】二项式的展开式的通项公式为， 令，解得， 所以的系数为. 故答案为：. 8．（2025·北京·高考真题）已知，则________；________． 【答案】 【分析】利用赋值法可求，利用换元法结合赋值法可求的值. 【详解】令，则， 又， 故， 令，则， 令，则，故 故答案为：. 9．（2025·天津·高考真题）在的展开式中，项的系数为________． 【答案】 【分析】根据二项式定理相关知识直接计算即可. 【详解】展开式的通项公式为， 当时，， 即展开式中的系数为. 故答案为： 10．（2025·上海·高考真题）在二项式的展开式中，的系数为_________． 【答案】 【分析】利用通项公式求解可得. 【详解】由通项公式， 令，得， 可得项的系数为. 故答案为：. 11．（2025·上海·高考真题）已知的展开式中常数项为20，则实数m的值为______． 【答案】1 【分析】根据二项式展开式的通项特征可得，进而可求解. 【详解】展开式的通项为，令解得，∴． ∴． 故答案为：1 12．（2024·上海·高考真题）在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为_________． 【答案】10 【分析】根据给定条件，求出幂指数，再利用二项式定理求出指定项的系数. 【详解】则二项式的展开式各项系数和为32，得，解得， 所以的展开式项的系数为. 故答案为：10 13．（2024·上海·高考真题） 展开式中的系数为______. 【答案】15 【分析】根据给定条件，利用二项式定理直接求出结果. 【详解】 展开式中令的项为， 所以 展开式中的系数为15. 故答案为：15 14．（2024·全国甲卷·高考真题）的展开式中，各项系数中的最大值为______． 【答案】5 【分析】先设展开式中第项系数最大，则根据通项公式有，进而求出即可求解. 【详解】由题展开式通项公式为，且， 设展开式中第项系数最大，则， ，即，又，故， 所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为. 故答案为：5. 15．（2024·天津·高考真题）在的展开式中，常数项为______． 【答案】20 【分析】根据题意结合二项展开式的通项分析求解即可. 【详解】因为的展开式的通项为， 令，可得， 所以常数项为. 故答案为：20. 16．（2023·上海·高考真题）已知，其中，若存在，使得成立，则的最大值是_____________． 【答案】49 【分析】根据二项式展开式的通项特征可得，即可根据为奇数求解. 【详解】由题设，左边的通项公式为 ， ； 所以，由题设得， 因为，要使得成立，则为奇数， 即为奇数，且恒成立， 则等价为，又是正奇数，故的最大值为49， 故答案为：49 17．（2023·天津·高考真题）在的展开式中，的系数为_________． 【答案】 【分析】由二项式展开式的通项公式写出其通项公式，令确定的值，然后计算项的系数即可. 【详解】展开式的通项公式， 令可得，， 则项的系数为. 故答案为：60. 18．（2023·上海·高考真题）设，则________________． 【答案】17 【分析】利用二项式展开式的通项公式求常数项和的系数即可. 【详解】二项式 展开式的通项为， 当，即时，， 当，即时，， 所以， 故答案为：17 19．（2022·天津·高考真题）在的展开式中，常数项是______. 【答案】15 【分析】利用二项式展开式的通项特征，即可求解. 【详解】由题意的展开式的通项为， 令即，则，所以的展开式中的常数项为. 故答案为：. 20．（2022·上海·高考真题）二项式的展开式中，项的系数是常数项的5倍，则___________； 【答案】10 【分析】先写出二项展开式的通项公式，令 得的系数，令得常数项，再由已知列出等式，解出即可. 【详解】由题知 ，当 时，的系数为 ；当 时，常数项为 ； 又的系数是常数项的5倍，所以，解得 . 故答案为：10 21．（2022·浙江·高考真题）已知多项式，则__________，___________． 【答案】 【分析】第一空利用二项式定理直接求解即可，第二空赋值去求，令求出，再令即可得出答案． 【详解】含的项为：，故； 令，即， 令，即， ∴， 故答案为：；． 22．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）的展开式中的系数为________________（用数字作答）． 【答案】-28 【分析】可化为，结合二项式展开式的通项公式求解. 【详解】因为， 所以的展开式中含的项为， 的展开式中的系数为-28 故答案为：-28 23．（2022·上海·高考真题）在的展开式中，含项的系数为________ 【答案】 【分析】写出展开式的通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项后即可得解. 【详解】展开式的通项为， 令，可得，因此，展开式中含项的系数为. 故答案为：. 试卷第1页，共3页 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $