专题6：弹簧模型中的能量问题 专项训练-2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册

**基本信息** 聚焦弹簧系统能量转化与力学综合，按情境（竖直/水平/图像/连接体/圆周）分模块递进，突出能量观念与科学推理 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |竖直弹簧|6题（如第1题）|下落压缩过程能量转化与受力分析|从单一物体弹簧系统切入，建立重力势能、弹性势能转化模型| |水平弹簧|3题（如第2题）|动能定理与弹性势能结合的往返运动|拓展至水平方向，强化摩擦力对能量损耗的影响分析| |弹簧图像|3题（如第1题）|F-x图像与能量、运动参量关联|通过图像表征深化对弹簧弹力做功与弹性势能关系的理解| |弹簧连接体|13题（如第1题）|多物体系统平衡、能量守恒与临界分析|综合连接体模型，提升复杂系统中能量转化与受力分析能力| |弹簧与圆周运动|5题（如第1题）|弹簧弹力提供向心力及临界问题|结合曲线运动，拓展能量守恒在圆周运动中的应用|

弹簧中的能量问题 一、竖直弹簧问题 1．如图所示，一轻质弹簧竖直固定于地面上，铁质小球自弹簧正上方由静止下落，小球从接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（弹簧的形变始终在弹性限度内），下列说法正确的是 A．小球的速度一直减小 B．小球的机械能不守恒 C．重力对小球做正功，小球的重力势能在增加 D．弹簧的弹力对小球做负功，弹簧的弹性势能在减小 2．（多选）如图所示，把质量为m的小球放在竖立的弹簧上，并把小球往下按至A位置，如图甲，迅速松手后，弹簧把小球弹起，小球升至最高位置C，如图乙，途中经过位置B时弹簧正好恢复原长，弹簧的质量和空气的阻力均可忽略，以A位置为重力势能零点。小球从A到C的运动过程中，下列说法正确的是 A．小球的机械能不守恒 B．小球到达B位置时，小球的动能最大 C．小球动能与弹簧弹性势能之和不断减少 D．小球在A位置时弹簧的弹性势能等于小球在C位置的重力势能 3．（多选）竖直固定在水平地面上的轻质弹簧劲度系数为k、原长为l，如图所示。质量为m的小球由弹簧正上方h处由静止释放，小球运动到最低点时弹簧的压缩量为x。不计空气阻力，重力加速度为g。则 A．小球先加速下降h，再减速下降x B．小球运动到最低点时，弹簧的弹性势能为mg（h＋x） C．小球速度最大时距地面的高度为 D．小球速度最大时弹簧的弹性势能为 4．（多选）如图所示，在水平地面上固定一竖直轻弹簧，弹簧的劲度系数为，原长为。质量为的小球由弹簧的正上方高处自由下落，与弹簧接触后压缩弹簧，当弹簧的压缩量为时，小球下落到最低点，整个过程中弹簧一直处在弹性限度内。不计空气阻力，当地的重力加速度为，则从小球接触弹簧开始到小球下落到最低点的过程中 A．小球的机械能先增加后减少 B．小球与弹簧组成的系统机械能守恒 C．弹簧弹性势能的最大值为 D．小球下落到距地面高度时动能最大 5．如图所示，质量为2×103 kg的电梯在缆绳发生断裂后向下坠落，电梯刚接触井底缓冲弹簧时的速度为4 m/s，缓冲弹簧被压缩2 m时电梯速度减为零。下落过程中安全钳提供给电梯的滑动摩擦力共为1.7×104 N，取重力加速度g＝10 m/s2。下列说法正确的是 A．电梯接触弹簧后速度立即减小 B．电梯压缩弹簧过程中电梯的加速度一直在减小 C．电梯速度减为零时弹簧的弹性势能为 D．电梯压缩弹簧过程中电梯的机械能减少了 6．（多选）如图，一轻弹簧的一端固定于O点，另一端系一重物，将重物从与悬点O在同一水平面且弹簧保持原长的A点无初速度释放，让它自由下摆，不计空气阻力，则在重物由A点摆向最低点B的过程中 A．弹簧的弹性势能增加 B．重力做正功，弹力不做功 C．重物的机械能不变 D．重物重力势能的减少量大于弹簧弹性势能的增加量 二、水平弹簧问题 1．如图所示，水平轻弹簧一端与墙相连处于自由伸长状态，质量为2kg的木块沿光滑的水平面以10m/s的速度开始运动并挤压弹簧，当物体的速度减小为6m/s时，弹簧的弹性势能为 A．100J B．36J C．75J D．64J 2．如图所示，轻质弹簧的左端固定，并处于自然状态。小物块的质量为m，从A点向左沿水平地面运动，压缩弹簧后被弹回，运动到A点恰好静止。物块向左运动的最大距离为s，与地面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，弹簧未超出弹性限度。在上述过程中 A．弹簧的最大弹力为μmg B．在弹回过程中，当弹簧处于原长时小物块的速度最大 C．弹簧的最大弹性势能等于μmgs D．物块在A点的初速度为 3．如图所示，光滑水平面OB与足够长粗糙斜面BC交于B点。轻弹簧左端固定于竖直墙面，现用质量为m1的滑块压缩弹簧至D点，然后由静止释放，滑块脱离弹簧后经B点滑上斜面，上升到最大高度，并静止在斜面上。不计滑块在B点的机械能损失，换用材料相同，质量为m2的滑块（m2≠m1）压缩弹簧至同一点D后，重复上述过程，下列说法中正确的是 A．两滑块到达B点时速度相同 B．两滑块沿斜面上升的最大高度相同 C．两滑块上升到最高点的过程中重力势能增加量不同 D．两滑块上升到最高点的过程中摩擦产生的热量相同 三、弹簧图像问题 1．一轻质弹簧的弹力与弹簧形变量之间的关系如图甲所示。将该弹簧下端固定在水平地面上，一质量为1.8 kg的物体在外力作用下缓慢放在竖直弹簧的上端，待物体稳定后撤去外力，物体静止在弹簧上端，弹簧处在弹性限度内，如图乙所示取重力加速度大小g＝10 m/s2，则下列说法正确的是 A．弹簧的压缩量为3 cm B．弹簧的长度越长，弹簧的弹性势能越大 C．此过程中弹簧弹力对物体做的功为－0.54 J D．物体静止时，弹簧的弹性势能为0.54 J 2．如图所示，一轻弹簧上端固定，下端连接一个小球。将小球自弹簧处于原长处由静止释放，以释放点为原点，竖直向下为正方向建立x轴，弹簧始终处于弹性限度内。在小球下落至最低点过程中，其速度v、动能Ek、机械能E、小球的重力势能Ep随位置x变化的图像可能正确的是 A．B．C． D． 3．（多选）如图甲所示，轻质弹簧的下端固定在倾角为θ的固定光滑斜面的底部，在弹簧的上端从静止开始释放一质量m＝1kg的滑块，滑块的加速度a与弹簧压缩量x间的关系如图乙所示，斜面始终保持静止。重力加速度大小g＝10m/s²，弹簧的弹性势能可表示为，k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量，则 A．滑块在斜面上做匀变速直线运动 B．滑块速度最大时，地面对斜面的摩擦力方向水平向右 C．弹簧的劲度系数为25N/m D．滑块最大的动能为0.5J 四、弹簧连接体问题 1．如图所示，A、B两小球由绕过定滑轮的轻质细线相连，B、C两小球通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，放在倾角为30°带有挡板的固定光滑斜面上，斜面足够长。初始时用手控制住A，使细线伸直但无拉力作用，并保证滑轮左侧细线与斜面平行，此时整个系统处于静止状态。现释放A球（A球下落过程中不会触地）。已知A、B的质量均为m，C的质量为3m，弹簧始终在弹性限度内，弹簧的弹性势能（x为弹簧的形变量），不计一切摩擦，重力加速度为g，下列说法正确的是 A．初始时，弹簧形变量大小为 B．A下落过程中其重力的最大功率为 C．A下落的最大位移为 D．A下落到最低点时挡板与球之间的弹力为 2．如图所示，一个劲度系数为100 N/m的轻弹簧下端连接在倾角为53°的光滑斜面底端，弹簧上端连接物体P，物体P通过平行于斜面的轻绳绕过定滑轮O与套在光滑竖直杆上的小圆环Q相连，竖直杆上的点A与滑轮等高，点A与小滑轮间的距离为0.6 m。一开始通过外力使小圆环Q静止在B点，A、B间距离为0.8 m，此时轻绳的拉力大小为60 N。现将小圆环Q由静止释放，弹簧始终在弹性限度内。已知物体P的质量为5 kg，小圆环Q的质量为1 kg，重力加速度大小取10 m/s2，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6。小圆环Q从B点上升至A点的过程中，下列说法正确的是 A．弹簧的弹性势能变小 B．小圆环Q上升至A点时的速度大小为 C．细线拉力对Q做的功为16J D．物体P的机械能减少了8J 3．（多选）如图所示，光滑斜面固定在水平桌面上，斜面倾角α＝30°，在斜面底端固定一个与斜面垂直的挡板，在斜面顶端安装一个定滑轮，物块A和B用劲度系数为k的轻弹簧连接，将A放置在挡板上，物块B在斜面上处于静止状态。现将轻绳的一端固定在B上，绕过定滑轮后，在轻绳的另一端固定一个物块C，用手托住C，使细绳恰好伸直且无拉力时，由静止释放物块C。已知物块A、B的质量均为m，物块C的质量为2m，斜面足够长，重力加速度为g，sin30°＝0.5。一直到A刚要离开挡板前的过程中，下列说法正确的是 A．弹簧恢复原长时，B的速度最大 B．释放物块C的瞬间，物块C的加速度大小为0.5g C．整个运动过程中，物块B的最大速度大小为 D．在A离开挡板前，B、C的机械能之和先增大后减小 4．（多选）如图所示，挡板固定在倾角为的斜面左下端，斜面右上端与半径为的圆弧轨道连接，其圆心在斜面的延长线上。M点有一光滑轻质小滑轮，。质量均为的小物块B、C由一轻质弹簧拴接（弹簧平行于斜面），其中物块C紧靠在挡板P处，物块B用跨过滑轮的轻质细绳与一质量为、大小可忽略的小球A相连，初始时刻小球A锁定在点，细绳与斜面平行，且恰好绷直而无张力，B、C处于静止状态。某时刻解除对小球A的锁定，当小球A沿圆弧运动到最低点N时（物块B未到达M点），物块C对挡板的作用力恰好为0。已知重力加速度为，不计一切摩擦，下列说法正确的是 A．弹簧的劲度系数为 B．小球到达点时的速度大小为 C．小球到达点时的速度大小为 D．小球由运动到的过程中，小球和物块的机械能之和先增大后减小 5．（多选）如图所示，一劲度系数k＝20N/m的轻弹簧下端固定于倾角为53°的光滑固定斜面底端，弹簧上端连接物块Q。一轻绳跨过轻小定滑轮O，一端与物块Q连接，另一端与套在光滑竖直杆上的物块P连接，定滑轮到竖直杆的距离d＝0.3m。已知物块P的质量m1＝0.4kg，物块Q的质量m2＝0.5kg，两物块均可视为质点。初始时物块P在A点静止不动，OQ段轻绳与斜面平行，轻绳张力大小FT＝5N。不计滑轮大小及摩擦作用，弹簧的弹性势能，其中x为弹簧的形变量，弹簧始终在弹性限度内，取重力加速度大小g＝10 m/s2，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6。现将物块P移到与定滑轮O在同一水平线上的B点后由静止释放，下列说法正确的是 A．A、B两点间的距离h为0.6m B．物块P位于A点时，弹簧的伸长量为0.05 m C．物块P从B点释放后到达A点时的速度大小为 D．物块P从B点运动到A点的过程中，克服轻绳拉力所做的功为 6．（多选）如图所示，倾角为的固定斜面体顶端固定一光滑定滑轮，质量为的物块A与物块B（质量未知）通过轻绳连接后跨过定滑轮，轻绳与斜面体平行，物块A放在斜面体上的a点，物块A刚好不下滑。已知ab段粗糙，b点下侧光滑，轻弹簧固定在斜面体的底端，原长时上端位于b点，某时刻剪断轻绳，物块A运动到b点的速度大小为vb＝2 m/s，最终物块A把轻弹簧压缩到最低点c，随后物块A能沿斜面上滑到最高点d点（d未画出），物块A在c点的加速度大小为ac＝1.8 g，ab＝1 m，弹性势能表达式为，为形变量，轻弹簧始终处在弹性限度内，重力加速度为g＝10 m/s2，sin37°＝0.6。下列说法正确的是 A．物块A与ab段的动摩擦因数为 B．轻弹簧的劲度系数为 C．物块A下滑的最大速度为 D．物块B的质量为 7．（多选）如图所示，弹簧的一端固定在墙上，另一端系一物块A，把弹簧压缩一段距离后（O为弹簧原长时A的位置），在A的右边再紧贴着放另一相同的物块B。然后撤去外力。A、B均可视为质点。则此后运动过程中，下列说法正确的是 A．若地面光滑，A、B组成的系统回到O点时动能最大 B．若地面光滑，弹簧减小的弹性势能等于B增大的动能 C．若地面粗糙且A、B能够分离，则分离时的位置一定在O点 D．若地面粗糙且A、B能够分离，则分离时的位置一定在O点左侧 8．（多选）如图所示，倾角为的光滑斜面体固定在水平面上，轻弹簧放在斜面上，下端与斜面底端的固定挡板连接，上端与放在斜面上的物块A连接，绕过斜面顶端光滑定滑轮的轻绳一端连接在物块A上，另一端吊着物块B。已知物块A的质量为，物块B的质量为，斜面足够长，牵引物块A的轻绳与斜面平行，用手托着物块B，改变B的高度，使轻弹簧刚好处于原长。已知重力加速度为，弹簧的劲度系数为，弹簧的弹性势能，表示弹簧的劲度系数，为弹簧的形变量，弹簧始终在弹性限度内，快速撤去手。下列说法正确的是 A．快速撤去手的一瞬间，物块B的加速度大小为 B．当物块A的速度达到最大时，弹簧的伸长量为 C．物块A沿斜面向上运动的最大速度大小为 D．物块A沿斜面向上运动过程中，弹簧具有的最大弹性势能为 9．（多选）如图所示，A球用线悬挂且通过弹簧与B球相连，两球质量相等，当两球都静止时，将悬线烧断。下列说法正确的是 A．线断瞬间，A球的加速度大于B球的加速度 B．线断后最初一段时间里，重力势能转化为动能和弹性势能 C．在下落过程中，两小球、弹簧和地球组成的系统机械能守恒 D．线断后最初一段时间里，动能的增加大于重力势能的减少 10．如图所示，A、B两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A放在固定的光滑斜面上，B、C两小球在竖直方向上通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，C放在水平地面上。现用手控制住A，并使细线刚刚拉直但无拉力作用，同时保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行。已知A的质量为4m，B、C的质量均为m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦不计。开始时整个系统处于静止状态；释放A后，A沿斜面下滑至速度最大时（加速度为零），C恰好离开地面，在此过程中，求： （1）A速度最大时绳子拉力F和斜面的倾角α； （2）弹簧恢复原长时，细线中的拉力大小F0； （3）A沿斜面下滑的速度最大值vm。 11．如图所示，倾角θ＝37°的光滑且足够长的斜面固定在水平面上，在斜面顶端固定一个半径和质量不计的光滑定滑轮D，质量均为m＝2kg的物体A和B用一劲度系数 k＝240N/m的轻弹簧连接，物体B被位于斜面底端且垂直于斜面的挡板 P 挡住。用一不可伸长的轻绳跨过定滑轮使物体A与小环C连接，小环C的质量为M（未知），小环C穿过竖直固定的光滑细杆。当整个系统处于静止状态时，环C位于Q处，绳与细杆间的夹角α＝53°，且物体B对挡板P的压力恰好为零。图中，轻弹簧和定滑轮右侧的绳均与斜面平行。现将环C移至位置R，并在系统稳定后由静止释放， sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g＝10 m/s2。求： （1）小环C运动到位置Q的速率 v； （2）小环C从位置R运动至RQ中点N（图中未标出）过程中轻绳对小环C做的功WT。 12．如图轻质动滑轮下方悬挂重物A、轻质定滑轮下方悬挂重物B，B和地面用一轻质弹簧连接，悬挂滑轮的轻质细线竖直。开始时，在外力作用下，重物A、B处于静止状态，弹簧处于原长，释放后A、B开始运动。已知A、B的质量mA＝4m，mB＝m。弹簧的劲度系数为k，弹性势能的表达式为，其中x为弹簧的形变量。忽略一切摩擦和空气阻力，重力加速度为g。在A运动到最低点之前，求： （1）当A的速度为v0时，求此时B的速度大小； （2）弹簧的最大弹性势能Ep； （3）A在释放后的最大速率vAm。 13．如图所示，在倾角为30°的光滑斜面体上，劲度系数为的轻质弹簧一端连接固定挡板C，另一端连接一质量为的物体，一轻绳绕过光滑定滑轮后分别与物体、相连，物体质量也为，轻绳与斜面平行，斜面足够长，用手托住使轻绳刚好伸直且拉力为零，由静止释放物体，不计一切摩擦，物体不会碰到地面，弹簧弹性势能的表达式为，重力加速度，求： （1）释放B的瞬间，弹簧的形变量和物体的加速度大小； （2）物体的最大动能； （3）其他条件不变，将物体改换成物体后，向上运动到最高点时，弹簧恰好恢复原长，求物体的质量。 五、弹簧与圆周运动问题 1．（多选）一光滑轨道由水平部分和竖直圆周部分组成，圆轨道半径为R。水平轨道左端连接一轻弹簧，第一次质量为m的小球在水平轨道上被压缩的弹簧弹出后，在轨道上运动时最高只能到达离水平轨道高度为的位置。若保持每次弹射前的弹簧压缩量与第一次相同，改变小球的质量，要保证小球被弹簧弹出后在圆轨道上运动时不会从轨道上脱落，则小球的质量可能是（　　） A． B． C． D． 2．如图所示，质量为m＝4 kg的滑块（可视为质点）放在光滑平台上，向左缓慢推动滑块压缩轻弹簧至P点，释放后滑块以一定速度从A点水平飞出后，恰好从B点无碰撞滑入竖直平面内的光滑圆弧轨道BC，然后从C点进入与圆弧轨道BC相切于C点的水平面CD，同一竖直平面内的光滑半圆轨道DE与水平面CD相切于D点。已知圆弧轨道BC的半径R1＝3 m，AB两点的高度差h＝0.8 m，光滑圆弧BC对应的圆心角为53°，滑块与CD部分的动摩擦因数，，重力加速度g＝10 m/s2。求： （1）弹簧对滑块做的功； （2）滑块到达圆弧末端C时对轨道的压力； （3）滑块冲上半圆轨道后中途不会脱离半圆轨道，轨道DE的半径R2满足的条件。 3．如图所示，半径为R 的光滑半圆形轨道ABC 固定在竖直平面内且与粗糙水平轨道CD 相切于C点，D端有一被锁定的轻质压缩弹簧，弹簧左端连接在固定的挡板上，右端记为Q。质量为m的滑块（视为质点）从轨道上的 P 点由静止滑下，运动到 Q点时速率为零，并能触发弹簧解除锁定，弹簧对滑块产生弹力，使滑块被弹回，且刚好能通过半圆形轨道的最高点 A．已知 滑块与水平轨道间的动摩擦因数 重力加速度大小为 g；求： （1）滑块第一次滑至半圆形轨道最低点C时对轨道的压力； （2）弹簧被锁定时其右端Q到C点的距离是多少； （3）弹簧被解除锁定后对滑块做的功是多少？ 4．如图所示，竖直面内光滑圆弧轨道最低点与水平面平滑连接，圆弧轨道半径为R，圆心角，水平面上B点左侧光滑，右侧粗糙。一根轻弹簧放在水平面上，其左端连接在固定挡板上，右端自由伸长到B点。现将质量为的物块放在水平面上，并向左压缩弹簧到位置A，由静止释放物块，物块被弹开后刚好不滑离圆弧轨道，物块与BC段间的动摩擦因数为0.5，BC段的长度也为R，重力加速度为g，物块视为质点。求： （1）物块运动到圆弧轨道点时，物块对轨道的压力； （2）物块最终停下的位置离点的距离； （3）调整弹簧的压缩量，物块由静止释放恰能到达与点等高的高度，则弹簧的最大弹性势能为多大？ 5．某同学设计了一个如图所示的游戏装置（B、D分别为半圆形轨道的最低点和最高点），水平轨道左侧有一固定的弹射装置，圆弧半径为R，水平轨道上有一段长为4R、动摩擦因数的直线AB段，其余轨道均光滑。将可视为质点的质量为m的滑块挤压弹簧到A点后由静止释放，重力加速度为g。 （1）若弹簧弹性势能Ep1＝4mgR，求滑块第一次运动到半圆轨道最低点B时对轨道的压力大小； （2）若滑块恰好能到与圆心等高的C点，求弹簧弹性势能Ep2； （3）若滑块滑入半圆轨道后在轨道内不脱离轨道，求弹簧弹性势能Ep3应该满足的条件。 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 弹簧中的能量问题 一、竖直弹簧问题 1．如图所示，一轻质弹簧竖直固定于地面上，铁质小球自弹簧正上方由静止下落，小球从接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（弹簧的形变始终在弹性限度内），下列说法正确的是 A．小球的速度一直减小 B．小球的机械能不守恒 C．重力对小球做正功，小球的重力势能在增加 D．弹簧的弹力对小球做负功，弹簧的弹性势能在减小 1．B 【详解】A．小球从接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中，一开始弹力小于重力，小球继续向下加速运动，当弹力等于重力时，小球速度达到最大，之后弹力大于重力，小球向下减速运动，则小球的速度先增大后减小，故A错误； B．由于弹簧弹力对小球做负功，所以小球的机械能不守恒，故B正确； C．重力对小球做正功，小球的重力势能在减小，故C错误； D．弹簧的弹力对小球做负功，弹簧的弹性势能在增大，故D错误。 故选B。 2．（多选）如图所示，把质量为m的小球放在竖立的弹簧上，并把小球往下按至A位置，如图甲，迅速松手后，弹簧把小球弹起，小球升至最高位置C，如图乙，途中经过位置B时弹簧正好恢复原长，弹簧的质量和空气的阻力均可忽略，以A位置为重力势能零点。小球从A到C的运动过程中，下列说法正确的是 A．小球的机械能不守恒 B．小球到达B位置时，小球的动能最大 C．小球动能与弹簧弹性势能之和不断减少 D．小球在A位置时弹簧的弹性势能等于小球在C位置的重力势能 2．ACD 【详解】A．小球从A到C的过程，除重力外，弹簧弹力对小球做正功，小球的机械能不守恒，故A正确； B．当小球受到的弹力等于小球的重力时，小球的速度最大，动能最大，而小球在B点时，弹簧的弹力为零，小球的速度不是最大，动能也不是最大，故B错误； C．由题可知，整个过程中，小球与弹簧组成的系统机械能守恒，即小球的动能加上小球的重力势能、弹簧的弹性势能是定值，小球从A到C的过程中，小球的重力势能不断增大，因此小球的动能与弹簧的弹性势能之和不断减小，故C正确； D．由题可知，整个过程，小球与弹簧组成的系统机械能守恒，因此小球在A位置时弹簧的弹性势能在C位置全部转化为小球的重力势能，故D正确。 故选ACD。 3．（多选）竖直固定在水平地面上的轻质弹簧劲度系数为k、原长为l，如图所示。质量为m的小球由弹簧正上方h处由静止释放，小球运动到最低点时弹簧的压缩量为x。不计空气阻力，重力加速度为g。则 A．小球先加速下降h，再减速下降x B．小球运动到最低点时，弹簧的弹性势能为mg（h＋x） C．小球速度最大时距地面的高度为 D．小球速度最大时弹簧的弹性势能为 3．BD 【详解】A．小球在接触弹簧之前，只受重力，做自由落体运动，加速下降h。接触弹簧后，开始时重力大于弹簧弹力，小球继续加速，当重力等于弹簧弹力时，速度达到最大，之后弹簧弹力大于重力，小球开始减速下降直到最低点，所以不是接触弹簧就开始减速，故A错误； B．由能量守恒可知，物体下降到最低点时速度为0，物体的重力势能转化为弹力势能，即弹性势能Ep＝mg（h＋x），故B正确； C．小球速度最大时，重力大小等于弹力大小，有，此时小球速度最大时距地面的高度为，故C错误； D．小球速度最大时弹簧的弹性势能，联立解得。故D正确。 故选BD。 4．（多选）如图所示，在水平地面上固定一竖直轻弹簧，弹簧的劲度系数为，原长为。质量为的小球由弹簧的正上方高处自由下落，与弹簧接触后压缩弹簧，当弹簧的压缩量为时，小球下落到最低点，整个过程中弹簧一直处在弹性限度内。不计空气阻力，当地的重力加速度为，则从小球接触弹簧开始到小球下落到最低点的过程中 A．小球的机械能先增加后减少 B．小球与弹簧组成的系统机械能守恒 C．弹簧弹性势能的最大值为 D．小球下落到距地面高度时动能最大 4．BD 【详解】AB．从小球接触弹簧开始到小球下落到最低点的过程中，小球与弹簧组成的系统只有重力和弹簧弹力做功，小球与弹簧组成的系统机械能守恒；弹簧的弹性势能变大，则小球的机械能减少，故A错误，B正确； C．当小球到达最低点时弹簧的弹性势能最大，由能量关系可知，弹簧弹性势能的最大值等于小球重力势能的减小量，为mg（h＋x），故C错误； D．当小球的重力等于弹簧弹力时，合力为零，加速度为零，此时小球的速度最大，动能最大，则有 可得。此时小球距地面高度为，故D正确。 故选BD。 5．如图所示，质量为2×103 kg的电梯在缆绳发生断裂后向下坠落，电梯刚接触井底缓冲弹簧时的速度为4 m/s，缓冲弹簧被压缩2 m时电梯速度减为零。下落过程中安全钳提供给电梯的滑动摩擦力共为1.7×104 N，取重力加速度g＝10 m/s2。下列说法正确的是 A．电梯接触弹簧后速度立即减小 B．电梯压缩弹簧过程中电梯的加速度一直在减小 C．电梯速度减为零时弹簧的弹性势能为 D．电梯压缩弹簧过程中电梯的机械能减少了 5．D 【详解】AB．电梯与弹簧接触前，电梯做匀加速直线运动，接触弹簧后，由于弹簧弹力从零逐渐增加，所以电梯先做加速度逐渐减小的加速运动，后做加速度逐渐增加的减速运动，故AB错误； C．电梯刚接触井底缓冲弹簧时的速度为4m/s，缓冲弹簧被压缩2m时电梯停止了运动，根据能量守恒定律得，得。故C错误； D．电梯压缩弹簧过程中，机械能的减少量等于动能的减少量与重力势能的减少量之和，则有 ＝ 故D正确。 故选D。 6．（多选）如图，一轻弹簧的一端固定于O点，另一端系一重物，将重物从与悬点O在同一水平面且弹簧保持原长的A点无初速度释放，让它自由下摆，不计空气阻力，则在重物由A点摆向最低点B的过程中 A．弹簧的弹性势能增加 B．重力做正功，弹力不做功 C．重物的机械能不变 D．重物重力势能的减少量大于弹簧弹性势能的增加量 6．AD 【详解】AC．以重物和弹簧为系统，由于只有重力和弹力做功，所以系统满足机械能守恒；由于弹簧从原长变伸长，所以弹簧的弹性势能增大，则重物的机械能减小，故A正确，C错误； B．在重物由A点摆向最低点B的过程中，重力做正功；弹簧从原长变伸长，所以弹力对重物做负功，故B错误； D．重物和弹簧组成的系统满足机械能守恒，而重物的动能增加，所以重物重力势能的减少量大于弹簧弹性势能的增加量，故D正确。 故选AD。 二、水平弹簧问题 1．如图所示，水平轻弹簧一端与墙相连处于自由伸长状态，质量为2kg的木块沿光滑的水平面以10m/s的速度开始运动并挤压弹簧，当物体的速度减小为6m/s时，弹簧的弹性势能为 A．100J B．36J C．75J D．64J 1．D 【详解】由题意知水平面光滑，木块与弹簧组成的系统机械能守恒，木块减少的动能全部转化为弹簧的弹性势能，得代入数据求得。 故选D。 2．如图所示，轻质弹簧的左端固定，并处于自然状态。小物块的质量为m，从A点向左沿水平地面运动，压缩弹簧后被弹回，运动到A点恰好静止。物块向左运动的最大距离为s，与地面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，弹簧未超出弹性限度。在上述过程中 A．弹簧的最大弹力为μmg B．在弹回过程中，当弹簧处于原长时小物块的速度最大 C．弹簧的最大弹性势能等于μmgs D．物块在A点的初速度为 2．C 【详解】A．物体从静止向右运动的过程中，当弹簧的弹力等于滑动摩擦力时，物体的速度最大，物体在速度最大之前受弹簧弹力大于滑动摩擦力而加速，大于μmg，故A错误； B．物块压缩弹簧后被弹回向右运动过程中，在弹簧弹力等于摩擦力时物块速度最大，故B错误； C．物体向右运动的过程中，根据能量守恒定律，弹簧的最大弹性势能为 故C正确； D．全程根据动能定理得，解得。故D错误。 故选C。 3．如图所示，光滑水平面OB与足够长粗糙斜面BC交于B点。轻弹簧左端固定于竖直墙面，现用质量为m1的滑块压缩弹簧至D点，然后由静止释放，滑块脱离弹簧后经B点滑上斜面，上升到最大高度，并静止在斜面上。不计滑块在B点的机械能损失，换用材料相同，质量为m2的滑块（m2≠m1）压缩弹簧至同一点D后，重复上述过程，下列说法中正确的是 A．两滑块到达B点时速度相同 B．两滑块沿斜面上升的最大高度相同 C．两滑块上升到最高点的过程中重力势能增加量不同 D．两滑块上升到最高点的过程中摩擦产生的热量相同 3．D 【详解】A．根据题意可知，弹簧将滑块弹开运动到点的过程中，弹簧和滑块组成的机械能守恒，则两滑块运动到点的动能相等，由可知，由于两滑块的质量不相等，则两滑块到达B点时速度不相同，故A错误； B．根据题意，滑块在斜面上，由牛顿第二定律有，解得。可知，两滑块在斜面上运动时的加速度相等，由于初速度不相等，则两滑块沿斜面上升的最大高度不相同，故B错误； C．根据题意，设滑块上升的最大高度为，则滑块上升到最高点的过程中重力势能增加量为，滑块从开始弹开到最高点过程中，由能量守恒定律有，解得。可知，两滑块上升到最高点的过程中重力势能增加量相同，则两滑块上升到最高点的过程中摩擦产生的热量为Q＝Ep－mgh可知，两滑块上升到最高点的过程中摩擦产生的热量相同，故C错误，D正确。 故选D。 三、弹簧图像问题 1．一轻质弹簧的弹力与弹簧形变量之间的关系如图甲所示。将该弹簧下端固定在水平地面上，一质量为1.8 kg的物体在外力作用下缓慢放在竖直弹簧的上端，待物体稳定后撤去外力，物体静止在弹簧上端，弹簧处在弹性限度内，如图乙所示取重力加速度大小g＝10 m/s2，则下列说法正确的是 A．弹簧的压缩量为3 cm B．弹簧的长度越长，弹簧的弹性势能越大 C．此过程中弹簧弹力对物体做的功为－0.54 J D．物体静止时，弹簧的弹性势能为0.54 J 1．A 【详解】A．由图示图像可知，弹簧的劲度系数 设弹簧的压缩量为x，物体静止处于平衡状态，由平衡条件得，代入数据解得x＝0.03m＝3cm 故A正确； B．弹簧的弹性势能由弹簧的劲度系数和形变量决定，弹簧的长度越长，弹簧的弹性势能不一定越大，故B错误； C．由图示图像可知，在此过程弹簧弹力对物体做功 故C错误； D．克服弹力做功转化为弹簧的弹性势能，由功能关系可知，物体静止时弹簧的弹性势能 故D错误。 故选A。 2．如图所示，一轻弹簧上端固定，下端连接一个小球。将小球自弹簧处于原长处由静止释放，以释放点为原点，竖直向下为正方向建立x轴，弹簧始终处于弹性限度内。在小球下落至最低点过程中，其速度v、动能Ek、机械能E、小球的重力势能Ep随位置x变化的图像可能正确的是 A．B．C． D． 2．B 【详解】A．在小球下落至最低点过程中，受到弹簧的弹力和重力两个力作用，弹力先小于重力，此时加速度，根据 则v－x图像并非线性关系；同理随弹力增加，当弹力大于重力时，加速度 根据，则v－x图像仍非线性关系，A错误； B．小球的速度先增加后减小，即动能先增大后减小。根据动能定理得ΔEk＝F合Δx可知Ek－x图像的斜率，合力先减小后增大，则该图像的切线斜率绝对值先减小后增大，故B正确； C．对小球，根据功能关系有 可知E－x图像的斜率，则该图像的切线斜率绝对值不断增大，故C错误。 D．小球的重力势能Ep＝Ep0－mgx，则图像为直线，D错误。 故选B。 3．（多选）如图甲所示，轻质弹簧的下端固定在倾角为θ的固定光滑斜面的底部，在弹簧的上端从静止开始释放一质量m＝1kg的滑块，滑块的加速度a与弹簧压缩量x间的关系如图乙所示，斜面始终保持静止。重力加速度大小g＝10m/s²，弹簧的弹性势能可表示为，k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量，则 A．滑块在斜面上做匀变速直线运动 B．滑块速度最大时，地面对斜面的摩擦力方向水平向右 C．弹簧的劲度系数为25N/m D．滑块最大的动能为0.5J 3．CD 【详解】A．根据图像可知，滑块做变加速直线运动，故A错误； B．滑块加速度为0时，速度最大，此时地面对斜面没有摩擦力，故B错误； C．根据图像可知，滑块开始运动时的加速度为a＝5 m/s2，根据牛顿第二定律mgsinθ＝ma，滑块下滑x＝20 cm＝0.2 m时，加速度为0，根据牛顿第二定律kx＝mgsinθ，联立解得弹簧的劲度系数为25N/m，故C正确； D． 对滑块，从开始运动到速度最大，根据动能定理mgxsinθ＋WF＝ΔEk，根据弹簧弹力做功与弹性势能的关系，联立解得滑块最大的动能为0.5J，故D正确。 故选CD。 四、弹簧连接体问题 1．如图所示，A、B两小球由绕过定滑轮的轻质细线相连，B、C两小球通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，放在倾角为30°带有挡板的固定光滑斜面上，斜面足够长。初始时用手控制住A，使细线伸直但无拉力作用，并保证滑轮左侧细线与斜面平行，此时整个系统处于静止状态。现释放A球（A球下落过程中不会触地）。已知A、B的质量均为m，C的质量为3m，弹簧始终在弹性限度内，弹簧的弹性势能（x为弹簧的形变量），不计一切摩擦，重力加速度为g，下列说法正确的是 A．初始时，弹簧形变量大小为 B．A下落过程中其重力的最大功率为 C．A下落的最大位移为 D．A下落到最低点时挡板与球之间的弹力为 1．B 【详解】A．初始时细线无拉力，对B沿斜面方向受力平衡 初始时，弹簧形变量大小，故A错误； B．A速度最大时重力功率最大，此时加速度为0、合力为0。对A、B整体受力分析，设此时弹簧伸长量为， ，解得 从初始到速度最大，B沿斜面上移距离，A下落距离也为；且初始和末态弹簧形变量大小相等，弹性势能变化为0。 由动能定理，解得， 重力功率，故B正确； C．设A下落最大位移为（此时速度为0），此时弹簧伸长量 由能量守恒 ，A下落的最大位移为，故C错误； D．A下落到最低点时，弹簧伸长量，弹簧弹力 对C沿斜面受力分析，C重力分力，因此挡板对C的弹力，故D错误。 故选B。 2．如图所示，一个劲度系数为100 N/m的轻弹簧下端连接在倾角为53°的光滑斜面底端，弹簧上端连接物体P，物体P通过平行于斜面的轻绳绕过定滑轮O与套在光滑竖直杆上的小圆环Q相连，竖直杆上的点A与滑轮等高，点A与小滑轮间的距离为0.6 m。一开始通过外力使小圆环Q静止在B点，A、B间距离为0.8 m，此时轻绳的拉力大小为60 N。现将小圆环Q由静止释放，弹簧始终在弹性限度内。已知物体P的质量为5 kg，小圆环Q的质量为1 kg，重力加速度大小取10 m/s2，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6。小圆环Q从B点上升至A点的过程中，下列说法正确的是 A．弹簧的弹性势能变小 B．小圆环Q上升至A点时的速度大小为 C．细线拉力对Q做的功为16J D．物体P的机械能减少了8J 2．C 【详解】A．设初始状态弹簧伸长量为，对P由平衡条件得，解得 由几何关系可知，Q上升至A点时P下降的距离为 则此时弹簧的压缩，压缩量为，故物块Q上升至A点过程中弹簧的弹性势能先减小后增大，故A错误； B．Q上升至A点时Q沿绳方向的分速度为0，则此时P的速度为0。对物块P、Q及弹簧，Q从B到A的过程，根据系统的能量守恒有，解得，故B错误； C．对Q根据动能定理有，解得细线拉力对Q做的功为W＝16J，故C正确； D．物体P的机械能减少，故D错误： 故选C。 3．（多选）如图所示，光滑斜面固定在水平桌面上，斜面倾角α＝30°，在斜面底端固定一个与斜面垂直的挡板，在斜面顶端安装一个定滑轮，物块A和B用劲度系数为k的轻弹簧连接，将A放置在挡板上，物块B在斜面上处于静止状态。现将轻绳的一端固定在B上，绕过定滑轮后，在轻绳的另一端固定一个物块C，用手托住C，使细绳恰好伸直且无拉力时，由静止释放物块C。已知物块A、B的质量均为m，物块C的质量为2m，斜面足够长，重力加速度为g，sin30°＝0.5。一直到A刚要离开挡板前的过程中，下列说法正确的是 A．弹簧恢复原长时，B的速度最大 B．释放物块C的瞬间，物块C的加速度大小为0.5g C．整个运动过程中，物块B的最大速度大小为 D．在A离开挡板前，B、C的机械能之和先增大后减小 3．CD 【详解】A．BC系统的合力为0时，速度最大，对BC分析有 解得 故B的速度最大在A恰好要离开挡板前瞬间，此时弹簧弹力为 可知弹簧不是处于原长状态，故A错误； B．释放C前，对BC整体有，解得，故B错误； C．释放C前，弹簧弹力，此时弹簧压缩量 B速度最大时弹簧伸长量 该过程由机械能守恒有，联立解得，故C正确。 D．在A离开挡板前，弹簧弹力先对BC系统做正功后做负功，故B、C的机械能之和先增大后减小，故D正确。 故选CD。 4．（多选）如图所示，挡板固定在倾角为的斜面左下端，斜面右上端与半径为的圆弧轨道连接，其圆心在斜面的延长线上。M点有一光滑轻质小滑轮，。质量均为的小物块B、C由一轻质弹簧拴接（弹簧平行于斜面），其中物块C紧靠在挡板P处，物块B用跨过滑轮的轻质细绳与一质量为、大小可忽略的小球A相连，初始时刻小球A锁定在点，细绳与斜面平行，且恰好绷直而无张力，B、C处于静止状态。某时刻解除对小球A的锁定，当小球A沿圆弧运动到最低点N时（物块B未到达M点），物块C对挡板的作用力恰好为0。已知重力加速度为，不计一切摩擦，下列说法正确的是 A．弹簧的劲度系数为 B．小球到达点时的速度大小为 C．小球到达点时的速度大小为 D．小球由运动到的过程中，小球和物块的机械能之和先增大后减小 4．ABD 【详解】A．设弹簧的劲度系数为k，初始时刻弹簧的压缩长度为x1，则B沿斜面方向受力平衡， 则mgsin30°＝kx1 小球A沿圆弧运动到最低点N时，物块C即将离开挡板时，设弹簧的拉伸长度为x2，则C沿斜面方向受力平衡，则mgsin30°＝kx2，易得x1＝x2。 当小球A沿圆弧运动到最低点N时，B沿斜面运动的位移为，所以 解得，。故A正确； BC．设小球A到达N点时的速度为，对进行分解，在沿绳子方向的速度 由于沿绳子方向的速度处处相等，所以此时B的速度也为，对A、B、C和弹簧组成的系统，在整个过程中，只有重力和弹簧弹力做功，且在和N处弹簧的形变量相同，故弹性势能不变，弹簧弹力做功为0，重力对A做正功，对B做负功，A、B、C和弹簧组成的系统机械能守恒，可知 ，解得，故B正确，C错误； D．小球A由运动到的过程中，A、B、C和弹簧组成的系统机械能守恒，则小球A和物块B的机械能之和与弹簧和C的能量之和不变，C一直处于静止状态，弹簧一开始处于压缩状态，之后变为原长，后开始拉伸，则弹性势能先减小后增大，故小球A和物块B的机械能之和先增大后减小，故D正确。 故选ABD。 5．（多选）如图所示，一劲度系数k＝20N/m的轻弹簧下端固定于倾角为53°的光滑固定斜面底端，弹簧上端连接物块Q。一轻绳跨过轻小定滑轮O，一端与物块Q连接，另一端与套在光滑竖直杆上的物块P连接，定滑轮到竖直杆的距离d＝0.3m。已知物块P的质量m1＝0.4kg，物块Q的质量m2＝0.5kg，两物块均可视为质点。初始时物块P在A点静止不动，OQ段轻绳与斜面平行，轻绳张力大小FT＝5N。不计滑轮大小及摩擦作用，弹簧的弹性势能，其中x为弹簧的形变量，弹簧始终在弹性限度内，取重力加速度大小g＝10 m/s2，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6。现将物块P移到与定滑轮O在同一水平线上的B点后由静止释放，下列说法正确的是 A．A、B两点间的距离h为0.6m B．物块P位于A点时，弹簧的伸长量为0.05 m C．物块P从B点释放后到达A点时的速度大小为 D．物块P从B点运动到A点的过程中，克服轻绳拉力所做的功为 5．BD 【详解】A．对物块P受力分析，设初始时滑轮左侧的轻绳与竖直方向的夹角为θ，根据平衡条件可得，可得。由几何关系可知，故A错误； B．物块P位于A点时，对物块Q进行受力分析，有，解得弹簧的伸长量，故B正确； C．物块P在B点时，弹簧的压缩量 物块P从B点运动到A点的过程中，由能量守恒定律有， 解得，故C错误； D．对物块P，根据动能定理有，解得，故D正确。 故选BD。 6．（多选）如图所示，倾角为的固定斜面体顶端固定一光滑定滑轮，质量为的物块A与物块B（质量未知）通过轻绳连接后跨过定滑轮，轻绳与斜面体平行，物块A放在斜面体上的a点，物块A刚好不下滑。已知ab段粗糙，b点下侧光滑，轻弹簧固定在斜面体的底端，原长时上端位于b点，某时刻剪断轻绳，物块A运动到b点的速度大小为vb＝2 m/s，最终物块A把轻弹簧压缩到最低点c，随后物块A能沿斜面上滑到最高点d点（d未画出），物块A在c点的加速度大小为ac＝1.8 g，ab＝1 m，弹性势能表达式为，为形变量，轻弹簧始终处在弹性限度内，重力加速度为g＝10 m/s2，sin37°＝0.6。下列说法正确的是 A．物块A与ab段的动摩擦因数为 B．轻弹簧的劲度系数为 C．物块A下滑的最大速度为 D．物块B的质量为 6．AD 【详解】AD．物块A在ab段做匀加速直线运动，根据，代入数据解得： 在ab段运动时，根据牛顿第二定律有，代入数据解得： 剪断轻绳前，物块A处于静止状态且刚好不下滑，说明此时静摩擦力达到最大且沿斜面向上，由平衡条件得，其中，代入数据解得：，故AD正确； B．物块A压缩弹簧至最低点c时速度为零，根据牛顿第二定律 解得弹簧弹力 物块从b到c过程机械能守恒，由，可知 解得形变量，则劲度系数，故B错误； C．物块A下滑至合力为零时速度达到最大值，此时，解得 从b到平衡位置过程机械能守恒，由，代入数据解得，故C错误。 故选AD。 7．（多选）如图所示，弹簧的一端固定在墙上，另一端系一物块A，把弹簧压缩一段距离后（O为弹簧原长时A的位置），在A的右边再紧贴着放另一相同的物块B。然后撤去外力。A、B均可视为质点。则此后运动过程中，下列说法正确的是 A．若地面光滑，A、B组成的系统回到O点时动能最大 B．若地面光滑，弹簧减小的弹性势能等于B增大的动能 C．若地面粗糙且A、B能够分离，则分离时的位置一定在O点 D．若地面粗糙且A、B能够分离，则分离时的位置一定在O点左侧 7．AC 【详解】A．若地面光滑，A、B组成的系统在弹簧弹力作用下加速，当弹簧恢复原长（O点）后，弹簧开始拉伸，系统开始减速。因此，系统动能最大的位置是O点，故A正确； B．若地面光滑，根据能量守恒，弹簧减小的弹性势能等于 A、B两物块增加的动能之和，故B错误； CD．设A、B质量均为m，动摩擦因数为μ，AB分离时AB间弹力为0且AB加速度相同，规定向右为正方向，则分离时B的加速度（方向向左） 对A有，联立解得，可知分离时的位置一定在O点，故C正确，D错误。 故选AC。 8．（多选）如图所示，倾角为的光滑斜面体固定在水平面上，轻弹簧放在斜面上，下端与斜面底端的固定挡板连接，上端与放在斜面上的物块A连接，绕过斜面顶端光滑定滑轮的轻绳一端连接在物块A上，另一端吊着物块B。已知物块A的质量为，物块B的质量为，斜面足够长，牵引物块A的轻绳与斜面平行，用手托着物块B，改变B的高度，使轻弹簧刚好处于原长。已知重力加速度为，弹簧的劲度系数为，弹簧的弹性势能，表示弹簧的劲度系数，为弹簧的形变量，弹簧始终在弹性限度内，快速撤去手。下列说法正确的是 A．快速撤去手的一瞬间，物块B的加速度大小为 B．当物块A的速度达到最大时，弹簧的伸长量为 C．物块A沿斜面向上运动的最大速度大小为 D．物块A沿斜面向上运动过程中，弹簧具有的最大弹性势能为 8．BC 【详解】A．快速撤去手的一瞬间，根据牛顿第二定律可得 解得，A错误； B．当物块的加速度为零时速度最大，此时，解得，B正确； C．从开始到速度最大的过程中，根据机械能守恒， 解得，C正确； D．设弹簧的最大伸长量为，则由能量关系可得，解得 则弹簧具有的最大弹性势能，D错误。 故选BC。 9．（多选）如图所示，A球用线悬挂且通过弹簧与B球相连，两球质量相等，当两球都静止时，将悬线烧断。下列说法正确的是 A．线断瞬间，A球的加速度大于B球的加速度 B．线断后最初一段时间里，重力势能转化为动能和弹性势能 C．在下落过程中，两小球、弹簧和地球组成的系统机械能守恒 D．线断后最初一段时间里，动能的增加大于重力势能的减少 9．ACD 【详解】A．悬线烧断前弹簧处于伸长状态，弹簧对A球的作用力向下，对B球的作用力向上。当悬线烧断瞬间，弹簧的伸长来不及改变，对A球作用力仍然向下，故A球的加速度大于B球的加速度，故A正确； BD．悬线烧断后最初的一段时间里，弹簧缩短到原长以前，重力势能和弹性势能均减少，系统的动能增加，即重力势能和弹性势能转化为动能，故B错误，D正确； C．在下落过程中，只有重力和系统内弹力做功，故两小球、弹簧和地球组成的系统机械能守恒，故C正确。 故选ACD。 10．如图所示，A、B两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A放在固定的光滑斜面上，B、C两小球在竖直方向上通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，C放在水平地面上。现用手控制住A，并使细线刚刚拉直但无拉力作用，同时保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行。已知A的质量为4m，B、C的质量均为m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦不计。开始时整个系统处于静止状态；释放A后，A沿斜面下滑至速度最大时（加速度为零），C恰好离开地面，在此过程中，求： （1）A速度最大时绳子拉力F和斜面的倾角α； （2）弹簧恢复原长时，细线中的拉力大小F0； （3）A沿斜面下滑的速度最大值vm。 10．（1）F＝2mg，α＝30° （2）mg （3） 【详解】（1）A速度最大时，加速度为零 研究A小球，根据平衡关系 此时B的加速度也为零，C恰好离开地面，对B、C整体有，解得 ，即 （2）设当弹簧恢复原长时，A沿斜面向下运动的加速度大小为a， 对A应用牛顿第二定律         对B应用牛顿第二定律 ，解得 （3）一开始弹簧处于压缩状态，有 C恰好离开地面时，弹簧处于伸长状态，有 ，伸长量 因而初末状态弹簧的弹性势能相等，对整个系统从释放A球至C恰好离开地面的过程，根据机械能守恒定律  ，解得 11．如图所示，倾角θ＝37°的光滑且足够长的斜面固定在水平面上，在斜面顶端固定一个半径和质量不计的光滑定滑轮D，质量均为m＝2kg的物体A和B用一劲度系数 k＝240N/m的轻弹簧连接，物体B被位于斜面底端且垂直于斜面的挡板 P 挡住。用一不可伸长的轻绳跨过定滑轮使物体A与小环C连接，小环C的质量为M（未知），小环C穿过竖直固定的光滑细杆。当整个系统处于静止状态时，环C位于Q处，绳与细杆间的夹角α＝53°，且物体B对挡板P的压力恰好为零。图中，轻弹簧和定滑轮右侧的绳均与斜面平行。现将环C移至位置R，并在系统稳定后由静止释放， sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g＝10 m/s2。求： （1）小环C运动到位置Q的速率 v； （2）小环C从位置R运动至RQ中点N（图中未标出）过程中轻绳对小环C做的功WT。 11．（1）2m/s （2）1.2J 【详解】（1）先以AB组成的整体为研究对象，AB系统受到重力、支持力和绳子的拉力处于平衡状态；根据平衡条件得：绳子的拉力为T＝2mgsinθ，解得T＝24N 以C为研究对象，根据平衡条件得Tcos53°＝Mg，解得M＝1.44kg 环从位置R运动到Q位置的过程中，对小环C、弹簧和A组成的系统机械能守恒 其中：vA＝vcosα，，两式联立可得v＝2m/s （2）由题意，开始时B恰好对挡板没有压力，所以B受到重力、支持力和弹簧的拉力，弹簧处于伸长状态； 对B受力分析，则有：kΔx1＝mgsinθ，解得弹簧的伸长量Δx1＝0.05m R到S时，A下降的距离为xA＝0.5m－0.5m×sin53°＝0.1m 此时弹簧的压缩量Δx2＝xA－Δx1＝0.05m 由速度分解可知此时A的速度为零，从R运动到S的过程中，初末态的弹性势能相等 对于小环C、弹簧和A组成的系统机械能守恒有Mg∙RD∙cosα+mgxAsinθ＝Ek 从位置R运动到位置S的过程中，对小环C由动能定理可知WT+Mg∙RD∙cosα＝Ek 解得WT＝1.2J 12．如图轻质动滑轮下方悬挂重物A、轻质定滑轮下方悬挂重物B，B和地面用一轻质弹簧连接，悬挂滑轮的轻质细线竖直。开始时，在外力作用下，重物A、B处于静止状态，弹簧处于原长，释放后A、B开始运动。已知A、B的质量mA＝4m，mB＝m。弹簧的劲度系数为k，弹性势能的表达式为，其中x为弹簧的形变量。忽略一切摩擦和空气阻力，重力加速度为g。在A运动到最低点之前，求： （1）当A的速度为v0时，求此时B的速度大小； （2）弹簧的最大弹性势能Ep； （3）A在释放后的最大速率vAm。 12．（1）2v0 （2） （3） 【详解】（1）由于轻绳不可伸长和动滑轮的对称性如图 在任何小的一段时间内均有，所以 （2）设B物体上升h时，A下降，此时两物体的速度均为0，弹簧弹性势能最大，由能量守恒可知，，解得 （3）当A的速度达到最大值vAm时，B的速度也达到最大值vBm，此时两物体的加速度均为0，对A，受力分析有 对B，受力分析有，解得，此时弹簧伸长量为 由能量守恒，，解得 13．如图所示，在倾角为30°的光滑斜面体上，劲度系数为的轻质弹簧一端连接固定挡板C，另一端连接一质量为的物体，一轻绳绕过光滑定滑轮后分别与物体、相连，物体质量也为，轻绳与斜面平行，斜面足够长，用手托住使轻绳刚好伸直且拉力为零，由静止释放物体，不计一切摩擦，物体不会碰到地面，弹簧弹性势能的表达式为，重力加速度，求： （1）释放B的瞬间，弹簧的形变量和物体的加速度大小； （2）物体的最大动能； （3）其他条件不变，将物体改换成物体后，向上运动到最高点时，弹簧恰好恢复原长，求物体的质量。 13．（1）； （2） （3） 【详解】（1）释放B的瞬间，弹簧处于压缩状态，解得 设绳子拉力，由牛顿第二定律，对B有，对A有，解得 （2）当A、B物体的加速度为0时，A速度最大，此时A有最大动能，设此时拉力为T，弹簧伸长量为，则由平衡条件，得，，解得 由开始运动到达到最大动能过程，弹性势能不变，由能量守恒定律，得 解得Ekm＝1 J （3）物块A运动到最高点时速度为零，此时弹簧恢复原长，弹簧弹性势能为零 由能量守恒定律，得，解得 五、弹簧与圆周运动问题 1．（多选）一光滑轨道由水平部分和竖直圆周部分组成，圆轨道半径为R。水平轨道左端连接一轻弹簧，第一次质量为m的小球在水平轨道上被压缩的弹簧弹出后，在轨道上运动时最高只能到达离水平轨道高度为的位置。若保持每次弹射前的弹簧压缩量与第一次相同，改变小球的质量，要保证小球被弹簧弹出后在圆轨道上运动时不会从轨道上脱落，则小球的质量可能是（　　） A． B． C． D． 1．AD 【详解】第一次压缩弹簧弹出小球，根据系统机械能守恒可得 第二次若改变小球质量，小球恰好通过轨道最高点，则， 解得 小球恰好通过圆心等高处，则，解得 要保证小球被弹簧弹出后在圆轨道上运动时不会从轨道上脱落，则小球的质量应大于等于或者小于等于。 故选AD。 2．如图所示，质量为m＝4 kg的滑块（可视为质点）放在光滑平台上，向左缓慢推动滑块压缩轻弹簧至P点，释放后滑块以一定速度从A点水平飞出后，恰好从B点无碰撞滑入竖直平面内的光滑圆弧轨道BC，然后从C点进入与圆弧轨道BC相切于C点的水平面CD，同一竖直平面内的光滑半圆轨道DE与水平面CD相切于D点。已知圆弧轨道BC的半径R1＝3 m，AB两点的高度差h＝0.8 m，光滑圆弧BC对应的圆心角为53°，滑块与CD部分的动摩擦因数，，重力加速度g＝10 m/s2。求： （1）弹簧对滑块做的功； （2）滑块到达圆弧末端C时对轨道的压力； （3）滑块冲上半圆轨道后中途不会脱离半圆轨道，轨道DE的半径R2满足的条件。 2．（1） （2），方向竖直向下 （3）或 【详解】（1）滑块从A点运动到B点的过程为平抛运动，设滑块运动到B点时水平方向的速度为v0，竖直方向的分速度为vy，则根据平抛运动的性质有vy2＝2gh，解得vy＝4 m/s。 又因为滑块恰好从B点无碰撞滑入竖直平面内的光滑圆弧轨道BC，则有，解得v0＝3 m/s。 即滑块运动到A点时的速度为，则滑块从P点运动到A点的过程根据能量守恒定律有 解得弹簧对滑块做的功为W弹＝18 J （2）滑块由B点运动到C点的过程，根据动能定理得 又因为，联立解得滑块运动到C点时的速度为vC＝7 m/s。 在C点对滑块进行受力分析，根据牛顿第二定律有 解得此时轨道对滑块的支持力为 则由牛顿第三定律可知，滑块到达圆弧末端C时对轨道的压力大小为，方向竖直向下。 （3）滑块冲上半圆轨道后不会脱离轨道运动，分两种情况：一是到达与圆心等高处时速度恰好为零；二是恰好到达半圆弧轨道的最高点。当滑块到达与圆心等高处时速度恰好为零时，由动能定理得，解得 当滑块恰好能够到达半圆弧轨道的最高点时，由动能定理得 滑块在最高点E时，由重力恰好提供向心力有，联立解得 综上所述可知，若滑块冲上半圆轨道后中途不会脱离轨道运动，则轨道DE的半径R2满足的条件为或。 3．如图所示，半径为R 的光滑半圆形轨道ABC 固定在竖直平面内且与粗糙水平轨道CD 相切于C点，D端有一被锁定的轻质压缩弹簧，弹簧左端连接在固定的挡板上，右端记为Q。质量为m的滑块（视为质点）从轨道上的 P 点由静止滑下，运动到 Q点时速率为零，并能触发弹簧解除锁定，弹簧对滑块产生弹力，使滑块被弹回，且刚好能通过半圆形轨道的最高点 A．已知 滑块与水平轨道间的动摩擦因数 重力加速度大小为 g；求： （1）滑块第一次滑至半圆形轨道最低点C时对轨道的压力； （2）弹簧被锁定时其右端Q到C点的距离是多少； （3）弹簧被解除锁定后对滑块做的功是多少？ 3．（1），方向竖直向下；（2）2R；（3）3mgR 【详解】（1）设滑块第一次滑至C点时的速度为v，圆轨道C点对滑块的支持力为FN，由P到C的过程，根据动能定理有： 在C点根据牛顿第二定律有，解得 根据牛顿第三定律可知滑块第一次滑至半圆形轨道最低点C时对轨道的压力为2mg，方向竖直向下； （2）对物块从C到Q的过程，根据动能定理有，解得 （3）在A点：根据牛顿第二定律得， Q到C到A的过程，根据功能关系有，解得 4．如图所示，竖直面内光滑圆弧轨道最低点与水平面平滑连接，圆弧轨道半径为R，圆心角，水平面上B点左侧光滑，右侧粗糙。一根轻弹簧放在水平面上，其左端连接在固定挡板上，右端自由伸长到B点。现将质量为的物块放在水平面上，并向左压缩弹簧到位置A，由静止释放物块，物块被弹开后刚好不滑离圆弧轨道，物块与BC段间的动摩擦因数为0.5，BC段的长度也为R，重力加速度为g，物块视为质点。求： （1）物块运动到圆弧轨道点时，物块对轨道的压力； （2）物块最终停下的位置离点的距离； （3）调整弹簧的压缩量，物块由静止释放恰能到达与点等高的高度，则弹簧的最大弹性势能为多大？ 4．（1）2mg，方向竖直向下 （2） （3） 【详解】（1）物块被弹开后刚好不滑离圆弧轨道，因此到达D点时速度为0； 从C到D由动能定理 在C点，由牛顿第二定律，得N＝2mg 根据牛顿第三定律，物块对轨道的压力大小为2mg，方向竖直向下。 （2）设停下位置离C点距离为x，物块与BC段间的动摩擦因数为μ＝0.5，从D到停下过程由动能定理mgR（1－cos60°）－μmgx＝0，解得x＝R，即物块停在B点，离C点距离为R。 （3）设物块运动到D点的速度为vD，压缩弹簧时，弹簧的最大弹性势能为Ep，物块离开D点后做斜抛运动，在D点竖直方向的分速度为vy＝vDsin60° 从D点到最高点的过程，有，则得 根据能量守恒定律得，可得 5．某同学设计了一个如图所示的游戏装置（B、D分别为半圆形轨道的最低点和最高点），水平轨道左侧有一固定的弹射装置，圆弧半径为R，水平轨道上有一段长为4R、动摩擦因数的直线AB段，其余轨道均光滑。将可视为质点的质量为m的滑块挤压弹簧到A点后由静止释放，重力加速度为g。 （1）若弹簧弹性势能Ep1＝4mgR，求滑块第一次运动到半圆轨道最低点B时对轨道的压力大小； （2）若滑块恰好能到与圆心等高的C点，求弹簧弹性势能Ep2； （3）若滑块滑入半圆轨道后在轨道内不脱离轨道，求弹簧弹性势能Ep3应该满足的条件。 5．（1）7mg （2）2mgR （3）或者。 【详解】（1）滑块从A到B由能量关系，解得 在B点时，解得 根据牛顿第三定律可知，B点时对轨道的压力，方向向下； （2）若滑块恰好能到与圆心等高的C点，则由能量关系 （3）若滑块恰能到达B点，则 若滑块滑入半圆轨道后恰能到达D点，则 从A到D由能量关系 则若滑块滑入半圆轨道后在轨道内不脱离轨道，弹簧弹性势能应该满足或者。 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $