7.5 正态分布 巩固练习-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

**基本信息** 聚焦正态分布核心概念，通过基础计算→情境应用→综合拓展的三层设计，强化参数理解与实际问题解决，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|正态分布参数计算、概率基本公式|单选题1-4题直接考查μ,σ与概率关系，如已知X~N(μ,σ²)求特定区间概率| |综合应用|实际情境中的分布应用|解答题15-17题结合AI准确率、产品质量等场景，培养用数学眼光观察现实问题的能力| |拓展提升|跨模块综合（正态分布+二项分布）|解答题18-19题涉及分布列、期望计算，需用数学思维构建逻辑联系，发展理性精神|

7.5正态分布巩固练习 一、单选题 1．已知，若，则（    ） A． B． C． D． 2．已知随机变量，实数满足，则的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．已知随机变量，若，则（   ） A．88 B．90 C．92 D．94 4．已知某校4000名学生的体能测试得分（单位：分）服从正态分布，若，，则得分在区间内的人数约为（   ） A．1500 B．1800 C．2000 D．2600 5．已知随机变量，且，且，则（   ） A． B． C． D． 6．有条同样的生产线，生产的零件尺寸(单位：)都服从正态分布，且.在每条生产线上各取一个零件，恰好有个尺寸在区间的概率为（    ） A． B． C． D． 7．已知随机变量，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 8． 已知随机变量服从正态分布，，则的 最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知在体能测试中，某校学生的成绩服从正态分布，其中分为及格线，则（   ）（参考数据： A．该校学生成绩的均值为 B．该校学生成绩的标准差为 C．该校学生成绩的标准差为 D．该校学生成绩及格率超过 10．已知随机变量，.若，，则（   ） A． B． C． D． 11．已知随机变量，则（    ） A． B．是增函数 C． D． 三、填空题 12．随机变量服从正态分布，，则______. 13．假设某次数学考试成绩服从正态分布．如果按照16%，34%，34%，16%的比例将考试成绩由高到低分为A，B，C，D四个等级，那么A等级的分数线约为____________分及以上（精确到1）． （参考数据：若，则．） 14．某公司生产的糖果每包标识质量是500g，但公司承认实际质量存在误差．已知每包糖果的实际质量服从正态分布．则随意买一包糖果，其质量误差超过5g（即1%）的可能性为______．（结果精确到0.1%） 四、解答题 15．某科技公司研发的AI智能体在执行图象分类任务时，单次分类的准确率X（单位：分）服从正态 分布． (1)求正常情况下，该AI单次分类的准确率大于99分的概率； (2)某天测试人员随机抽取了该AI的两次分类结果，发现两次的准确率得分均大于99分．测试人员根据这两次测试结果，判断该AI智能体出现了异常波动，要求立即暂停研发，更新并进行算法排查．请问测试人员的判断是否合理？请说明理由． 附：若，则，，． 16．已知某超市销售的袋装食用盐的质量（单位：）服从正态分布，且0.15.某次该超市称量了120袋食用盐，其总质量为的值恰好等于这120袋食用盐每袋的平均质量（单位：）. (1)若从该超市销售的袋装食用盐中随机选取2袋，设这2袋中质量不小于的袋数为，求的分布列； (2)若从该超市销售的袋装食用盐中随机选取（为正整数）袋，记质量在的袋数为，求满足的的最大值. 17．某企业产品质检员随机从一条生产线分两次共抽取50件样品进行误差检测，统计数据如下表： 抽取次数 抽取件数 平均误差 第一次 30 0.3 第二次 20      (1)已知这条生产线的产品误差X服从正态分布，若以这50件样品的平均误差作为的估计值，且误差落在区间内的产品为“特等品”，试估计这条生产线生产的10000件产品中“特等品”的件数； (2)已知这条生产线的“特等品”在某项测试任务中的达标率为80%，现随机抽取4件“特等品”进行该项测试任务，记其中达标的件数为随机变量Y，求Y的分布列及其数学期望． 附：若，则，；． 18．某零部件代加工基地为某科技公司生产了一批精密零件，其质量指标（单位：μm）服从正态分布，已知当时，．规定质量指标在内的零件为优质品，且每个零件的检测结果相互独立． (1)现从该批零件中随机抽取2个，求这2个零件中恰好有1个为优质品的概率； (2)从该批零件中随机抽取6个进行检测，记这6个零件中有个优质品的概率最大，当这6个零件中恰好有个优质品时把这6个零件视为一个样本，从这6个零件中不放回地任取3个进行二次检测，记取出的3个零件中优质品的个数为，求的分布列与期望； 19．某校高三年级有1000人，某次数学考试不同成绩段的人数． (1)求该校此次数学考试平均成绩； (2)计算得分超过141的人数； (3)甲同学每次数学考试进入年级前100名的概率是，若本学期有4次考试，表示进入前100名的次数，写出的分布列，并求期望与方差． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.5正态分布巩固练习 一、单选题 1．已知，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，故，故. 故选：A. 2．已知随机变量，实数满足，则的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】根据正态分布的对称性求解本题. 【详解】已知随机变量，实数满足， 所以，解得. 故选：D. 3．已知随机变量，若，则（   ） A．88 B．90 C．92 D．94 【答案】B 【分析】根据正态分布的对称性可得. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：B. 4．已知某校4000名学生的体能测试得分（单位：分）服从正态分布，若，，则得分在区间内的人数约为（   ） A．1500 B．1800 C．2000 D．2600 【答案】C 【详解】由正态分布的对称性可知，， 所以， 所以， 所以得分在区间内的人数约为. 故选：C. 5．已知随机变量，且，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正态分布特性求出的值，再根据二项分布的方差公式求出，最后代入题中所给等式求解即可． 【详解】因为随机变量，正态分布关于均值对称， 所以，又，则， 而，因为， 所以，解得. 故选：D. 6．有条同样的生产线，生产的零件尺寸(单位：)都服从正态分布，且.在每条生产线上各取一个零件，恰好有个尺寸在区间的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正态分布的对称性得，再结合独立重复试验求解即可得答案. 【详解】由题知正态分布的对称轴为，又因为，故. 故在每条生产线上各取一个零件，恰好有个尺寸在区间的概率为：. 故选：B. 7．已知随机变量，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正态分布的对称性，逐项判断即可. 【详解】因为， 所以由正态分布的对称性知， 所以，不能判断，故A错误； 由=0.3知:，故B错误； 因为，所以，故C正确； 因为大小未知，所以不能判断9，故D错误. 故选：C. 8． 已知随机变量服从正态分布，，则的 最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正态分布的对称性，结合二次函数性质即可求解. 【详解】因为随机变量X服从正态分布， 所以，所以， 所以 , 因为，所以当时，取得最大值为 . 故选：A. 二、多选题 9．已知在体能测试中，某校学生的成绩服从正态分布，其中分为及格线，则（   ）（参考数据： A．该校学生成绩的均值为 B．该校学生成绩的标准差为 C．该校学生成绩的标准差为 D．该校学生成绩及格率超过 【答案】ACD 【分析】直接由正态分布的定义可判断ABC选项，再由正态分布的概率分布计算成绩超过及格线的概率可判断D选项. 【详解】因为学生的成绩服从正态分布，所以，所以AC正确，B错误； 因为， 所以， 又因为，所以 所以，故D正确. 故选：ACD. 10．已知随机变量，.若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】对于A，由条件结合正态分布对称性求即可判断，对于B，由正态分布的期望结论求，由二项分布的期望公式求，列方程求即可判断，对于C，根据正态分布的方差结论求，根据二项分布方差公式求，由此即可判断，对于D，根据方差性质即可判断. 【详解】对于A，因为，，所以，A正确. 对于B，由，得，则，解得，B正确. 对于C，，，所以，C错误. 对于D，，D错误. 故选：AB. 11．已知随机变量，则（    ） A． B．是增函数 C． D． 【答案】ABC 【分析】根据正态分布的对称性及条件，可判断A、C、D的正误；根据正态分布的性质及函数的性质，可判断B的正误； 【详解】因为随机变量，则正态分布的对称轴， 选项A：，故A正确； 选项B：随着x逐渐增大，逐渐增大且连续，所以是增函数，故B正确； 选项C：根据对称性可得， 又，所以，故C正确； 选项D： ，故D错误； 故选：ABC. 三、填空题 12．随机变量服从正态分布，，则______. 【答案】 【详解】因为随机变量服从正态分布，所以， 所以. 故应填：0.7 。 13．假设某次数学考试成绩服从正态分布．如果按照16%，34%，34%，16%的比例将考试成绩由高到低分为A，B，C，D四个等级，那么A等级的分数线约为____________分及以上（精确到1）． （参考数据：若，则．） 【答案】85 【详解】设A等级的分数线为a，则应该满足． 又由题知， 因此．故应填：85. 14．某公司生产的糖果每包标识质量是500g，但公司承认实际质量存在误差．已知每包糖果的实际质量服从正态分布．则随意买一包糖果，其质量误差超过5g（即1%）的可能性为______．（结果精确到0.1%） 【答案】4.6% 【分析】用表示糖果质量，可知，根据正态分布的三段区间法即可求解. 【详解】用表示糖果质量，由题意可知，要求的概率，即求的值， 因此有 . 故应填：4.6% . 四、解答题 15．某科技公司研发的AI智能体在执行图象分类任务时，单次分类的准确率X（单位：分）服从正态 分布． (1)求正常情况下，该AI单次分类的准确率大于99分的概率； (2)某天测试人员随机抽取了该AI的两次分类结果，发现两次的准确率得分均大于99分．测试人员根据这两次测试结果，判断该AI智能体出现了异常波动，要求立即暂停研发，更新并进行算法排查．请问测试人员的判断是否合理？请说明理由． 附：若，则，，． 【分析】（1）考察正态分布的对称性及其性质，重点在于理解正态分布密度曲线的对称性，利用给定区间概率计算概率. （2）理解小概率事件在统计决策中的含义. 【详解】（1）因为，即， 又因为，所以 所以正常情况下，该AI单次分类的准确率得分大于99分的概率为 （2）测试人员的判断是合理的，理由如下： 设“AI单次分类的准确率得分大于99分的概率”为事件，则， 设 “两次分类准确率得分均大于99分”为事件，则两次测试相互独立， 因为是一个极小概率，根据小概率原理，小概率事件在一次实验中几乎不可能发生. 现在该事件发生了，说明“AI智能体运行正常”这一假设不成立，即出现了异常波动. 所以，测试人员的判断是合理的. 16．已知某超市销售的袋装食用盐的质量（单位：）服从正态分布，且0.15.某次该超市称量了120袋食用盐，其总质量为的值恰好等于这120袋食用盐每袋的平均质量（单位：）. (1)若从该超市销售的袋装食用盐中随机选取2袋，设这2袋中质量不小于的袋数为，求的分布列； (2)若从该超市销售的袋装食用盐中随机选取（为正整数）袋，记质量在的袋数为，求满足的的最大值. 【分析】（1）根据题意可求得，从而求出，由的可能取值为，从而求出相应概率即可列出分布列. （2）由（1）及可得，且，利用二项分布求方差公式从而可求解. 【详解】（1）依题意可得，则， 的可能取值为， ，， 所以的分布列为 0 1 2 0.25 0.5 0.25 （2）因为，所以. 依题意可得， 所以. 因为，所以，又为正整数，所以的最大值为199. 17．某企业产品质检员随机从一条生产线分两次共抽取50件样品进行误差检测，统计数据如下表： 抽取次数 抽取件数 平均误差 第一次 30 0.3 第二次 20      (1)已知这条生产线的产品误差X服从正态分布，若以这50件样品的平均误差作为的估计值，且误差落在区间内的产品为“特等品”，试估计这条生产线生产的10000件产品中“特等品”的件数； (2)已知这条生产线的“特等品”在某项测试任务中的达标率为80%，现随机抽取4件“特等品”进行该项测试任务，记其中达标的件数为随机变量Y，求Y的分布列及其数学期望． 附：若，则，；． 【分析】（1）结合题意先确定，再结合正态分布的性质求出特等品的概率，最后结合题意求解估计值即可. （2）先确定变量服从二项分布，再利用二项分布的概率公式求解概率写出分布列，最后结合二项分布的期望公式求解期望即可. 【详解】（1）设这50件样品平均误差为，则，即，而， 由已知为“特等品”，即为“特等品”， 故概率为， 故这条生产线生产的10000件产品中“特等品”件数约为件； （2）由题意得：， 则，， ，， ， 则Y的分布列如下： Y 0 1 2 3 4 P 其数学期望． 18．某零部件代加工基地为某科技公司生产了一批精密零件，其质量指标（单位：μm）服从正态分布，已知当时，．规定质量指标在内的零件为优质品，且每个零件的检测结果相互独立． (1)现从该批零件中随机抽取2个，求这2个零件中恰好有1个为优质品的概率； (2)从该批零件中随机抽取6个进行检测，记这6个零件中有个优质品的概率最大，当这6个零件中恰好有个优质品时把这6个零件视为一个样本，从这6个零件中不放回地任取3个进行二次检测，记取出的3个零件中优质品的个数为，求的分布列与期望； 【分析】（1）先确定，由条件可得从该批零件中随机抽取1个为优质品的概率，再结合独立重复试验概率公式求结论； （2）先求，由，判断的单调性，确定，再确定的可能取值，并求取各值的概率，由此可得分布列，再由期望公式求期望. 【详解】（1）因为，所以，， 所以从该批零件中随机抽取1个为优质品的概率， 所以从该批零件中随机抽取个，恰好有个为优质品的概率为. （2）设随机抽取的个零件中，优质品的个数为. 由题意得，， 所以， 因为， 当时，， 当时，， 所以. 由题意可得的所有可能取值为1，2，3， ，，， 所以的分布列为 1 2 3 . 19．某校高三年级有1000人，某次数学考试不同成绩段的人数． (1)求该校此次数学考试平均成绩； (2)计算得分超过141的人数； (3)甲同学每次数学考试进入年级前100名的概率是，若本学期有4次考试，表示进入前100名的次数，写出的分布列，并求期望与方差． 【分析】（1）由不同成绩段的人数服从正态分布，可知平均成绩； （2）利用正态分布特殊区间的概率求解，，141分以上的人数为； （3）的取值范围为0,1,2,3,4，求出相应的概率值，得到分布列及期望与方差． 【详解】（1）由不同成绩段的人数服从正态分布，可知平均成绩. （2）因为， 故141分以上的人数为人． （3）的取值范围为0,1,2,3,4，且，则 ， ， ， ， ， 故的分布列为： 0 1 2 3 4 所以期望，方差． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $