第八章 立体几何初步 单元测试卷-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 高中数学立体几何初步单元卷，120分钟150分，覆盖空间几何体、位置关系等核心知识，结合《九章算术》文化素材与空间想象能力考查，适配单元复习巩固。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|圆锥、棱柱概念，正方体线线垂直，球表面积|基础概念辨析，如第1题棱台性质；文化情境，第4题《九章算术》米堆体积| |填空题|3/15|异面直线所成角，四面体外接球体积|空间几何量计算，如第12题异面直线成角60°| |解答题|5/77|旋转体表面积体积，折叠问题面面垂直，正方体空间角|综合性强，如第16题折叠问题证面面垂直并求体积；注重逻辑推理与空间想象，第19题线面平行找点及线面角正弦值|

第八章 立体几何初步 (时间:120分钟　满分:150分) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.下列说法正确的是(　　) A.圆锥的侧面展开图是一个等腰三角形 B.棱柱即是两个底面全等且其余各面都是矩形的多面体 C.任何一个棱台都可以补一个棱锥使它们组成一个新的棱锥 D.通过圆台侧面上一点,有无数条母线 2.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E是A1C1的中点,则直线CE垂直于(　　) A.AC B.BD C.A1D D.A1D1 3.如图,Rt△O'A'B'是一平面图形的直观图,斜边O'B'=2,则这个平面图形的面积是(　　) A B.1 C D.2 4.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底面的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有(　　)(“斛”不是国际通用单位) A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛 5.如图,四棱锥S-ABCD所有的棱长都等于2,E是SA的中点,过C,D,E三点的平面与SB交于点F,则四边形DEFC的周长为(　　) A.2+ B.3+ C.3+2 D.2+2 6.已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为(　　) A.36π B.64π C.144π D.256π 7.已知平面α⊥平面β,α∩β=l,在l上取线段AB=4,AC,BD分别在平面α和平面β内,且AC⊥AB,DB⊥AB,AC=3,BD=12,则CD的长度为(　　) A.13 B C.12 D.15 8.已知平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为(　　) A B C D 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.已知直线l⊥平面α,直线m⊂平面β.则下列结论正确的是(　　) A.α∥β⇒l⊥m B.α⊥β⇒l∥m C.l∥m⇒α⊥β D.l⊥m⇒α∥β 10.一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等,则下列结论正确的是(　　) A.圆柱的侧面积为2πR2 B.圆锥的侧面积为2πR2 C.圆柱的侧面积与球的表面积相等 D.圆柱、圆锥、球的体积之比为3∶1∶2 11.如图,已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ABC,PA=2AB,则下列结论正确的是(　　) A.PB⊥AD B.平面PAB⊥平面PBD C.直线BC∥平面PAE D.直线PD与平面ABC所成的角为45° 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.在四面体A-BCD中,AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点,EF=,则异面直线AD与BC所成角的大小为　　　　　.  13.已知在四面体P-ABC中,PA=PB=4,PC=2,AC=2,PB⊥平面PAC,则四面体P-ABC外接球的体积为　　　　　.  14.如图,P是边长为2的正方形ABCD外一点,PA⊥AB,PA⊥BC,且PC=5,则直线BD与平面PAC的位置关系为　　　　　,二面角P-BD-A的余弦值为　　　　　.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)如图,求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积(单位:cm). 16.(15分)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,E,F是线段AB上的两点,且DE⊥AB,CF⊥AB,AB=12,AD=5,BC=4,DE=4.现将△ADE,△CFB分别沿DE,CF折起,使A,B两点重合于点G,得到多面体CDEFG. (1)求证:平面DEG⊥平面CFG; (2)求多面体CDEFG的体积. 17.(15分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1.求证: (1)直线DE∥平面A1C1F; (2)平面B1DE⊥平面A1C1F. 18.(17分)如图所示,正方体的棱长为1,B'C∩BC'=O,求: (1)AO与A'C'所成角的度数; (2)AO与平面ABCD所成角的正切值; (3)平面AOB与平面AOC所成二面角的大小. 19.(17分)如图,在四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD=AD.E为棱AD的中点,异面直线PA与CD所成的角为90°. (1)在平面PAB内找一点M,使得直线CM∥平面PBE,并说明理由; (2)若二面角P-CD-A的大小为45°,求直线PA与平面PCE所成角的正弦值. 第八章 立体几何初步 (时间:120分钟　满分:150分) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.圆锥的侧面展开图是一个扇形,故A错误;由棱柱的定义知B错误;通过圆台侧面上一点,有且只有一条母线,故D错误;因为棱台是由一个大棱锥被一个平行于底面的平面所截,夹在截面与底面的部分,所以任何一个棱台都可以补一个棱锥使它们组成一个新的棱锥,故C正确. 2CE⊂平面ACC1A1, ∵BD⊥AC,BD⊥AA1,AC∩AA1=A, ∴BD⊥平面ACC1A1, ∴BD⊥CE. 选B 3.在直观图中,∵O'B'=2,∠A'O'B'=45°,∠O'A'B'=90°, ∴O'A'=A'B'=2 ∴S△O'A'B'==1. ∴这个平面图形的面积S=2S△O'A'B'=2 故选D. 4.设米堆的底面半径为r,则r=8,故r=(尺),则V米堆=r2h5(立方尺). 因为1斛米的体积约为1.62立方尺,所以堆放的米约有÷1.62≈22(斛). B 5.∵AB=BC=CD=DA=2, ∴四边形ABCD为菱形, ∴AB∥CD,从而AB∥平面DEFC, ∵AB⊂平面SAB,平面SAB∩平面DEFC=EF, ∴AB∥EF. 又E是SA的中点, ∴F为SB的中点, ∴EF=1,DE=CF= ∴四边形DEFC的周长为3+2 C 6.本题主要考查空间几何体. 设球O的半径为R,则S△AOB=R2. 当OC⊥平面AOB时,三棱锥O-ABC的体积最大,此时V=R2·R=36,解得R=6,所以球O的表面积S=4πR2=144π. C 7.如图,连接AD. 由题意知AC⊥β,DB⊥α. 在Rt△ABD中,AD= 在Rt△CAD中,CD==13. A 8.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1的上方接一个同等大小的正方体ABCD-A2B2C2D2,则过点A与平面CB1D1平行的是平面AB2D2,即平面α就是平面AB2D2,平面AB2D2∩平面ABB1A1=AB2,即直线n就是直线AB2,易知平面ABCD∥平面A2B2C2D2,由面面平行的性质定理知直线m平行于直线B2D2,故m,n所成的角就等于AB2与B2D2所成的角,在等边三角形AB2D2中,∠AB2D2=60°,故其正弦值为故选A. A 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.A项中,∵l⊥α,α∥β, ∴l⊥β. 又m⊂β, ∴l⊥m,故A正确. B项中,由l⊥α,α⊥β可得l∥β或l⊂β,再由m⊂β得不到l∥m,故B错误. C项中,∵l⊥α,m∥l, ∴m⊥α, 又m⊂β, ∴α⊥β,故C正确. D项中,若α∩β=m,也可满足l⊥α,l⊥m,故D错误. AC 10. 依题意得球的半径为R,则圆柱的侧面积为2πR·2R=4πR2, ∴A错误; 圆锥的侧面积为πRR=R2, ∴B错误; 球的表面积为4πR2, ∵圆柱的侧面积为4πR2, ∴C正确; ∵V圆柱=πR2·2R=2πR3, V圆锥=R2·2R=R3,V球=R3, ∴V圆柱∶V圆锥∶V球=2πR3R3R3=3∶1∶2, ∴D正确. 故选CD. 11. ∵PB在底面的射影为AB,AB与AD不垂直, ∴AD与PB不垂直,故A不正确; 又BD⊥AB,BD⊥PA,AB∩PA=A, ∴BD⊥平面PAB. 又BD⊂平面PBD, ∴平面PBD⊥平面PAB.故B正确; ∵BD∥AE, ∴BD∥平面PAE, ∴BC与平面PAE不平行,故C不正确; ∵PD与平面ABC所成的角为∠PDA,且在Rt△PAD中,AD=2AB=PA,∴∠PDA=45°,故D正确. BD 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12. 如图①,取AC的中点M,连接EM,FM. 因为F为DC的中点,M为AC的中点,所以FM∥AD,且FM=AD=1. 同理EM∥BC,且EM=BC=1. 故∠EMF或其补角为异面直线AD与BC所成的角. 图① 图② 如图②,在△EMF中,作MN⊥EF于点N,则N为EF的中点. 在Rt△MNE中,EM=1,EN=, 所以sin∠EMN=,从而∠EMN=60°,∠EMF=120°. 故AD与BC所成角为60°. 13. ∵PA=4,PC=2,AC=2,∴在△PAC中,PA2+PC2=20=AC2,可得AP⊥PC. 又PB⊥平面PAC,PA,PC⊂平面PAC, ∴PB⊥PA,PB⊥PC. 以PA,PC,PB分别为长、宽、高,作长方体如图所示,则该长方体的外接球就是四面体P-ABC的外接球. ∵长方体的体对角线长为=6, ∴长方体外接球的直径2R=6,则R=3. 因此,四面体P-ABC外接球的体积为V=R3=36π. 36π 14. ∵PA⊥AB,PA⊥BC,AB∩BC=B, ∴PA⊥平面ABCD. 又BD⊂平面ABCD, ∴PA⊥BD. ∵四边形ABCD为正方形, ∴BD⊥AC. ∵PA∩AC=A, ∴BD⊥平面PAC. 如图,设AC∩BD=O,连接PO, 则BD⊥PO. ∴∠POA为二面角P-BD-A的平面角. 又AB=2, ∴AC=4, ∴AO=2. ∴PA==3. ∴PO=, ∴cos∠POA= 垂直　 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 由题意知,所求旋转体的表面积由三部分组成:圆台下底面、侧面和一半球面. S半球=8π,S圆台侧=35π,S圆台底=25π. 故所求几何体的表面积为68π cm2. 由V圆台=(π×22++π×52)×4=52π,V半球=23, 所以所求几何体的体积为V圆台-V半球=52π-=(cm3). 16 (1)由已知可得AE=3,BF=4, 则折叠完后EG=3,GF=4, 又因为EF=5,所以可得EG⊥GF. 因为CF⊥EF,CF⊥GF,且EF∩GF=F,所以CF⊥平面EGF,所以可得CF⊥EG. 因为GF∩CF=F, 所以EG⊥平面CFG. 又因为EG⊂平面DEG, 所以平面DEG⊥平面CFG. (2)过点G作GO垂直于EF,垂足为O,则GO= 由(1)知CF⊥平面EGF,CF⊂平面CDEF,所以平面EGF⊥平面CDEF,且交线为EF. 所以GO⊥平面CDEF,即GO为四棱锥G-CDEF的高. 所以所求体积为S长方形CDEF·GO=4×5=16. 17 (1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1∥AC. 在△ABC中,因为D,E分别为AB,BC的中点, 所以DE∥AC,于是DE∥A1C1. 又因为DE⊄平面A1C1F,A1C1⊂平面A1C1F, 所以直线DE∥平面A1C1F. (2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A⊥平面A1B1C1,因为A1C1⊂平面A1B1C1,所以A1A⊥A1C1. 又因为A1C1⊥A1B1,AA1⊂平面ABB1A1,A1B1⊂平面ABB1A1,且A1A∩A1B1=A1, 所以A1C1⊥平面ABB1A1. 因为B1D⊂平面ABB1A1,所以A1C1⊥B1D. 又因为B1D⊥A1F,A1C1⊂平面A1C1F,A1F⊂平面A1C1F,A1C1∩A1F=A1,所以B1D⊥平面A1C1F. 因为B1D⊂平面B1DE,所以平面B1DE⊥平面A1C1F. 18. (1)由题意得A'C'∥AC, ∴∠OAC或其补角即为AO与A'C'所成的角. ∵在正方体A'C中,AB⊥平面BC', ∴OC⊥AB. 又OC⊥OB,且AB∩OB=B, ∴OC⊥平面ABO. ∵OA⊂平面ABO, ∴OC⊥OA. ∵在Rt△AOC中,OC=,AC=, ∴sin∠OAC=, ∴∠OAC=30°. 即AO与A'C'所成角的度数为30°. (2)如图所示,过点O作OE⊥BC于点E,连接AE. ∵平面BC'⊥平面ABCD,且交线为BC, ∴OE⊥平面ABCD,从而∠OAE即为AO与平面ABCD所成的角. 在Rt△OAE中,OE=,AE=,∴tan∠OAE= 即AO与平面ABCD所成角的正切值为 (3)由(1)知,OC⊥平面AOB. 又OC⊂平面AOC,∴平面AOB⊥平面AOC, 即平面AOB与平面AOC所成二面角的大小为90°. 19． (1)在梯形ABCD中,AB与CD不平行. 如图,延长AB,DC,相交于点M(M∈平面PAB),点M即为所求的一个点. 理由如下: 由题意知,BC∥ED,且BC=ED, 所以四边形BCDE是平行四边形,从而CM∥EB. 又因为EB⊂平面PBE,CM⊄平面PBE, 所以CM∥平面PBE. (2)已知CD⊥PA,CD⊥AD,PA∩AD=A,所以CD⊥平面PAD. 因为PD⊂平面PAD,所以CD⊥PD. 又因为CD⊥AD,所以∠PDA是二面角P-CD-A的平面角,所以∠PDA=45°. 由题意知PA⊥平面ABCD. 设BC=1,则在Rt△PAD中,PA=AD=2. 由题意知AE=ED=CD=1. 所以在Rt△PAE中,PE=,在Rt△CDE中,CE=,在Rt△PAD中,PD=2,在Rt△PDC中,PC=3. 设点A到平面PCE的距离为m,PA与平面PCE所成角为β. 连接AC,则VA-PEC=VP-AEC.① 已知△PEC的三边,根据余弦定理、三角形面积计算公式,得S△PEC= S△AEC=AE·CD= 代入①得m=PA,已知PA=2,解得m=,故sin β= 学科网（北京）股份有限公司 $