7.7 利用空间向量求空间距离 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦“利用空间向量求空间距离”核心考点，涵盖点到直线、点到平面、线面及面面距离等高考高频内容，以“知识清单-自主诊断-命题点突破”逻辑架构串联知识点，通过考点梳理构建知识网络，方法指导（如学霸笔记总结公式）明确解题路径，真题训练（例1-3及跟踪训练）强化应用，助力学生系统突破空间距离计算难点。 讲义突出数学思维与数学语言培养，如例2通过建立空间直角坐标系、求平面法向量推导距离公式，渗透逻辑推理与模型意识。设置基础诊断（辨析题）、综合例题、分层跟踪训练三级练习体系，配合即时反馈机制，确保高效复习，既提升学生空间想象与运算能力，也为教师把控复习节奏提供清晰教学路径。

第七节　利用空间向量求空间距离 知识清单 1.点到直线的距离 如图，已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设＝a，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u，在Rt△APQ中，由勾股定理得PQ＝ ＝________. 2．点到平面的距离 如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量＝＝＝________． 自主诊断 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面α上不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β.(　　) (2)点到直线的距离也就是该点到直线上任一点连线的长度．(　　) (3)直线l平行于平面α，则直线l上各点到平面α的距离相等．(　　) (4)直线l上两点到平面α的距离相等，则l平行于平面α.(　　) 2．(人教A版选修一P35T2改编)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点．则 (1)点A1到直线B1E的距离为________； (2)直线FC1到直线AE的距离为________； (3)点A1到平面AB1E的距离为________； (4)直线FC1到平面AB1E的距离为________． 　考教衔接·活用教材　探究式精练 收获一个“赢” 命题点一　利用空间向量求点到直线的距离 例1 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，O为△PBC的重心，，且PA＝3，AB＝2，则点O到直线DM的距离为(　　) A．　　B．　　C．　　D． [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：先求出直线的方向向量，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，则点P到直线l的距离为. 跟踪训练　已知△ABC的顶点坐标分别为A(－1，0，0)，B(0，1，－1)，C(－2，－1，2)，则AB边上的高为(　　) A．　　 B． C．　　 D． 命题点二　利用向量求点到平面的距离 例2 (2026·南昌模拟)已知在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，PA＝PD＝AD＝2BC＝2CD＝2，E，F分别是AD，PC的中点． (1)证明：PA∥平面BEF； (2)求AB的中点M到平面BEF的距离． [听课笔记]　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：向量法：点A到平面α的距离d＝(其中B是平面α内一点，是平面α的一个法向量)． 跟踪训练　(衔接·人教A版选修一P44T13)如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E为CD的中点，求点D1到平面AEC1的距离． 命题点三　利用空间向量求线面、面面等距离 例3 如图，边长为4的两个正△ABC，BCD所在平面互相垂直，E，F分别为BC，CD的中点，点G在棱AD上，AG＝2GD，直线AB与平面EFG相交于点H. (1)证明：BD∥GH； (2)求直线BD与平面EFG的距离． [听课笔记]　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：(1)如果一条直线l与一个平面α平行，可在直线l上任取一点P，将线面距离转化为点P到平面α的距离求解． (2)如果两个平面α，β平行，在其中一个平面内任取一点P，可将两个平行平面的距离转化为点P到另一个平面的距离求解． 跟踪训练　在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面AB1C与平面A1DC1之间的距离为(　　) A． B．1 C． D． 第七节　利用空间向量求空间距离 必备知识·助学教材 知识清单 1. 2. 自主诊断 1．答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．解析： 以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，B1(1，1，1)，C(0，1，0)，F(1，1，)，C1(0，1，1)，D1(0，0，1)，E(0，0，)，A1(1，0，1). (1)A1B1＝(0，1，0)，EB1＝(1，1，)， ∴d＝ ＝. (2)FC1∥AE，F点到AE的距离就是FC1到AE的距离，＝(0，1，)，＝(－1，0，)，∴d＝ ＝. (3)设平面AB1E的法向量n＝(x，y，z)，∴n·EB1＝n·＝0，即令x＝－1，则即n＝(－1，2，－2)，∴d＝||＝||＝. (4)∵FC1∥平面AB1E，故F点到平面AB1E的距离为所求．d＝||＝||＝. 答案：(1)　(2)　(3)　(4) 考教衔接·活用教材 例1　 解析：如图所示，建立空间直角坐标系，则P(0，0，3)，D(0，2，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，因为O为△PBC的重心，＝－2，所以M(0，0，2)，O(，，1)，所以＝(，－，1)，＝(0，－2，2)，则||＝，·＝，||＝2，故点O到直线DM的距离为d＝＝.故选A. 答案：A 跟踪训练　解析：由A(－1，0，0)，B(0，1，－1)，C(－2，－1，2)可得＝(1，1，－1)，因为||＝，则与同方向的单位向量为u0＝(，，－)，又＝(－1，－1，2)，则||＝，则AB边上的高即点C到直线AB的距离d＝＝ ＝.故选A. 答案：A 例2　解析：(1)证明：连接AC交BE于点O，并连接EC，FO， ∵BC∥AD，AD＝2BC，E为AD的中点， ∴AE∥BC，且AE＝BC. ∴四边形ABCE为平行四边形，则O为AC的中点， 又F为PC的中点，∴OF∥PA. ∵OF⊂平面BEF，PA⊄平面BEF. ∴PA∥平面BEF. (2)∵PA＝PD，E为AD的中点，∴PE⊥AD. ∵侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD＝AD，PE⊂平面PAD， ∴PE⊥平面ABCD.易知BCDE为正方形，∴AD⊥BE.建立如图所示空间直角坐标系Exyz， 则E(0，0，0)，A(1，0，0)，B(0，1，0)，P(0，0，)，C(－1，1，0)，F(－，，)， 设n＝(x，y，z)是平面BEF的法向量，又＝(0，1，0)，＝(－，，)， 则⇒ 取z＝1，则x＝，得n＝(，0，1). AB的中点M(，，0)，所以＝(－，，0)， 则点M到平面BEF的距离为＝＝. 跟踪训练　 解析：如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则D1(0，0，1)，C1(0，1，1)，A(1，0，0)，E(0，，0)， ＝(－1，，0)，AC1＝(－1，1，1). 设平面AEC1的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则有⇒ 令y＝2，则x＝1，z＝－1.∴n＝(1，2，－1). 又D1A＝(1，0，－1)， ∴点D1到平面AEC1的距离d＝＝＝. 例3　解析：(1)证明：因为E，F分别为BC，CD的中点，所以EF∥BD， 又BD⊄平面EFG，EF⊂平面EFG，则BD∥平面EFG， 又BD⊂平面ABD，平面ABD∩平面EFG＝GH， 所以BD∥GH. (2)由(1)知，BD∥平面EFG， 则点B到平面EFG的距离即为BD与平面EFG的距离， 连接EA，ED，由△ABC，△BCD均是边长为4的正三角形，E为BC的中点，得EA⊥BC，ED⊥BC， 又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，AE⊂平面ABC， 所以AE⊥平面BCD，又ED⊂平面BCD，则EA⊥ED， 以E为坐标原点，EB，ED，EA所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系， 可得AE＝DE＝2， 可得B(2，0，0)，C(－2，0，0)，A(0，0，2)，D(0，2，0)， 所以F(－1，，0)，H(1，0，)， 又＝2，即G为AD的三等分点，可得G(0，，)， 所以＝(2，0，0)，＝(－1，，0)，＝(0，，). 设平面EFG的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则 令y＝1，得n＝(，1，－2)， 可得·n＝2×＋0×1＋0×(－2)＝2，|n|＝＝2. 设点B到平面EFG的距离为d，则d＝＝＝， 所以BD与平面EFG的距离为. 跟踪训练　 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(1，0，0)，C1(0，1，0)，D(0，0，1)，A(1，0，1)，所以DA1＝(1，0，－1)，DC1＝(0，1，－1)，＝(－1，0，0).设平面A1DC1的一个法向量m＝(x，y，z)，则令z＝1得故m＝(1，1，1)，显然平面AB1C∥平面A1DC1，所以平面AB1C与平面A1DC1之间的距离d＝＝＝.故选A. 答案：A 学科网（北京）股份有限公司 $