【学霸满分练】第4讲 二项式定理(复习课)（教用word）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（苏教版）

第4讲 二项式定理 一、求二项展开式的第k项 1．在的展开式中，的系数为（    ） A． B．4 C． D．6 【答案】A 【分析】写出的二项展开式的通项公式，再进行整理化简，要求的系数，可令，进而可得结果. 【详解】的第项为：， 由得， ∴的展开式中的系数为. 故选：A 2．的展开式的第3项为（    ） A．60 B．－120 C． D． 【答案】C 【分析】利用二项展开式通项公式即可求得该展开式的第3项. 【详解】的展开式的第3项为 故选：C 3．二项式展开式中的常数项为_________. 【答案】10 【解析】写出二项式展开式的通项公式，令的指数为，解出的值，可得常数项． 【详解】由二项式定理：展开式的通项为， 令，展开式的常数项为. 故答案为：10 二、求指定项的二项式系数或系数 4．在的二项展开式中，第项的二项式系数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题可通过二项式系数的定义得出结果. 【详解】第项的二项式系数为， 故选：A. 5．已知的二项展开式中，第三项与第项的二项式系数和为84，则第四项的系数为（    ） A．280 B．448 C．692 D．960 【答案】B 【分析】根据第三项与第项的二项式系数和为84，可求得，利用通项公式求解即可. 【详解】由题，， 因为第三项与第项的二项式系数和为84，所以，即， 所以，解得， 所以第四项的系数为， 故选：B 6．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，再利用二项展开式的通项公式，求得的值． 【详解】由， 则. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：对式子进行变形，结合展开式的通项公式，系数性质是解题的关键． 7．在的展开式中，第3项和第6项的二项式系数相等，则展开式中的系数为___________. 【答案】 【分析】根据二项式的第3项和第6项的二项式系数相等，求得，再求出展开式的通项，令的指数等于，从而可得出答案. 【详解】解：因为二项式的第3项和第6项的二项式系数相等， 所以，所以， 则二项式展开式的通项为， 令，则， 所以展开式中的系数为. 故答案为：. 三、求有理项或其系数 8．在的展开式中，有理项的系数为（    ） A． B． C．5 D．10 【答案】A 【分析】根据二项式定理求解. 【详解】的通项为 ， .当为有理项时，r既是奇数又能被3整除，所以， 故展开式中有理项的系数为； 故选：A. 9．（多选）的展开式中，以下为有理项的是（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 【答案】AC 【分析】根据给定二项式求出其展开式的通项，再求出通项中的幂指数为整数的所对项数即可. 【详解】的展开式的二项式通项为， 令为整数，求得，2，4，6，8，所以对应第1,3,5,7,9项为有理项， 故选：AC 10．的展开式中所有有理项的系数和为__________. 【答案】 【分析】首先写出展开式的通项，由为整数且，求出的值，再代入通项求出有理项，即可得到其系数和. 【详解】的展开式的通项公式为：， 由题意可知，为整数且， 所以或或， 所以，，， 所以所有有理项系数和为. 故答案为： 11．若（为有理数），则_______________． 【答案】 【分析】利用二项式定理展开并计算，再利用有理项、无理项求解作答. 【详解】由二项式定理得：， 依题意，，而为有理数，因此， 所以. 故答案为：120 四、根据指定项或系数求参数 12．若的展开式中的系数是80，则实数a的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】求出展开式的通项，令的系数为可得项的系数，列方程求解即可. 【详解】展开式的通项为 令， 可得系数为，可得． 故选：B. 13．的展开式中的常数项为-160，则a的值为（    ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 【答案】A 【分析】由已知，根据二项式列出其展开式的通项，根据要计算的常数项，先计算出，然后根据其常数项的系数列出关于a的方程，解方程即可完成求解. 【详解】由已知，展开式的通向为， 所以其展开式的常数项即，， 所以常数项为，解得. 故选：A. 14．展开式中项的系数为160，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【解析】先求得展开式中的系数，可得展开式中的系数，从而得答案. 【详解】二项式展开式的通项为， 令可得二项式展开式中的系数为， ∴展开式中的系数为， 可得，解得， 故选：C． 15．已知二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，且展开式中项的系数为20，则实数的值为__________. 【答案】 【分析】根据二项展开式中二项式系数的特点得到，然后利用二项式的通项列方程，解方程即可得到. 【详解】因为二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，所以，二项式的通项为，令，解得， 所以展开式中项为，，解得. 故答案为：. 五、三项展开式的系数问题 16．在的展开式中，的系数为______． 【答案】 【分析】展开式的通项为，可得包含，再求出展开式的通项，得到的系数即可. 【详解】由二项式展开式的通项，可得 ， 故只有包含， 又展开式的通项为， 故当时，的系数为. 故答案为： 17．展开式中的常数项为______. 【答案】 【分析】利用组合知识处理二项式展开问题即可得解. 【详解】可看作7个相乘，要求出常数项， 只需提供一项，提供4项，提供2项，相乘即可求出常数项， 即. 故答案为： 18．的展开式中，的系数为______． 【答案】30 【分析】建立组合模型求解 【详解】 表示5个因式的乘积，在这5个因式中，有2个因式选 ，其余的3个因式中有一个选，剩下的两个因式选 ，即可得到含 的项，即可算出答案． 表示5个因式的乘积， 在这5个因式中，有2个因式选 ，其余的3个因式中有一个选，剩下的两个因式选 ，即可得到含 的项，故含的项系数是. 故答案为：30 19．展开式中的系数是_________. 【答案】 【分析】的展开式中项可以由4个项、3个项和0个常数项，或3个项、1个项和2个常数项相乘，从而得解． 【详解】因为是7个相乘， 的展开式中项可以由4个项、3个项和0个常数项，或3个项、1个项和3个常数项相乘， 所以展开式中的系数是. 故答案为：. 六、两个二项式乘积展开式的系数问题 20．的展开式中，的系数（    ） A． B．5 C．35 D．50 【答案】A 【分析】利用展开式的通项公式即求. 【详解】的展开式第项， 当时，；当时，， ∴， ∴的系数为. 故选：A. 21．的展开式中的系数为（    ） A． B．25 C． D．5 【答案】A 【分析】根据题意，借助二项展开式通项得的展开式为，分析求解． 【详解】∵ 的展开式为， 令，得，则， 令，得，则， 令，得， ∴的展开式中的系数为. 故选：A． 22．的展开式中，常数项为____________ 【答案】 【分析】写出展开式通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项后即可得解. 【详解】的展开式通项为，其中， 因为， 在中，由，可得， 在中，得， 所以，展开式中，常数项为. 故答案为：. 23．的展开式中项的系数是______. 【答案】380 【分析】先利用的通项求出和，再得到项的系数. 【详解】因为， 的通项为， 令，得， 令，得， 所以项的系数为. 故答案为：380 七、二项式系数和 24．的展开式的二项式系数和是64，则展开式的中间项为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二项式系数的性质求出，再求出中间项作答. 【详解】的展开式的二项式系数和是64，则，解得， 所以展开式的中间项为. 故选：C 25．已知二项式展开式的二项式系数和为，则展开式中的常数项为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用展开式二项式系数和求出的值，然后写出二项展开式通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得解. 【详解】二项式展开式的二项式系数和为，可得， 所以，二项式展开式的通项为， 令，可得，则展开式中常数项为. 故选：D. 26．已知的展开式中，各项系数之和为，则二项式系数之和为___________. 【答案】 【分析】令，结合二项式各项系数和可求得的值，进而可求得该二项式系数之和. 【详解】因为的展开式中，各项系数之和为，令，可得，解得， 因此，二项式系数之和为. 故答案为：. 八、二项式系数的增减性和最值 27．在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是（    ） A． B．7 C． D． 【答案】D 【分析】根据二项式系数的性质得，再根据通项公式可求出结果. 【详解】因为展开式中只有第5项的二项式系数最大， 所以，， 令，得， 所以展开式中常数项是. 故选：D 28．的展开式中二项式系数最大的项是________. 【答案】 【分析】根据二项式系数的性质即可知最大，由二项式展开式的通项特征即可求解. 【详解】的二项展开式有7项，其二项式系数为，由组合数的性质可知最大，故由二项式定理得二项式系数最大的一项是. 故答案为： 29．若展开式的所有项的二项式系数和为256，则展开式中系数最大的项的二项式系数为______．（用数字作答） 【答案】28 【分析】根据二项式系数之和可得，结合二项展开式的通项公式求系数最大项，进而可求其二项式系数. 【详解】因为展开式的所有项的二项式系数和为，解得， 则展开式为， 可得第项的系数为， 令，即，解得， 所以展开式中第项系数最大，其二项式系数为. 故答案为：28. 九、二项展开式各项的系数和 30．若的展开式中常数项等于，则其展开式各项系数之和为（   ） A．1 B．32 C．0 D．64 【答案】C 【分析】写出二项式的通项，根据展开式中常数项等于，则就出参数，则赋值给即可求出展开式各项系数之和. 【详解】因为的展开式中常数项等于， 所以由， 当， 此时常数项为：， 所以， 令，其展开式各项系数之和为0， 故选：C. 31．设，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】先令计算出的值，再令计算出的值，由此可计算出的值. 【详解】令，所以， 令，所以， 所以， 故选：D. 32．若，且，则（    ） A．42 B．1092 C．1086 D．6 【答案】C 【分析】取结合等比数列求和公式得到，计算得到答案. 【详解】取得到， 即， ，则. 故选：C. 33．（多选）的展开式中，下列说法正确的是（    ） A．所有项系数和为64 B．常数项为第4项 C．整式共有3项 D．项的系数 【答案】AC 【分析】根据赋值法可求出所有项系数和判断A，由二项展开式的通项公式可判断BCD即可. 【详解】令，由知，所有项系数和为64，故A正确； 二项展开式的通项公式为，令，解得，故展开式第5项为常数项，故B错误； 当时，，展开式为整式，故C正确； 当时，，，故D错误. 故选：AC 34．在的展开式中，二项式系数和是16，则展开式中各项系数的和为________． 【答案】16 【分析】由二项式系数的性质可求，再利用赋值法求各项系数和. 【详解】因为二项式的展开式中，所有二项式系数的和是16，所以，故， 取可得二项式的展开式中各项系数和为，即16. 故答案为：16. 十、奇次项与偶次项的系数和 35．设，则的值为（    ） A．311 B．312 C．313 D．315 【答案】C 【分析】令和，得到两个等式，两式相加化简即可得出答案. 【详解】令，则①， 令，则②， ①加②可得：，解得：. 故选：C. 36．若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 中，分别令和，将所得两个方程相加即可得到结果． 【详解】在 中， 令，得， 令，得， 两式相加得， ∴，∴． 故选：B． 37．（多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】令即可判断A；令再由选项A即可判断C；由通项公式即可判断B；令，再由选项C即可判断选项D. 【详解】由， 令得，故A正确； 由的展开式的通项公式， 得，故B错误； 令，得①， 再由，得，故错误； 令，得②， ①-②再除以2得，故D正确. 故选：AD 十一、求系数最大（小）的项 38．若的展开式中有且仅有第五项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的是（    ） A．第二项 B．第三项 C．第四项 D．第五项 【答案】B 【分析】先利用二项式系数的增减性求出的值，再根据展开式的通项公式求解即可. 【详解】因为的展开式中有且仅有第五项的二项式系数最大， 所以，解得， 则的展开式通项为， 当为奇数时，系数为负数，当为偶数时，系数为正数， 所以展开式中系数最大时，为偶数， 由展开式通项可知，，， ，， 所以展开式中系数最大的是第三项， 故选：B 39．已知的展开式中前三项的二项式系数和为，则展开式中系数最大的项为第（    ） A．项 B．项 C．项 D．项 【答案】D 【分析】根据展开式中前三项的二项式系数和为求出的值，然后利用不等式法可求出展开式中系数最大的项对应的项数. 【详解】的展开式中前三项的二项式系数和为， 整理可得，且，解得， 的展开式通项为， 设展开式中第项的系数最大，则， 即，解得， 因为，故，因此，展开式中系数最大的项为第项. 故选：D. 40．已知的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为2：5． (1)求常数项； (2)求系数最大的项． 【答案】(1)60；(2) 【分析】（1）根据题意结合二项式求得，再利用二项展开式的通项公式分析运算； （2）根据展开式的通项公式，然后列出不等式求解作答. 【详解】（1）因为第二项与第三项的二项式系数之比是， 则，即，解得或（舍去）， 所以的展开式的通项为， 当时，即时，， 所以常数项为60． （2）设第k＋1项系数最大， 可得，解得， 又因为，所以， 所以展开式中系数最大的项为第3项，且. 十二、由二项展开式各项系数和求参数 41．若的展开式的各项系数之和为－2，则实数m的值为（    ） A．－2 B．－1 C．1 D．2 【答案】D 【分析】用赋值法在中，令可得答案． 【详解】令，得，解得. 故选:D． 42．的展开式中各项系数之和为，则该展开式中常数项为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取代入计算得到，确定展开式的通项，分别取和计算得到答案. 【详解】的展开式中各项系数之和为，令，可知，， 故， 展开式的通项为， 分别取和得到常数项为：， 故选：C 43．已知的展开式中各项的系数之和为256，记展开式中的系数为，则______. 【答案】 【分析】根据给定条件，求出幂指数n，再求出二项式展开式的通项公式，并求出a值作答. 【详解】依题意，取，得，解得， 展开式的通项公式，， 令，解得，于是， 所以.故答案为： 十三、杨辉三角 44．二项式的展开式中，含项的二项式系数为（    ） A．84 B．56 C．35 D．21 【答案】B 【分析】易知展开式中，含项的二项式系数为，再利用组合数的性质求解. 【详解】解：因为二项式为， 所以其展开式中，含项的二项式系数为： ， ， ， ， ， . 故选：B 45．在的展开式中，的系数为（    ） A．120 B．84 C．210 D．126 【答案】C 【分析】先通过求出各项二项式中的系数，再利用组合数的性质即可得解. 【详解】因为的展开通项为， 所以的展开式中没有这一项， 的展开式中没有这一项， 的展开式中的系数为， 的展开式中的系数为， …… 的展开式中的系数为， 所以所求的系数为.故选：C. 46．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（    ） 杨辉三角 A．在第10行中第5个数最大 B．第2023行中第1011个数和第1012个数相等 C． D．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于9行的第8个数 【答案】D 【分析】A、B选项由二项式系数的增减性即可判断；C选项，由及即可判断；D选项，由及即可判断. 【详解】A选项，第10行，10是偶数，所以在时取得最大值，也就是在第10行中第6个数最大，故选项A错误； B选项，第2023行是奇数，中间两项最大，即和，也就是第2023行中第1012个数和第1013个数相等，故选项B错误； C选项，由可得，故选项C错误； D选项，，故选项D正确.故选：D. 47．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第10行中最大的数与第二大的数的数值之比为__________（用最简分数表示）. 【答案】 【分析】第行从左至右依次为，由二项式系数性质可得答案. 【详解】观察知第行从左至右依次为， 由二项式系数的性质可得最大，其次为， 所以第10行中最大的数与第二大的数的数值之比为. 故答案为：. 十四、二项式定理综合 48．已知，若的展开式的第2项的二项式系数与第4项的二项式系数相等，则=（    ） A．32 B．64 C．128 D．256 【答案】D 【分析】由题可得，再利用赋值法即得. 【详解】由题意可得， ∴． 令，得， ∴． 故选：D. 49．（多选）若则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】令，则，再利用赋值法判断A、C，利用展开式的通项判断B，对式子两边求导，再利用赋值法判断D. 【详解】因为， 令，则， 令，可得，故A错误； 令，可得， 令，可得， 两式相加可得， 所以，故C正确； 将两边对求导可得， 再令，可得，故D错误； 二项式展开式的通项为，所以，故B正确； 故选：BC 50．已知的展开式中第二项的二项式系数比该项的系数大18，则展开式中的常数项为__________． 【答案】60 【分析】由题意利用二项式展开式中第二项的二项式系数比该项的系数大18，建立方程解出的值，再利用公式求出展开式中的常数项. 【详解】因为的二项展开式为： 所以它的第二项的系数为： 该二项式的展开式中第二项的二项式系数为：， 由的展开式中第二项的二项式系数比该项的系数大18， 所以有：， 所以二项式为， 由展开式通项为：， 令， 所以展开式中的常数项为：.故答案为：60. 51．将展开后按的升幂排列，则第3项为____________. 【答案】 【分析】展开后按的升幂排列，则第3项即为含的项，求出的通项公式，令和，求解即可得出答案. 【详解】的通项公式为， 展开后按的升幂排列，则第3项即为含的项， ， 令，则，令，则， 所以的系数为：.故答案为： 52．“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．若在“杨辉三角”中从第二行右边的1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则在该数列中，第35项是______． 【答案】171 【分析】根据杨辉三角，总结出规律，确定其第行的第三个数的通项，再确定第35项是第19行的第三个数，由通项公式即可求出结果 【详解】由杨辉三角可得，第2行的第三个数为1； 第3行的第三个数为 ； 第4行的第三个数为 ； 第5行的第三个数为 ； …… 因此第行的第三个数为 ； 而该数列的第35项是第19行的第三个数，所以第35项是 故答案为：171 53．在二项式的展开式中，已知第2项与第8项的二项式系数相等． (1)求展开式中各项系数之和； (2)求展开式中二项式系数最大的项； (3)求展开式中的有理项． 【答案】(1)0 (2) (3)有理项为，， 【分析】（1）根据题意结合组合数的性质可得，令，即可得各项系数之和； （2）根据组合数的性质当时，二项式系数最大，结合展开式的通项公式运算求解； （3）结合展开式的通项公式运算求解，令，运算求解. 【详解】（1）依题意，由组合数的性质得， 令，得展开式中各项系数之和为. （2）因为二项式的展开式的通项为， 因为， 所以二项式的展开式中二项式系数最大的项为. （3）由（2）可得：二项式的展开式的通项为， 令，得， 当时，； 当时，； 当时，. 综上所述：二项式展开式中的有理项为，， 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $