精品解析：江西南昌市第五高级中学2023-2024学年第二学期第一次月考高一数学试卷

南昌五中2023-2024学年第二学期第一次月考高一数学试卷 命题老师：颜隆艳 审题教师：张玲 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的值是（ ） A. B. C. D. 2. 一个扇形的面积和弧长的数值都是2，则这个扇形中心角的弧度数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 3. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 4. 将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，把得到的图象向左平移个单位长度，再把得到的图象向上平移2个单位长度，得到函数的图象，则图象的对称中心为（ ） A. B. C. D. 5. “”是“是第一象限角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 求值：（ ） A. B. C. D. 1 7. 已知函数，在内的解的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 设，若，则的最小值为（ ）． A. B. C. D. 二、选择题：本小题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 锐角都是第一象限角 B. 第二象限角都比第三象限角小 C. 角与角不等，则两角的终边不同 D. 若角与角终边相同，则 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上单调递增 C. 的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 D. 函数的最小值为 11. 已知函数，则（ ） A. 在区间单调递增 B. 的图象关于直线对称 C. 的值域为 D. 关于的方程在区间有实数根，则所有根之和组成的集合为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则的值为__________. 13. 设函数，若将图像向左平移个单位后，所得函数图像的对称轴与原函数图像的对称轴重合，则_______． 14. 某公园有一座摩天轮，其旋转半径米，最高点距离地面米，匀速运行一周大约分钟某人在最低点的位置坐上摩天轮，则第分钟时，他距地面大约为______米 四、解答题：本题共5小题，共计77分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）计算：； （2）已知.求的值. 16. 已知. （1）求的值； （2）求的值. 17. 某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角和以为直径的半圆拼接而成，点为半圆上一点（异于，），点在线段上，且满足．已知，，设． （1）为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足，且达到最大．当为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果？ （2）为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足，且达到最大．当为何值时，工艺礼品达到最佳稳定性？并求此时的值． 18. 已知函数. （1）求函数的单调递减区间； （2）求函数在区间的最大值和最小值； （3）若在区间上恰有两个零点，求的值. 19. 已知函数 （1）若，求的值域； （2）若，都有恒成立，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌五中2023-2024学年第二学期第一次月考高一数学试卷 命题老师：颜隆艳 审题教师：张玲 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由诱导公式，再求值即可得解. 【详解】解：， 故选：A. 【点睛】本题考查了诱导公式及三角函数求值问题，属基础题. 2. 一个扇形的面积和弧长的数值都是2，则这个扇形中心角的弧度数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据扇形面积和弧长公式计算即可得出结果. 【详解】设扇形中心角的弧度数为，半径为， 由题意可知，扇形面积，弧长， 解得， 即扇形中心角的弧度数为1. 故选：D 3. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据任意角的三角函数的定义计算可得； 【详解】解：已知角的终边经过点，所以 故选：A 4. 将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，把得到的图象向左平移个单位长度，再把得到的图象向上平移2个单位长度，得到函数的图象，则图象的对称中心为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过正切函数图象变换求出，然后利用整体代换法求解函数的对称中心. 【详解】由题意，得， 由，得， 所以图象的对称中心为. 故选：D. 5. “”是“是第一象限角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据象限角、充分和必要条件等知识确定正确答案. 【详解】， 是第一象限角， 所以“”是“是第一象限角”的必要不充分条件. 故选：B 6. 求值：（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】由为特殊角， 根据和差化积代入原式即可求解． 【详解】 . 故选C 【点睛】本题考查了三角函数化简求值，要掌握住和差化积公式． 7. 已知函数，在内的解的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【详解】方程，令，则.由得，. 因为，且，，当时，，不满足，所以只能取，则或，在区间内： 有两个解，分别位于和内； 有两个解，分别位于和内. 所以方程在内共有4个解. 如图： 8. 设，若，则的最小值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先对变形，从而表示出，然后根据表达式的特点，利用基本不等式可得结果. 【详解】因为，则， 所以， 即， 于是有， 所以 ， 因为，所以，于是有， 当且仅当即时，等号成立， 所以的最小值， 故选：A. 二、选择题：本小题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 锐角都是第一象限角 B. 第二象限角都比第三象限角小 C. 角与角不等，则两角的终边不同 D. 若角与角终边相同，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据任意角的定义即可逐个选项判断. 【详解】锐角都是第一象限角，A正确； 第二象限角不是都比第三象限角小，B错； 角与角不等，但两角的终边可以相同，C错； 若角与角终边相同，则，D正确. 故选：AD 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上单调递增 C. 的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 D. 函数的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据周期可得，代入最值点可得，进而根据函数的不等式即可根据周期，单调性以及平移求解ABC，利用换元法，结合二次函数的性质即可求解D. 【详解】由图可得：， 又， ，又， ， 将代入得， 即，， 即，， ， 对于A，最小正周期，故正确； 对于B，令，，解得，， 可得的单调递增区间为，，当时，单调递增区间为，故B正确； 对于C，函数的图象向左平移个单位长度，所得到的函数解析式为：，故C不正确； 对于D，， 令，所以， 故最小值为，D正确， 故选：ABD 11. 已知函数，则（ ） A. 在区间单调递增 B. 的图象关于直线对称 C. 的值域为 D. 关于的方程在区间有实数根，则所有根之和组成的集合为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用符合函数的单调性判断A，计算出即可判断B，利用换元法求出函数的值域，即可判断C，求出函数在上的单调性，即可画出函数在区间的图象，结合图象分类讨论，即可判断D. 【详解】对于A：当时， 所以， 因为在上单调递增，又， 所以， 因为，即，所以，即， 所以，所以， 又在上单调递增，在上单调递减， 所以在上不单调，即在区间不单调，故A错误； 对于B：因为， 所以的图象关于直线对称，故B正确； 对于C：因为， 令，则，令，， 则在上单调递增，在上单调递减，又，，， 所以，所以的值域为，故C正确； 对于D：当时，所以， 由A选项可令且， 则当时单调递增， 令，即时在上单调递增，且， 所以在上单调递减， 又，令，即时在上单调递减，且， 所以在上单调递增， 当，即时在上单调递减，且， 所以在上单调递减， 又，，， 所以在上的函数图象如下所示： 由图可知： ①当时与有且仅有一个交点， 即关于的方程在区间的实数根为； ②当或时与有两个交点， 即关于的方程在区间有两个实数根，且两根关于对称， 所以两根之和为； ③当时与有四个交点， 即关于的方程在区间有四个实数根，不妨设为且， 所以与关于对称，与关于对称， 所以； ④当或时与无交点， 即关于的方程在区间无实数根； 综上可得，若关于的方程在区间有实数根，则所有根之和组成的集合为，故D正确； 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：对于D选项关键是分析出函数的单调性，结合函数图象，将方程的解转化为函数与函数的交点问题，结合函数的对称性求出方程的根的和. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则的值为__________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据正弦以及角的范围，先求出余弦，得到正切，再根据两角和的正切公式，即可求出结果. 【详解】因为，，所以，则， 所以. 故答案为：3 13. 设函数，若将图像向左平移个单位后，所得函数图像的对称轴与原函数图像的对称轴重合，则_______． 【答案】##1.25 【解析】 【分析】求出平移后的解析式，根据平移后的解析式图象与原函数图像的对称轴重合得到，利用得到的取值范围，进而求出，. 【详解】平移后的解析式为，因为与原函数图像的对称轴重合，所以，.所以，k∈Z，因为，所以，解得：，因为，所以，所以. 故答案为： 14. 某公园有一座摩天轮，其旋转半径米，最高点距离地面米，匀速运行一周大约分钟某人在最低点的位置坐上摩天轮，则第分钟时，他距地面大约为______米 【答案】 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，求出某人第分钟时所在位置关于的解析式，利用函数解析式求出时的值即可． 【详解】解：如图设为地面，圆为摩天轮，其旋转半径米，最高点距离地面米， 则摩天轮的最低点离地面米，即， 以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 某人在最低点的位置坐上摩天轮，则第分钟时所在位置的高度为， 则， 由题意，， 则， 所以， 当时，． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共计77分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）计算：； （2）已知.求的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）由诱导公式及两角差的正弦公式化简求值即可； （2）先由诱导公式进行化简，再由商数关系求值即可. 【详解】（1）； （2）. 16. 已知. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由同角基本关系式可求； （2）先由同角基本关系式求出，再由，可解. 【小问1详解】 因为， 所以，又， 则， 【小问2详解】 由， ， 所以，则， 所以， 因为，所以. 17. 某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角和以为直径的半圆拼接而成，点为半圆上一点（异于，），点在线段上，且满足．已知，，设． （1）为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足，且达到最大．当为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果？ （2）为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足，且达到最大．当为何值时，工艺礼品达到最佳稳定性？并求此时的值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）由，则在直角中，，，计算得到，计算最值得到答案. （2）计算，得到，得最值. 【小问1详解】 由，在直角中，，； 在直角中，， ； ， 所以当，即时，的最大值为， 即时，工艺礼品达到最佳观赏效果． 【小问2详解】 在直角中，由， 可得； 在直角中，， 所以，， 所以 ， 所以当时，工艺礼品达到最佳稳定性，此时取得最大值，且最大值为． 18. 已知函数. （1）求函数的单调递减区间； （2）求函数在区间的最大值和最小值； （3）若在区间上恰有两个零点，求的值. 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）由三角恒等变换化简表达式得，，令，解不等式组即可得解. （2）由，得 ，结合正弦函数单调性即可得解. （3）由题意得即，进一步结合换元、诱导公式以及平方关系即可得解. 【小问1详解】 . 由，可得， 即的单调递减区间为. 【小问2详解】 因为，所以， 所以，所以， 当时，即时，， 当时，即时，. 【小问3详解】 因为，所以，同理 由题意可得，. 即，所以， 所以，即可得， 因为，所以，所以， 所以， 因为，可设，则， 所以， 因为，且，所以， 所以. 19. 已知函数 （1）若，求的值域； （2）若，都有恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）使用换元法结合三角函数性质计算即可得； （2）使用换元法分类讨论计算即可得. 【小问1详解】 当时，， 令， 则， 由，则，故，又，故， 即的值域为； 【小问2详解】 令，则， 当时，，， 则， 由，即，化简得， 令，， 由，故，故在上单调递增， 故，解得； 当时，，， 故， 则有，即， 由，故有，， 解得， 综上所述，. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用换元法，将复杂的三角函数转化为熟悉的二次函数问题，再结合分类讨论的思想即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $