精品解析：江西宜春市宜丰中学2025-2026学年高二下学期第二次月考数学试卷

2025-2026（下）高二数学（二） 一、单选题(40分) 1. 在等差数列中，，，则公差（ ） A. 2 B. 1 C. -1 D. -2 2. 已知函数，则的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 3. 函数在上的最大值是（ ） A. B. 0 C. D. 4. 如图，函数的图象在点P处的切线方程是，则（ ） A. B. 2 C. 0 D. 3 5. 若函数在其定义域内的区间内有极值点，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列是递增数列，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的一个极值点为3，则（ ） A. B. 当时， C. 当时， D. 是函数的极小值点 二、多选题（18分） 9. 下列求导正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且，则满足不等式的可以是（ ） A. B. 5 C. 3 D. 11. 已知数列满足是公差为-2的等差数列，是首项为8的等比数列，且，则（ ） A. B. 与都是递减数列 C. 的前项和有最大值 D. 的前项积有最大值 三、填空题（15分） 12. 2和9的等比中项是____________. 13. 若数列是等差数列，首项，，，则使前项和成立的最大自然数是________. 14. 若曲线与曲线恰好有3条公切线，则的取值范围为_____． 四、解答题（77分） 15. 已知等差数列的公差，前n项和为． （1）若1，，成等比数列，求； （2）在（1）的条件下，若，求． 16. 已知数列的首项，且满足. （1）求证：数列为等差数列； （2）记，数列的前项的和为，求证：. 17. 已知函数 （1）讨论的单调性. （2）若对任意都有恒成立，求的取值范围. 18. 已知数列的前项和为，且． （1）证明：数列是等比数列． （2）令，求数列的前项和． （3）在第（2）问的条件下，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 19. 设函数. （1）当， （i）若，讨论的单调性； （ii）若，求极值点的个数； （2）对任意，总存在，使得，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026（下）高二数学（二） 一、单选题(40分) 1. 在等差数列中，，，则公差（ ） A. 2 B. 1 C. -1 D. -2 【答案】A 【解析】 【详解】在等差数列中， 公差. 2. 已知函数，则的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导，根据导函数的符号确定的减区间. 【详解】解：函数的定义域为， ， 当时，单调递增，当时，单调递减； 的减区间是． 3. 函数在上的最大值是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求导，根据导数的正负得函数单调性即可求最大值. 【详解】由题， 所以当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以. 故选：B. 4. 如图，函数的图象在点P处的切线方程是，则（ ） A. B. 2 C. 0 D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】根据图像得，点，切线斜率为，，则. 5. 若函数在其定义域内的区间内有极值点，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数来判断函数的单调区间，然后依题意即可得参数满足的不等式,求解即可. 【详解】由， 则当时，，当时，， 所以函数的减区间为，增区间为， 则依题意有，可得， 故选：C. 6. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数得函数在上单调递增，由单调性可得，再解一元二次不等式即可. 【详解】由题意可得函数的定义域为，， 因为，，当且仅当，即时等号成立， 因为，所以恒成立，函数在上单调递增， 则不等式，解得， 所以不等式的解集为. 7. 已知数列是递增数列，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由数列单调递增得到分段函数单调递增，然后建立不等式组，解得的取值范围. 【详解】由，数列是递增数列， 得，解得， 所以a的取值范围是. 故选：C 8. 已知函数的一个极值点为3，则（ ） A. B. 当时， C. 当时， D. 是函数的极小值点 【答案】B 【解析】 【分析】根据极值点的定义得到，然后用导数研究原函数的单调性判断即可. 【详解】由，所以， 由题可知：， 当时，， 令，则；令，则或. 所以函数在单调递增，在单调递减. 对A，所以在处取得极小值，，错误； 对B，，所以，正确； 对C，当时，，所以错误； 对D，是函数的极大值点，错误； 故选：B 二、多选题（18分） 9. 下列求导正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】依据求导公式和导数四则运算去判断即可解决. 【详解】对于选项A，∵，∴选项A正确； 对于选项B，，令，则，∴选项B错误； 对于选项C，∵，∴选项C正确； 对于选项D，∵，∴选项D错误． 故选：AC 10. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且，则满足不等式的可以是（ ） A. B. 5 C. 3 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】构造函数，判断出函数的奇偶性，利用导数求出函数的单调区间，再根据函数的单调性和奇偶性解不等式即可. 【详解】令，则， 所以函数为奇函数， ， 因为当时，，即， 所以函数在上单调递减， 又函数为奇函数，则在上单调递减， 又，所以，所以， 当时，令，则， 当时，令，则， 所以的解集为， 所以选项BD符合题意. 11. 已知数列满足是公差为-2的等差数列，是首项为8的等比数列，且，则（ ） A. B. 与都是递减数列 C. 的前项和有最大值 D. 的前项积有最大值 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据等差数列、等比数列的通项公式和性质逐项计算判断即可. 【详解】设，则是公差为-2的等差数列， 所以是首项为8的等比数列，所以. 因为，且，所以. 因为，所以，所以， 所以，所以. 因为，所以，故A正确. 因为，所以是递减数列.因为， 所以当时，，当时，，当时，， 所以不是递减数列，故B错误. 因为是首项为8，公差为-2的等差数列，所以前项和有最大值，故C正确. 因为是首项为8，公比为的等比数列，所以前项积有最大值，故D正确. 三、填空题（15分） 12. 2和9的等比中项是____________. 【答案】 【解析】 【详解】令等比中项为，则. 13. 若数列是等差数列，首项，，，则使前项和成立的最大自然数是________. 【答案】4026 【解析】 【分析】结合已知条件，利用等差数列的单调性判断与的符号，然后利用等差数列的性质即可求解. 【详解】设数列是公差为的等差数列， 因为，故与符号相异，所以， 又因为公差不为0等差数列具有单调性， 且，， 故，， 因为， 所以， 因为， 所以使前项和成立的最大自然数为4026. 故答案为：4026. 14. 若曲线与曲线恰好有3条公切线，则的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据导函数的几何意义分析可得，构建，利用导数求单调性及最值. 【详解】设公切线为，是与的切点，是与的切点， ，，所以的方程为， 因为，整理得， 同理，因为，整理得． 依题意两条直线重合，可得，两式相除得， 所以，代入①得 由题意此方程有三个不等实根，设， 即直线与曲线有三个不同的交点， 因为，令，则或． 当时，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 当时，在上单调递减， 所以有极小值为，有极大值为， 当趋近于0时，趋近于0；当趋近于时，趋近于， 所以当，即时， 直线与曲线有三个交点，故的取值范围为． 四、解答题（77分） 15. 已知等差数列的公差，前n项和为． （1）若1，，成等比数列，求； （2）在（1）的条件下，若，求． 【答案】（1）或 （2），． 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的性质和等比中项的定义，列出方程，求出首项即可； （2）根据等差数列前n项和公式，直接写出结果即可. 【小问1详解】 因为数列的公差，所以， 因为1，，成等比数列，所以， 即，解得或． 【小问2详解】 因为，所以， 所以，． 16. 已知数列的首项，且满足. （1）求证：数列为等差数列； （2）记，数列的前项的和为，求证：. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用递推关系变形可证明等差数列； （2）利用裂项相消法求和可证明不等式. 【小问1详解】 由递推关系，两边取倒数可得：， 整理可得：，所以数列为等差数列； 【小问2详解】 由可知，数列是以为首项，以为公差的等差数列， 即，即， 又因为， 所以. 17. 已知函数 （1）讨论的单调性. （2）若对任意都有恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求得，分类讨论和时导数的符号，进而判断函数单调性； （2）由参变分离法可得，设，通过导数求最大值，从而可得的取值范围. 【小问1详解】 由题意可得，， 当时，在恒成立，所以函数在单调递增； 当时，时，时，故函数在单调递减,在单调递增， 综上所述，当，函数在单调递增； 当时，函数在单调递减,在单调递增. 【小问2详解】 因为对任意都有，所以，即， 令，，则， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以， 故. 18. 已知数列的前项和为，且． （1）证明：数列是等比数列． （2）令，求数列的前项和． （3）在第（2）问的条件下，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由的关系通过作差得到即可求证； （2）通过错位相减法求和即可； （3）由不等式恒成立得到，构造数列，确定单调性即可求解. 【小问1详解】 证明：当时，，解得． 当时，由，可得， 两式相减，可得，化简得， 所以数列是一个首项为1，公比为3的等比数列． 【小问2详解】 由（1）知数列的通项公式为， 则 所以，① ①得，，② ①－②得，， ， 化简得． 【小问3详解】 由（2）知，代入不等式， 整理得． 令， 则． 由于，因此，所以，所以， 即是递增数列， 所以． 若对任意的，不等式恒成立，则， 所以实数的取值范围是． 19. 设函数. （1）当， （i）若，讨论的单调性； （ii）若，求极值点的个数； （2）对任意，总存在，使得，求的最小值. 【答案】（1）（i）在上单调递减，在上单调递增；（ii）1个 （2） 【解析】 【分析】（1）（i）直接求导判断即可；（ii）根据导函数特征分区间判断单调性，无法直接判断的部分二次求导后，利用零点定理判断极值点的存在性. （2）将移到一边，定义另一边为以为变量，为参数的一次函数，分类讨论单调性后得到关于的恒等式，再利用导数得到最值. 【小问1详解】 ， （i）若，，， 因为在上单调递增，且， 所以当时，；当时，， 故在上单调递减，在上单调递增. （ii）当，由（i）可知，且， 又因为，所以，此时单调递减； 当时，设，则， 由（i）可知，且，， 又因为，所以， 所以即在上单调递增， 且有，， 由零点定理可知存在唯一的使得， 若，，若，， 综上在上单调递减，在上单调递增，为极小值点， 所以极值点的个数为 1个. 【小问2详解】 将化为， 设，， 当即时，此时， 单调递减至负无穷，可以取任意值； 当即时，此时， 单调递增或为常函数，， 依题意应有在上恒成立， 设，， 则， 所以在上单调递增， ， 所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $