精品解析：甘肃省张掖市肃南裕固族自治县明花学校2025--2026学年度第二学期素质测评八年级数学试卷

2025~2026学年度第二学期素质测评八年级数学 （满分：120分 时间：120分钟） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数列出不等式进行计算即可即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故选：C． 2. 下列各组数中，以它们为边长不能构成直角三角形的是（ ） A. 2，4， B. C. 1，2，3 D. 7，24，25 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理，只需验证每组数中较小两边的平方和是否等于最大边的平方，即可判断能否构成直角三角形． 【详解】解：A、最大边长为， ， ， ，能构成直角三角形，此选项不符合题意； B、最大边长为， ，， ，能构成直角三角形，此选项不符合题意； C、最大边长为， ，，， ，不能构成直角三角形，此选项符合题意； D、最大边长为， ，， ，能构成直角三角形，此选项不符合题意； 3. 如图，直线，点、在直线上，点、在直线上，连接、．已知，，则点到的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线间的距离处处相等求解即可． 【详解】解：设到的距离为， ∵直线，点、在直线上， ∴到的距离为， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴到的距离为． 4. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：对选项A：，计算正确． 对选项B：，计算正确． 对选项C：与的被开方数不同，不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误． 对选项D：由平方差公式得 ，计算正确． 5. 已知一个直角三角形的两条边长分别为9、12，则第三条边的长为（ ） A. 3或15 B. 15或17 C. 或17 D. 或15 【答案】D 【解析】 【分析】若9和12均为直角边，则第三边为斜边，若其中一边为斜边，则另一条为直角边，由于斜边必为最长边，则只能12为斜边，此时第三边为直角边，然后问题可求解． 【详解】解：当9和12均为直角边时，第三边（斜边）长为：； 当12为斜边时，第三边（直角边）为：； 综上所述，第三条边的长为或15． 6. 如图，四边形是矩形，，．已知在平面直角坐标系中，点的坐标为，且轴，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先结合矩形的性质得，，再得出轴，又因为点的坐标为，，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵轴 ∴轴 ∵点的坐标为， ∴ 即点的坐标是． 7. 如图，在矩形中，，点是的中点，连接、，是的中线，则的长为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由四边形是矩形，可得，，又点是的中点，所以，然后通过等角对等边得出，由勾股定理得，，再由中点定义可得，最后通过勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， 由勾股定理得：，， ∵是中点， ∴， ∴， ∴的长为． 8. 如图，在中，，点是斜边的中点，连接，以为边作正方形．若正方形的面积为25，则的面积为（ ） A. B. C. 24 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的面积可求得的长，利用直角三角形斜边的中线求得斜边的长，利用勾股定理求得的长，根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵中，点M是斜边的中点， ∴， ∴， ∴． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 比较大小：_____（填“>”“<”或“=”）． 【答案】< 【解析】 【分析】两个正数比较大小，可先将两数分别平方，通过比较平方结果的大小得到原数的大小，平方结果大的原数更大． 【详解】解：和都是正数， 分别平方得，， ， ． 10. 如图，在正八边形中，以为边在正八边形内部作等边，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据多边形的内角和公式可得的度数，根据等边三角形的性质可得，据此即可得出的度数． 【详解】解：∵正八边形， ∴， ∵等边， ∴， ∴． 11. 若二次根式和能够合并，则的值可能为：______．（写出一个即可） 【答案】5（答案不唯一） 【解析】 【分析】将化为最简二次根式，进而作答即可． 【详解】解：， 则的值可能为：5（答案不唯一）． 12. 如图，在正方形中，点是上一点，连接，，点、分别在、上，连接，若，则的度数为______． 【答案】53 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，平行线的性质，直角三角形中两锐角互余等知识． 利用平行的性质可得，，再利用直角三角形中两锐角互余即可求解． 【详解】∵在正方形中，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 13. 如图是由若干个棱长为1cm的小正方体所搭建的几何体，一只电子蚂蚁从点出发，沿几何体的表面爬到点，这只电子蚂蚁爬行的最短路程为_______cm． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，将立体图形转化为平面图形是解题的关键．首先找出所有可能的爬行线路，然后根据两点之间线段最短，将组合体图形转化为平面图形，再通过勾股定理比较路线的长短即可． 【详解】解：16个棱长为1cm的小正方体所搭建的几何体， 这个几何体的长是4cm，宽是2cm，高是2cm． 电子蚂蚁爬行的路线有三种情况： ①经过前面和右面时，， ②经过前面和上面时，， ③经过左面和上面时，， ， ∴这只电子蚂蚁爬行的最短路程为． 14. 如图，已知点P是菱形ABCD的对角线AC延长线上一点，过点P分别作AD、DC延长线的垂线，垂足分别为点E、F．若∠ABC＝120°，AB＝4，则PE﹣PF＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接BD交AC于O，由菱形的性质与勾股定理得到，则，再由，，则即可得到答案． 【详解】解：连接BD交AC于O，如图： ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，AB=4， ∴，AC⊥BD， ， 在中，， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质的知识，求出AC，将PE-PF转换为是关键． 三、解答题（共12小题，计78分.解答应写出过程） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： 16. 如图，小明计划周末到离家正东方向的书店买书，买完书后再去距离书店正北方向的体育中心打篮球，求小明家和体育中心的距离． 【答案】小明家和体育中心的距离为． 【解析】 【分析】根据方向角的定义得出，，，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：由题意得，，，， ∴在中， ． ∴小明家和体育中心的距离为． 17. 如图，在矩形中，对角线与交于点，点是上一点，连接，若，．求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的性质得到，，，，可知，根据等边对等角得到，则，根据等边对等角即可求出的度数． 【详解】解：∵四边形是矩形，对角线与交于点， ∴，，，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 18. 如图，已知射线和线段．请用尺规作图法，求作菱形，使得顶点在射线上．（保留作图痕迹，不要求写作法） 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据题意，作线段的垂直平分线，再在垂直平分线上取一点，使得，接着连线即可． 【详解】解：如图，菱形即为所求．（作法不唯一） 19. 如图，在中，点、分别在、的延长线上，连接、，若．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到，进而得到，证明四边形为平行四边形，即可得到． 【详解】证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴． 20. 如图1，土楼是中国传统的大型夯土民居建筑，图2是其水平切面示意图，它是由两个同心圆构成的圆环．已知大圆和小圆的面积分别为和，求圆环的宽度．（取3，结果化为最简二次根式） 【答案】圆环的宽度为 【解析】 【分析】分别求出大圆和小圆的半径，相减即可． 【详解】解：由题意得． 答：圆环的宽度为． 21. 如图，在中，，点是上的点，连接，若，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了邻补角的性质、等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理．先根据邻补角的性质以及得到，进而判定为等腰直角三角形，，最后在中，根据勾股定理即可求出的长． 【详解】解：，， ， ∴， 在中，，即， （负值已舍）， ， 在中，． 22. 如图，在中，，的角平分线交于点，于点，于点．请你判断四边形是否为正方形，并说明理由． 【答案】四边形是正方形．理由见解析 【解析】 【分析】根据垂线的定义得到，根据角平分线的性质定理得到，即可证明四边形是正方形． 【详解】解：四边形是正方形． 理由：∵是的平分线，，， ∴，， 又∵， ∴四边形是矩形． ∵， ∴四边形是正方形． 23. 由于大风，山坡上的甲树在点处被拦腰折断，如图所示，其中甲树顶端恰好落在乙树的根部处，甲、乙两树均沿竖直方向生长.已知，，两棵树之间的水平距离为，求甲树折断前的高度．（图中点均在同一平面内） 【答案】折断前甲树的高度为 【解析】 【分析】过点作交的延长线于点，在和中用勾股定理即可得到折断前甲树的高度． 【详解】解：过点作交的延长线于点，，， 由题可知， 在中，， ， 在中，， ， 折断前甲树的高度为． 24. 如图，是内一点，连接，，并将，，，的中点，，，依次连接，得到四边形． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）如果，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，，，，从而得到，，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可； （2）过点作，交于点．由含的直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质，结合三角形的中位线即可求得结果． 【小问1详解】 证明：，分别是，的中点， ，． ，分别是，的中点， ，， ，， ∴四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：如图，过点作，交于点． 在中，由，，得， ． 在中，由，，得， ， ． 【点睛】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定，含角的直角三角形，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟记定理是解题的关键． 25. 小强根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小强的探究过程． 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： … 根据上述探究过程，解答下列问题： （1）仿照第3个等式，写出第4个等式______； （2）观察、归纳，得出猜想，若为正整数，用含的式子表示第个等式：______； （3）应用上述运算规律计算：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据材料提示计算即可； （2）由材料提示，归纳总结；运用二次根式的性质，二次根式的混合运算法则证明即可； （3）根据材料提示的方法把，再根据二次根式的乘法运算计算即可． 【小问1详解】 解：第4个等式为：； 【小问2详解】 解：由上述计算可得，如果n为正整数，上述的运算规律为：； 【小问3详解】 解： ． 26. 综合与探究 （1）如图1，在矩形中，对角线与相交于点O，过点O作直线，交于点E，交于点F，连接，，且平分． ①求证：四边形是菱形； ②直接写出的度数． （2）把（1）中菱形进行分离研究，如图2，G，I分别在，边上，且，连接，H为的中点，连接，并延长交于点J，连接，，，．试探究线段与之间满足的数量及位置关系，并说明理由． 【答案】（1）①见解析；② （2），，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、菱形的性质和判定、等边三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）①证明是的垂直平分线，≌，得到，进而证明； ②根据菱形的性质推出，进而解题即可； （2）延长到M，使，连接，证明≌以及是等边三角形，证明≌以及是等边三角形，推出，，即可得解． 【小问1详解】 ①证明：由题意知，，，， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴，，， 在和中， ， ∴≌， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； ②解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，，理由如下： 延长到M，使，连接，如图所示： ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴，，， ∵H为的中点， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， 又∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∵ ∴，， 在中，， ∴， 由勾股定理得：， ∴，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第二学期素质测评八年级数学 （满分：120分 时间：120分钟） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，以它们为边长不能构成直角三角形的是（ ） A. 2，4， B. C. 1，2，3 D. 7，24，25 3. 如图，直线，点、在直线上，点、在直线上，连接、．已知，，则点到的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知一个直角三角形的两条边长分别为9、12，则第三条边的长为（ ） A. 3或15 B. 15或17 C. 或17 D. 或15 6. 如图，四边形是矩形，，．已知在平面直角坐标系中，点的坐标为，且轴，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在矩形中，，点是的中点，连接、，是的中线，则的长为（） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，点是斜边的中点，连接，以为边作正方形．若正方形的面积为25，则的面积为（ ） A. B. C. 24 D. 36 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 比较大小：_____（填“>”“<”或“=”）． 10. 如图，在正八边形中，以为边在正八边形内部作等边，则的度数为______． 11. 若二次根式和能够合并，则的值可能为：______．（写出一个即可） 12. 如图，在正方形中，点是上一点，连接，，点、分别在、上，连接，若，则的度数为______． 13. 如图是由若干个棱长为1cm的小正方体所搭建的几何体，一只电子蚂蚁从点出发，沿几何体的表面爬到点，这只电子蚂蚁爬行的最短路程为_______cm． 14. 如图，已知点P是菱形ABCD的对角线AC延长线上一点，过点P分别作AD、DC延长线的垂线，垂足分别为点E、F．若∠ABC＝120°，AB＝4，则PE﹣PF＝_____． 三、解答题（共12小题，计78分.解答应写出过程） 15. 计算：． 16. 如图，小明计划周末到离家正东方向的书店买书，买完书后再去距离书店正北方向的体育中心打篮球，求小明家和体育中心的距离． 17. 如图，在矩形中，对角线与交于点，点是上一点，连接，若，．求的度数． 18. 如图，已知射线和线段．请用尺规作图法，求作菱形，使得顶点在射线上．（保留作图痕迹，不要求写作法） 19. 如图，在中，点、分别在、的延长线上，连接、，若．求证：． 20. 如图1，土楼是中国传统的大型夯土民居建筑，图2是其水平切面示意图，它是由两个同心圆构成的圆环．已知大圆和小圆的面积分别为和，求圆环的宽度．（取3，结果化为最简二次根式） 21. 如图，在中，，点是上的点，连接，若，，，求的长． 22. 如图，在中，，的角平分线交于点，于点，于点．请你判断四边形是否为正方形，并说明理由． 23. 由于大风，山坡上的甲树在点处被拦腰折断，如图所示，其中甲树顶端恰好落在乙树的根部处，甲、乙两树均沿竖直方向生长.已知，，两棵树之间的水平距离为，求甲树折断前的高度．（图中点均在同一平面内） 24. 如图，是内一点，连接，，并将，，，的中点，，，依次连接，得到四边形． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）如果，，，求的长． 25. 小强根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小强的探究过程． 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： … 根据上述探究过程，解答下列问题： （1）仿照第3个等式，写出第4个等式______； （2）观察、归纳，得出猜想，若为正整数，用含的式子表示第个等式：______； （3）应用上述运算规律计算：． 26. 综合与探究 （1）如图1，在矩形中，对角线与相交于点O，过点O作直线，交于点E，交于点F，连接，，且平分． ①求证：四边形是菱形； ②直接写出的度数． （2）把（1）中菱形进行分离研究，如图2，G，I分别在，边上，且，连接，H为的中点，连接，并延长交于点J，连接，，，．试探究线段与之间满足的数量及位置关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $