2025年山东省聊城市九年级数学中考二模 模拟试卷

**基本信息** 2025年聊城九年级数学二模卷以真实情境（无人机测量、道路修建）和文化素材（《九章算术》）为载体，通过新定义“和谐式”等创新题设计，考查抽象能力、推理意识与模型意识，适配中考模拟需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|实数比较、三视图、概率计算|《九章算术》问题考查方程建模（模型意识）| |填空题|6/18|分解因式、尺规作图、函数最值|道路修建问题考查方程应用（应用意识）| |解答题|8/72|统计分析、几何证明、二次函数|无人机测量融合解直角三角形（几何直观），新定义“和谐式”考查创新思维（创新意识）|

答案和解析 1.【答案】A; 2.【答案】D; 3.【答案】D; 4.【答案】B; 5.【答案】C; 6.【答案】A; 7.【答案】C; 8.【答案】B; 9.【答案】D; 10.【答案】C; 11.【答案】m（m+2）; 12.【答案】; 13.【答案】m＜5; 14.【答案】  15.【答案】-6; 16.【答案】; 17.【答案】解：原式 = -x+3， 2． 18.【答案】解：（1）n=9+40+81+62+8=200，  补全条形图如下：    （2）根据中位数的求法，将200名学生的时间从小到大排列可得，  200名学生的中位数应是第100个和第101个同学时间的平均数；  读图可得第100个和第101个同学时间都在4-6之间；  故这组数据的中位数落在频数分布表中的第三个时间段，即为4＜t≤6；  （3）∵在样本中，有62+8=70（人）一周阅读课外书籍时间在6小时以上，  ∴该校2400名学生中一周阅读课外书籍时间在6小时以上的有70÷200×1800=630（人）．  答：该校1800名学生中一周阅读课外书籍时间在6小时以上有630人．; 19.【答案】解：，  ．  在和中，    ≌  ≌，，  ．  ，  ．  在中，．; 20.【答案】解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F，    则四边形BCFE是矩形，  由题意得：AB=57米，DE=30米，∠DAE=30°，∠DCF=45°．  在Rt△ADE中，∠AED=90°，  ∴tan∠DAE=tan30°=，  ∴AE=DE=30（米），  ∴BE=AB-AE=（57-30）（米），  ∵四边形BCFE是矩形，  ∴CF=BE=（57-30）米，  在Rt△DCF中，∠DFC=90°，∠DCF=45°，  ∴△DCF是等腰直角三角形，  ∴DF=CF=（57-30）米，  ∴BC=EF=DE-DF=30-（57-30）=（30-27）（米），  答：教学楼BC的高度为（30-27）米．; 21.【答案】解：（1）设王师傅单独整理这批实验器材需要x分钟，则王师傅的工作效率为，  由题意，得：20（+）+20×=1，  解得：x=80，  经检验得：x=80是原方程的根．  答：王师傅单独整理这批实验器材需要80分钟．    （2）设李老师要工作y分钟，  由题意，得：（1-）÷≤30，  解得：y≥25．  答：李老师至少要工作25分钟．; 22.【答案】 解：如图，点为所作； ，， ， 是的角平分线， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ． 23.【答案】解：（1）由题意，得到-=3，解得b=-6，  ∵函数的图象经过（a，-6），  ∴-6a+a=-6，  解得a=2或3，  ∴函数=-6x+2或=-6x+3．    （2）∵函数的图象经过点（r，0），其中r≠0，  ∴+br+a=0，  ∴1++=0，  即a（）2+b•+1=0，  ∴是方程a+bx+1的根，  即函数的图象经过点（，0）．    （3）由题意a＞0，∴m=，n=，  ∵m+n=0，  ∴+=0，  ∴（4a-）（a+1）=0，  ∵a+1＞0，  ∴4a-=0，  ∴m=n=0．; 24.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，  ∴∠C=90°，  ∵PE∥DC，PF∥BC，  ∴∠PEC=90°，∠PFC=90°，  即∠C=∠PEC=∠PFC=90°，  ∴四边形PECF是矩形；    （2）证明：∵PE∥DC，  ∴∠BPE=∠PDF，  ∵PF∥BC，  ∴∠PBE=∠DPF，  ∴△BPE∽△PDF；    （3）解：当四边形PECF是正方形，设此正方形的变成为x，则PE=PF=CE=CF=x，  在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，  ∴BE=8-x，DF=6-x，  由（2）知，△BPE∽△PDF，  ∴，  ∴，  ∴x=，  即当四边形PECF是正方形时，正方形的边长为．; 第  页，共  页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年山东省聊城市青岛版九年级数学中考二模 模拟试卷 一 、单选题（本大题共10小题，共30分） 1.（3分）某一天，哈尔滨、北京、杭州、金华四个城市的最低气温分别是，，，其中最低气温是 A. B. C. D. 2.（3分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是 A. B. C. D. 3.（3分）下列计算正确的是 A. B. C. D. 4.（3分）一个不透明的袋子里装有两双只有颜色不同的手套，小明已经摸出一只手套，他再任意摸取一只，恰好两只手套凑成同一双的概率为       A. B. C. D. 5.（3分）《九章算术》中的方程问题：“五只雀、六只燕，共重斤古代斤两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？”设每只雀、燕的重量各为两、两，下列方程组正确的为 A. B. C. D. 6.（3分）一张长方形纸条按如图所示折叠，是折痕，若，则：①；②；③；④以上结论正确的有 A. ① ② ③ ④ B. ② ③ ④ C. ① ② ③ D. ① ② 7.（3分）定义：如果代数式是常数与是常数，满足，，，则称这两个代数式与互为“和谐式”，对于上述“和谐式”、，下列三个结论正确的个数为  ①若，，则的值为；  ②若为常数，关于的方程与的解相同，则；  ③若，为常数，的最小值为，则有最小值，且最小值为 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 8.（3分）已知甲、乙两地相距，汽车从甲地行驶到乙地，则汽车行驶的时间与行驶速度的函数关系图象大致是 A. B. C. D. 9.（3分）如图，一个正边形被树叶遮掩了一部分，若直线，所夹锐角的度数为，则的值是 A. B. C. D. 10.（3分）已知抛物线与轴交于点和点在点的左侧，对称轴为：，直线与抛物线相交于两点，，则最小值为 A. B. C. D. 二 、填空题（本大题共6小题，共18分） 11.（3分）分解因式：______． 12.（3分）如图所示，，以点为圆心，以适当长为半径作弧分别交，于，两点；分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；以为端点作射线，在射线上取点，连接、若测得，则______ 13.（3分）若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是 ______ ． 14.（3分）如图，在一块长为，宽为的长方形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路两条道路各与长方形的一条边平行，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为，则道路的宽为 ______ 15.（3分）已知反比例函数的图象经过和两点，则 ． 16.（3分） 如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形，其中和分别在两条直角边上，点在斜边上，设矩形的一边，矩形的面积为，则的最大值为_______． 三 、解答题（本大题共8小题，共72分） 17.（8分）先化简，，然后从范围内选取一个合适的整数作为的值代入求值． 18.（8分）某中学为了解全校学生参加课外体育活动情况，随机抽取了名学生，调查他们一周参加课外体育活动的时间单位：，并将所得数据绘制成如下的统计图表．  名学生一周参加课外体育活动的时间频数分布表 时间段 频数 名学生一周参加课外体育活动的时间频数分布直方图    求的值，并补全频数分布直方图；  这织数据的中位数落在频数分布表中的哪个时间段？  根据上述调查结果，估计该校名学生中一周参加课外体育活动时间在以上的人数． 19.（8分）如图，在中，，点、在边上，，点在的延长线上，．    求证：≌；  若，求的度数． 20.（8分）如图，某无人机兴趣小组在操场上开展活动，此时无人机在离地面米的处，无人机测得操控者的俯角为，测得点处的俯角为又经过人工测量操控者和教学楼距离为米，则教学楼的高度为多少米？ 21.（8分）学校新到一批理、化、生实验器材需要整理，若实验管理员李老师一人单独整理需要分钟完成，现在李老师与工人王师傅共同整理分钟后，李老师因事外出，王师傅再单独整理了分钟才完成任务．  王师傅单独整理这批实验器材需要多少分钟？  学校要求王师傅的工作时间不能超过分钟，要完成整理这批器材，李老师至少要工作多少分钟？ 22.（10分）如图，在中，，，是的角平分线．求作的垂直平分线交于点，连接；并证明要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法 23.（10分）在平面直角坐标系中，设二次函数，是实数，．  若函数的对称轴为直线，且函数的图象经过点，求函数的表达式．  若函数的图象经过点，其中，求证：函数的图象经过点．  设函数和函数的最小值分别为和，若，求，的值． 24.（12分）如图，在矩形中，是对角线上一点，过点作交于点，作交于点  证明：四边形是矩形；  证明：∽；  已知，，当四边形是正方形时，求此正方形的边长． 第  页，共  页 学科网（北京）股份有限公司 $