精品解析：安徽省示范高中培优联盟2025-2026学年高一下学期5月春季联赛数学试题

安徽省示范高中培优联盟2026年春季联赛（高一） 数学 本试卷分选择题和非选择题两部分，选择题第1至第3页，非选择题第4至第6页.全卷满分150分，考试时间120分钟. 考生注意事项： 1．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致. 2．答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效. 4．考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若：直线与平面有公共点，：直线与平面相交，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 已知非零实数，满足，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 5. 已知角的终边经过点，且，则m的值为（ ） A. 4 B. 3 C. D. 6. 已知等边的边长为，点P是该三角形所在平面内的动点，满足，当向量的模取最大值时，与夹角的正切值为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，角所对的边分别为，满足，，则的外接圆半径为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知，，满足，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，第10题为选考题，请考生任选一题作答.每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 若函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 直线是函数图象的一条对称轴 C. 不等式的解集为 D. 当，满足，则 【选考人教版】 10. 已知复数满足，则下列结论正确的是（ ） A. 若是的共轭复数，则 B. 若，则（是虚数单位） C. 的最小值为1 D. 的最大值为3 【选考北师大版】 11. 从1，2，3，4，5，6中随机有放回地抽取两个数，每次抽取一个，记第一次抽到的数为，第二次抽到的数为，定义事件：“是3的整数倍”，“是偶数”，“”，“能被4整除”，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 事件与事件相互独立 D. 事件与事件相互不独立 12. 已知函数，下面说法正确的是（ ） A. B. 在区间上单调递减 C. 关于的方程的实根个数不可能为4个 D. 关于的方程的实根个数可能为6个 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 13. 已知正实数满足．则的最小值为________ 14. 若函数在区间上有且只有个零点，则的取值范围是_________． 15. 已知正方形边长为2，点是正方形边上一动点，满足，点是正方形所在平面内一动点，满足．若，则的取值范围是_________． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 16. 设集合，． （1）若，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的值． 17. 已知函数，其中． （1）当时，求的单调递增区间； （2）若函数的最大值为 ①求实数的值； ②将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，求图象的对称轴方程. 18. 已知函数，且，， （1）当时，求关于x的不等式的解集； （2）当时，不等式在上恒成立，求m的取值范围. 【选考人教版】 19. 如图所示，在直角中，，，，取的中点为D，将沿翻折到的位置，使得． （1）求证：平面平面； （2）求点D到平面的距离； （3）求直线与平面所成角的余弦值. 【选考北师大版】 20. 甲，乙两人参加某公司的招聘考试，考试分为文化测试和体能测试，其中文化测试有3道题，要求至少答对其中的2道题才能通过，通过得1分，不通过得0分；体能测试有2道题，全部合格才能通过，通过得1分，不通过得0分；假设甲答对每道文化测试题的概率为，乙答对每道文化测试题的概率为，甲，乙两人每一道体能测试题合格的概率都是，甲乙两人各自参加完这两项测试，且回答每道题都是独立的． （1）求甲恰好答对两道文化测试题的概率（用p表示），并计算此概率取最大值时对应的p的值； （2）两项测试得分的和为该人的总分，当时，解决下列问题： ①求甲总分为1分的概率； ②求甲的总分高于乙的总分的概率. 21. 我们学习过一些代数式恒等变形的方法，例如：，等等，利用这些知识解决下面的问题. 已知定义在上的函数满足． （1）求，，的值； （2）设函数，利用代数式恒等变形的方法，求出函数的解析式； （3）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽省示范高中培优联盟2026年春季联赛（高一） 数学 本试卷分选择题和非选择题两部分，选择题第1至第3页，非选择题第4至第6页.全卷满分150分，考试时间120分钟. 考生注意事项： 1．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致. 2．答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效. 4．考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】易知， ； 所以． 2. 若：直线与平面有公共点，：直线与平面相交，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】根据可知直线在平面内或直线与平面相交， 故是的必要不充分条件． 3. 已知非零实数，满足，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断A，B；利用作差法判断C，D. 【详解】易知，，故A错误，B正确； 对于C，移项作差，得， 因为不能判断的正负， 所以不能确定的正负， 所以不能判断的大小关系，故C错误； 对于D，移项作差，， 所以，故D错误. 4. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】使用复合函数的单调性判断结论求解. 【详解】由得， 所以函数的定义域为， 因为函数在上单调递增，为增函数， 所以函数在区间上单调递增， 因为函数在上单调递减，为增函数， 所以函数在区间上单调递减， 所以函数的单调递减区间为． 5. 已知角的终边经过点，且，则m的值为（ ） A. 4 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据诱导公式及三角函数的定义列方程求解即可． 【详解】由角的终边经过点， 则，， 整理得，， 解得或（舍去）， 所以m的值为． 6. 已知等边的边长为，点P是该三角形所在平面内的动点，满足，当向量的模取最大值时，与夹角的正切值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过化简向量条件得出动点P的轨迹，再利用三点共线确定使线段最长时P的位置，最后在直角三角形中解出目标夹角的正切值即可. 【详解】设的中点为，以为原点建系，则有，， ，解得， 所以点的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆， 易得等边的高，所以点在圆外， 要使的模取最大值，此时三点共线，由圆的图像性质易得此时， 则，与的夹角为， 在中，. 7. 在中，角所对的边分别为，满足，，则的外接圆半径为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理边化角得到，再通过计算，结合余弦定理即可求解. 【详解】已知，即， 由正弦定理边化角得：， 即，又，， ，，． ． ， 故，又，所以， 由正弦定理知，故． 8. 已知，，满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对A：可变形为，构造函数，利用该函数单调性及零点存在性定理即可得；对D：由题可得，分别是函数，与函数和图象的交点横坐标，可设两个交点分别为，，结合反函数性质即可得；对B：由D中所得可得，再利用基本不等式中“1”的活用计算即可得；对C：结合A中所得与计算即可得. 【详解】对A：可变形为，令， 则当时，单调递减，又， 时，，故，故A错误； 对D：由题可得，分别是函数，与函数和图象的交点横坐标， 则两个交点分别为，， 由于函数和图象关于直线对称， 而且函数，图象也关于对称， 所以，两点关于直线对称，故，故D错误； 对B：因为，所以，则，取倒数变形得， 所以，，故，故B错误； 对C：因为，所以，则， 又因为，故，故C正确. 二、选择题（本题共3小题，第10题为选考题，请考生任选一题作答.每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 若函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 直线是函数图象的一条对称轴 C. 不等式的解集为 D. 当，满足，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】先通过函数图象确定函数的解析式，然后根据函数的性质逐一判断选项即可． 【详解】由图象知，最小正周期为，则， 将代入中，得，得，， 又，则，所以该函数的解析式为． 对于A，，故A正确； 对于B，由的对称轴为，，得，， 取时，直线是函数图象的一条对称轴，故B正确； 对于C，由，则，即，， 解得，，所以该不等式的解集为，，故C错误； 对于D，根据函数的解析式画图如下， 由，满足， 则，所以，故D正确． 【选考人教版】 10. 已知复数满足，则下列结论正确的是（ ） A. 若是的共轭复数，则 B. 若，则（是虚数单位） C. 的最小值为1 D. 的最大值为3 【答案】ACD 【解析】 【分析】A利用复数的运算化简；B举反例；C利用复数的几何意义求；D利用化简得，再设可求或利用三角不等式求解. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，设复数在复平面中的点为， 则表示点在以为圆心的单位圆上， 表示点到的距离，故的最小值为，故C正确； 对于D，由A知，则， 设，则， 因为，所以，则的最大值为3，故D正确． 或．（当时取等号） 【选考北师大版】 11. 从1，2，3，4，5，6中随机有放回地抽取两个数，每次抽取一个，记第一次抽到的数为，第二次抽到的数为，定义事件：“是3的整数倍”，“是偶数”，“”，“能被4整除”，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 事件与事件相互独立 D. 事件与事件相互不独立 【答案】ACD 【解析】 【分析】基于古典概型，通过列举法找出各个事件对应的具体样本点，进而计算概率并利用公式验证事件间的独立性. 【详解】对于A，3和6满足条件，故，答案A正确； 对于B，所有可能出现的样本点有，，…， ，共个， 其中的有， 共10个，故，答案B错误； 对于C，，易得， 满足事件的有共6个，故， 则，答案C正确； 对于D，， 满足事件D的有共9个， 故，，则，故答案D正确． 12. 已知函数，下面说法正确的是（ ） A. B. 在区间上单调递减 C. 关于的方程的实根个数不可能为4个 D. 关于的方程的实根个数可能为6个 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，直接由解析式即可判断，对于B，由对数型复合函数单调性可判断，画出函数图象，结合函数和的图象分类讨论可判断CD. 【详解】，A正确， 当时，，由对数型复合函数单调性可知： 在区间上单调递增，B错误. 画出函数的图象，如图1， 设，画出其图象，如图2，， 对于选项C，D， ， 当时，则，由的图象可知，方程的实根个数为2个； 故方程的实根个数为2个； 当时，则或，由的图象可知，方程的实根个数为2个； 故方程的实根个数为2个； 当时，由图1可知，有三个根， ， 当，由的图象可知，方程无解， 当，由的图象可知，方程的实根个数为2个， 综上可知：方程的实根个数为2个； 当时，方程有四个根，， 当，由的图象可知，方程有一个根， 当，由的图象可知，方程无解， 当，由的图象可知，方程有一个根， 当，由的图象可知，方程有两个根， 综上方程的实根个数为4个； 当时，方程有四个根，， 当时，由的图象可知，方程有两个根， 当时，由的图象可知，方程无解， 当时，由的图象可知，方程有两个根， 当时，由的图象可知，方程有两个根， 综上方程的实根个数为6个； 当时，方程有两个根，， 当时，由的图象可知，方程有两个根， 当，由的图象可知，方程无解， 当，由的图象可知，方程有两个根， 综上方程的实根个数为4个； 当时，方程有两个根，， 当时，，由的图象可知，方程有两个根， 当，由的图象可知，方程无解， 综上方程的实根个数为2个. 故C错误，D正确. 【点睛】 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 13. 已知正实数满足．则的最小值为________ 【答案】 【解析】 【分析】将已知等式变为，利用可构造出符合基本不等式的形式，利用基本不等式可求得最小值. 【详解】由得：， ， ， ，，， （当且仅当时取等号） 的最小值为 故答案为：. 【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题，关键是能够灵活运用和为的式子构造出符合基本不等式的形式. 14. 若函数在区间上有且只有个零点，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦函数的性质，得到的零点 ，结合题设条件建立不等式组即可求解. 【详解】由 ，得到 ， 因为在区间上有且只有个零点，故存在， 使得， 故， 因为，故且即， 故， 若，则即， 若，则，无解， 综上. 15. 已知正方形边长为2，点是正方形边上一动点，满足，点是正方形所在平面内一动点，满足．若，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】通过建立直角坐标系使用三角换元，利用参数表示动点坐标，最终将求的范围转化为求两个相互独立变量的最值问题. 【详解】以点为原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系， 则，，， 设， ，，，解得， 所以在边上，不妨设，，点， 因为，所以有，设，则， 故，，即，， 因为，所以， 即， 结合，当时，取最大值， 当时，取最小值， 故． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 16. 设集合，． （1）若，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）先分别求解集合和集合，再根据交集的定义求出； （2）先分别求解集合和集合，再根据逻辑关系得到不等式组，解出即可. 【小问1详解】 当 时，集合， 分式不等式等价于：， 解得：，即 ， 因为集合 ， 由 ， 解得： 或 ，即 ， 因此：. 【小问2详解】 因为，则， 解得：，即 ， 则， 由题意，“”是“”的必要不充分条件， 即 ，且 ，则， 因此：， 解得：，所以 17. 已知函数，其中． （1）当时，求的单调递增区间； （2）若函数的最大值为 ①求实数的值； ②将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，求图象的对称轴方程. 【答案】（1），； （2）①；②，． 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用倍角公式及辅助角公式得到，再由正弦函数的性质，即可求解； （2）①利用倍角公式及辅助角公式得到，结合条件，利用正弦函数的性质，即可求解；②根据条件得到，再由正弦函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 由， 由，，解得，， 所以的单调递增区间为，. 【小问2详解】 ① ，其中， 因为函数的最大值为，所以有，解得； ②由①知， 所以， 令，，解得，， 即图象的对称轴方程为，． 18. 已知函数，且，， （1）当时，求关于x的不等式的解集； （2）当时，不等式在上恒成立，求m的取值范围. 【答案】（1）当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为 （2）当时，m的取值范围是，当时，m的取值范围是 【解析】 【分析】（1）因式分解后，分及进行讨论并计算即可得； （2）问题可转化为在区间上恒成立，令，构造函数，再分及讨论并计算即可得. 【小问1详解】 当时，， 下面解不等式，即， 因为，所以， 当时，解得； 当时，解得， 综上所述，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为； 【小问2详解】 当时，不等式可变形为， 即，， 所以问题转化为在区间上恒成立， 令，则，则，故， 令，， 当时，函数在上单调递增， ，则； 当时，函数在上单调递增， 在上单调递减，故，则； 综上所述，当时，m的取值范围是； 当时，m的取值范围是． 【选考人教版】 19. 如图所示，在直角中，，，，取的中点为D，将沿翻折到的位置，使得． （1）求证：平面平面； （2）求点D到平面的距离； （3）求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）； 【解析】 【分析】(1)通过计算线段长度，利用勾股定理证明线面垂直，进而证明面面垂直； (2)采用等体积法，通过转换顶点求点到平面的距离； (3)利用面面垂直的性质找到线面角的平面角，再通过三角函数关系求解余弦值即可. 【小问1详解】 在直角中，，，， 所以， 因为为中点，所以， 取AD的中点为E，连接PE，CE， 由为边长为2的等边三角形得，， 在中，，，，由余弦定理可得 ， 所以， 因为，所以，即， 又因为，且，所以平面 因为平面，所以平面平面； 【小问2详解】 由（1）可知，平面，则， 所以， 在中，，，， 由余弦定理，， 所以， ， 因为，则点D到面的距离为； 【小问3详解】 过点C作AD延长线的垂线，垂足为Q，连接PQ，由（1）知 因为平面平面，且平面平面，，所以平面， 故为直线PC与平面PAD所成角， 在中，，， ， 在中，，， 由勾股定理：， ， 即直线PC与面PAD所成角的余弦值为． 【选考北师大版】 20. 甲，乙两人参加某公司的招聘考试，考试分为文化测试和体能测试，其中文化测试有3道题，要求至少答对其中的2道题才能通过，通过得1分，不通过得0分；体能测试有2道题，全部合格才能通过，通过得1分，不通过得0分；假设甲答对每道文化测试题的概率为，乙答对每道文化测试题的概率为，甲，乙两人每一道体能测试题合格的概率都是，甲乙两人各自参加完这两项测试，且回答每道题都是独立的． （1）求甲恰好答对两道文化测试题的概率（用p表示），并计算此概率取最大值时对应的p的值； （2）两项测试得分的和为该人的总分，当时，解决下列问题： ①求甲总分为1分的概率； ②求甲的总分高于乙的总分的概率. 【答案】（1），当时，最大值为 （2）①；②． 【解析】 【分析】（1）设答对文化测试的第题，由 求解即可，再由基本不等式求最大值； （2）①由题意可得甲恰好通过文化测试和体育测试的一个，由此求解即可； ②设甲总分为分，，设乙总分为分，，由，求解即可. 【小问1详解】 设答对文化测试的第题， 则甲恰好答对两道文化测试题的概率为： ， 由基本不等式可得，， 当且仅当，即时取等号，此时最大值为； 【小问2详解】 当时， ①甲通过文化测试的概率为， 则， 甲乙两人通过体育测试的概率均为， 则， 当甲总分为1时，甲恰好通过文化测试和体育测试的一个， 故甲总分为1的概率为： ； ②乙通过文化测试的概率为，则同理可得， 设甲总分为分，，设乙总分为分，， ，， ， ， 故甲总分高于乙总分的概率为 ． 21. 我们学习过一些代数式恒等变形的方法，例如：，等等，利用这些知识解决下面的问题. 已知定义在上的函数满足． （1）求，，的值； （2）设函数，利用代数式恒等变形的方法，求出函数的解析式； （3）证明：． 【答案】（1），，； （2）； （3）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）利用赋值法计算； （2）先考虑当时，构造，作差可得，得出，再利用代数式恒等变形的方法可得； （3）利用进行放缩得，即可求证或求证，进而求证即可. 【小问1详解】 令，可得，所以， 令，可得，所以， 令，可得，所以． 【小问2详解】 考虑当时，， ， 两式作差得，， 即，即，即， 由代数式恒等变形的方法可知 ， 显然满足上式，故. 【小问3详解】 法1：由（2）知，只需证明，，． 因为，所以， 所以， 所以， 即，，，命题得证. 法2：要证． 只要证，只要证，即证显然成立， 命题得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $