6.3.3 空间角的计算课件-2025-2026学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦空间向量在空间角计算中的应用，从线线、线面、面面角的向量法定义出发，衔接已学的方向向量与法向量知识，通过公式提炼搭建从向量夹角到空间角的转化支架。 亮点在于以题型为载体，通过例1基底法与坐标法、例2线面角步骤化求解等实例，培养数学思维（推理与运算）和数学语言（模型表达）。规律方法与跟踪训练结合，助学生形成空间观念，教师可高效开展教学。

6.3 空间向量的应用 6.3.3 空间角的计算 1 【课标要求】 1.能用向量法求解线线、线面、面面的夹角的计算问题. 2.能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角的关系. 3.能正确区分平面法向量所成的角与二面角的平面角的关系. 2 要点深化·核心知识提炼 3 知识点1.两条异面直线所成的角 （1）设两条异面直线所成的角为 ,它们的方向向量为,,则 , . （2）两条异面直线所成角的取值范围是, . 4 知识点2.直线与平面所成的角 设直线与平面 所成的角为 ,直线的方向向量为 ,平 面 的法向量为,则, . 名师点睛 （1）直线与平面所成的角,可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角. （2）线面角的范围为 . （3）直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角. 5 知识点3.二面角 两个平面所成的二面角可以转化为这两个平面的法向量所成的角,如图,向量 , ,则二面角 的大小为,或, ,若二面角 的大小为,则 . （1） （2） 6 名师点睛 （1）求二面角问题转化为两个平面法向量的夹角问题. （2）二面角的范围是 . 7 题型分析·能力素养提升 8 【题型一】求异面直线所成的角 例1 如图,在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）中,,分别为, 的中点,求直线和 夹角的余弦值. 9 解 以,, }作为基底,则 , . 设向量与的夹角为 ,则直线和夹角的余弦值等于 . . 又和 均为等边三角形, 所以 , 10 所以 , 所以直线和夹角的余弦值为 . 规律方法 运用向量法常有两种途径 （1）基底法：在一些不适合建立坐标系的题型中,经常采用取定基底的方法,在由 公式,求向量,的夹角时,关键是求出及与,一般是把, 用基 向量表示出来,再求有关的量. （2）坐标法：根据题目条件建立恰当的空间直角坐标系,写出相关各点的坐标,利 用坐标法求线线角,避免了传统找角或作角的步骤,使过程变得简单. 12 跟踪训练1 在三棱锥中,,,两两垂直,且,,分别为 , 的中点,则异面直线和 所成角的余弦值为( ) B A. B. C. D. [解析] 以,, }为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系, 令,则,,, ,则 , , 设异面直线和所成角为 ,则 .故选B. 13 【题型二】求直线和平面所成的角 例2 如图,在三棱锥中,,,两两垂直,,.求直线 与 平面 所成角的正弦值. 14 解 以,, }为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系, ,,,则,, . 设是平面的一个法向量,则 15 令,则,,得,1, . 设直线与平面所成角为 , , , 故直线与平面所成角的正弦值为 . 规律方法 求直线与平面所成角的基本步骤: （1）建立空间直角坐标系; （2）求直线的方向向量 ; （3）求平面的法向量 ; （4）设线面角为 ,则, . 17 跟踪训练2 如图,正方体中,是 的中点,求直线 与平面 所成角的正弦值. 18 解 以,, }为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系,设 正方体的棱长为2, 则,,, , ,, . 设平面的法向量为,, , 令,则,,得 , 设直线与平面所成角为 , , , 故直线与平面所成角的正弦值为 . 【题型三】求二面角 例3 如图,四棱柱 的所有棱长都相等, ,,四边形 和四边形 均为矩形. （1）求证: 底面 ; 证明 因为四边形和四边形 均为矩形,所以 , . 又,所以, . 因为,, 平面 , 所以 底面 . 20 （2）若 ,求二面角 的余弦值. 解 因为四棱柱的所有棱长都相等, 所以四边形为菱形,所以 . 又 底面 , 所以,, 两两垂直. 如图,以,, }为正交基底,建立空间直角坐标系. 设棱长为2, 因为 , 所以, , 所以,, , 21 则, . 设平面的一个法向量为 , 则由,,得 取,则, , 所以 . 易知平面即为平面,其一个法向量为 , 所以, . 因为二面角 为锐角, 所以二面角的余弦值为 . 题后反思 利用向量法求二面角的步骤 （1）建立空间直角坐标系. （2）分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量. （3）求两个法向量的夹角. （4）判断所求二面角的平面角是锐角还是钝角. （5）确定二面角的大小. 23 跟踪训练3 如图,和所在平面垂直,且 , .求： （1）直线与直线 所成角的大小； 解 设,过点作于点,连接.易知,, 两 两垂直.以,, }为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标 系,则 ,,0,,,,,,,,,0, , 所以,0,, , 所以,0,,所以与 所成角为 . 24 （2）直线与平面 所成角的大小； 解 由图可知,为平面 的一个法向量, 设直线与平面所成角为 , 则, , 所以直线与平面所成角的大小为 . 25 （3）平面和平面 的夹角的余弦值. 解 设平面的一个法向量为 , ,, , 所以即 令,则, , 则 . 设平面和平面的夹角为 ,则 , 因此平面和平面的夹角的余弦值为 . 26 $