任意角、弧度制及三角函数的概念 课件-2027届高考数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“任意角、弧度制及三角函数的概念”核心考点，依据高考评价体系明确基础题（40%）、中档题（45%）、压轴题（15%）的考查权重，系统梳理任意角表示、弧度制公式、三角函数定义等高频考点，归纳化简求值、解三角形等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题训练+思维建模”，如结合2025年模拟题解析象限角判断、扇形面积最值等典型问题，培养数学运算与逻辑推理素养。通过“考点拆解+答题要语”指导学生掌握弧度制与角度互化、三角函数符号判定等技巧，助力学生高效突破考点，教师可据此精准开展复习教学。

数 学 构建知识体系 形成关键能力 提高学科素养 精准高效备考 高考能力梯级集训 体系构建 第1节　任意角、弧度制及三角函数的概念 命题报告 命题趋势 基础题(40%):三角函数基本概念、公式的记忆和简单应用(特殊角的三角函数值;正、余弦定理的基本形式;两角和、差的公式与倍角公式); 中档题(45%):考查对知识的理解和思维能力(三角恒等变换的综合应用、三角函数的图象与性质); 压轴题(15%):跨模块融合(导数、向量、不等式) 第1节　任意角、弧度制及三角函数的概念 高频考点 三角函数 化简求值(两角和与差的正、余弦公式、二倍角、辅助角公式) 图象性质(周期性、对称性、零点个数) 实际应用(物理振动、几何测量) 解三角形 正、余弦定理求边角 面积最值(结合均值不等式) 多三角形问题(需多次运用定理) 第1节　任意角、弧度制及三角函数的概念 命题规律 主要围绕三角函数概念、三角函数图象与性质、三角恒等变换、三角函数的应用、解三角形等核心内容来命题,主要考查学生对图象和性质、等式化简和方程求解的实践应用和综合运用.从数学思想方法上来看,重点考查数学抽象思想、模型思想、数形结合思想,以直观想象、数学运算、逻辑推理、数学建模等素养为命题导向,同时适当体现学生的创新能力水平 第1节　任意角、弧度制及三角函数的概念 备考建议 1.三角函数的概念和弧度制 深入讲解三角函数的定义,通过多种实例让学生理解三角函数值与角的终边位置的关系,强化同角三角函数基本关系的推导和应用练习.对于弧度制,要让学生理解弧度制的本质,熟练掌握弧度制与角度制的换算,以及弧度制下扇形的弧长、面积公式的推导和应用,通过实际问题的解决,加深学生对概念的理解. 2.三角恒等变换 系统梳理三角恒等变换的公式体系,帮助学生理解公式的内在联系和推导过程,通过大量的例题和练习,让学生熟练掌握公式的正用、逆用和变形应用.针对“给角求值”“给值求值”“给值求角”等不同类型的题目,进行分类讲解和专项训练,培养学生分析问题和选择合适公式解决问题的能力.同时,注重辅助角公式的应用,通过典型例题讲解让学生掌握将三角函数化为标准形式的方法和技巧. 第1节　任意角、弧度制及三角函数的概念 备考建议 3.三角函数的图象和性质 借助多媒体工具,直观展示三角函数的图象,引导学生观察图象特征,总结函数的周期性、单调性、奇偶性、对称性和最值等性质.通过大量的图象分析和性质应用练习,让学生熟练掌握根据图象求解析式以及根据性质求解参数范围的方法.对于三角函数图象的平移、伸缩变换,要让学生理解变换的原理和规律,通过实际操作和练习,让学生能够准确地画出变换后的图象. 4.正弦定理和余弦定理 结合三角形的几何性质,推导正弦定理和余弦定理,让学生理解定理的本质和适用条件.通过丰富的例题,让学生掌握利用正、余弦定理求解三角形的各种类型问题,包括边、角、面积的计算以及三角形形状的判断.加强三角恒等变换的综合训练,提高学生灵活运用知识解决问题的能力.同时,引入实际生活中的解三角形问题,培养学生的数学建模素养和应用意识. 第1节　任意角、弧度制及三角函数的概念 第1节　任意角、弧度制及三角函数的概念 返回目录 目录 1 2 3 基础满分练 课前 自检自测·夯基固本 能力高分练 课中 关键能力·可视思维 素养提升练 课中 高考定向·捕捉热点 第1节　任意角、弧度制及三角函数的概念 基础 满分练 课前 自检自测·夯基固本 三个高考关键点 关键点1 任意角的概念及表示 1.(2025·陕西汉中模拟)若α是第二象限角,则90°-α是(　　)[命题点❶] A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 D 解析:因为α是第二象限角,所以k·360°+90°<α<k·360°+180°,k∈Z,所以-k·360°-180°<-α<-k·360°-90°,k∈Z.从而-k·360°-90°<90°-α< -k·360°,k∈Z,所以90°-α是第四象限角. 返回目录 2.(2025·山东威海模拟)下列各角中,与2 025°角终边相同的角为(　　) [命题点❷] A.45° B.135° C.-45° D.-135° D 解析:因为2 025°=6×360°-135°, 所以2 025°与-135°的终边相同. 返回目录 关键点2 弧度制的定义和公式 3.(2025·湖南衡阳模拟)“考生你好,语文考试需要150分钟”,在本场考试中,钟表的时针转过的弧度数为(　　)[命题点❸] A. B.- C. D.- D 解析:经过150分钟,钟表的时针相当于转了1圈的,1圈的弧度数为2π,则1圈的的弧度数为2π,且钟表的时针按顺时针旋转所形成的角应为负角,因此钟表的时针转过的弧度数为-,故D正确. 返回目录 4.(2025·天津联考)一扇形的面积为,圆心角大小为120°,则该扇形的弧长为(　　)[命题点❹] A. B. C.π D. D 解析:设该扇形所在圆半径为r,则r·r=,解得r=2,所以该扇形的弧长为r= 返回目录 5.(2025·北京延庆模拟)已知一个扇形的周长为18 cm,圆心角为1 rad,则该扇形的面积为(　　)[命题点❹] A.36 cm2 B.18 cm2 C.12 cm2 D.9 cm2 B 解析:设扇形的半径为r,弧长为l,则2r+l=18, 又扇形的圆心角为1 rad,∴由弧长公式得l=1×r=r,∴2r+r=18,解得r=6,∴l=6,∴该扇形的面积为lr=6×6=18 cm2. 返回目录 关键点3 三角函数的定义 6.(2025·山东潍坊模拟)设α是第二象限角,P(x,1)为其终边上一点,且 cos α=x,则tan α=( )[命题点❻] A. B.- C. D.- D 解析:依题意,cos α=,且x<0, 解得x=-,则tan α==-=- 返回目录 7.已知sin α<0,cos α<0,则的终边一定不在(　　)[命题点❼] A.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第一、三象限 D.第二、四象限 C 解析:因为sin α<0,cos α<0,则α为第三象限角,即2kπ+π<α<2kπ+,k∈Z,故kπ+<kπ+,k∈Z,即的终边仅可能在第二、四象限,一定不在第一、三象限. 返回目录 8.(2026·甘肃武威开学考试)在平面直角坐标系的第一象限内有一点P,射线OP与x轴正半轴的夹角为α,如果OP=10,sin α=,那么点P的坐标为　　　　.[命题点❻] (8,6) 解析:如图,过点P作PA⊥x轴,垂足为A,在Rt△OAP中,OP=10,sin α=, ∴AP=OP·sin α=6, ∴OA==8,∴点P的坐标为(8,6). 返回目录 9.(2025·北京门头沟一模)在平面直角坐标系xOy中,角α以Ox为始边,其终边与单位圆交点的横坐标为-,写出一个符合题意的α=　　　　.[命题点❺] 解析:由题意,cos α=-,则α=+2kπ或α=+2kπ,k∈Z.故答案为(答案不唯一). 返回目录 10.写出一个同时满足下列两个条件的角θ=　　　　.(用弧度制表示)  ①θ∈(0,π)　②cos θ≤0[命题点❺❼] (答案不唯一,符合θ∈[,π)即可) 返回目录 回归教材•考教衔接 1.角的概念的推广 返回目录 2.弧度制的定义和公式 1弧度的角 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角,记作1 rad 角度和弧度不能混用 弧度数公式 |α|=(弧长用l表示,半径长用r表示) 角度与弧度的换算[❸] 1°=rad;1 rad=()° 弧长公式 弧长l=|α|r 扇形面积公式[❹] S=lr=|α|·r2 若扇形圆心角用弧度给出,则用S=|α|r2,若用角度给出,则用S=　　　　　　　　 返回目录 3.任意角的三角函数 定义 任意角α的终边与单位圆交于点P(x,y)时,则sin α=y,cos α=x, tan α=(x≠0)[❺] 推广 若取点P(x,y)是角α终边上异于顶点的任一点,设点P到原点O的距离为r,则sin α=, cos α=,tan α=(x≠0)[❻] 符号 [❼] 返回目录 返回目录 返回目录 能力 高分练 课中 关键能力•可视思维 考点1　角的概念及表示 命题视角:旨在考查学生对正角、负角、零角以及象限角的概念. 例1 (1)下列说法正确的是(　　) A.两个角的终边相同,则它们的大小相等 B.若角α为第二象限角,则-α是第四象限角 C.第一象限角都是锐角 D.终边在直线y=-x上的角的集合是{α|α=-+kπ,k∈Z} D 返回目录 考点1 考点2 考点3 解析:390°角与30°角的终边相同,但它们的大小不相等,故A错误; 因为角-α与角α的终边关于x轴对称,所以当角α为第二象限角时,角-α是第三象限角,故B错误; 第一象限角不都是锐角,比如390°角为第一象限角,但它不是锐角,故C错误; 若终边在直线y=-x上的角在第二象限,则集合是{α|α=2kπ+,k∈Z}; 若终边在直线y=-x上的角在第四象限,则集合是{α|α=2kπ-,k∈Z}. 综上,终边在直线y=-x上的角的集合是{α|α=2kπ+,k∈Z}∪{α|α=2kπ-, k∈Z}={α|α=(2k+1)π-,k∈Z}∪{α|α=2kπ-,k∈Z}={α|α=-+kπ,k∈Z},故D正确. 返回目录 考点1 考点2 考点3 (2)(2025·宁夏模拟)若α是第三象限角,则是(　　) A.第一或第二象限角 B.第一或第三象限角 C.第二或第四象限角 D.第三或第四象限角 C 解析:由题意可知π+2kπ<α<+2kπ,k∈Z,所以+kπ<+kπ,k∈Z,所以是第二或第四象限角. 返回目录 考点1 考点2 考点3 对点训练1 (1)(2025·山东日照模拟)下列各角中,与角终边相同的角为 (　　) A.- B.- C. D. B 返回目录 考点1 考点2 考点3 解析:对于A,-(-)=,所以-与角终边不相同,故A错误; 对于B,-(-)=2π,所以-与角终边相同,故B正确; 对于C,=-,所以与角终边不相同,故C错误; 对于D,=-π,所以与角终边不相同,故D错误. 返回目录 考点1 考点2 考点3 (2)(一题多解)若β是第二象限角,则+β是(　　) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 A 返回目录 考点1 考点2 考点3 解析:(方法1)因为角β是第二象限角,所以+2kπ<β<π+2kπ(k∈Z),则2π+2kπ<+β<+2kπ(k∈Z),故+β是第一象限角. (方法2)因为角β是第二象限角,取β=,则+β=,所以+β是第一象限角. 返回目录 考点1 考点2 考点3 答题要语 1.利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角 先写出与这个角的终边相同的所有角的集合,然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角. 2.确定nα,(n∈N*)的终边位置的方法 先用终边相同角的形式表示出角α的范围,再写出nα或的范围,然后根据n的可能取值讨论确定nα或的终边所在位置. 返回目录 考点1 考点2 考点3 解题思维路径 返回目录 考点1 考点2 考点3 考点2　弧度制及其应用 命题视角:考查对弧度制本质的理解,而不仅仅记住换算公式. 例2 (1)如图,已知扇形的周长为6,当该扇形的面积取最大值时,弦长AB=(　　) A.3sin 1 B.3sin 2 C.3sin 1° D.3sin 2° A 返回目录 考点1 考点2 考点3 解析:设扇形的圆心角为α,半径为r,弧长为l,可得出l=6-2r, 由可得0<r<3,所以,扇形的面积为S=lr=(3-r)r ,当且仅当3-r=r,即r=时,扇形的面积S最大,此时l=6-2r=3.因为l=αr,则扇形的圆心角α==2,取线段AB的中点E,由垂径定理可知OE⊥AB,因为OA=OB,则∠AOE=AOB=2=1,所以AB=2AE=2OAsin 1=3sin 1. 返回目录 考点1 考点2 考点3 (2)(2025·山东青岛模拟)中国历代书画家喜欢在纸扇的扇面上题字绘画,某扇面为如图所示的扇环,记的长为l1 cm,的长为l2=12 cm,若l1 ∶l2=3∶1,AD=8 cm,则扇环的面积为(　　)cm2. A.128 B. C. D.192 D 返回目录 考点1 考点2 考点3 解析:因为的长为l1 cm,的长为l2=12 cm,l1∶l2=3∶1,AD=8 cm,则l1=36 cm,如图,设扇环所在圆的圆心为O,OD=r,∠AOB的弧度数为α,则解得 则扇环的面积S=36×(8+4)-12×4=192 cm2. 返回目录 考点1 考点2 考点3 关键能力思维链 返回目录 考点1 考点2 考点3 对点训练2 (2025·广西模拟)已知一个扇形的中心角是α,所在圆的半径是R. (1)若α=60°,R=10 cm,求扇形的面积; (2)若扇形的周长为20 cm,面积为9 cm2,求扇形圆心角的弧度数; (3)若扇形面积为16,求扇形周长的最小值及此时扇形的圆心角α. 返回目录 考点1 考点2 考点3 解:(1)由题意可知扇形圆心角的弧度为,则该扇形的面积为 S=102=cm2. (2)设扇形圆心角的弧度为β,β∈[0,2π], 则该扇形的弧长为l=βR,所以有 解方程得(舍去)或 所以扇形圆心角的弧度数为 返回目录 考点1 考点2 考点3 (3)设扇形圆心角的弧度为β,β∈[0,2π],则R2=16,则βR=,扇形的周长为βR+2R=+2R≥2=16,当且仅当R=4 cm时,周长可取得最小值16 cm,此时β=2,故此时扇形的圆心角α=2. 返回目录 考点1 考点2 考点3 解题思维路径 返回目录 考点1 考点2 考点3 方法导引 返回目录 考点1 考点2 考点3 考点3　三角函数的定义及应用 角度 1 三角函数定义的应用 命题视角:旨在将角与单位圆上点的坐标联系起来,从而理解三角函数的概念,进一步理解三角函数值符号. 例3 (1)在平面直角坐标系xOy中,若角α以原点为顶点,以x轴非负半轴为始边,其终边与单位圆交点的横坐标为,则α的一个可能取值为(　　) A.-60° B.-30° C.45° D.60° B 解析:依题意可得cos α=,则α=30°+k·360°,k∈Z或α=-30°+k·360°, k∈Z,所以α的一个可能取值为-30°.故选B. 返回目录 考点1 考点2 考点3 (2)(2025·天津和平模拟)若角θ的终边经过点(-2a,-a)(其中a∈R且a>0),则sin θ+cos θ=　　 　.  - 解析:因为a>0, 所以r=a, 所以sin θ==-,cos θ==-,sin θ+cos θ=- 返回目录 考点1 考点2 考点3 对点训练3 (1)(2025·吉林模拟)已知角α的顶点为坐标原点,始边为x轴的非负半轴,P(1,m)为角α终边上一点,若sin α=-,则m=　　　　.  - 解析:由三角函数的定义可知,sin α==-,所以m<0,解得m=- 返回目录 考点1 考点2 考点3 (2)已知角α的终边过点P(-8m,-6sin 30°),且cos α=-,则m=　　　　.  解析:由题意得点P(-8m,-3),r=,所以cos α==-,解得m=±,又cos α=-<0,所以-8m<0,即m>0,所以m= 返回目录 考点1 考点2 考点3 角度 2 三角函数值符号的判定 命题视角:能根据三角函数值的符号判断相应的角所在象限,又能根据角所在象限判断三角函数值的符号. 例4 (1)(2025·江苏盐城模拟)若α是第二象限角,则下列结论一定成立的是 (　　) A.sin >0 B.cos >0 C.tan >0 D.sin cos α<0 C 返回目录 考点1 考点2 考点3 解析:α是第二象限角,有cos α<0,由+2kπ<α<π+2kπ(k∈Z),有+kπ<+kπ(k∈Z),k为偶数时,为第一象限角,sin>0,cos>0,tan>0;k为奇数时,为第三象限角,sin<0,cos<0,tan>0,则选项A,B,D不一定成立. 返回目录 考点1 考点2 考点3 (2)已知角α的终边落在直线y=-3x(x<0)上,则=　　　　.  2 解析:由角α的终边落在直线y=-3x(x<0)上,所以角α的终边位于第二象限,可得cos α<0,sin α>0,所以=1-(-1)=2. 返回目录 考点1 考点2 考点3 对点训练4 已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边在直线y=-x上,且满足=-cos θ,则θ是(　　) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 B 解析:因为角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边在直线 y=-x上,所以θ是第二或第四象限角.又有=-cos θ,所以cos θ<0, 故θ是第二象限角. 返回目录 考点1 考点2 考点3 方法导引 返回目录 考点1 考点2 考点3 解题思维路径 返回目录 考点1 考点2 考点3 素养 提升练 课中 高考定向•捕捉热点 命题趋势1:近几年高考重视基础概念,任意角的分类、终边相同的角的集合表示、弧度与角度的互化等基础概念通常与其他知识进行综合考查. 1.(原创)(多选)下列结论中正确的是(　 　) A.终边经过点(a,a)(a≠0)的角的集合是{α|α=+kπ,k∈Z} B.将表的分针拨慢10分钟,则分针转过的角的弧度数是 C.若α是第三象限角,则是第二象限角 D.若M={x|x=45°+k·90°,k∈Z},N={y|y=90°+k·45°,k∈Z},则M⊆N ABD 返回目录 解析:对于A,当a>0时,角终边为射线y=x(x≥0),该角的集合为S1={α1|α1=+2k1π,k1∈Z},当a<0时,角终边为射线y=x(x≤0),该角的集合为S2={α2|α2=+2k2π,k2∈Z},所以所求角的集合为S1∪S2={α|α=+kπ,k∈Z},A正确; 对于B,将表的分针拨慢10分钟,则分针转过的角的弧度数是,B正确; 对于C,取α=-,满足α是第三象限角,而=-是第四象限角,C错误; 对于D,M={x|x=(2k+1)·45°,k∈Z},N={y|y=(k+2)·45°,k∈Z}, k是整数,k+2是整数,而2k+1是奇数,因此M⊆N,D正确. 返回目录 2.(多选)(2025·辽宁大连模拟)若扇形周长为12,当这个扇形的面积最大时,下列结论正确的是(　 　) A.扇形的圆心角为2 B.扇形的弧长为6 C.扇形的半径为6 D.扇形圆心角所对弦长为6sin 1 ABD 返回目录 解析:对于C,设扇形半径为r,则弧长l=12-2r,扇形面积S=rl=r(6-r)= -(r-3)2+9≤9, 当且仅当r=3时取等号,C错误; 对于B,扇形的弧长l=6,B正确; 对于A,扇形的圆心角为=2,A正确; 对于D,扇形圆心角所对弦长为2×3sin 1=6sin 1,D正确. 返回目录 命题趋势2:近几年高考强调三角函数定义的应用,常利用单位圆或角终边上点的坐标来定义三角函数,考查三角函数值的求解问题. 3.(2025·河北一模)设α是第二象限角,P(x,1)为其终边上一点,且cos α=x,则tan α=　　　.  - 解析:由题意知cos α=x,∵x≠0,∴=2,x=±,又α是第二象限角,所以x=-,所以tan α==- 返回目录 4.(多选)(2025·河南模拟)若角α的终边上有一点P(a,-3a)(a≠0),则 sin α-2cos α的值可以是(　　) A.-　 B.-　 C.　 D. BD 返回目录 解析:若α的终边上有一点P(a,-3a)(a≠0),当a>0时,cos α=,sin α==-,此时sin α-2cos α=--2=-; 当a<0时,cos α==-,sin α=,此时sin α-2cos α=-2×(-)= 返回目录 模块内融合:高中数学中,任意角、弧度制与三角函数的概念作为最基础的模块,常融合两角和差的三角函数公式、复数、平面向量、立体几何等知识,增加创新情境,培养学生的数学运算、逻辑推理等核心素养. 5.(2025·湖南湘西模拟)若复数z=cos θ-isin θ所对应的点在第四象限,则θ所在的象限是(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 A 解析:由已知复数在第四象限,则所以θ在第一象限. 返回目录 6. (原创+模块间融通)如图所示,在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个直径为4的圆,使之恰好围成一个圆锥,则圆锥的高为(　　) A.2 B. C. D.2 D 解析:由题图知,扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长,圆锥底面圆的半径为r=2,设扇形半径为R,则有R=2πr,解得R=8,因此圆锥的母线长为R=8,所以圆锥的高h==2 返回目录 模块外融合:高中数学中,常融合新定义进行任意角与三角函数定义的考查,增加跨学科情境,培养学生的创新能力. 7.(原创)(多选)定义:若任意角θ与γ满足θ+γ=,则称θ与γ“广义互余”.已知cos(π+α)=,下列角β中,可能与角α“广义互余”的是(　　) A.sin β=- B.cos β= C.tan β= D.sin(π-β)= AB 返回目录 解析:由cos(π+α)=-cos α=,得cos α=-又sin α=±=±,β=-α,所以,sin β=sin(-α)=cos α=-,cos β=cos(-α)=sin α=±,故A,B正确;对于C,由tan β==,与选项中不符,故C错误;对于D,由sin(π-β)=sin β=-,与选项中不符,故D错误. 返回目录 $