7.5 正态分布（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第三册（人教A版）

7.5　正态分布 基础过关练 题组一　正态曲线及其特点 1.(2025山东莱阳第一中学月考)已知三个正态密度函数φi(x)=(x∈R,i=1,2,3)的图象如图所示,则(　　) A.μ1=μ3>μ2,σ1=σ2>σ3 B.μ1<μ2=μ3,σ1<σ2<σ3 C.μ1=μ3>μ2,σ1=σ2<σ3 D.μ1<μ2=μ3,σ1=σ2<σ3 2.(多选题)下列说法正确的是(　　) A.正态曲线中参数μ,σ的意义分别是样本的均值与方差 B.正态曲线是单峰的,其与x轴围成的面积是随参数μ,σ的变化而变化的 C.正态曲线可以关于y轴对称 D.若X~N(μ,σ2),则P(X<μ)= 3.若一个随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),且函数f(x)=(x∈R)的图象如图所示,则该随机变量X的数学期望E(X)=　　　　,方差D(X)=　　　　.  题组二　正态分布的概率计算 4.(2025河北唐山一模)已知随机变量X~N(μ,σ2),σ>0.若P(X<μ+σ)=p,则P(μ-σ<X<μ+σ)=(　　) A.1-p　　　　B.2-2p　　　　C.p-　　　　D.2p-1 5.(2025山东齐鲁名校联考)已知随机变量X~N(90,102),则下列结论不正确的是(　　) (注:若ξ~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤ξ≤μ+3σ)≈0.997 3) A.P(80≤X<90)=0.341 35 B.P(X≥80)=0.841 35 C.P(X≤110)=0.977 25 D.P(80≤X≤110)=0.778 6 6.(多选题)(2025河北沧衡八校联盟期中)下列命题中正确的是(　　) A.已知ξ服从正态分布N(0,σ2),且P(-2≤ξ≤2)=0.4,则P(ξ>2)=0.3 B.已知ξ服从正态分布N(2,9),且P(ξ>c)=P(ξ<c-2),则常数c的值为3 C.已知ξ服从正态分布N(2,σ2),若在(-∞,1)内取值的概率为0.15,则在[2,3]内取值的概率为0.25 D.已知ξ~B(4,p),其中0<p<1,则D(ξ)max=1 题组三　正态分布的实际应用 7.(2025湖南长沙第一中学阶段检测)已知某种零件的尺寸(单位:mm)在[83.8,86.2]内的为合格品.某企业生产的该种零件的尺寸X服从正态分布N(85,σ2),且P(X<83.8)=0.1,则估计该企业生产的2 000个该种零件中合格品的个数为(　　) A.1 600　　　　B.1 400　　　　C.800　　　　D.20 8.(2025河南南阳期末)一批电阻的阻值X(单位:Ω)服从正态分布N(1 000,52),根据行业标准,概率低于0.003视为小概率事件,现从甲、乙两箱成品中各随机抽取一个电阻,测得阻值分别为1 011 Ω和982 Ω,则下列结论正确的是(　　) 参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(|X-μ|≤3σ)≈0.997 3. A.甲、乙两箱电阻均可出厂 B.甲、乙两箱电阻均不可出厂 C.甲箱电阻可出厂,乙箱电阻不可出厂 D.甲箱电阻不可出厂,乙箱电阻可出厂 9.(多选题)(2025河北昌黎第一中学调研)为了解某市高二学生身体素质状况,对某校高二学生进行了体能抽测,得到学生的体育成绩X~N(70,100),其中60分及以上为及格,90分以上为优秀.则下列说法正确的是(　　) 参考数据:若随机变量ξ~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤ξ≤μ+3σ)≈0.997 3. A.该校高二学生体育成绩的方差为10 B.该校高二学生体育成绩的期望为70 C.该校高二学生体育成绩的及格率不到85% D.该校高二学生体育成绩不及格的人数和优秀的人数相当 10.(2025湖南娄底第三中学期末)红外体温计的工作原理是通过人体发出的红外热辐射来测量体温,有一定误差.现用一款红外体温计测量一个体温为36.9 ℃的人的体温,发现体温计所显示的体温X(单位:℃)服从正态分布N,若X的值落在[36.6,37.2]内的概率为0.997 3,则n=　　　　.  参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(|X-μ|≤3σ)≈0.997 3. 11.(2025河南信阳期中)某乡镇在实施乡村振兴的进程中,大力推广科学种田,引导广大农户种植优良品种,进一步推动当地农业发展,不断促进农业增产农民增收.为了了解某新品种水稻的产量情况,现从种植该新品种水稻的不同自然条件的田地中随机抽取100亩,统计其亩产量x(单位:吨(t)),并以此为样本绘制了如图所示的频率分布直方图. (1)求这100亩水稻平均亩产量的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值代表,精确到小数点后两位); (2)若该品种水稻的亩产量x近似服从正态分布N(μ,σ2),其中μ为(1)中平均亩产量的估计值,σ≈0.15.若该县共种植10万亩该品种水稻,试用正态分布估计亩产量不低于0.6 t的亩数; (3)将频率视为概率,若从所有种植该品种水稻的田地中随机抽取3亩进行分析,设其亩产量不低于0.8 t的亩数为ξ,求随机变量ξ的期望. 附:若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3. 能力提升练 题组一　正态分布及其概率计算 1.(多选题)(2025广东深圳高级中学月考)随机变量X,Y分别服从正态分布和二项分布,且X~N(3,1),Y~B,则(　　) A.E(X)=E(Y)　　　　B.D(X)=D(Y) C.P(X≤1)=P(X≥5)　　　　D.P(Y≤3)>P(X≥4) 2.(2025河南新乡二模)已知随机变量X~N(1,σ2),P(X≤a)+P(X≤b)=1(a>0,b>0),则的最大值为(　　) A.9　　　　B. 3.(2024山东新高考联盟质量检测)某校高二学生一次数学诊断的考试成绩X(单位:分)服从正态分布N(110,102),从中抽取一名学生的数学成绩,记为ξ,设“90≤ξ≤110”为事件A,“80≤ξ≤100”为事件B,则在事件A发生的条件下,事件B发生的概率约为　　　　.(结果保留两位有效数字)  附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3. 4.(2025江苏南京中华中学期中)已知ξ~N(3,σ2),若f(x)=P(ξ>x+x0),曲线y=f(x)的对称中心为点,则x0=　　　　.  题组二　正态分布的应用 5.(多选题)(2025湖北七市州联合调研)若小明坐公交上班的用时X(单位:分钟)和骑自行车上班的用时Y(单位:分钟)分别满足X~N(30,62),Y~N(34,22),且同一坐标系中X的正态密度曲线与Y的正态密度曲线在t=38分钟时相交,则下列说法正确的是(　　) A.P(X>38)<P(Y>38) B.P(24≤X≤36)=P(32≤Y≤36) C.若X的正态密度曲线与Y的正态密度曲线相交所对应的另一个时间为t1,则t1<30 D.若要在34分钟内上班不迟到,小明最好选择坐公交 6.(2024重庆第一中学校期中)某蓝莓基地种植的蓝莓按1个蓝莓果的质量Z(克)分为4级:Z>20的为A级,18<Z≤20的为B级,16<Z≤18的为C级,14<Z≤16的为D级,Z≤14的为废果.将A级与B级果称为优等果.已知蓝莓果的质量Z(克)可近似服从正态分布N(15,9).对该蓝莓基地的蓝莓进行随机抽查,每次抽查1个蓝莓果,若为优等果,则抽查终止,否则继续抽查直到抽出优等果,但抽查次数最多不超过n次,记每次抽到优等果的概率为P(精确到0.1).若抽查次数X的期望值不超过3,则n的最大值为(　　) 附:若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤Z≤μ+σ)≈0.682 7. A.4　　　　B.5　　　　C.6　　　　D.7 7.(2025山东烟台莱州第一中学质量检测)某中学初三年级对全体男生进行了立定跳远测试,计分规则如下表: 立定跳远/ 厘米 [200, 205) [205, 210) [210, 215) [215, 220) [220, 225) [225, 230) 得分 3.5 4 4.5 5 5.5 6 该年级组为了了解学生的体质,随机抽取了100名男生立定跳远的成绩,得到如下频率分布直方图. (1)现从这100名男生中任意抽取2人,求两人得分之和不大于7.5分的概率(结果用最简分数表示); (2)若该校初三年级所有男生的立定跳远成绩X服从正态分布N(215,σ2).现从全年级所有初三男生中任取3人,记立定跳远成绩在215厘米以上(含215厘米)的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望; (3)若本市25 000名初三男生在某次测试中的立定跳远成绩服从正态分布.考生甲得知他的实际成绩为223厘米,而考生乙告诉考生甲:“这次测试平均成绩为210厘米,218厘米以上共有570人”,请结合统计学知识帮助考生甲辨别考生乙信息的真伪. 附:①若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3;②概率小于或等于0.005的事件为小概率事件,通常认为小概率事件不会发生. 8.(2024广东深圳适应性考试)某企业准备通过考试(按照高分优先录取的原则)录用300名应聘人员,其中275个高薪职位,25个普薪职位.已知此次招聘中,实际报名人数为2 000,考试满分为400分,考试成绩的部分统计结果如下:考试平均成绩是180分,360分及以上的高分考生有30名(一般地,对于一次成功的考试来说,考试成绩应服从正态分布). (1)求此次招聘中的最低录用分数(结果保留整数); (2)已知考生甲的成绩为286分,试判断甲能否被录用,若被录用,进一步判断其能否获得高薪职位. 附:①当X~N(μ,σ2)时,令Y=,则Y~N(0,1);②当Y~N(0,1)时,P(Y<2.17)≈0.985,P(Y<1.28)≈0.9,P(Y<1.09)≈0.863,P(Y<1.04)≈0.85. 答案与分层梯度式解析 7.5　正态分布 基础过关练 1.C 2.CD 4.D 5.D 6.ABD 7.A 8.C 9.BC 1.C　由题图知,y=φ1(x)的图象的对称轴在y=φ2(x)的图象的对称轴的右侧,y=φ1(x)的图象的对称轴与y=φ3(x)的图象的对称轴相同,所以μ1=μ3>μ2,曲线越扁平,方差越大,(关键点)所以σ1=σ2<σ3. 2.CD　对于A,正态曲线中参数μ,σ的意义分别是样本的均值与标准差,故A错误; 对于B,正态曲线是单峰的,其与x轴围成的面积是1,故B错误; 对于C,当μ=0时,正态曲线关于y轴对称,故C正确; 对于D,正态曲线关于直线x=μ对称,故P(X<μ)=,故D正确. 3.答案　5;1 解析　由题图可得当x=5时,f(x)=有最大值,为,所以μ=5,σ=1,所以X~N(5,1), 所以E(X)=μ=5,D(X)=σ2=1. 4.D　因为X~N(μ,σ2),σ>0且P(X<μ+σ)=p,所以P(X≥μ+σ)=1-p, 由正态曲线的对称性可得P(X≤μ-σ)=P(X≥μ+σ)=1-p, 所以P(μ-σ<X<μ+σ)=1-P(X≤μ-σ)-P(X≥μ+σ)=1-2(1-p)=2p-1. 5.D　对于A,因为X~N(90,102),所以P(80≤X<90)=P(90-10≤X<90)=P(90-10≤X≤90+10)≈×0.682 7=0.341 35,故A中结论正确; 对于B,P(X≥80)=P(80≤X<90)+P(X≥90)=0.341 35+0.5=0.841 35,故B中结论正确; 对于C,P(X≤110)=P(X<90)+P(90≤X≤90+20) =P(X<90)+P(90-20≤X≤90+20)≈0.5+×0.954 5=0.977 25,故C中结论正确; 对于D,P(80≤X≤110)=P(80≤X<90)+P(90≤X≤90+20)=P(80≤X<90)+P(90-20≤X≤90+20)≈0.341 35+×0.954 5=0.818 6,故D中结论错误. 6.ABD　对于A,∵ξ~N(0,σ2), ∴P(ξ>2)=P(ξ<-2)==0.3,故A正确; 对于B,∵ξ~N(2,9),P(ξ>c)=P(ξ<c-2), ∴=2,解得c=3,故B正确; 对于C,∵ξ~N(2,σ2),P(ξ<1)=0.15, ∴P(ξ>3)=0.15, ∴P(2≤ξ≤3)=P(1≤ξ≤2)==0.35,故C错误; 对于D,∵ξ~B(4,p),∴D(ξ)=4p(1-p)=-4p2+4p=-4+1, ∴当p=时,D(ξ)max=1,故D正确. 7.A　因为X~N(85,σ2),且P(X<83.8)=0.1,所以P(X>86.2)=0.1,所以P(83.8≤X≤86.2)=1-2P(X<83.8)=1-2×0.1=0.8, 所以估计该企业生产的2 000个该种零件中合格品的个数为0.8×2 000=1 600. 8.C　因为X~N(1 000,52),所以μ=1 000,σ=5,所以μ-3σ=1 000-15=985,μ+3σ=1 000+15=1 015,[μ-3σ,μ+3σ]=[985,1 015], 因为1 011∈[985,1 015],982∉[985,1 015],所以甲箱电阻可出厂,乙箱电阻不可出厂. 9.BC　因为X~N(70,100), 所以期望μ=70,方差σ2=100,故A错误,B正确; 对于C,因为P(X>70)=0.5,P(60≤X≤80)=P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7, 所以P(X≥60)=P(60≤X≤70)+P(X>70)=+0.5=0.841 35<85%,故C正确; 对于D,优秀的概率为P(X>90)=P(X≥70)-P(70≤X≤90)≈0.5-=0.022 75, 不及格的概率为P(X<60)=P(X≤70)-P(60≤X≤70)=0.5-=0.158 65,故D错误. 10.答案　5 解析　由题意可得μ=36.9,σ2=, ∵X的值落在[36.6,37.2]内的概率为0.997 3,且P(|X-μ|≤3σ)≈0.997 3, ∴P(36.6≤X≤37.2)=P(36.9-0.3≤X≤36.9+0.3)=P(36.9-3σ≤X≤36.9+3σ), ∴3σ=0.3,解得σ=0.1,∴=0.01,解得n=5. 11.解析　(1)b=[1-(0.75+1.25+1.75+2.25+1.25+0.75)×0.1]÷0.1=2. 平均亩产量的估计值为(0.75×0.45+1.25×0.55+1.75×0.65+2.25×0.75+2.00×0.85+1.25×0.95+0.75×1.05)×0.1≈0.75吨. (2)由(1)及题意知μ≈0.75,σ≈0.15,所以x~N(0.75,0.152), 故P(0.6≤x≤0.9)≈0.682 7, 由正态曲线的对称性得P(x≥0.6)=P(0.6≤x≤0.75)+P(x>0.75)=×0.682 7+0.5=0.841 35. 估计亩产量不低于0.6 t的亩数为10×0.841 35=8.413 5万亩. (3)由题中频率分布直方图知亩产量不低于0.8 t的概率为(2+1.25+0.75)×0.1=0.4, 则ξ~B(3,0.4),故E(ξ)=3×0.4=1.2亩. 能力提升练 1.ACD 2.D 5.BD 6.A 1.ACD　因为X~N(3,1),所以E(X)=3,D(X)=1, 因为Y~B,所以E(Y)=6×, 所以E(X)=E(Y),D(X)<D(Y),故A正确,B错误; 由正态曲线的对称性可得P(X≤1)=P(X≥5),故C正确; 由Y~B,可得P(Y≤3)= =(, 因为P(X≥4)<P(X≥3)=,所以P(Y≤3)>P(X≥4),故D正确. 2.D　因为P(X≤a)+P(X>a)=1,P(X≤a)+P(X≤b)=1,所以P(X>a)=P(X≤b). 由正态曲线的对称性,可得a+b=2, 所以5+≥,所以≤,当且仅当,即a=时,等号成立,故的最大值为. 3.答案　0.28 解析　由题意可知μ=110,σ=10,事件AB为“90≤ξ≤100”,所以P(AB)=P(90≤ξ≤100)=P(μ-2σ≤ξ≤μ-σ)=≈=0.135 9,又P(A)=P(90≤ξ≤110)=P(μ-2σ≤ξ≤μ)=≈=0.477 25,所以P(B|A)=≈0.28. 4.答案　3 解析　因为曲线y=f(x)的对称中心为点, 所以f(x)+f(-x)=1, 又f(x)=P(ξ>x+x0)=1-P(ξ≤x+x0), 所以f(-x)=1-P(ξ≤-x+x0), 所以1-P(ξ≤x+x0)+1-P(ξ≤-x+x0)=1,即P(ξ≤x+x0)+P(ξ≤-x+x0)=1. 又因为ξ~N(3,σ2),所以x+x0+(-x+x0)=3×2,解得x0=3. 5.BD　根据题意,在同一平面直角坐标系中作出X,Y的正态密度曲线,如图所示.(点拨:X的方差比Y的方差大,则X的正态密度曲线较矮胖,Y的正态密度曲线更瘦高) 易知P(X>38)>P(Y>38),故A错误; 由3σ原则可知P(30-6≤X≤30+6)=P(34-2≤Y≤34+2),故B正确; 由已知得X对应的正态密度函数为f(t)=,Y对应的正态密度函数为g(t)=, 令,得=3, 整理可得8t2-552t+9×342-302=72ln 3, 则t1+38==69,解得t1=31,31>30,故C错误; 易知P(X≤34)>0.5=P(Y≤34),故D正确. 6.A　因为蓝莓果的质量Z(克)近似服从正态分布N(15,9),其中μ=15,σ=3,所以P=P(Z>18)=≈≈0.2, 则第k次抽到优等果的概率P(X=k)=0.8k-1×0.2(k=1,2,3,…,n-1),恰好抽查n次的概率P(X=n)=0.8n-1, 所以E(X)=0.2k·0.8k-1+n·0.8n-1, 设M=k·0.8k-1,则0.8M=k·0.8k, 两式相减得0.2M=0.8k-1-(n-1)·0.8n-1=-(n-1)·0.8n-1=5(1-0.8n-1)-(n-1)·0.8n-1, 所以E(X)=0.2M+n·0.8n-1=5(1-0.8n-1)-(n-1)·0.8n-1+n·0.8n-1=5(1-0.8n), 令5(1-0.8n)≤3,得0.8n≥0.4, 又0.84=0.409 6>0.4,0.85=0.327 68<0.4, 所以n的最大值为4. 7.解析　(1)两人得分之和不大于7.5分有两种情况:两人得分均为3.5分;两人中1人得3.5分,1人得4分. 易得得3.5分的人数为0.012×5×100=6,得4分的人数为0.018×5×100=9, 所以两人得分之和不大于7.5分的概率为P=. (2)由题意得μ=215,所以P(X≥215)=P(X≥μ)=,则ξ~B. P(ξ=0)=, P(ξ=1)=, P(ξ=2)=, P(ξ=3)=, 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P E(ξ)=3×. (3)假设考生乙所说为真,则μ=210, P(X>μ+2σ)=≈≈0.022 8, 又=0.022 8,所以σ==4, 所以μ+3σ=210+3×4=222<223, 因为P(X>μ+3σ)=≈=0.001 35<0.005, 所以X>μ+3σ为小概率事件,即甲同学的成绩为223厘米是小概率事件,可认为其不可能发生,但却又发生了,所以可认为考生乙所说为假. 8.解析　(1)设考生的成绩(单位:分)为X,则X~N(180,σ2). 令Y=,则Y~N(0,1). 由360分及以上的高分考生有30名,得P(X≥360)=,所以P(X<360)=1-=0.985, 即P=0.985,则≈2.17, 所以σ≈83,所以X~N(180,832). 设最低录用分数为x0分, 则P(X≥x0)=P, 即P=0.85, 即≈1.04,所以x0=266.32, 所以此次招聘中的最低录用分数为267分. (2)因为286>267,所以甲能被录用. 易得P(X<286)=P≈P(Y<1.28)≈0.9,所以不低于甲的成绩的人数约为2 000×(1-0.9)=200,所以甲大约排在第200名,所以甲能获得高薪职位. 20 学科网（北京）股份有限公司 $