精品解析：山东省临沂市沂南县2026年初中学业水平一轮模拟考试试题 数 学

2026年初中学业水平一轮模拟考试试题数学 注意事项： 1．本试卷共120分．考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试卷和答题卡规定的位置．考试结束后，只将答题卡收回． 2．答题注意事项见答题卡，答在本试卷上不得分． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 如图，在数轴上，被遮挡住的点表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 0.5 【答案】C 【解析】 【详解】解：由题意得，手掌遮挡住的数大于且小于0， 四个选项中只有C选项中的数符合题意， 故选：C． 2. 为了节能减排，国家积极倡导使用新能源汽车，新能源汽车发展也取得了巨大成就．下列新能源汽车的车标既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称与轴对称的定义进行判断即可．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A．中图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意； B．中图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意； C．中图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D．中图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：B． 3. 人类探索浩瀚宇宙的步伐从未停止，天文学家已经探明一年之中地球与太阳之间的距离随时间的变化而变化，地球与太阳之间的平均距离约为14960万千米，数据14960万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】科学记数法的一般形式为，其中，为整数，解题时先将14960万化为普通整数，再确定和的值即可． 【详解】解：． 4. 如图为一个乐高积木示意图，这个几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查简单组合体的三视图，熟练掌握左视图即从左边看到的图形，正视图即从正面看到的图形，俯视图即从上面看到的图形是解题的关键． 根据左视图是从左边看到的图形求解即可． 【详解】解：从左边看这个几何体，看到的图形为： ． 故选：C． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘除法运算法则，幂的乘方、积的乘方运算法则分别计算判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误； B、，原计算错误； C、，计算正确； D、，原计算错误． 6. “泰山”“曲阜三孔”“崂山”和“趵突泉”是山东省四个有代表性的旅游景点．若小辉从这四个景点中随机选择两个景点游览，则这两个景点中有“趵突泉”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用列举法列出所有等可能结果，再找出符合条件的结果，根据概率公式求解即可. 【详解】将四个景点分别记为泰山，曲阜三孔，崂山，趵突泉， ∵从四个景点中随机选择两个，所有等可能的结果为：，，，，，，共种， 其中包含趵突泉的结果有，，，共种， ∴所求概率. 7. 如图，点为一个正多边形的部分顶点，点为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（ ） A. 6 B. 9 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】如图：连接，根据题意求得，根据周角为，即可求得正多边形的边数． 【详解】解：如图：连接， ∵点为正多边形的中心，， ∴， ∴， ∴这个正多边形的边数为9，即选项B符合题意． 8. 古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有五人共车，二车空；三人共车，十人步．问人与车各几何？设共有x人，辆车，则可列出的方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意找准等量关系，正确列出方程组即可． 【详解】解：设共有人，辆车，根据题意得：． 9. 如图，菱形和菱形中，，，点是的中点，点在的延长线上，连接，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接交于点O，根据菱形的性质以及等边三角形的性质证明，再由勾股定理解答即可． 【详解】解：如图，连接交于点O， ∵四边形和都是菱形，， ∴，， ∵， ∴为等边三角形，， ∴，为等边三角形， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 10. 在一定温度下，某固态物质在溶剂中达到饱和状态时所溶解的溶质的质量叫做这种物质在这种溶剂中的溶解度．物质的溶解度会随温度的变化而变化．已知甲，乙两种物质在水中的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 甲物质的溶解度大于乙物质的溶解度 B. 当温度从升高至的过程中，甲物质的溶解度随着温度的升高而增大 C. 将时乙的饱和溶液降温至时，乙仍是饱和溶液 D. 当温度高于时，用等质量的甲，乙物质分别配制成饱和溶液，乙物质需要的水的质量更多 【答案】D 【解析】 【分析】通过图象获得信息，逐项判断即可． 【详解】解：由图象可知，当温度小于时，乙物质的溶解度大于甲物质的溶解度，温度大于时，甲物质的溶解度大于乙物质的溶解度，则A说法错误； 在温度从升高至的过程中，甲物质的溶解度先随着温度的升高而减小，后又随着温度的升高而增大，则B说法错误； 将时乙的饱和溶液降温至时，乙物质的溶解度会增大，乙从饱和溶液变为不饱和溶液，则C说法错误； 当温度高于时，甲物质的溶解度大于乙物质的溶解度，用等质量的甲，乙物质分别配制成饱和溶液，乙物质需要的水的质量更多，则D说法正确； 故选：D． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，利用提公因式法进行因式分解即可． 【详解】解：； 故答案为：． 12. 不等式组的解集是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小无解”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解确定不等式组的解集． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得； 所以不等式组的解集为， 故答案为：． 13. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】一元二次方程有两个相等的实数根，需满足：1、二次项系数不等于0；2、． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， 则有， 解得． 14. 如图，已知P是线段上的动点（P不与点A，B重合），，分别以为边在线段的同侧作等边和等边，连接，设的中点为G；连接，当动点P从点A运动到点B时，则的最小值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理及等边三角形的性质，解答本题的关键是作出辅助线，找到点G移动的规律，判断出其运动路径，综合性较强． 分别延长交于点H，证明四边形为平行四边形，再由G为的中点，可得G正好为中点，从而得到在P的运动过程中，G始终为的中点，G的运行轨迹为的中位线，进而得到当P在中点时，的值最小，此时，即可求解． 【详解】解：如图，分别延长交于点H， ∵，均为等边三角形， ∴， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴与互相平分． ∵G为的中点， ∴G正好为中点， 即在P的运动过程中，G始终为的中点， ∴G的运行轨迹为的中位线， ∴，， ∵当P在中点时，， ∴当P在中点时，的值最小，此时， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 此时， ∴的最小值为， 故答案为： 15. 算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大的贡献，在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字如图： 数字 形式 1 2 3 4 5 6 7 8 9 纵式 横式 表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，如“”表示的数是6728，“   ”表示的数是6708，若已知一个用这种方式表示的四位数中含有“”、“”和两个空位，则这个四位数是______． 【答案】9100或 【解析】 【分析】本题主要考查数字的变化规律，根据题意确定千位是横式的9是解题的关键．由题知个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，进而得到千位是横式的9，纵式的1在百位或者个位，即可解题． 【详解】解：由题知，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式， 因为“、“”是纵式的1和横式的9， 所以千位是横式的9，纵式的1在百位或者个位， 即这个四位数为9100或9001， 故答案为：9100或． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算、先化简再求值 （1）计算：； （2）先化简再求值：，其中． 【答案】（1） （2）化简结果是：，求值结果是： 【解析】 【分析】（1）先化简特殊角的三角函数值、负整数幂、算术平方根、零指数幂，再计算即可； （2）先化简分式，再代入计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 当时，原式． 17. 联合国新闻部将中国传统节气“谷雨”这一天定为中文日，以纪念“中华文字始祖”仓颉造字的贡献．某校为加强学生对中文历史发展的学习与了解，彰显中文和中华文化的魅力，举行了“感受中文魅力，弘扬中华文化”的趣味知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（用表示，百分制）分成四组：；；；，将所得数据进行收集、整理、描述和分析： 收集数据： 七年级20名学生的竞赛成绩是：81，86，99，95，89，99，98，82，88，99，80，86，97，94，88，99，99，83，88，100 八年级20名学生的竞赛成绩在组中的数据是：94，94，91，93，95，91 整理数据： 分析数据： 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 　　　年级 统计量 七年级 八年级 平均数 91.5 92 中位数 91.5 众 数 99 100 应用数据： 根据以上信息，解答下列问题： （1）的值为 ，补全频数分布直方图； （2）若该中学七年级有600人，八年级有400人参加了此次竞赛活动． ①估计参加此次竞赛活动学生获得成绩的平均分为 分； ②估计参加此次竞赛活动学生获得优秀(90分以上)成绩的总人数； （3）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对“中文的历史发展”知识了解的更多？并说明理由（写出一条即可）． 【答案】（1）94；见详解 （2）①91.7；②580人 （3）八年级学生对“中文的历史发展”知识了解的更多，见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图以及扇形统计图，中位数的定义，加权平均数的定义，用样本估计总体即可．以及利用平均数作决策即可． （1）根据中位数的定义求解m．先算出七年级D组的人数，然后补全条形统计图即可． （2）①根据加权平均数的定义求解即可；②用样本估计总体即可． （3）利用平均数作决策即可． 【小问1详解】 解：人， 则八年级的中位数位于C组的第10位和11位的平均数： ∴， 七年级D组的人数为：(人)， 补全条形统计图如下： 【小问2详解】 解：①（分） 则参加此次竞赛活动学生获得成绩的平均分为（分） ②（人） 则参加此次竞赛活动学生获得优秀(90分以上)成绩的总人数为580人． 【小问3详解】 解：八年级学生对“中文的历史发展”知识了解的更多． 理由：八年级所抽学生的平均成绩大于七年级的平均成绩．（从中位数或者从众数的角度分析均可．） 18. 如图，中，，一同学利用直尺和圆规完成如下操作： ①以点为圆心，以为半径画弧，交于点；分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线； ②以点为圆心，以适当的长为半径画弧，交于点，交的延长线于点；分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作直线交的延长线于点，交射线于点． 请你观察图形，根据操作结果解答下列问题； （1）求证； （2）过点作交的延长线于点，若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由作图知，平分，证明，即可得答案； （2）先证，则有，利用勾股定理求得，设，在中，列出方程，解答即可． 【小问1详解】 解：如下图， 由作图知，平分， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ，， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，根据勾股定理得， 则， ， ． 19. 为了解智能家居空气净化器的净化效果，某数学实践小组开展“探究净化因子浓度变化规律”实验，步骤如下： 实践准备 搭建模拟实验空间（体积固定），启动空气净化器的“净化因子释放”模式，每隔一段时间记录一次室内每立方米空气中的净化因子浓度（单位：），部分数据如下： 释放时间 0 0.5 1 1.2 1.5 …… 浓度 2 6 10 …… 通过实验发现：净化因子浓度变化分为两个阶段： ①主动释放阶段与成一次函数关系； ②自然消散阶段与成反比例关系． 实践任务 （1）数据建模：根据实验数据，分别求出主动释放阶段和自然消散阶段中，关于的函数表达式（需注明自变量取值范围）． （2）数据应用：结合函数表达式，计算当净化因子浓度时，对应的释放时间的值． （3）效果评估：该实践小组通过查阅资料得知，“有效净化”的标准为室内每立方米净化因子浓度不低于，且持续时间不低于．请通过计算判断本次实验中“净化因子释放”模式是否达到有效净化标准． 【答案】（1）主动释放阶段：；自然消散阶段： （2）或 （3）达到有效净化标准 【解析】 【分析】（1）先设出一次函数和反比例函数的表达式，利用给定的数据点来确定函数表达式； （2）将给定的浓度代入相应的函数表达式，求解即可； （3）根据有效净化的标准，计算净化因子浓度不低于的持续时间，然后判断是否达标即可． 【小问1详解】 设主动释放阶段的函数表达式为， 当时，，当时，，将其代入， 得，解得， 主动释放阶段的函数表达式为； 设自然消散阶段的函数表达式为， 当时，，将其代入，得，解得， 自然消散阶段的函数表达式为； 【小问2详解】 当时，将代入，得， 解得； 当时，将代入，得， 解得； 当净化因子浓度时，对应的释放时间的值为或； 【小问3详解】 令，解得， 主动释放阶段净化因子浓度不低于的持续时间为， 令，解得， 自然消散阶段净化因子浓度不低于的持续时间为， 净化因子浓度不低于的总持续时间为， ， 本次实验中“净化因子释放”模式达到有效净化标准． 【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的应用，通过代入已知点求解函数解析式，是解决后续问题的基础，过程中注意分类讨论思想的应用；将净化因子浓度的变化转化为函数问题，通过函数计算验证实际“有效净化”标准，体现了数学建模解决实际问题的应用价值． 20. 如图，内接于，是直径，切线切于C，交的延长线于点P，交于点E，交于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，，求阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，先根据切线的性质得到，再证明，可得，即可根据切线的判定证明结论； （2）先求出，，，再根据计算，即可得到答案． 【小问1详解】 证明：内接于，是直径，切线切于C，交的延长线于点P，连接， 由题意可得：， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线； 【小问2详解】 解：由（1）知，， ， ， 是直径， ， ， ， 在中，， 阴影部分的面积． 21. 如图，一艘渔船自东向西以每小时海里的速度向码头航行，小组同学收集到以下信息： 位置信息 码头在灯塔北偏西方向 时，渔船航行至灯塔北偏东方向的处 时，渔船航行至灯塔东北方向的D处 天气预警 受冷空气影响，今天到夜间，码头附近海域将出现浓雾天气．请注意防范 请根据以上信息，解答下列问题： （1）求渔船在航行过程中到灯塔的最短距离；（结果精确到） （2）若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头． （参考数据：，，） 【答案】（1）海里 （2）能，说明见解析 【解析】 【分析】（1）过点作于点，设，根据题意得出，解，由建立方程，即可求解； （2）求得的距离，计算的距离，根据路程除以速度得到航行时间，结合题意，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点． 设． 由题意可知，， ， ， ． 在中，， 解得， ∴渔船在航行过程中到灯塔的最短距离约为海里； 【小问2详解】 解：在中，， ， ， （小时）（分钟） 从，经过分钟是，在之前能到达， ∴不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头． 22. 在平面直角坐标系中，已知二次函数（b，c为常数） （1）当，时，求该函数图象的顶点坐标； （2）若该二次函数图象经过点，且，求b的取值范围； （3）若，，且当时，的最大值与最小值的差为4，求c的值． 【答案】（1） （2） （3）1 【解析】 【分析】（1）将 ，代入函数式，用配方法或顶点公式求顶点坐标； （2）点  和 纵坐标相同，说明它们关于对称轴对称，利用对称性建立 与  的关系，再结合 求 的范围； （3）由 将函数化为单参数形式，分析对称轴位置，讨论对称轴上的最值情况，利用最大值与最小值之差为4列方程求解． 【小问1详解】 解：当 ， 时，，  该函数图象的顶点坐标为 ， 【小问2详解】 解：∵ 点 ，都在抛物线上，且纵坐标相同， 、关于对称轴对称， 抛物线  的对称轴为 ， ​，即 ， ， ， ； 【小问3详解】 解：， ， 对称轴为 ，开口向下， ​， 对称轴在内， 当时，， 当 时，； 当  时，， 比较两端点： ， ​， ，即 ， （在  处取得）， 由题意：， ， ， ，  或 （舍去，不满足 ​）， ． 23. 在数学活动课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． （1）操作推断 如图1，点P是正方形纸片的边的中点，沿折叠，使点A落在点M处，延长交于点 F，连接． 则 ． （2）迁移探究 小华在（1）的条件下，继续探究：如图2，延长交于点E，连接． ① ； ②小华用大小不同的正方形纸片重复几次以上操作，总发现，请判断该发现是否正确？并说明理由． （3）拓展应用 将边长为1的两个相同正方形拼成矩形，如图3，点P是上一动点，沿折叠，使点A落在点M处，射线交射线于点 F．当时，直接写出的长． 【答案】（1）90 （2）①45；②正确，理由见解析 （3）AP长为或 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得到，根据折叠的性质得到，根据全等三角形的性质即可解答； （2）①根据正方形的性质得到，进而得到，根据折叠的性质得到，根据全等三角形的性质得到，进而完成解答；②根据相似三角形的判定和性质定理即可解答； （3）根据矩形的性质得到，再分点F在的延长线上和上两种情况，分别运用正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质定理解答即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， ∵点P是正方形纸片的边的中点， ∴， ∵沿折叠，使点A落在点M处， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：90． 【小问2详解】 解：①∵四边形是正方形， ∴， ∵点P是正方形纸片的边的中点， ∴， ∵沿折叠，使点A落在点M处， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：45； ②判断正确，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 【小问3详解】 解：∵将边长为1的两个相同正方形拼成矩形， ∴， ∴， ∵沿折叠，使点A落在点M处， ∵, ①当点F在的延长线上时， ∴， 设与交于E， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得： ， ∴． ②当点F在上时， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴, ∴ ∵， ∴， ∴， ∵沿折叠，使点A落在点M处， ∵, ∴，解得：． ∴． 【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了正方形的性质、矩形的性质、勾股定理、折叠的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握正方形的性质、相似三角形的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平一轮模拟考试试题数学 注意事项： 1．本试卷共120分．考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试卷和答题卡规定的位置．考试结束后，只将答题卡收回． 2．答题注意事项见答题卡，答在本试卷上不得分． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 如图，在数轴上，被遮挡住的点表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 0.5 2. 为了节能减排，国家积极倡导使用新能源汽车，新能源汽车发展也取得了巨大成就．下列新能源汽车的车标既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 人类探索浩瀚宇宙的步伐从未停止，天文学家已经探明一年之中地球与太阳之间的距离随时间的变化而变化，地球与太阳之间的平均距离约为14960万千米，数据14960万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图为一个乐高积木示意图，这个几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. “泰山”“曲阜三孔”“崂山”和“趵突泉”是山东省四个有代表性的旅游景点．若小辉从这四个景点中随机选择两个景点游览，则这两个景点中有“趵突泉”的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点为一个正多边形的部分顶点，点为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（ ） A. 6 B. 9 C. 10 D. 12 8. 古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有五人共车，二车空；三人共车，十人步．问人与车各几何？设共有x人，辆车，则可列出的方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，菱形和菱形中，，，点是的中点，点在的延长线上，连接，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 在一定温度下，某固态物质在溶剂中达到饱和状态时所溶解的溶质的质量叫做这种物质在这种溶剂中的溶解度．物质的溶解度会随温度的变化而变化．已知甲，乙两种物质在水中的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 甲物质的溶解度大于乙物质的溶解度 B. 当温度从升高至的过程中，甲物质的溶解度随着温度的升高而增大 C. 将时乙的饱和溶液降温至时，乙仍是饱和溶液 D. 当温度高于时，用等质量的甲，乙物质分别配制成饱和溶液，乙物质需要的水的质量更多 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 分解因式：_____． 12. 不等式组的解集是___________． 13. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则___________． 14. 如图，已知P是线段上的动点（P不与点A，B重合），，分别以为边在线段的同侧作等边和等边，连接，设的中点为G；连接，当动点P从点A运动到点B时，则的最小值是_________． 15. 算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大的贡献，在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字如图： 数字 形式 1 2 3 4 5 6 7 8 9 纵式 横式 表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，如“”表示的数是6728，“   ”表示的数是6708，若已知一个用这种方式表示的四位数中含有“”、“”和两个空位，则这个四位数是______． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算、先化简再求值 （1）计算：； （2）先化简再求值：，其中． 17. 联合国新闻部将中国传统节气“谷雨”这一天定为中文日，以纪念“中华文字始祖”仓颉造字的贡献．某校为加强学生对中文历史发展的学习与了解，彰显中文和中华文化的魅力，举行了“感受中文魅力，弘扬中华文化”的趣味知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（用表示，百分制）分成四组：；；；，将所得数据进行收集、整理、描述和分析： 收集数据： 七年级20名学生的竞赛成绩是：81，86，99，95，89，99，98，82，88，99，80，86，97，94，88，99，99，83，88，100 八年级20名学生的竞赛成绩在组中的数据是：94，94，91，93，95，91 整理数据： 分析数据： 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 　　　年级 统计量 七年级 八年级 平均数 91.5 92 中位数 91.5 众 数 99 100 应用数据： 根据以上信息，解答下列问题： （1）的值为 ，补全频数分布直方图； （2）若该中学七年级有600人，八年级有400人参加了此次竞赛活动． ①估计参加此次竞赛活动学生获得成绩的平均分为 分； ②估计参加此次竞赛活动学生获得优秀(90分以上)成绩的总人数； （3）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对“中文的历史发展”知识了解的更多？并说明理由（写出一条即可）． 18. 如图，中，，一同学利用直尺和圆规完成如下操作： ①以点为圆心，以为半径画弧，交于点；分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线； ②以点为圆心，以适当的长为半径画弧，交于点，交的延长线于点；分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作直线交的延长线于点，交射线于点． 请你观察图形，根据操作结果解答下列问题； （1）求证； （2）过点作交的延长线于点，若，求的长． 19. 为了解智能家居空气净化器的净化效果，某数学实践小组开展“探究净化因子浓度变化规律”实验，步骤如下： 实践准备 搭建模拟实验空间（体积固定），启动空气净化器的“净化因子释放”模式，每隔一段时间记录一次室内每立方米空气中的净化因子浓度（单位：），部分数据如下： 释放时间 0 0.5 1 1.2 1.5 …… 浓度 2 6 10 …… 通过实验发现：净化因子浓度变化分为两个阶段： ①主动释放阶段与成一次函数关系； ②自然消散阶段与成反比例关系． 实践任务 （1）数据建模：根据实验数据，分别求出主动释放阶段和自然消散阶段中，关于的函数表达式（需注明自变量取值范围）． （2）数据应用：结合函数表达式，计算当净化因子浓度时，对应的释放时间的值． （3）效果评估：该实践小组通过查阅资料得知，“有效净化”的标准为室内每立方米净化因子浓度不低于，且持续时间不低于．请通过计算判断本次实验中“净化因子释放”模式是否达到有效净化标准． 20. 如图，内接于，是直径，切线切于C，交的延长线于点P，交于点E，交于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，，求阴影部分的面积． 21. 如图，一艘渔船自东向西以每小时海里的速度向码头航行，小组同学收集到以下信息： 位置信息 码头在灯塔北偏西方向 时，渔船航行至灯塔北偏东方向的处 时，渔船航行至灯塔东北方向的D处 天气预警 受冷空气影响，今天到夜间，码头附近海域将出现浓雾天气．请注意防范 请根据以上信息，解答下列问题： （1）求渔船在航行过程中到灯塔的最短距离；（结果精确到） （2）若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头． （参考数据：，，） 22. 在平面直角坐标系中，已知二次函数（b，c为常数） （1）当，时，求该函数图象的顶点坐标； （2）若该二次函数图象经过点，且，求b的取值范围； （3）若，，且当时，的最大值与最小值的差为4，求c的值． 23. 在数学活动课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． （1）操作推断 如图1，点P是正方形纸片的边的中点，沿折叠，使点A落在点M处，延长交于点 F，连接． 则 ． （2）迁移探究 小华在（1）的条件下，继续探究：如图2，延长交于点E，连接． ① ； ②小华用大小不同的正方形纸片重复几次以上操作，总发现，请判断该发现是否正确？并说明理由． （3）拓展应用 将边长为1的两个相同正方形拼成矩形，如图3，点P是上一动点，沿折叠，使点A落在点M处，射线交射线于点 F．当时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $