专题03 因数与倍数（专项练习）2025-2026学年五年级数学下册苏教版

**基本信息** 以因数与倍数概念为核心，通过最大公因数、最小公倍数的系统应用，构建从概念辨析到实际问题解决的完整方法体系，培养抽象能力与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|选择1-5、14题|因数倍数定义、质数合数分类|从因数倍数概念延伸至质数合数，建立数的分类逻辑| |计算应用|填空11-13、17-18题|分解质因数法求最大公因数/最小公倍数|通过分解质因数连接概念与计算，形成算法逻辑| |实际问题|解答21-30题|最大公因数（无剩余切割）、最小公倍数（再次相遇）|将抽象概念转化为实际问题模型，体现应用意识|

专题03 因数与倍数 2025-2026学年五年级数学下学期期末备考真题分类汇编（苏教版） 一、选择题 1．边长为（    ）分米的正方形无法正好铺满边长为20分米的正方形。 A．2 B．4 C．5 D．6 2．在15以内的质数中，任意选两个数相乘，乘积是（    ）。 A．偶数的可能性大 B．奇数的可能性大 C．奇数与偶数的可能性一样大 D．无法确定 3．在下面的四个五位数中，是不为0且比10小的自然数，是0，（    ）一定是2、3、5的公倍数。 A． B． C． D． 4．客厅长4.8米，宽4.2米，选用边长（    ）分米的方砖铺地不需要切割。 A．4 B．5 C．6 D．8 5．自然数按因数的个数分，它可以分为（    ）。 A．奇数和偶数 B．质数和合数 C．质数、合数和1 D．素数、合数和0 6．暑假期间，乐乐每3天去一次游泳馆，笑笑每4天去一次游泳馆，7月20日两人在游泳馆相遇，他们下一次相遇时的日期是（    ）。 A．7月27日 B．8月1日 C．7月31日 D．8月2日 7．在中国传统文化中，常用到数字“6”，如六谷、六畜、六艺，甚至秦朝“数以六为纪”。在现代数学上，数字“6”也非常特别，是一个完全数：当一个数恰好等于除它以外的所有因数的和，这个数是完全数。例如6的因数有1，2，3，6，且1＋2＋3＝6，下面各数中，（    ）也是完全数。 A．28 B．24 C．12 D．8 8．春节期间，洋洋收到相同张数的50元和20元的压岁钱。春节后，他将压岁钱全部存入银行，他存入银行的钱可能是（    ）元。 A．280 B．380 C．480 D．580 9．若m－n＝1（m、n是非零自然数），则m与n的最大公因数是（    ）。 A．1 B．m C．n D．无法确定 10．学校图书馆的吴老师想为一年级入学的同学们制作一批借书证（8cm×5cm），下面各种规格的卡纸中，选用（    ）卡纸能制作成若干张借书证且没有剩余。 A．①号：2dm×2dm B．②号：30cm×20cm C．③号：3dm×3dm D．④号：4dm×4dm 二、填空题 11．一个数的最大因数是36，最小倍数是36，这个数是( )，将这个数分解质因数为( )。 12．一个两位数，既是5的倍数又是4的倍数，这个两位数最小是( )，最大是( )。 13．已知，，则A和B的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 14．一个数的因数只有1和它本身，这个数叫( )；一个数除了1和它本身还有其他因数，这个数叫( )；1既不是( )也不是( )。 15．50以内最大的质数与最小的合数的和是( )，差是( )。 16．乐乐练习跑步，第1次从A点跑到B点，第2次从B点跑回A点，像这样来回练习，第6次他跑到( )点，第11次他跑到( )点。 17．一个三位数78□，当它是3的倍数的时候，□中最大填( )；当它有因数2、5时，□中可填( )。 18．小明和爷爷在环形跑道上散步小明走一圈用4分钟，爷爷走一圈用6分钟。如果他们从同一地点同时出发同向而行，至少经过( )分钟两人在起点再次相遇，这时小明走了( )圈。 19．把52块奶糖和45块巧克力分别平均分给一个小组的同学，结果奶糖少2块，巧克力剩3块。这个小组最多有( )名同学。 20．刚刚把一张长20厘米、宽15厘米的长方形白纸，裁成若干个大小相同，尽可能大的正方形且没有剩余，那么最少能裁( )个。强强用若干张长18厘米、宽15厘米的长方形白纸拼成一个稍大的正方形，那么至少要( )张。 三、解答题 21．有一包糖果，如果平均分给8个人，还剩3颗；如果平均分给10个人，也剩3颗。这包糖果至少有多少颗？ 22．在一条长2400米的公路一旁安装路灯（两头都装），原来每6米装一个路灯，灯位已预留好，现在改为每8米装一个路灯，共有多少个路灯的预留位置可以不需要重新预留？ 23．班级联欢会准备了72个橘子和54块奶糖，要分装成若干份“零食礼包”分给同学们。每个礼包里的橘子个数和奶糖块数分别相同，且没有剩余。这些零食最多可以装成多少份礼包？每份礼包里各有多少个橘子和多少块奶糖？ 24．工作人员要把96条肉干和72袋狗粮全部分给动物救助站的小狗，每只小狗分到的肉干条数相同，分到的狗粮袋数也相同，肉干和狗粮都正好分完，动物救助站最多有多少只小狗？每只小狗分到几条肉干和几袋狗粮？ 25．王阿姨买了一条长42分米的红彩带和一条长56分米的黄彩带，如果把他们剪成一样长的小段做蝴蝶结（没有剩余），每段最长多少分米？最少能剪成几段？ 26．下面是银杏公园的一条路，现在要在路的两侧安装路灯，使每盏灯之间的距离都相等，并且M、O、N三处都要安装，至少要安装多少盏灯？ 27．五年级同学参加植树活动，其中男生有56人，女生有40人。现在把植树的男生和女生分别平均分成若干个小组，每组人数相同，每组最多有多少人？一共可以分成这样的几组？ 28．2026“苏超”淮安队再出发！为城市而战，为热爱而战！体育馆边上原来每3米放一个宣传牌，现要改为每4米一个宣传牌。在摆放的过程中，除了两端的2个宣传牌不需要移动外，还有20个宣传牌不需要移动。这条路长多少米？ 29．淮安米糕是淮扬菜系中的经典点心，松软绵密、湿润不粘，带有淡淡的酒酿香。现有96个桂花米糕和72个红豆米糕，要将这些米糕进行分装，要求每盒里桂花米糕的个数相同，红豆米糕的个数也相同，所有的米糕全部分装完。最多可以装多少盒？每盒中桂花米糕和红豆米糕各有多少个？ 30．西安大唐不夜城位于大雁塔脚下，是盛唐文化主题步行街区，灯火璀璨，免费开放，常有免费演艺，是夜游西安的热门打卡地。甲、乙、丙三人都是志愿者，甲每2天去一次，乙每3天去一次，丙每4天去一次，如果1月13日他们同时去做志愿服务，那么下一次他们同时去做志愿服务是几月几日？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《专题03 因数与倍数 2025-2026学年五年级数学下学期期末备考真题分类汇编（苏教版）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B C C B A A A D 1．D 【分析】要用小正方形正好铺满大正方形，小正方形的边长必须是大正方形边长的因数。据此判断哪个选项中的数不是20的因数。整数a÷b(b≠0），商是正数且没有余数，b就是a的因数。 【详解】A．因为20÷2＝10，所以2是20的因数，可以正好铺满，此选项错误； B．因为20÷4＝5，所以4是20的因数，可以正好铺满，此选项错误； C．因为20÷5＝4，所以5是20的因数，可以正好铺满，此选项错误； D．因为20÷6＝3……2，所以6不是20的因数，无法正好铺满，此选项正确。 2．B 【分析】先列出15以内的质数：质数是大于1且只有1和本身两个因数的数， 判断乘积的奇偶性规律：只有两个奇数相乘，乘积才是奇数；只要乘数里有偶数（2），乘积就是偶数。 【详解】15以内的质数为：2、3、5、7、11、13，共6个，其中只有2是偶数，剩下5个都是奇数。 计算情况数量对比： 总选法：从6个数里选2个，一共15种选法； 乘积是奇数：需要选两个奇数，从5个奇数里选2个，共10种； 乘积是偶数：必须选到2，再搭配另一个数，共5种。 10＞5，所以乘积是奇数的可能性更大。 3．B 【分析】同时是2、3、5的倍数特征：个位是0，且各个数位上的数字之和是3的倍数，据此解答。 【详解】 A．，是不为0且比10小的自然数，个位不是0，所以一定不是2、3、5的公倍数。 B．，是0，即个位是0， ＋＋＋＋＝3＋0＝3，3是3的倍数，所以一定是2、3、5的公倍数。 C．，是不为0且比10小的自然数，个位不是0，所以一定不是2、3、5的公倍数。 D．，是0，即个位是0，＋＋＋＋＝2，2不一定是3的倍数，所以一定不是2、3、5的公倍数。 所以B选项一定是2、3、5的公倍数。 4．C 【分析】此题是要求长和宽的公因数。先将4.8米和4.2米换算成48分米和42分米，再用短除法求出48和42的最大公因数，48和42的最大公因数的所有因数就是48和42的公因数。 【详解】4.8米＝48分米 4.2米＝42分米 48和42的最大公因数是2×3＝6。 6的因数有1，2，3，6，所以48和42的公因数有1，2，3，6，即边长可以是1分米，2分米，3分米和6分米。 所以选C。 5．C 【分析】一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不再有其他的因数，这样的数就是质数；一个大于1的自然数，除了1和它本身外，还有其他的因数，这样的数就是合数．1既不是质数也不是合数。 【详解】A．奇数和偶数是按能否被2整除分类，和因数个数无关，错误。 B．只包含质数和合数，漏掉了只有1个因数的1，分类不完整，错误。 C．包含质数、合数和1，完整覆盖了按因数个数分类的所有非0自然数，正确。 D．包含了0，不符合因数研究的范围，错误。 自然数按因数的个数分，它可以分为质数、合数和1。 6．B 【分析】两人要再次同去，间隔的天数必须同时是3和4的倍数，所以此题先求3和4的最小公倍数。 起始时刻＋经过的时间＝结束时刻。此题要注意7月有31天，这个题目跨月了，需要处理月份的进位。 【详解】3和4互质，所以3和4的最小公倍数是3×4＝12，说明每隔12天会相遇一次。 20＋12＝32，7月有31天，32日就是7月过完后再过1天，所以是8月1日。选B。 7．A 【分析】根据题意得，先找到一个数所有的因数，再把除本身以外的所有因数相加，若和等于它本身，这个数就是完全数，据此判断。 【详解】A．28因数有1、2、4、7、14、28 1＋2＋4＋7＋14 ＝3＋4＋7＋14 ＝7＋7＋14 ＝14＋14 ＝28 28＝28，28是完全数； B．24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24 1＋2＋3＋4＋6＋8＋12 ＝3＋3＋4＋6＋8＋12 ＝6＋4＋6＋8＋12 ＝10＋6＋8＋12 ＝16＋8＋12 ＝24＋12 ＝36 36≠24 24不是完全数； C．12的因数有1、2、3、4、6、12 1＋2＋3＋4＋6 ＝3＋3＋4＋6 ＝6＋4＋6 ＝10＋6 ＝16 16≠12 12不是完全数； D．8的因数有1、2、4、8 1＋2＋4 ＝3＋4 ＝7 7≠8 8不是完全数。 8．A 【分析】根据题意，50元和20元的张数相同，可以将1张50元和1张20元看作一组，也就是一组的总金额是50＋20＝70（元）。因为张数是整数，所以存入银行的总钱数应该是70的倍数，据此分析即可。 【详解】50＋20＝70（元） A．280÷70＝4（组），符合题意； B．380÷70＝5（组）……30（元），不符合题意； C．480÷70＝6（组）……60（元），不符合题意； D．580÷70＝8（组）……20（元），不符合题意。 9．A 【分析】根据“”可知m和n是两个连续的自然数，它们最大的公因数是。 【详解】m与n的最大公因数是。 10．D 【分析】首先要统一单位，要让卡纸制作借书证且没有剩余，卡纸的长和宽需要能被借书证的长和宽分别整除（可交换对应关系），也就是卡纸的边长要同时满足：一边是8的倍数，另一边是5的倍数，也就是卡纸的边长需要是8和5的公倍数。 【详解】借书证的规格： A．①号： 不能整除，裁剪后有剩余，不符合要求。 B．②号： ， ，，裁剪时总有一条边有剩余，不符合要求。 C．③号： ，不能整除，裁剪后有剩余，不符合要求。 D．④号： 整除没有剩余，两个边长都是和的倍数，符合要求。 11． 36 【分析】一个数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身，据此解答即可； 分解质因数，就是把这个合数用质数相乘的形式表现出来，可以用短除法计算。 【详解】一个数的最大因数是36，最小的倍数是36，这个数是36； 所以36分解质因数为：36＝2×2×3×3 12． 20 80 【分析】根据题意，这个两位数是5和4的公倍数。求最小就是求5和4的最小公倍数，再找出两位数中最大的公倍数即可。 【详解】5×4＝20 5和4的公倍数是20，40，60，80，100⋯ 其中，最小公倍数是20，两位数中，最大的公倍数是80。 所以，这个两位数最小是20，最大是80。 13． 6 210 【分析】用分解质因数的方法求两个数的最大公因数，把两个数相同的质因数乘起来的积就是它们的最大公因数；把相同的质因数（取一个）和独有的质因数乘起来的积就是它们的最小公倍数。 【详解】A和B的最大公因数：2×3＝6 A和B的最小公倍数：2×3×5×7＝210 14． 质数 合数 质数 合数 【详解】一个数的因数只有1和它本身，这个数叫质数，比如2，2的因数只有1和2自己本身；一个数除了1和它本身还有其他因数，这个数叫合数，比如4，4的因数除了1和本身4以外，还有2；1既不是质数也不是合数。 15． 51 43 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。1既不是质数，也不是合数。 50以内最大的质数是47，最小的合数是4，分别求出它们的和与差即可。 【详解】和：47＋4＝51 差：47－4＝43 16． A B 【分析】根据题意，梳理规律如下： 第1次（奇数次）：从A跑到B，结束在B点； 第2次（偶数次）：从B跑回A，结束在A点； 第3次（奇数次）：从A跑到B，结束在B点； 以此类推，规律为：偶数次结束在A点，奇数次结束在B点。 【详解】6是偶数，所以，第6次他跑到A点； 11是奇数，所以，第11次他跑到B点。 17． 9 0 【分析】3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 2、5的倍数特征：个位上是0的数。 【详解】7＋8＝15，15是3的倍数；78□是3的倍数，则□中可以填0、3、6、9，最大填9； 当它有因数2、5时，根据2、5的倍数特征可知，□中可填0。 18． 12 3 【分析】两人同时同地同向出发，第一次在起点相遇的时间应是小明和爷爷走一圈所用时间的最小公倍数。用分解质因数法先求出4和6的最小公倍数，再用这个数除以4即可得小明走了几圈。 【详解】4＝2×2 6＝2×3 4和6的最小公倍数是2×2×3＝12 所以至少经过12分钟两人在起点再次相遇。 12÷4＝3（圈） 所以这时小明走了3圈。 19．6 【分析】根据题意可知，奶糖数量加上2块后能被学生人数整除；巧克力数量减去3块后能被学生人数整除。因此，学生人数是调整后奶糖数量和巧克力数量的公因数。要求最多有多少名同学，即求这两个数的最大公因数。此外，根据有余数除法的性质，除数（学生人数）必须大于余数（3块）。 【详解】52＋2＝54（块） 45－3＝42（块） 54的因数有：1，2，3，6，9，18，27，54 42的因数有：1，2，3，6，7，14，21，42 54和42的公因数有：1，2，3，6，最大公因数是6。 因为6＞3，所以6名同学符合题意，即这个小组最多有6名同学。 20． 12 30 【分析】根据题意，裁成尽可能大的正方形，它的边长最大是20和15的最大公因数，求最多可以裁成多少个这样的正方形，用这张纸的面积除以正方形面积； 求出18和15的最小公倍数，就是大正方形的边长；用大正方形的面积除以每张长方形纸的面积，得到的数字就是最少需要长方形纸的张数，因此解答。 【详解】20＝2×2×5 15＝3×5 20和15的最大公因数是5，所以裁成的正方形的边长是5厘米。 （20×15）÷（5×5） ＝300÷25 ＝12（个） 18＝2×3×3 15＝3×5 18和15的最小公倍数是2×3×3×5＝90，所以拼成的正方形的边长是90厘米。 （90×90）÷（18×15） ＝8100÷270 ＝30（张） 21．43颗 【分析】根据题意，这包糖果的数量减去3颗后，既是8的倍数，也是10的倍数。这说明糖果数量减去3后是8和10的公倍数。要求这包糖果至少有多少颗，就是求8和10的最小公倍数，再加上剩下的3颗即可。 【详解】8和10的最小公倍数是40。 40＋3＝43（颗） 答：这包糖果至少有43颗。 22．101 个 【分析】不需要重新预留的位置，表示该位置距离起点的长度既是6的倍数，也是8的倍数，是6和8的公倍数，先求出6和8的最小公倍数，也就是不需要变动的位置的间隔长度，路灯的个数＝全长÷间隔＋1，把数据代入公式计算即可。 【详解】6＝2×3 8＝2×2×2 6和8的最小公倍数： 2×3×2×2 ＝6×2×2 ＝12×2 ＝24 2400÷24＋1 ＝100＋1 ＝101（个） 答：共有101个路灯的预留位置可以不需要重新预留。 23．18份礼包；4个橘子，3块奶糖 【分析】题目要求将72个橘子和54块奶糖分装成若干份，且每份中橘子个数和奶糖块数分别相同，没有剩余，说明礼包的份数既是72的因数，也是54的因数，即份数是72和54的公因数。要求最多可以装成多少份，即求72和54的最大公因数。求出最大公因数后，分别用橘子和奶糖的总数除以份数，即可得到每份礼包里橘子和奶糖的数量。 【详解】求72和54的最大公因数。 72的因数有：1，2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72 54的因数有：1，2，3，6，9，18，27，54 72和54的公因数有：1，2，3，6，9，18 72和54的最大公因数是18。 所以最多可以装成18份礼包。 每份礼包里橘子的数量： 72÷18＝4（个） 每份礼包里奶糖的数量： 54÷18＝3（块） 答：这些零食最多可以装成18份礼包，每份礼包里有4个橘子和3块奶糖。 24．24只；4条，3袋 【分析】根据题意，小狗的只数必须能整除肉干的数量，也能整除狗粮的数量，说明小狗的只数是96和72的公因数。要求最多有多少只小狗，即求96和72的最大公因数。求出小狗的只数后，再用肉干和狗粮的总数分别除以小狗的只数，即可求出每只小狗分到的数量。 【详解】 所以96和72的最大公因数是2×2×2×3＝24 所以动物救助站最多有24只小狗。 肉干：96÷24＝4（条） 狗粮：72÷24＝3（袋） 答：动物救助站最多有24只小狗，每只小狗分到4条肉干和3袋狗粮。 25． 14分米；7段 【分析】要把两根彩带剪成同样长的小段且没有剩余，说明每段的长度必须是42和56的公因数。要求每段最长，即求42和56的最大公因数。要使剪成的段数最少，每段的长度必须最长，求出每段最长的长度后，分别计算两根彩带能剪成的段数，相加即为总段数。 【详解】先求42和56的最大公因数。 42 的因数有：1、2、3、6、7、14、21、42 56 的因数有：1、2、4、7、8、14、28、56 则42 和 56 的公因数有：1、2、7、14 最大公因数是14；所以每段最长14分米。 红彩带剪成的段数：42÷14 ＝3（段） 黄彩带剪成的段数：56÷14＝4（段） 一共剪成的段数：3＋4＝7（段） 答：每段最长14分米，最少能剪成7段。 26．28盏 【分析】首先求出路灯最大间距，要让路灯之间的距离相等且路灯间距最大，路灯间距必须是42和36的最大公因数。然后分别计算两段路单侧的路灯数量，路灯数量＝路长÷路灯间距＋1。接着把两段路的路灯数量相加，求出单侧路灯总数；注意O处被两段路重复计算要减去1盏。最后用单侧路灯总数乘2，即可求出两侧路灯总数。 【详解】42＝2×3×7 36＝2×2×3×3 42和36的最大公因数是2×3＝6，即路灯最大间距为6米。 MO段路灯数：42÷6＋1 ＝7＋1 ＝8（盏） ON段路灯数：36÷6＋1 ＝6＋1 ＝7（盏） 单侧路灯总数：8＋7－1 ＝15－1 ＝14（盏） 两侧路灯总数：14×2＝28（盏） 答：至少要安装28盏灯。 【点睛】本题考查了用最大公因数解决拐角植树问题，在两端都栽的情况下，路灯数量＝路长÷路灯间距＋1；注意拐角点O处的路灯会被两段路重复计算，要减去1次重复；注意题干要求的是两侧路灯数量，而非单侧。 27．8人；12组 【分析】要求把男、女生分别分组，每组人数相同且人数最多，所以需要找出56和40的最大公因数，再用男、女生各自的总人数除以这个最大公因数，求出男、女生分别的组数，最后相加求出总组数。 【详解】56＝2×2×2×7 40＝2×2×2×5 56和40的最大公因数是2×2×2＝8 所以每组最多有8人。 56÷8＋40÷8 ＝7＋5 ＝12（组） 答：每组最多有8人，一共可以分成这样的12组。 28．252米 【分析】宣传牌不需要移动，说明该位置既是原来3米间隔的倍数，也是现在4米间隔的倍数，即该位置的距离是3和4的公倍数。相邻两个不需要移动的宣传牌之间的距离应是3和4的最小公倍数；如果两个数为互质数，最小公倍数就是两个数的乘积； 除了两端的2个宣传牌不需要移动外，说明路的起点和终点都有宣传牌且不需要移动，属于两端都栽的植树问题。 先求出不需要移动的宣传牌的总数，再用间隔数×相邻不动点之间的距离（3和4的最小公倍数），即可得到路的总长度。 【详解】3和4是互质数，最小公倍数为3×4＝12，即每隔12米有一个宣传牌不需要移动。 20＋2＝22（个） （22－1）×12 ＝21×12 ＝252（米） 答：这条路长252米。 29．24盒；桂花米糕：4个；红豆米糕：3个 【分析】要将两种米糕分装且每盒同种米糕个数相同、全部分装完，说明盒数必须是96和72的公因数。要求最多可以装多少盒，即求96和72的最大公因数。求出盒数后，再用每种米糕的总数除以盒数，即可得到每盒中各有多少个。 【详解】96＝2×2×2×2×2×3 72＝2×2×2×3×3 96和72的最大公因数是2×2×2×3＝24，最多可以装24盒。 96÷24＝4（个） 72÷24＝3（个） 答：最多可以装24盒，每盒中桂花米糕有4个，红豆米糕有3个。 30．1月25日 【分析】这是一个求最小公倍数的问题，要先算出2、3、4的最小公倍数，这个数就是他们再次同时去服务需要间隔的天数，再从1月13日往后推算这个天数，就能得到下一次同时去的日期。 【详解】4是2的倍数，所以只需要找3和4的最小公倍数，3和4互质，最小公倍数是3×4＝12。 1月13日加上12天，13＋12＝25，所以是1月25日。 答：下一次他们同时去做志愿服务是1月25日。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $